CC BY
11
УДК 519.21
В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков2
О ДЛИНЕ ОЧЕРЕДИ В СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ЭРЛАНГОВСКИМ ВХОДЯЩИМ ПОТОКОМ*
В работе изучается одноканальная система обслуживания с эрланговским входящим потоком и случайными интервалами недоступности прибора при освобождении системы. Найдено нестационарное и стационарное распределения длины очереди.
Ключевые слова: однолинейная система обслуживания, длина очереди, эрланговский входящий поток, блокировка прибора.
1. Введение. В современной теории массового обслуживания большое внимание уделяется анализу систем, в которых режим работы обслуживающего прибора изменяется, если длина очереди удовлетворяет заданным ограничениям. Наиболее изученным и важным для приложений является случай, когда при освобождении системы обслуживающий прибор на случайное время становится полностью или частично недоступным. В работах [1-3] можно найти множество постановок задач, описание различных приложений и обширную библиографию.
В настоящей работе исследуется длина очереди в нестационарном режиме в однолинейной системе с ожиданием и эрланговским входящим потоком. Аналогичная система обслуживания с пуас-соновским потоком была исследована в [4].
2. Описание системы. Предварительные результаты. Рассматривается однолинейная система массового обслуживания с ожиданием, в которую поступает эрланговский поток, т. е. рекуррентный поток требований с функцией распределения интервалов между поступлениями
1 Факультет ВМК МГУ, проф.; Институт проблем информатики ФИЦ ИУ РАН, ст. науч. сотр., д.ф.-м.н., e-mail: vgushakovQmail.ru
2 Department of Mathematical Sciences, Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, Norway, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ushakovQmath.ntnu.no
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-07-02354.
к
t > 0, щ > 0, % = 1,..., к.
Заметим, что интервалы времени между поступлениями требований эрланговского потока можно представить в виде £1 + ... + где ¿л.....¿д. независимы и имеют экспоненциальные распределения с параметрами (ц,...,^ соответственно. Возможна следующая интерпретация поступления требований эрланговского потока. Рассмотрим вспомогательный марковский процесс с состояниями 1,... ,к, время пребывания которого в состоянии г имеет экспоненциальное распределение с параметром щ. После истечения времени пребывания процесса в состоянии г он переходит в состояние г + 1 при г < к и в состояние 1 при г = к. Будем считать, что требования в систему поступают в момент перехода процесса ] из состояния к в состояние 1.
Длительности обслуживания — независимые в совокупности случайные величины с функцией распределения В(х). Если система в некоторый момент времени освободилась от требований, то прибор случайное время с функцией распределения С(х) становится недоступным для обслуживания. Если за это время поступает хотя бы одно требование, то после завершения интервала недоступности прибора начинается обслуживание требований. Если же ни одно требование не поступает, начинается новый период недоступности прибора. Не ограничивая общности, будем предполагать, что у функций распределения В(х) и С(х) существуют плотности Ь(х) и с(х) соответственно. Кроме того, пусть при всех х справедливы неравенства В(х) < 1, С(х) < 1. Сделанные предположения не влияют на окончательные результаты, но упрощают их получение.
Введем следующие обозначения: Ь{Ь) — число требований в системе в момент времени Ц 1, если в момент £ происходит обслуживание,
10, если в момент t прибор недоступен для обслуживания; x(t) — время с начала обслуживания требования до момента i, если i>(t) = 1, и время с начала интервала недоступности прибора, если i>(t) = 0. Положим
д
Pj(n,x,t) = —P(L(i) =n, j(t) = j, v(t) = 1, x(t) < x), д
Qj(n,x,t) = — P(L(t) = n, j(t) =j, v(t) = 0, x(t) < x),
00
b(x) c(x)
1 - C{xY
в) = I е^Е^« ей, ф) = Ф) =
о
оо сю сю сю
Ж.>-/«-«Н»)Л, 7(.) = /.~ф,)*,. А-/-«*. »-/-И
0 ООО
°° оо оо
= / е~зг х, I) сИ, qj(z,x,s) = / е~зг ^^ znQj(n,x,t) сИ.
п=1 ^ п=о
Будем предполагать, что выполнены следующие начальные условия:
РДп, ж,0) = 0, Qj(n,x,0) = 6nto6jtld(x), х > 0, 3 = ... ^к^ п = 0,1,..., (1)
где — символ Кронекера, а й{х) — плотность распределения неотрицательной случайной величины. В дальнейшем нам потребуются следующие леммы.
Лемма 1. Пусть для 1 ^ г ^ к функции АДг) — непрерывные решения уравнения
к
Д(А + О? ) / Ог =
г= 1
Тогда одна и только одна функция А¿(z) обращается в нуль в точке z = 1 и при любых z, \z\ ^ 1, выполняются неравенства ReAj(z) ^ 0, 1 ^ г ^ к.
Нумерацию функций Aj(z) выберем так, чтобы Ai(l) = 0.
Л е м м а 2. При каждом т, 1 ^ т ^ к, уравнение z = jd(s — A(z)) имеет единственное решение z = zm(s), аналитическое в области Res > 0.
12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3
Положим
к-1
П а1 к к-1 а л ,,
ат{я) = \rnizmis)),, = —-—-, = ---'
ЕПМ^ + аг) щ
Р=1 1фу
сю сю сю сю
*(*) = [ е- & [ х{8) = [ ^ [ + ^
7 7 1- С (и) 7 7 1 - С'(и)
0 0 0 0
3. Основные результаты. Основные результаты работы составляют приводимые ниже теорема и следствие из нее.
Теорема. Функция р(г, в) определяется по формуле
= > тга гСт г - 1 - \ / \---а(-\ { -1-ГТ\Х
ПАт(г) - [ ( , , ф(з - Ат(г)) 1 - - Ат(г))^
х
уфг
Доказательство. Функции х, I) и (¿^(щх^) удовлетворяют следующим системам
дифференциальных уравнений:
дР3(щх,г) + дР3(п,х^) = + (1 - +
+ - 6пА)акРк(п-1,х,г), ] = 1 п = 1,2,..., (2)
+ = + <р(х))<?,(п,М) + (1 - ¿„к; .("••'••0+
+ - 6п,о)акС2к(п - 1,х,1), ] = 1,...,к, 71 = 0,1,..., (3)
и краевым условиям
сю сю
РДтг, 0, = J Рз(п + 1,х,1)г1(х) йх + J Qj(n,x,t)<p(x) ёх, п = 1,2,..., (4)
о о
сю сю
<3^(0,0, = J Pj(l,x,t)r)(x) ¿х + ! Qj(0,x,t)<p(x)dx, Qj(n,0,t) = 0, п = 1,2,.... (5)
(6)
о
Из (1)-(5) получаем
—3 дх '— = -(в + ау + г](х))р:1(г,х,8) + (1 ^Л/л)»./ И>] I (-• .г, .ч) + 6^акгрк(г, ж, «),
—3 дх '— = -(« + + ^(х^д:)^^^) + (1 - + 6:)Л(акгдк(г,х,8) + (¿(ж)),
(7)
сю сю
Pj(z, 0, «) = Jр:)(х,1х,18)г!(х) ёх + J qj(z,x,s)<p(x) ¿х — qj(s). (8)
о о
Здесь
сю сю сю
qj(s) = qj(z,0, в) = ! qj(0,x, 8)(р(х) ёх + ^ ^ ^(1, х, ^г](х) ёхсИ. О 0 0
Решения (6) и (7) имеют вид
к к-1
ф, х, в) = (1 - В(х)) £ П а?+1 +аЛта(г)7(та)(., (9)
т= 1 1=] 0,1
ф, х, 8) = ( 1 - ОД) ^ Д аг+1 + Лта(г) (С™(^)Я(Ж, г) + 8)) , (10)
т= 1 1=з 0,1
х
тт( \ [ (1{и) (я—А (г))и л
о
Для нахождения функций 7(то)(г:, «), 8), qj(s) используем уравнение (8). Подставляя (9) и (10)
в (8), получаем
£ П аг+1+а;Лта(г)((1 - - Ы*))) 7(то)(^ + (1 - - Ы*))) 5<™>(*, *)-
-СтСг#(« - АшСг))) = 0, 3 = 1,..., к.
а/
то=1 l=j 1
Отсюда найдем Подставим
в полученное выражение % — zm(s). Тогда, в силу леммы 2 будем иметь
к-1
*->(*■(.),.) = , . , '-'"'-. (И)
1-7(»-от(я)) £ П(ат(8) + 01)
Заметим, что из (10) следует равенство
к к-1
= Е П аг+1^ЛтаС^(та)(^)-
Таким образом,
ai
т= 1 l=j 1
к-i i-i fc П av П {Kn(z) + щ)
,) = E gi^'l -• (12)
i=1 ЕП(А™(^) + аг)
и=11фр
Подставляя в (12) z = zm(s), получаем
fc-i j-i к П av П («m(«) + al)
= 1=1-. (13)
i=1 Е n(«mW + tti)
v=l1фу
Сравнивая (11) и (13), получаем систему линейных уравнений для qj(s):
¿n^^)-,!^,)- (14)
13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 3
к j 1 g -J- dj
Рассмотрим многочлен Tk-i(z) = X) П -Qj(s)- Учитывая (14), будем иметь
j=1г=1 Щ
M = Y^ i/>{s-ai(s)) ,г z-av(s) Ik~l[Z) ¿i 1 - 7(s- щ(8)) П щ(8) - Ms)'
Отсюда и из (12) получаем
^ 1 - 7(s - ai(s)) ^ ai(s) - au(s) Для завершения доказательства теоремы заметим, что
к 00 v^ f
p(z,s) = 2_^ / {pj(z,x,s) + qj(z,x,s)) dx. ■> = 1 0
-1
Следствие. Если выполнены условия 71 < +00, р = ß\ ^ ^ а^ ) < 1, то существует предел lim причем
t—>оо
(1-р)(1-г) ^ 1-7(-Ат(г)) /3(-Ат(г)) па, 0 - А«, г
^ = --Ста(^ ----д/ , , • II -77ТТ-•
Существование предела р(г) при 71 < +оо и р < 1 следует из теорем об эргодичности марковских и регенерирующих процессов (см. [5, 6]). При этом р(г) = «). Таким образом,
формула для р(г) получается из теоремы и лемм 1 и 2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Doshi В.Т. Queueing systems with vacations — a survey // Queueing Syst. 1986. 1. P. 29-66.
2. Li J., Tian N., Zhang Z.G., et al. Analysis of the M\G\\ queue with exponentially working vacations — a matrix analytic approach j j Queueing Syst. 2009. 61. P. 139-166.
3. Bouman N., Borst S.C., BoxmaO.J., et al. Queues with random back-offs // Queueing Syst. 2014. 77. P. 33-74.
4. Takagi H. Time-dependent analysis of M\G\\ vacation models with exhaustive service j j Queueing Syst. 1990. 6. P. 369-390.
5. Боровков A.A. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: Эдиториал УРСС, 1999.
6. Foss S. G., Kalashnikov V. V. Regeneration and renovation in queues // Queueing Syst. 1991. 8. P. 211-223.
Поступила в редакцию 23.11.15
ON A QUEUE LENGTH IN THE QUEUEING SYSTEM WITH ERLANGIAN INPUT STREAM Ushakov V. G., Ushakov N. G.
The single-channel queueing system with the Erlangian input stream and the random intervals of the inaccessibility of server is studied. The nonstationary and stationary distribution of queue length is found.
Keywords: The single-channel queueing system, queue length, Erlangian input stream, the server blocking.
