Система обслуживания с приоритетной дисциплиной без прерывания обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

А. К. Берговин1, В. Г. Ушаков2

СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПРИОРИТЕТНОЙ ДИСЦИПЛИНОЙ БЕЗ ПРЕРЫВАНИЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ*

В работе изучена одноканальная система обслуживания с г типами требований, относительным приоритетом и пуассоновским входящим потоком со случайной интенсивностью. Текущее значение интенсивности выбирается в момент начала отсчета времени до очередного поступления требования. Последовательные значения интенсивности потока образуют цепь Маркова специального вида. Найдено нестационарное распределение вектора длин очередей из требований различных типов.

Ключевые слова: пуассоновский поток, случайная интенсивность, цепь Маркова, однолинейная система обслуживания, длина очереди.

1. Введение. Анализ случайных потоков в различных коммуникационных и вычислительных сетях показывает наличие статистической зависимости интервалов времени между последовательными поступлениями требований. В последние годы значительно возросло количество работ, в которых при построении математической модели реальной сети учитывается это явление. Практическое использование результатов анализа таких моделей связано с возможностью физической интерпретации параметров модели и эффективным их оцениванием по реальным данным. С этой точки зрения перспективными являются модели потоков, в которых те или иные их параметры являются случайными величинами, последовательность которых связана регрессионной (в простейшем случае марковской) зависимостью. В работах [1-5] содержатся различные постановки задач в этом направлении и развиты методы исследования соответствующих систем массового обслуживания.

В настоящей работе в качестве случайного параметра выступает параметр входящего пуассо-новского потока. Частными случаями рассматриваемого потока являются гиперэкспоненциальный поток и байесовский поток с дискретным априорным распределением. Кроме того, рассматриваемый в работе класс потоков хорошо описывает работу систем обслуживания, функционирующих в случайной среде с марковской зависимостью последовательных ее состояний. Аналогичная система обслуживания без приоритетов исследована в [6].

2. Описание системы. Рассматривается однолинейная система массового обслуживания с ожиданием, в которую поступает поток требований следующей структуры. Интервал времени до поступления первого требования и интервалы между поступлениями (п — 1)-го и п-го требований гп имеют показательное распределение со случайным параметром п = 1,2,.... Значение аУ1' выбирается непосредственно перед началом промежутка причем Р(а(1) = = с,, щ ф а,у,

N

г ф С5 > 0, </ = с5 = 1, а™ = + {1^ап)Ь^п\ где //'"> и п„./» 1.2.....

з 1

независимые случайные величины. Распределение случайных величин п = 1, 2,..., совпадает с распределением а ап = ^ Легко видеть, что

N

Р(гп<*) = 2сЛ1"е_М)' (!)

з=1

1 Факультет ВМК МГУ, студ., е-таП: alexei-bergovinQmail.ru

2 Факультет ВМК МГУ, проф.; Институт проблем информатики ФИЦ ИУ РАН, ст. науч. сотр., д.ф.-м.н., е-таП: vgushakovQmail.ru

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 18-07-00678.

N N

Р(гп < 1ъгп+к < *2) = (1 - рк) с, (1 - ск (1 - е~а***) +

.'¡=1 к= 1

N

+ Рк^2ск (1 - е-®**1) (1 - е-®**2) , п,к = 1,2,.... (2)

к= 1

В частности, при р = 0 входящий поток будет гиперэкспоненциальным. При р = 1 получается система, в которой в начальный момент времени случайно выбирается значение интенсивности из множества {«1,... с вероятностями с\,..., сдг и в дальнейшем система функционирует как система с пуассоновским входящим потоком с выбранной интенсивностью. В статье этот случай рассматриваться не будет.

Из (1) и (2) находим

М М Рк ( (Егп)2\ = = сог(>п, гп+к) = — ( 1--" ) ■ (3)

j=l j=l ^ /

Из (3) следует, что для любых /х > 0 и ст > /х существует рассматриваемый в работе поток даже второго порядка (Ж = 2), у которого математическое ожидание и дисперсия интервалов между поступлениями требований равны /¿ист2. Коэффициент корреляции двух соседних интервалов

равен ^ — ^ ^. Таким образом, при построении математических моделей появляется возможность не только подогнать первые два момента интервалов между поступлениями реального потока, но и учесть их зависимость.

Введем вспомогательный случайный процесс с состояниями 1, 2,..., N следующим образом: = если в момент времени £ время до поступления очередного требования имеет показательное распределение с параметром а^, ] = 1,..., N. Все поступающие требования разбиваются на г классов (приоритетов). Поступившее требование направляется в г-ш класс с вероятностью

г

Рг, г = 1, 2,..., г, рг > 0, ^ Рг = 1, независимо от остальных требований. Наличие разнотипных

г=1

требований вызывает необходимость при выборе дисциплины обслуживания определять порядок обслуживания как однотипных, так и разнотипных требований. Во-первых, будем предполагать, что требования каждого типа образуют свою очередь. Во-вторых, ни при каких условиях не допускается прерывания уже начатого обслуживания. Порядок, в котором выстраиваются в своей очереди однотипные требования, для изучаемых характеристик системы обслуживания, несуществен. После завершения обслуживания требования выбор следующего производится на основании длин очередей в этот момент и типа требования, обслуживание которого только что закончилось. К таким приоритетным дисциплинам относится большое количество известных дисциплин: относительный приоритет, чередование приоритетов, приоритет самой длинной очереди и т. п. Часть результатов работы справедлива для всего класса таких дисциплин. Наиболее детально будет изучена система с относительным приоритетом.

Будем предполагать, что в начальный момент времени 1 = 0 система свободна от требований, а длительности обслуживания являются независимыми и одинаково распределенными для требований одного класса случайными величинами с функцией распределения В^х) и плотностью ¿»¿(ж) для г-го класса, г = 1,.... г.

3. Обозначения. Предварительные результаты. Введем следующие случайные процессы:

Li(t) — число требований г-го класса в системе в момент времени t, г = 1,..., г;

i(t) — номер класса, из которого требование обслуживается в момент времени t, если в этот момент в системе есть требования. В противном случае значение i(t) можно доопределить произвольным образом;

x(t) — время, прошедшее с начала обслуживания требования, находящегося на приборе в момент t, если в этот момент прибор занят обслуживанием, и x(t) = 0 — в противном случае.

При сделанных предположениях случайный процесс

СМг),...,ьг(г), i(t), j(t), x(t)) 13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3

является однородным марковским процессом. Положим

д

Pij(n 1,..., пг, х, t) = — P(Li(i) = щ,..., Lr(t) = nr, i(t) = г, j(i) = j, x(t) < x),

oo oo

e ^ ^ • • • ^ ^ Zi1 • • • zr r Pij(ni,..., nr, x, t) dt, 0 m=0 nr=Q

oo

P0i(i) = P(Li(i) = 0,..., Lr(i) = 0, i(i) = i), poiM = J e-stP0j(t) dt,

о

oo

ßi(s) = Je~sxbi(x) dx, vi(x) = 1^(xy % = i, j 0

Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Уравнение

N

(1 - р) (piZi + . . . + prZr) V ----- " Ш -;-ГТ = 1

^ м + Ото (! - Р (Pl^l + • • • + Pr^r))

имеет N непрерывных в области \z\\ ^ 1,..., \zr\ ^ 1 решений ц = ßk(zi, ■ ■ ■ ,zr), к = 1,... ,N, причем:

1) только одна из функций ßk(zi,■■■,zr) обращается в нуль при z\ = ... = zr = 1;

2) Re(ßj(z\,..., zr)) < 0 при всех j = 1,..., N и \zi\ < 1, г = 1,..., г;

3) /¿¿¡>i, ...,гг)ф ßj(zi, ...,zr) при'1ф j.

Не ограничивая общности, будем считать, что ¿¿i(l,..., 1) = 0. Обозначим

«fcOi, . . . ,Zr) = Y[(ßk(zi, ...,Zr)~ ßjiZi, .. .,zr)). зфк

Лемма 2. Для любого k = 1,..., N система уравнений

Z3 = ßj(s - Pk{zi,.. -,zr)), j = 1,... ,r,

имеет единственное решение Zi = Zik(s), такое, что |zifc(s)l < 1 при к = 2,..., N, Res ^ 0, a Zji(0) = 1, |za(s)| < 1 при Re s > 0, г = 1,..., г.

Положим

/4(s) = Pk(zik(s), • • •, Zrk(s)).

4. Основные результаты. Основные результаты работы составляют приводимые ниже две теоремы. В первой из них содержатся соотношения, которым удовлетворяют распределения случайного процесса (Li(t),..., Lr(t), i(t), j(t), x(t)) для любой рассматриваемой приоритетной дисциплины без прерывания обслуживания. Хотя эти соотношения не определяют полностью искомое распределение, они оказываютя полезными при решении различных задач. Во-первых, для некоторых конкретных дисциплин без прерывания обслуживания (относительный приоритет, чередование приоритетов, случайный приоритет), они позволяют найти распределение исследуемого процесса. Во-вторых, они бывают полезными при решении задачи об оптимальном назначении приоритетов, а для ряда конкретных критериев эффективности работы системы они дают возможность полностью решить эту задачу. В частности, во второй теореме показано, как решить первую из этих задач при дисциплине относительного приоритета.

Теорема 1. Функции Pij(zi,..., zr, х, s) определяются по формулам

р..иъ .. г,, х s) = V (1 - Bj{x)) с:П\к) (Zl,..., zr, s) c-{8-»k{z,,...,zr))x m

13 '"'' Г' ' ¿rj Vk(zi, ■ ■ ■ ,zr) + a,j (1 -p(pizi + ... +przr))

где

(к) _ (1 - р) (pizi + ... + przr) скак

1% ■ ■ ■ , Zr, S) — , . X

ak{zi,... ,zr)

N л ч N

х PlJ^Zu ''' Д (Hj(zi, ...,zr) + am( 1 -p(p\Zi + ■■■ + Pr-Zr))), (5)

j=1 ^ m= 1

и ... ,zr,s) удовлетворяют соотношениям

V* СО/ \ Cl -1/Э / / ччЧ (1 — p) (Pl^l + ••• + „ (¿ъ • • • ,zr,s) (1 - zi Pi{s - Hk(zu . . .,Zr))) = --—j-X

x П (^(zi, ...,zr) + am( 1 -pipiZi + ... + Pr-Zr))) X

i= 1

N

m= 1

N

''' ,Zr,S\^k(zi, ...,zr) + a:j (1 -p{pizi + ... +przr)))'' ^

fj(z!, . . . ,Zr,s) = 1 - (s + dj (1 - pipiZi + ... + PrZr)))cj1pQj(s) +

N

+ (Pizi + ... + Pr-Zr) (1 -p) ^2akpQk(s). (7)

fc=i

Функции poj (s) определяются из системы линейных уравнений

Cjaj i1 ^ + a:i i1 ^P(PlZlm(s) + ... + PrZrm(s)))) C^PQjis)) _

Htn(s) + Uj (1 -p(piZlm(s) + ... +prZrm{s)))

N

+ ^2акРаФ) = 0, m = 1,..., N. (8) fc=i

Доказательство. Рассматривая возможные изменения состояний процесса

(L!(i),...,Lr(i), i(t), j(t), x(t)) в интервале [t, t + А), имеем при x > О

Pij(ni,... ,nr,x + A,t + A) = Pij(ni,.. .,nr,x,t)( 1 - (aj + r]i(x))A) +

r

l 1; ■ ■ ■ ; Пг , Ж, t)ajpk A+

fc=i

r iV

+ i1 amPim(ni, • • • ,Пк-1,Пк - l,nfc+i, . . . ,ПГ, X,t)pkCj A + o(A). (9)

fc=l m=l

Заметим, что при достаточно малом А и ж > 0 в интервале [t, t + А) невозможны изменения состояния исследуемого процесса, вызванные завершением обслуживания. А именно в эти моменты реализуется выбранная дисциплина обслуживания. Таким образом, ни выписанные разностные соотношения, ни полученные из них ниже дифференциальные уравнения не зависят от приоритетной дисциплины в рассматриваемом классе дисциплин. Переходя в (9) к пределу при А ^ 0, имеем

dPij(ni,..., nr, х, tj dPij(rii,..., nr, x, tj . . .. , . ---Q-f-+----= -{aj + щ{х))Р^{пi,.. .,nr,x,t) +

r

+ a-jP^PkPijini, ■ ■. ,nfc_bnfc - l,nfc+b .. ,,nr,x,t) + k=1

г N

+ сз(1 ~Р) атМ,Ргт{пЪ . . . ,Пк-1,Пк - 1,Пк+1, ■ ■ .

к= 1 т= 1

Отсюда

дрг] (^1 ; ■ ■ ■ ; ¿V , Ж, в)

= - (в + а^ + щ(х) - + ... + 1,.. .,гг,х,в)

дх

N

2г,ж,«). (10)

т= 1

Решение (10) имеет вид

Рфъ...,х,8)=(1 -вд)с,х:м

где 7^(21,..., гг, в) определяются из граничных условий при х = 0.

Краевые условия для функций ..., пг, х, I) в точке х = 0 зависят от приоритетной дис-

циплины. Кроме того, из них не удается получить уравнения для производящих функций в виде, пригодном для нахождения искомого распределения. Однако, если использовать то общее, что присуще всем дисциплинам без прерывания обслуживания, а именно: момент начала обслуживания очередного требования может быть либо моментом поступления требования в свободную систему, либо моментом окончания обслуживания предыдущего требования, то можно получить достаточно простые соотношения для функций 7^(21,..., гг, я). Имеем

... ,2^,0,5) = г'1 / ..., гг,х, ,з)щ(х) ёх+

1=1 1=1 ц

+ сз ~ (8 + аз)Раз(8) + (Р1*1 + ■■■ +Рг2г) (ра^^) + (1 -р)с^ЕакРоФ)). (12)

^ к=1 '

Подставляя (11) в (12), получаем

г , ■

N Е Тг Ч^Ь • • • (1 - 2г_1/3(5 - Цк(гЪ . . . ,2Г)))

^ а3 (! -Р(Р1*1 + • • • + PrZr)) + Цк(*1, ■ ■ • • • • ^г,«), 3

Решая полученную систему линейных уравнений относительно

г

Е-гП^ • • • (1 - ^ - цк(гг,.. • ,2Г)))

i=l

получаем (6). Теперь подставим в (4) х = 0 :

N (к), ч

13 ' ' £r'l^^'k(zl,...,Zr) + aj(l-p(p1z1 + ...+prZr)),

Отсюда вытекает (5). Далее, в силу леммы 2 левая часть (6) обращается в 0 при ^ = 2^(5), 'I = 1,..., г, к = 1,..., N. Отсюда и из (7) следует (8).

Как уже отмечалось, соотношения (4)-(8) не определяют однозначно распределение процесса (1,1 (¿),..., Ьг (¿), ,?(£), х(1)). При выборе конкретной приоритетной дисциплины без прерывания обслуживания появляется дополнительная информация об искомом распределении. Для некоторых дисциплин эта информация такова, что она позволяет получить полное решение рассматриваемой задачи. Наиболее просто это можно сделать для дисциплины относительного приоритета. Мы ограничимся случаем двух классов (г = 2) требований. Общий случай не содержит принципиальных отличий, но результаты имеют очень громоздкий вид. Будем предполагать, что требования

первого класса имеют приоритет перед требованиями второго класса. Для доказательства приводимой ниже теоремы 2 потребуется еще одна леммма.

Лемма 3 При каждом k = 1 ,...,N уравнение z\ = ß\ {s — ßk(z\, Z2)) имеет единственное решение z\ = Z\k(z2,s), аналитическое в области Res > 0, \z2\ < 1.

Доказательства лемм 1-3 можно найти в [7]. Положим

Tk(z2,s) =pizlk(z2,s) +P2Z2, Vk(z2,s) = pk(zik(z2,s),z2), ^k(z2,s) = ak(zlk(z2,s),z2), 6kj(z2,s) = (pk(z2,s) + a:j( 1 - prk(z2,s)).

Теорема 2. При дисциплине относительного приоритета функции Pij(zi, z2,x, s), г = 1,2, j I.....N. определяются по формулам (4)-(8) и

lik)(z1,z2,s) = ——P^P1Z1 +P2z2)ckak Д (^.(^^з) + ат(1 - p(piZi +P2Z2))) х

akKzi,z2) j=lm=i

Х у^_(1 ~p)n(z2,s)_т-г ^ ^ ^ у^ Ciaifi(zlk(z2,s),z2,s)

¿t s)Skj(z2, s) (1 - Z21ß2(s - ipk(z2, s))) ^ & ^ Skl(z2, s)

Доказательство. При дисциплине относительного приоритета функция p2(zi, z2, 0, s) не зависит от z 1. Действительно, в момент начала обслуживания требования второго приоритета в системе не может быть требований первого, а p2(zi, z2, 0, s) — совместная производящая функция числа требований каждого приоритета в момент начала обслуживания требования второго приоритета.

В силу леммы 2 из (6) имеем

(fc)/ / ч ч _(l-p)Tk(z2,s)_ Д ^ Cjajfj(zlk(z2,s),z2,s)

72 (zik(z2,s),z2,s) = —-—-IT—---— Д ökm(z2,s)y с f-ч-•

(14)

Далее из (4) следует, что

/ п \ V^ 972 (zik(z2,s),z2,s) p2(z1,Z2,0,s = > ^-—--г-. (15

hj{Z2,s)

Подставляя (14) и (15) в (5), получаем (13).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hwang G.U., Choi B.D., Kim J.-К. The waiting time analysis of a discrete-time queue with arrivals as an autoregressive process of order 1 // J. Appl. Probab. 2002. 39. N 3. P. 619-629.

2. Hwang G. U., Sohraby K. On the exact analysis of a discrete-time queueing system with autoregressive inputs // Queueing Syst. 2003. 43. P. 29-41.

3. Kamoun F. The discrete-time queue with autoregressive inputs revisited // Queueing Syst. 2006. 54. P. 185-192.

4. Леонтьев H. Д., Ушаков В. Г. Анализ системы обслуживания с входящим потоком авторегрессионного типа // Информатика и ее применения. 2014. 8. № 3. С. 39-44.

5. Леонтьев Н. Д., Ушаков В. Г. Анализ системы обслуживания с входящим потоком авторегрессионного типа и относительным приоритетом // Информатика и ее применения. 2016. 10. № 3. С. 15-22.

6. Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Одноканальная система обслуживания с зависимыми интервалами времени между поступлениями требований // Информатика и ее применения. 2017. 11. № 2. С. 112-116.

7. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.

Поступила в редакцию 14.03.18