CC BY
15
УДК 519.21
А.В. Ушаков, В.Г. Ушаков2
О ДЛИНЕ ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ С АБСОЛЮТНЫМ ПРИОРИТЕТОМ И ГИПЕРЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ*
Найдены совместные производящие функции длины очередей в одноканальной системе с абсолютным приоритетом, обслуживанием заново прерванного требования и рекку-рентным входящим потоком с гиперэкспоненциальным распределением интервалов между поступлениями.
Ключевые слова: абсолютный приоритет, обслуживание заново прерванного требования, гиперэкспоненциальный поток.
1. Введение. В работах [1-4] разработаны аналитические методы анализа одноканальных систем массового обслуживания с приоритетами и различными классами непуассоновских входящих потоков. Они были применены к анализу некоторых характеристик (длина очереди, период занятости) систем с приоритетами, которые не допускают прерывания уже начатого обслуживания (относительный приоритет, чередование приоритетов). Непосредственно применить их к анализу систем с различными разновидностями абсолютного приоритета не удавалось. В настоящей работе разработаны модификации этих методов, которые позволили исследовать систему с абсолютным приоритетом и обслуживанием заново прерванного требования.
1 Институт проблем информатики РАН, асп., e-mail: grimgnauQrambler.ru
2 Факультет ВМК МГУ, д.ф.-м.н., проф., e-mail: vgushakovQmail.ru
* Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 11-01-00515а и 11-07-00112а), а также Министерством образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы".
2. Описание системы. Рассматривается одноканальная система обслуживания с двумя приоритетными классами требований. Длительности обслуживания — независимые в совокупности и не зависящие от входящего потока случайные величины с функцией распределения Bi(x) для требований i-го класса.
Входящий поток требований — рекуррентный, определяемый плотностью распределения интервалов между поступлениями требований вида
f N
J £ Cjajevpi-ajx), x ^ 0, Ф) = S i=i I1)
[О, ж < 0,
n
где a,i Ф a:j при i ф j, c:j >0, £ Cj = 1.
i= 1
Поступившее требование направляется в г-ш приоритетный класс с вероятностью pi, г = 1,2, независимо от остальных требований. Рекуррентный входящий поток, задаваемый плотностью распределения (1), эквивалентен следующему: интервалы времени между поступлениями требований независимы в совокупности и показательно распределены со случайным параметром а, принимающим
значения щ с вероятностями г, . / I.....N. причем значение а определяется непосредственно перед
началом отсчета времени до следующего поступления и не меняется между двумя поступлениями. Событие {j(t) = j} будет означать, что а = a,:j в момент времени t.
Будем предполагать, что требования первого класса имеют абсолютный приоритет перед требованиями второго класса. Требование второго приоритетного класса, обслуживание которого было прервано поступлением в систему требования первого класса, возвращается в начало очереди из требований второго приоритетного класса и при новом поступлении на прибор обслуживается заново (с новой реализацией времени обслуживания). Пусть, кроме того, в начальный момент t = 0 система свободна от требований.
3. Основные обозначения и определения. Как уже было указано выше, функцию распределения времени обслуживания требований из г-го приоритетного класса будем обозначать Bi(x). Пусть далее ¿»¿(ж), ßi(s), ßij — соответственно плотность распределения, преобразование Лапласа-Стилтьеса и j-й момент случайной величины с функцией распределения Bi(x).
Введем следующие случайные процессы:
L(t) = (L1(t),L2(t)),
Li(t) — количество требований г-го приоритетного класса в системе в момент времени i, г = 1,2; i(t) — номер приоритетного класса, требование которого обслуживается в момент времени t; z(t) — время, прошедшее с начала обслуживания этого требования до момента t (если в момент t система свободна, полагаем i(t) и z(t) равными нулю).
Введем обозначения:
Р(щ, n2, t) = P(Li(i) = nuL2(t) = n2), P0(t) = P{0, 0, t),
ОС
p(zuZ2,s) = J e-siEzfl(t)42(t) dt, 0
Po(s) =p(0,0,s), T]i(x) = bi(x) [1 - Д(ж)]"1, Sij = < [
0, %фз,
д
Pij(n1,n2,x,t) = — P(Li(i) = n1,L2(t) = n2,j(t) =j,i(t) = i,z(t) < x),
uu
pij(z1,z2,x,s) = e_stE (zfl(t)42(t)/(i(i) =j,i(t) = i,z(t) < x)) dt,
ос
PQj(t) = P(Li(i) = о,L2(t) = 0,№=j), p0j(s) = J e~stPQj(t)dt.
о
4. Предварительные результаты. Пусть //.((п. .....//. ч (-1 - - ) — корни многочлена
n n
ДО + а*) - (piZi ДО + öj).
г= 1 j=1 гф-}
Справедливы следующие леммы.
Лемма 1. Функции ßi(z\,z2), i = 1,..., N, обладают следуют,ими свойствами:
а) одна и только одна из функций ßi(z\,z2) обращается в нуль в точке z\ = 1, z2 = 1;
б) для всех zi, z2, таклщ что z\ ^ 1, z2 ^ 1 и для любого г = 1,..., N Re (ßi(z\, z2)) ^ 0;
в) функции ßi(z\,z2) и ßj(z\,z2) могут совпадать лишь на конечном числе плоскостей вида PlZl +P2Z2 = с.
Лемма 2. При каждом k = 1,..., N функциональное уравнение
zi = ßi(s - fik(zi,z2)) (2)
имеет единственное решение z\ = z[k\z2,s), аналитическое в области \z2\ < 1, Res > 0, причем в этой области < 1.
Положим фк(%2, s) = ßk \Zi\z2, s),z2,s
n
s) + a4) }v
с / ч 3 = 1 Л TT (Vj(Z2,S)+оЛ \
0i(z2, s) = p2z2--—-— = p2z2 • 1 - II —--—- ,
cm П (щ - щ) \ fJi \ H Z2) + aiJJ
%Ф1
n n
Gk(z2,s) = ^2öt(z2,s) • ДО/ДО, z2) + a:j) ■ cm. 1=1 ЗФ1
Лемма 3. Функциональное уравнение (относительно z2) П (1 - z2lß2{s - МО, z2))) + £ Д (1 - Z2lß2{s - МО, z2))) ■ 1-^-МО,^)) . = 0 (3)
имеет N решений Ci(s), ■ ■ ■ > Cn($), аналитических в области Res > 0, причем в этой области |0(s)|<l,i = l,...,iV.
Положим ^mfc(s) = фт((ф), s), ßjk(s) = //¿(0, Cfc(s)),
n , а , , у, П (нф) + а/)
3 = 1
S - ßjk(s) а, (О, Cfc(s)) • (1 - Cfc 1(s)ß2(s - ßjk(s)))'
5. Распределение длины очереди. В этом параграфе мы найдем функцию р(гиг2,8). Рассматривая возможные изменения состояния системы на отрезке £ + Д£) и устремляя ^ О, имеем:
дРц (пип2,х, ¿) + арц(пьп2>х,0 = _ ^ + Щ{Х))Р11 {ПЪП2^ +
n n
+ Сз^2аиР1и (щ - <5П1,ь п2,х,1)р1 + Сз^2аиР1и (п1,п2 - 8п^а,х,1)р2,
и=1 и=1
дР2] (и2,М) . дР2] (и2,М) , . , » о , .ч . ^ о / х - 777--1--—Д- = - + / (п2,Ж,*) + 9 2_^аир2р {П2 - 0„2Д,Ж,^)р2.
1^ = 1
Так как в силу сделанных предположений Рц (щ, п2, ж, 0) = 0 для всех г,^, ж > 0, то отсюда
= - + а,:) + щ(ж))рц (^1,^2,ж,«) + +р2г2) (2:1,2:2, ж,«), (4)
др2] дж Ж' ^ = ~ ^ + + + сзР2^2^2арр2р (г2,ж,5) . (5)
и=1
Аналогично для вероятностей Poj(t) получаем следующие уравнения:
оо сю
^сЙ^ = -а^-Роз(^) + У-Рц(1,0,ж,^)г^1(ж) (¿Ж + У Р2:)(1,х,1)щ(х)йх. (6)
о о
Далее функции рц (¿1, г2, ж, «) и р2^ (г2, ж, «) удовлетворяют краевым условиям
N
р
е~^ ^ / Р1зО-<,п2,Х,1)гц(х)йхЖ + 0 »2=1 ^
сю сю сю
+ (», х, .)»(*> & - / е- / ^(1,Х, 0«(х)
0 0 0
N N °9
рц(г1,г2,0,в) = С01г1 + с^р^ ^ а„ / р2и(г2,х, я) ёх+
и=1 и=1 ^
оо 00 оо 00
+ ¿I1 Р1у(г1,г2,х,з)г]1(х) 4х - / е~8* ^ г^2 / Р1:){1,п2,х,1)гц(х) йхМ. о о И2=0 о
Суммируя последние два уравнения и учитывая уравнение (6), получаем
N
(¿1,2:2,0,5) +Р2Л'(^2,0,5) = с-Др^! +р2г2) + 9 - (« + а^ро^Н
......
„
Решение систем уравнений (4) и (5) записывается в виде
N (к), ч
рфъ х2, ж, *) = (1 - !?1(ж)) с,- £ 71 • е-С-М*,*))*, (8)
р2^2, ж, в) = (1 - ВД) Ч 2 72 • е-(*-Ы0,(9) Подставляя (8) и (9) в (7), получаем
ЕИ 1 — — ^2)) (к), Ч (1)/ ч . / ч /1пч
-7-г--71 (^1,^2,5) 4^2, в) + (10)
где
(1)/ ч ( ( \ , у^ 72 (^2, а) 1 - р2(в - /лк(0, !ъ))\ , .
Г 4^2,5 = > аи [ро„(8 + си > —7--Г----7--г- , (И
и=1 4 /г=1
n 1 _1„ / /п \\ n
- цк(0, г2)) (к), ч . ^ , 1 5 + а? ^ дДг2,в) = -7Н-ГТ-^ («2, в) + аиРаи(.ч) + 1---РоД«)-
/;=1 + а^ с.
Положим fj(zl^ я) = «) + дД^г,«). Тогда из (10) получаем
(1 - - /хД^, г2))) ¿0 =
-1
дг n П (аг — а»)
= Л (^1,^2,.?) а к 1(гъг2) ■ Д ((//Д^, г2) + «^(мД^ь г2) + щ)) ■ —-——,
где аД^, г2) = П (мД^ъ ¿2) - г2)).
%фк
Так как функции /хД^!, г2), ъ = 1,..., -/V, являются решениями уравнения
n n
Д(м + аз) = + Р2Х2)^С1Щ Д(/Х + аД
3 = 1 1=1 Зф1
то
n n n
Д(/х + а,)) - +р2%2) Д(м + аз) = Д(м - /¿Д^ь^г))- (12)
3=1 1=1 з/> 3=1
Подставляя в (12) /х = — а^, имеем
n
-(Р1г1 +Р2Х2)ст Д(%- - щ) = (-1)^ До1]{гъг2) + щ).
зФ1 3=1
Отсюда
n
Д(Цэ(гъг2) + щ) • Д(аг - ап)-1 = С1щ(р1г1 + р2г2).
3=1 пф1
Следовательно,
г^/З^я^ цк(г1,г2)))ак(г1,г2) (к) Л. 7г ч, ч
--;-71 (^1,^2,5) = > /«(^1^2, 5) • ст (Цк{*1,г2) + а.,).
р^+р2г2 ^ ^
Но
n n
■ ст Д {Цк{*ъг2) + а:1) = Д (/хД^,^) + д(1)(^2,
1=1 зФ1 3=1
n n
г=1 г=1
Итак,
(1 — РЛв - Цк(*1, ¿2))) ак(*1, ¿2) (к), ч
-;-71 (^1,^2,5) =
+р2г2
n n
= Д (Ик(*1,г2) + 2,5) + Д (/х^(гьг2) + а5) 2,в), (13)
¿=1 г=1 ^
где <р1(г2,5) = дг(^2,5) - Рг^д^Н^г, «)•
(14)
В силу леммы 2 левая часть (13) обращается в нуль при = г[кЧ^2, в). Тогда при к = 1,..., N имеем
N N
+ а:1) д(1)(г2,5) + ^ сгаг Д (фк(*2, ¿0 + Ы^г, ¿0 = 0. ¿=1 г=1 ^
Рассмотрим многочлен (по переменной /х) степени
N N
Д (м + аз) д(1)(^2,+ ^ Сг°г + аз)
¿=1 1=1 Зф1
Соотношения (14) означают, что /х = фк{%2-,$) являются его корнями. Значит,
N N N
Д (ц + а^ д^в) + ^ с4щ Д (/х + а:)) в) = Д (/х - ¿0) • д(1)(.г2,«).
(15)
з=1
В частности,
N
1=1
3 = 1
N
Д (Цк(г1,*2) + д(1)(^2, я) + X ст Д {Цк{*1, г2) + а:1) (р,{г2, я)
3 = 1 1=1 зф\
N
¿=1
Таким образом,
N
Р1*1 + Р-2
71 (^1,^2,5) = Д (Цк(*1,г2) - • д(1)(22,«). (16)
з=1
Соотношение (15) используем для нахождения 72*^(£2, «), к = 1,..., Ж. Подставляя в (15) /х = — а;, находим
N
П (ФЛъ,*) + т)
¥>«(22,*) =
сгог 11 («г — а«)
гф1
Напомним, что ¡^(¿г,^ = <й(£2,5) — рг^г д*-1-®^, «). Значит,
(
<и{* 2,5) =
Р2%2
\
N \
П + О«)
3 = 1_
сгог П(°г ~ аг)
гф1 у
(17)
Тогда, учитывая определение и д^1^^,«), из (17) получаем
N
Е
к= 1
(1 - - ^(0, г2))) 72^(^2, а)
р-к{0, 22) +
= т^2, я) - в)
Р2%2
(18)
где
^ 1 - /32(5 ~ МПМг)) (/г), ч
/г=1
№
т^г^в) = 1--—Роз{$) + (Р2^2 - <^Сг2,5))
Из (18) находим
(1 - 22"1/32(5 - 1~1>к(0, г2))) 5)а/г(0, г2) =
= X (тг(г;2,5) - ^(^2,5)--— ) • Д ((цк(0,г2) + + аг))-(^(0,22) + аг)"1 Д(аг^ап)
1=1 4 Р2Х2 ' з=1 пф1
Но
N
П>#> ^з) + аг) • Д (щ - ап)-1 = с1щр2г2.
з=1 п^г
Значит,
(1 - 22"1/32(5 - цк(0, г2))) ■ -у2к)(г2, я) ■ ак(0, г2) =
= X \ 2'5) ~ ] • ДСмПМг) + а.,-) • С1щр2г2. (19)
г=1 ^ Р2%2 /
Положим
ЛГ ЛГ
в) = ¿0 • С1щр2г2 ■ Д(/х*(0, г2) + а:1).
1=1 зф1
Тогда (19) можно записать в виде
(1 - 22"1/32(5 - /х*(0, г2))) • 72^(^2, «) • «/г(0, 22) = «) - ек(г2, в) • ^(¿2, «). (20)
Из (20) следует, что для любого ] = 1,..., N
Н 1 - - //¿(Мг)) аД0,22) ек(г2,в) Ъ
ек(*2, ¿0 ' «) - ej(z2, в) • «) 1
е*(г2,в) • (1 - - /^(0,22))) аД0,г2)
Напомним, что
а
Из (20) и (21) находим
(п (1 - - МО,*>» +ЕЦ(1-- «(О,.)» ■ • $$
I—1 з — 1
х о* (О, г2) ■ 72/г)(^2, в) = Д (1 - 22_1/32(5 - /ц(0, г2))) х
(21)
1 + Е
1фк
N
I — Я — // .III Г« Н Р.-| ГП I
^(22,3)"
1 - /02(в - ^'(0, г2)) 6^(^,5) 1
N
( Ч у^ 1 - р2(в - Цз(0,г2)) _1_\
Подставляя в (22) z2 = Ск(^), к = 1,..., N, получаем систему линейных уравнений для определения Pqi(S)--
N
Е
i=i
(
N
(s + щ) -Wkl(s) -
N ч
П (i>mk(s) + а,у)
тп= 1
V
и=1
п (а„ - щ)
гфу
N
•arPoi(s) = ^2crarwki(s), k = l,...,N. (23)
i=i
Таким образом нами доказана следующая теорема. Теорема. Функция р(г 1,-22,5) определяется по формуле
, ч srf /ч. srf1 - Pi(s - z2)) 7i (zi,z2,s)
, 1 - - Hk(0,z2)) J2k)(z2,s)
k=1
8-цк( 0,г2) /^(0, .г2) + а-,-
гс>е функции poj(s) находятся из системы линейных уравнений (23), а функции 7^(^1,^2,5) « 7^(22,5) из соотношений (11), (16) и (22).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ушаков В.Г. Система обслуживания с эрланговским входящим потоком и относительным приоритетом// Теория вероятн. и ее примен. 1977. 22. С. 860-866.
2. Матвеев В.Ф., Ушаков В. Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Ушаков В.Г. Аналитические методы анализа системы массового обслуживания С/|Сг|1|оо с относительным приоритетом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1993. № 4. С. 57-69.
4. Ушаков В. Г. О длине очереди в однолинейной системе массового обслуживания с чередованием приоритетов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1994. № 2. С. 29-36.
Поступила в редакцию 7.09.11
ON A QUEUE LENGTH IN THE QUEUEING SYSTEM WITH PREEMPTIVE PRIORITY AND HYPEREXPONENTIAL INPUT STREAM Ushakov A. V., Ushakov V. G.
Queue lengths generating functions in a single-channel queueing system with preemptive repeat-different priority and recurrent hyperexponential input stream are found.
Keywords: preemptive repeat-different priority, hyperexponential input stream.
