CC BY
7Доказательство. Утверждение интегральности идеала равносильно отсутствию констант в факторе. Докажем, что во всей алгебре А(Ут) нет констант. Пусть константа есть, обозначим ее через С. Без ограничения общности можно считать, что в нее входит образующая типа £0. Тогда достаточно рассмотреть старшую производную образующей указанного типа, пусть это £0. Но тогда в С' будет несократив-шийся член при П
Автор приносит благодарность А. И. Зобнину за полезные обсуждения и научному руководителю Ю.П. Размыслову за постановку задачи и внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Levi H. On the structure of differential polynomials and their theory of ideals // Trans. Amer. Math. Soc. 1942. 51. 532-568.
2. Ritt J.F. Differential algebra // Colloquium Publ. Vol. XXXIII. N.Y.: Amer. Math. Soc., 1950.
3. O'Keefe K.B. A property of the differential ideal [yp] // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. 94. 483-497.
4. Зобнин А.И. Допустимые упорядочения и стандартные базисы дифференциальных идеалов: Канд. дис. М., 2007.
5. Зобнин А.И. Дифференциальные стандартные базисы при обратных лексикографических упорядочениях // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 4. 121-135.
6. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. М.: Наука, 1979.
7. Ferrero M., Kishimoto K, Motose K. On radicals of skew polynomial rings of derivation type //J. London Math. Soc. 1983. 28. 8-17.
Поступила в редакцию 12.11.2012
УДК 511
МНОГОКАНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ
А. В. Ткаченко1
Рассматривается многоканальная система обслуживания с неидентичными приборами и регенерирующим входящим потоком в случайной среде. Эта среда может выводить из строя всю систему, которая затем восстанавливается. Установлено необходимое и достаточное условие эргодичности системы.
Ключевые слова: многоканальная система обслуживания, регенерирующий поток, случайная среда, эргодичность, стохастическая ограниченность.
This paper is focused on the multichannel queueing system with heterogeneous servers and regenerative input flow operating in a random environment. The environment can destroy the whole system and the system is reconstructed after that. The necessary and sufficient ergodicity condition of the system is obtained.
Key words: multichannel queueing system, regenerative input flow, random environment, ergodicity, stochastic boundedness.
1. Введение. Изучению различных задач, связанных с функционированием стандартных многоканальных систем обслуживания, посвящено множество работ (см., например, [1-14]). Также большое внимание уделялось исследованию многоканальных систем с ненадежными приборами (см. обзор литературы в [5] и [15]). В значительной мере это связано с широким спектром приложений в самых различных областях: компьютерные системы, коммуникационные сети, супермаркеты, аэропорты и т.д.
Одна из важнейших проблем теории очередей — выяснение условий существования предельных распределений (условий стабильности) процессов, описывающих функционирование систем обслуживания (см. [2, 4, 9, 10, 12-14]).
1 Ткаченко Андрей Викторович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, преподаватель каф. математической экономики НИУ "Высшая школа экономики", e-mail: [email protected].
В статье рассматривается система G\G\r с регенерирующим входящим потоком и неидентичными приборами, функционирующая в случайной среде. Эта среда может выводить из строя всю систему, которая затем восстанавливается. Класс регенерирующих потоков весьма широк и включает в себя значительную часть процессов, обычно используемых в теории очередей. Цель предпринятого исследования — установить необходимое и достаточное условия эргодичности такой многоканальной системы. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы с помощью метода склеивания (coupling) оценить число требований в рассматриваемой системе через процессы стандартной многоканальной системы, для которых могут быть применимы эргодические теоремы из [2].
2. Регенерирующий поток и его свойства. Предположим, что на вероятностном пространстве (Q, F,P) определен случайный процесс X(t), принимающий целочисленные значения и имеющий непрерывные слева неубывающие траектории, X(0) = 0. Такой процесс будем называть потоком.
Определение 1. Поток X(t) является регенерирующим, если существует возрастающая последовательность случайных величин {вг, i ^ 0},во = 0, такая, что последовательность
= {X(в— +1) - X(в—), вг - вг— 1, t е [0, вг — вг-1)}Т=1
состоит из независимых, одинаково распределенных случайных элементов на (Q, F,P).
Случайную величину в г назовем i-й точкой регенерации, а тг = в г — вг— i — i-м периодом регенерации (i = 1, 2,...). Пусть = X(вг) — X(вг—i) — число требований, поступивших в систему за i-й период
X(t)
регенерации. Предположим, что ц = Eri < оо, а = Е< оо. Тогда существует Л = lim^oo —^ = ^ почти наверное [1] и Л называется интенсивностью входящего потока.
Регенерирующий поток обладает рядом полезных свойств. Остановимся на одном из них, которое будет использовано в дальнейшем.
Свойство 1. Обозначим через tn момент поступления n-го требования. Тогда Zn = tn — tn-i — интервал между поступлениями n-го и (n — 1)-го требований. Пусть d = Н.О.Д.{j : P{£n = j} > 0}. При d = 1 последовательность {Zn+k}fc=i слабо сходится к стационарной последовательности {Zk}fc=i и E(n ^ Л-1 при n ^ж.
3. Система RegjGjrj^. Так мы будем обозначать систему обслуживания S с r приборами и регенерирующим входящим потоком X(t). Все приборы занумерованы, и поступившее требование направляется на любой из свободных приборов с равной вероятностью, когда таковой имеется. Если все приборы заняты, то требование встает в общую очередь. Времена обслуживания — независимые случайные величины, не зависящие от входящего потока. Требования, обслуживающиеся на одном приборе, имеют одинаковое распределение времен обслуживания. Таким образом, каждый прибор характеризуется последовательностью независимых времен обслуживания г/W = {г]^}^(г = 1, г) с функцией распределения Bi(x) и математическим ожиданием f3-i.
Введем случайный процесс W(t) = (Wi(t),..., Wr(t)), где Wг(t) — время от момента t до момента, когда i-й прибор освободится от обслуживания требований, пришедших раньше t. Процесс W(t) является регенерирующим. Последовательность его точек регенерации {вn}£=i — подпоследовательность {в„_, для которых W^n — 0) =0.
Определение 2. Случайный процесс Y(t) стохастически ограничен, если для любого е > 0 существуют y = (yi,..., yr) < ж и to < ж, такие, что при t > to выполняется неравенство P{Y(t) < y} > 1 — е.
Определение 3. Случайный процесс Y(t) сильно стохастически не ограничен, если для любых е > 0 и У = (yi,..., yr) < ж существует число to < ж, такое, что при t > to выполняется неравенство P{Y(t) ^ у} > 1 — е (имеются в виду покоординатные неравенства).
Пусть для некоторого г = 1,г выполнено неравенство
P{6 = 0} + P{6 = 1, Ti — ti >ni} > 0 (1)
и распределение Ti содержит абсолютно непрерывную компоненту. В работе [2] доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Если выполнено условие (1), то из стохастической ограниченности процесса W(t) следует его эргодичность. Если процесс W(t) неэргодичен, то он сильно стохастически не ограничен.
Теорема 2. 1. Если выполнено условие (1) и р = R < 1, то процесс W(t) эргодичен;
2.^1=1 Pi
2. При р > 1, а также при р =1 и дополнительных условиях, выполненных для некоторого 5 > 0:
EtI+s < оо, Eg+S < оо, Е(г]i)2 < оо, i = Т~г, (2)
процесс W(t) сильно стохастически не ограничен.
Пусть д(Ь) — число требований в системе. Важно отметить, что стохастическая ограниченность (сильная стохастическая неограниченность) процесса W(t) влечет стохастическую ограниченность (сильную стохастическую неограниченность) процесса д(Ь) и наоборот.
4. Система в случайной среде. В данном разделе рассмотрим систему с регене-
рирующим входящим потоком X(Ь) и г приборами, аналогичную описанной в п. 3. Однако теперь будем предполагать, что данная система работает в случайной среде. Пусть {.з^}^! — последовательные моменты времени, когда система выводится из строя случайной средой, и {в^— последовательность моментов восстановления системы, где 0 = < < з2 < .... Положим
ип вп - вп-1, ип вп - 8п, п 1, 2,... ,
где {ипи {ип— независимые последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин, не зависящие от X(Ь) и времен обслуживания. Обозначим Ог(х) = Р{игп ^ х}, аг = Еигп, г = 1,2. Таким образом, система функционирует в обычном режиме в интервалах времени ип и восстанавливается в интервалах ип. Мы предполагаем, что величины ип распределены по показательному закону. Если обслуживание требования было прервано из-за поломки системы, то после ее восстановления требование возвращается на тот же прибор и продолжает обслуживание.
Пусть д(Ь) — число требований в системе в момент Ь. Для нахождения условия эргодичности построим вспомогательные процессы д(1 (Ь) и д(2 (Ь). Пусть
^(Ь) = 8ир{й : Б{ ^ Ь}, г = 1, 2, N(Ь) = 8ир{й : Бк ^ Ь},
где Бк = к=1 и^, г = 1, 2, Бк = Бк + Б2. Определим д(1)(Ь) и д(2) (Ь) следующим образом:
д(1)(Ь) = д(Ь + Б2мт), д(2)(Ь) = д(Ь + Б^).
Другими словами, процесс д(1^(Ь) получается из процесса д(Ь) исключением промежутков времени, когда система находится в нерабочем состоянии, и склеиванием каждого момента выхода из строя системы со следующим моментом ее восстановления. Процесс д(2)(Ь) строится аналогичным образом, только здесь исключаются промежутки, когда система находится в рабочем состоянии. Чтобы выразить д(Ь) через д(1)(Ь) и д(2^(Ь), введем событие
С = и {Ь е {з2п-1,в1п) }
п=1
и случайные величины
Гг = (Ь - Б2(г))l(Cг), Г; = (Ь - и2(г)+1 - Б2(г))1(С).
Событие Сг означает, что система находится в рабочем состоянии в момент Ь. Теперь можем записать следующее равенство для д(Ь):
д(Ь) = д(1 Г + в'МС) + д(2 Г + Б2)1(Сг).
Вычитая из обеих частей д(1 (тг + , получаем
д(Ь) - д(1) Г + Б^) = (д(2) Г + Б2т) - д(1 + )) 1(Сг) = V(Ь) • т).
Лемма. Если > 0 для всех г = 1, г, то процесс = д(-2-) (г4* + ~ + ^л^))
хастически ограничен.
Доказательство. Заметим, что д(1 (Б^^ +0 = д(2 (г) - 0), поэтому
IV(Ь)\ < д(1)(гг + Б2(г)) - д(1) Бщг) +0) + д(2) Г + Б2т) - д(2) (Б2т - 0) = у1(Ь)+у2(Ь).
сто-
Очевидно, что
у1(Ь) < х(п + Б1т) - х(Б1т) + £ (У(Гг + Б1т) - ЩБ1т)) ,
г=1
г
у2(Ь) < X(г; + Б2т) - X(Б2т) + £ ЫГ + Б2т) - Уг(Б2т)
г=1
56
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2014. № 1
где Уг(Ь) — число требований, которое может обслужить г-й прибор за время Ь в условиях полной загрузки. Поскольку тг — величина недоскока процесса с конечным средним временем между восстановлениями, то эта случайная величина имеет собственное распределение при Ь — со. Аналогично и является собственной случайной величиной. Поскольку ¡3~1 > 0 для всех г = 1, г, и г^ — собственные случайные величины и Уг(Ь) — простой процесс восстановления, то третье слагаемое в правой части (3) стохастически ограничено. В силу свойства сходимости интервалов между поступлениями требований регенерирующего потока к стационарной последовательности (свойство 1), примененного для потока X (Ь), слагаемое X (т£ + ^2(4}) _ X) в правой части (3) также стохастически ограничено, а значит, стохастически ограничена и У(Ь).
Теорема 3. 1. Если выполнено условие (1), распределение т\ содержит абсолютно непрерывную
компоненту и р = ^ < 1, где А = Ла, то процесс <?(£) эргодичен.
2. При р > 1, а также при р = 1 и дополнительных условиях (2), выполненных для некоторого 5 > 0, процесс д(Ь) неэргодичен.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную т-канальную систему обслуживания, которая работает бесперебойно и входящий поток которой определяется следующим образом:
X(í) = X (Ь +
Тогда д(1) (Ь) — число требований в этой системе. Заметим, что процесс X(t) является регенерирующим. Действительно, рассмотрим только те моменты регенерации потока X(Ь), которые попадают в рабочие промежутки времени системы, т.е. в*п = ш\п{вк > 1 : 1(С) = 1}, = 0. Поскольку иП имеет показательное распределение, то в*п — точки регенерации X(Ь). В качестве точек регенерации процесса X(t) возьмем вп = в*п — $2(д*}, и тогда X(вп) = X(в*п). Используя закон больших чисел для процессов восстановления, находим интенсивность входящего потока XX (Ь)
д = „ш т = „ш и1+т.1 „А ^ = Л2!±*
г^ж Ь г^ж 1 1 ь ^(ь) ^ 3 а1
Если (3~1 = 0 для некоторого г = 1 , г, то <?(£) ^ (ХХ(Ь) — Х^Б^^) + ^(»+1)) 1(Сг) п.н., а значит, <?(£)
стохастически ограничен и по теореме 1 эргодичен. Пусть ¡3~1 > 0 для всех г = 1,г. Тогда в силу леммы процессы д(Ь) и д(1} (Ь) стохастически ограничены (сильно стохастически не ограничены) одновременно, а значит, по теореме 1 условия их эргодичности (неэргодичности) совпадают. Заметим, что выполнение условия (1) для исходной системы 5 влечет выполнение аналогичного условия для системы Б, поскольку время бесперебойной работы системы имеет распределение, сосредоточенное на [0, с). Таким образом, при условии (1) применима теорема 2 для вспомогательной системы, где в качестве коэффициента загрузки
следует рассматривать р = Д . Отсюда сразу вытекает условие эргодичности процесса д*-1^).
¿-¡1= 1
Автор выражает глубокую признательность профессору Л. Г. Афанасьевой за постановку задачи и полезные обсуждения.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 13-01-00653.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Афанасьева Л.Г., Белорусов Т.Н. Предельные теоремы для систем с нетерпеливыми клиентами в условиях высокой загрузки // Теор. вероятн. и ее примен. 2011. 56, № 4. 788-796.
2. Афанасьева Л.Г., Ткаченко А.В. Многоканальные системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком // Теор. вероятн. и ее примен. 2013. 58, № 2. 210-234.
3. Боровков А.А. Некоторые предельные теоремы теории массового обслуживания. II (многоканальные системы) // Теор. вероятн. и ее примен. 1965. 10, № 3. 409-436.
4. Фосс С.Г. Об условиях эргодичности в многоканальных системах массового обслуживания с ожиданием // Сиб. матем. журн. 1983. 24, № 6. 168-175.
5. Печинкин А.В., Соколов И.А., Чаплыгин В.В. Многолинейная система массового обслуживания с групповым отказом приборов // Информ. примен. 2009. 3, № 3. 4-15.
6. Foss S., Korshunov D. Heavy tails in multi-server queue // Queueing Syst. 2006. 52, N 1. 31-48.
7. Halachimi B., Franta W.R. A diffusion approximate solution to the G/G/K queueing system // Comp. Oper. Res. 1977. 4, N 1. 37-46.
8. Iglehart D.L., Whitt W. Multiple channel queues in heavy traffic. I // Adv. Appl. Prob. 1970. 2, N 1. 150-177.
9. Kendall D.G. Stochastic processes occurring in the theory of queues and their analysis by the method of the imbedded Markov chain // Ann. Math. Stat. 1953. 338-354.
10. Kiefer J., Wolfowitz J. On the theory of queues with many servers // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. 78, N 1. 1-15.
11. Kollerstrom J. Heavy traffic theory for queues with several servers. I // J. Appl. Prob. 1974. 11. N 3. 544-560.
12. Loynes R.M. The stability of a queue with non-independent inter-arrival and service times // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 1962. 58, N 3. 497-520.
13. Morozov E. The stability of a non-homogeneous queueing system with regenerative input //J. Math. Sci. 1997. 83, N 3. 407-421.
14. Sadowsky J.S., Szpankowski W. The probability of large queue lengths and waiting times in a heterogeneous multiserver queue I: tight limits // Adv. Appl. Prob. 1995. 27, N 2. 532-550.
15. Krishnamoorthy A., Pramod P.K., Chakravarthy S.R. Queues with interruptions: a survey // TOP. 2012. 1-31.
Поступила в редакцию 19.12.2012
УДК 517.521.7
О ВЗАИМОСВЯЗЯХ МЕТОДОВ ВОРОНОГО С. А. Степанянц1, И. В. Хахинов2
В статье рассматриваются методы суммирования Вороного; изучаются вопросы включения методов, производящие функции которых отличаются линейным множителем.
Ключевые слова: методы Вороного, абелевы теоремы, тауберовы теоремы.
Voronoi means with generating functions, which differs on linear factor, are discussed.
Key words: Voronoi means, abelian theorems, tauberian conditions.
1. Введение. Основные определения. В данной работе рассматриваются методы суммирования Вороного числовых рядов. Везде далее, если не оговорено противное, {an}+=0 — последовательность действительных чисел; ^ an — соответствующий ей ряд (когда пределы суммирования не указаны, мы считаем, что оно производится от 0 до Пусть О и Л — методы суммирования числовых рядов.
Суммируемость ряда ^ an к числу S методом О обозначается кратко: ^ an = S(О).
Будем говорить, что метод Л включается методом О (Л С О), если из того, что ^ an = S(Л), следует, что £ an = S(О). Будем говорить, что методы О и Л эквивалентны (О ~ Л), если имеют место оба включения Л С О и О С Л. Будем говорить, что метод О сильнее метода Л, если Л С О, но методы О и Л не эквивалентны. Вопросы включения методов являются одними из основных в теории суммирования рядов. Теоремы, устанавливающие прямое включение одного метода в другой, называются абелевыми.
Будем говорить, что условие R является тауберовым или Тл(О)-условием, если любой ряд ^ an, суммируемый методом О и такой, что {an} удовлетворяет условию R, будет суммируем и методом Л.
В качестве О и Л будем рассматривать методы суммирования Вороного (W,pn) и (W, qn). Определения и основные свойства методов Вороного можно найти в [1, § 4.1-4.5].
Приведем определение методов суммирования Вороного в удобном для дальнейшего использования виде.
Пусть pn ^ 0, ро > 0, Pn = Ро + Pi + ■■■ + Pn.
Ряд £ an называется суммируемым методом Вороного (W, pn) (за рубежом более известен как метод Нерлунда) к числу S (обозначение ^ an = S(W,pn)), если lim tn = S, где
_ Pn-% + Pn-iSi + • • • + PoSn _ Pna0 + Pn-idi + • • • + Pgdn
n — III — Г)
Ро + Pi + ... + Pn Pn
и Sn = ao + ai + ... + an [1, с. 88].
1 Степанянц Сурен Арменович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ , e-mail: [email protected].
2Хахинов Илья Вячеславович — нач. управления ООО «СК "Согласие"», e-mail: [email protected].
