CC BY
8из теории Морса О можно представить в виде клеточного комплекса, причем в этом представлении не будет одномерных клеток. Тогда фундаментальная группа О тривиальна. Требуемое доказано. В случае некомпактных групп Ли орбиты не обязаны быть односвязными.
Пример 2. Пусть © = БЬ(2,М), Ь € д, Ь = — регулярный элемент, порождающий орбиту
ХУ ) "
,г —х,
т.е. неодносвязна, ^(О) = Ъ.
x + yz = 1 >. Эта орбита гомеоморфна однополостному гиперболоиду x + yz = 1,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. Ижевск: Ижев. республик. типограф., 1999.
2. Subhash B. Linear Morse functions. Bombay: Indian institute of technology, 2009.
3. Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory. N.Y.: Springer-Verlag, 1978.
Поступила в редакцию 23.04.2010
УДК 519.21
ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕНАДЕЖНЫМИ ПРИБОРАМИ
И. В. Руденко1
Рассматривается двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами и конечным числом мест в буфере, расположенном между фазами. В работе показано, что данная система обслуживания может рассматриваться как система, функционирующая в случайной среде. Найдены условия эргодичности. В экспоненциальном случае получена асимптотическая форма коэффициента загрузки.
Ключевые слова: многофазные системы обслуживания, условие эргодичности, коэффициент загрузки.
A two-phase queueing system with a finite number of places in the buffer between the phases and unreliable servers is considered. It is shown that the queueing system can be interpreted as a queue functioning in a random environment. The ergodicity condition is found. The asymptotics of the traffic coefficient is obtained for the exponential case.
Key words: multiphase queueing systems, ergodicity condition, traffic coefficient.
1. Введение. Системы обслуживания с ненадежными приборами являются предметом исследования большого числа публикаций по теории очередей. Одной из ключевых в данном направлении является работа [1], в которой рассмотрена одноканальная система с ненадежным прибором при произвольном распределении времени обслуживания. В [1] найдено распределение времени до завершения обслуживания, получены условия эргодичности системы для различных способов обслуживания требований. Системы с ненадежными приборами в том или ином виде появляются и в современных исследованиях (см., например, [2-4]). При этом один из первых вопросов, которые приходится решать, состоит в отыскании условий эргодичности описывающих модель процессов. Изучению этих условий для цепей Маркова посвящена обширная литература (см., например, [5, 6]). Здесь мы рассмотрим двухфазную систему обслуживания с ненадежными приборами и конечным числом мест для ожидания в буфере между фазами. В этой модели двумерный процесс, задающий число требований на каждой фазе, не является марковским, и для анализа условий эргодичности потребовались иные подходы.
1 Руденко Игорь Викторович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: irudenkoMR@gmail.com.
2. Описание модели. Рассмотрим систему массового обслуживания, состоящую из двух последовательно соединенных одноканальных систем и 52. В поступает пуассоновский поток требований X(Ь) интенсивности Л, и число мест для ожидания не ограничено. Требования, обслуженные в 51, направляются в 52. Между 51 и 52 имеется буфер объема к, так что если все к мест заняты, то поступление требований в 52 (и стало быть, обслуживание в 51) прекращается до тех пор, пока не появится свободное место в буфере.
Приборы в 51 и 52 могут выходить из строя, при этом интервалы безотказной работы и времена восстановления приборов образуют независимые последовательности взаимно независимых, одинаково распределенных случайных величин, не зависящие от входного потока и времен обслуживания требований. Приборы выходят из строя и восстанавливаются независимо друг от друга. Времена безотказной работы и времена восстановления имеют распределение Эрланга с параметрами (¿1,^1) и ((¿2,72) соответственно. Выбор данного распределения обусловлен двумя причинами. С одной стороны, распределение Эрланга может быть хорошим приближением для широкого класса распределений. С другой стороны, случайная величина, распределенная по закону Эрланга с параметрами (й,^), может быть представлена в виде суммы й независимых случайных величин, распределенных экспоненциально с параметром 7. Используя это свойство, можно свести анализ системы к исследованию многомерной цепи Маркова.
Времена обслуживания требований в 51 и 52 образуют две независимые последовательности взаимно независимых случайных величин, экспоненциально распределенных с параметром V.
Пусть Лг(Ь) (г = 1, 2) — число требований в системе 51 в момент Ь. Нас интересуют условия существования собственного предельного распределения двумерного процесса (А1 (Ь),А2(¿)), который в силу сделанных предположений не является марковским.
3. Вспомогательные функции. Для каждого прибора определим вспомогательные функции е%{Ь), щ(Ь) (г = 1, 2), которые понадобятся нам в дальнейшем. Положим е^Ь) = 1, если в момент времени Ь г-й прибор находится в рабочем состоянии, ег(Ь) =0 в противном случае. Пусть {¿П}^=о ({¿П}га=о) есть последовательность моментов времени, в которые происходит восстановление (поломка) первого прибора, и
0 = Ь0 <А < ¿1 <...<ЬГ < Ь$+1 < ....
Поскольку случайная величина = ¿^+1 — А (п(А) = А — распределена по закону Эрланга, она представима по распределению в виде суммы ¿1 (¿2) независимых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром 71 (72):
е(А) = А+1—а = еА +...+{п{3) = ^—А = ) +... + .
Для интервала положим щ^) = I, I € если ^ ^ £ — ^ < Для интервала Щ,^)
8=1 8=1
__1-1 ,Л I
положим = 1,1 € 1, (¿2, если ^ щ ^ £ — Ц < ^ щ .
8=1 А 8=1
Аналогичным образом определяется функция щ(Ь) для второго прибора. Ясно, что щ(Ь) — номер соответствующей фазы распределения Эрланга.
4. Стохастическая ограниченность для систем массового обслуживания в случайной среде. В этом пункте приводятся результаты работы [7] для циклических систем массового обслуживания, функционирующих в случайной среде. Эти результаты позволяют установить условия эргодичности рассматриваемой системы.
4.1. Циклические системы массового обслуживания. Рассмотрим систему массового обслуживания с одним прибором и неограниченным числом мест для ожидания (система Я). Пусть на вероятностном пространстве (О, Т, V) определены два неотрицательных измеримых процесса X(Ь) и У(Ь), все траектории которых — неубывающие непрерывные слева функции. Процесс X(Ь) представляет собой количество работы, поступающей в систему Я за время [0,Ь), а У(Ь) — количество работы, которое она может выполнить за то же время. Пусть Ш(Ь) — остаточное количество работы в системе в момент Ь. При Ш(0) = 0 справедлива формула (см., например, [8])
Ш(Ь) = Z(Ь) — И^(у), 0 < у<Ь}, (1)
где Z(Ь)= X (Ь) — У(Ь).
Пусть {Тп}^=1 — неубывающая последовательность неотрицательных случайных величин, определенных на (О, Т, V), и (к = Тк — Тк-1, То = 0 (к = 1, 2,...). Обозначим через 1а(Ь) индикатор множества
А и введем следующие функции:
4(г) = 1[о,Ск](£), Ык(г) = [X(тк-1 +г) — х(тк-1)] ■ бк(г), ук (г) = [у (Тк-1 + г) — у (Тк-1)] ■ 5к (г), вк (и) = К (г),Ук (г),(к ,г > о].
Определение 1. Если последовательность случайных элементов {вкстационарна и метрически транзитивна, а также
Е(1 < ж, Еы1((1) < ж, Еу1 ((1) < ж,
то систему Я будем называть циклической. Положим р = = \¥(Тп - 0).
Теорема 1. Пусть Я — циклическая система массового обслуживания. Если р > 1, то
Р Р
ш(г)-► ж и шп-► ж.
г—п—
Если р < 1, то процессы {Ш(г), г ^ 0} и {Шп, п = 1, 2,...} стохастически ограничены.
4.2. Циклические системы в случайной среде. Предположим теперь, что на вероятностном пространстве (О, Т, V) определен непрерывный слева случайный процесс {X(г), г ^ 0} со значениями в топологическом пространстве (М, ), где — ст-алгебра открытых множеств.
Определение 2. Будем говорить, что циклическая система Я функционирует в случайной среде X(г), если Тк — марковский момент относительно процесса X(г) (к = 1, 2,...) и выполнены следующие условия:
1) последовательность случайных элементов {вк(и), X(Тк-1 + г)' $к(г)}к=1 стационарна и метрически транзитивна;
2) условные математические ожидания X (г) и У (г) удовлетворяют соотношениям
г г
Е(Х(г)\х(у), о < У < г) = у / (X(у))йу, Е(У(г)\х(у), о < у < г) = ^<р(.х(у))йу,
0 0
где / и ф — непрерывные и ограниченные функции на N.
Следствие. Предположим, что циклическая система Я функционирует в случайной среде X(г) и Р{X(г) € А} п(А) при г ^ ж, где п — вероятностная мера. Тогда коэффициент загрузки системы определяется равенством
Р~МШ (2)
р " ЕМХ) • {2)
5. Условия эргодичности. Нам понадобится понятие дважды стохастического пуассоновского процесса (см., например, [9]).
Определение 3. Пусть на вероятностном пространстве (О, Т, V) задан случайный процесс Л(Ь), имеющий с вероятностью 1 неубывающие непрерывные справа траектории, и на том же вероятностном пространстве задан стандартный пуассоновский процесс {УУ^(^), 5 ^ 0}, не зависящий от Л(Ь). Тогда дважды стохастический пуассоновский процесс {У(Ь),Ь ^ 0} определяется случайной заменой времени по формуле У (г) = У(Л(г)).
г
Если Л(г) = [ \(п)йп, где {Х(Ь,ш),Ь ^ 0} — неотрицательный и ограниченный с вероятностью 1 слу-0
чайный процесс, то Х(г) называется случайной интенсивностью дважды стохастического пуассоновского процесса {У(Ь),Ь ^ 0}.
Пусть У1(г) — дважды стохастический пуассоновский процесс со случайной интенсивностью ту^Ь) = иХ{А2(г) < к,в1(г) = 1}, У2(г) — дважды стохастический пуассоновский процесс со случайной интенсивностью У2(г) = VТ{в2(г) = 1}. Будем считать, что обслуживание требования, стоящего в момент времени г первым в очереди на г-м приборе (если очередь непуста), заканчивается в момент следующего скачка процесса У^г). При этих предположениях о процессе обслуживания для числа требований в системе верна формула, аналогичная формуле (1) для остаточной работы. Это позволит нам использовать результаты, приведенные в п. 4, для отыскания условий эргодичности.
Чтобы сформулировать условия эргодичности для данной модели, вместо второй фазы мы рассмотрим вспомогательную одноканальную систему. Предположим, что поток требований, поступающих на второй прибор, — дважды стохастический пуассоновский поток со случайной интенсивностью X(t,v) = v ■ ei(t). Число мест ожидания перед вторым прибором равно к. Другими словами, вспомогательная система функционирует так же, как второй прибор в основной системе, если очередь на первом приборе всегда непуста. При этом условии рассмотрим процесс N(t) = {A2(t),ei(t),e2(t),Ui(t),U2(t)}, где Ä2(t) — число требований во вспомогательной системе. Используем следующие обозначения (j = 0,к):
V(t) = V{Ä2(t) = j, ei(t) = 1, e2(t) = 1}, V(t) = P{Mt) = j, ei(t) = 0, e2(t) = 1},
V(t) = PA(t) = j, ei(t) = 1, e2(t) = 0}, sj(t) = P{A2(t) = j, ei(t) = 0, e2(t) = 0}.
Процесс NV(t) = {A2(t),ei(t),e2(t),ui(t),U2(t)} является неприводимой непериодической цепью Маркова с конечным числом состояний. Следовательно, у NI(t) существует стационарное распределение, а значит, существуют пределы
Pj = Ii™ Pj(t), Vj = Ii™ Qj(t), Vj = lim fj(t), sj = lim Sj (t). t—t—t—t—
Эти стационарные вероятности могут быть найдены с помощью системы уравнений, основанной на уравнениях Колмогорова.
Мы будем также рассматривать процесс N(t) = {A2(t), ei(t), e2(t)}. При каждом Л процесс N(t) имеет собственное предельное распределение. Будем использовать следующие обозначения:
Pj (Л) = lim P{A2(t) = j, ei(t) = 1, e2(t) = 1}, Qj (Л) = lim PA (t) = j, ei (t) = 0, e2 (t) = 1},
t—<x t—<x
fj(Л) = lim P{A2(t) = j, ei(t) = 1, e2(t) = 0}, Sj(Л) = lim P{A2(t) = j, ei(t) = 0, e2(t) = 0}.
tt
Положим pi = \v 1 {dJ^lll2 ~Pk~ rk)
i
__P _
Теорема 2. Если Vi > 1, то Ai(t) -> ж. Если Vi < 1, то существует ßj = lim P {Ai(t) = j} > 0
t—ж t—ж
всех j E Z+.
Доказательство. Процесс Ai(t) регенерирующий. В качестве последовательности моментов регенерации {Ti}возьмем моменты времени, в которые система пустая, оба прибора находятся в рабочем состоянии и Ui(Ti) = 1,i = 1, 2, т.е.
Ai(Ti) = 0, A2(Ti) = 0, ei(Ti) = 1, e2(T ) = 1, ui(Tl ) = 1, u2(Ti) = 1, l = 0,1,....
Так как период регенерации содержит абсолютно непрерывную компоненту, существование пределов {ßj} вытекает из теоремы Смита. Справедлива следующая
Лемма. Для процесса Ai(t) выполняется соотношение Ai(t) = Z(t) — V(t), где
V(t) = min(0, inf{Z(y), 0 < y< t}), Z(t) = Ai(0) + X(t) — Yi(t).
Доказательство. Пусть в момент t = 0 очередь перед прибором непуста (здесь и далее в доказательстве леммы речь будет идти о первом приборе). Обозначим через {ti}°=i моменты освобождения прибора.
Сначала проверим равенство при t E [0, ti), т.е. для моментов времени, предшествующих первому моменту освобождения прибора. Так как Z(t) > 0 при t E [0, ti), то V(t) = 0 и Ai(t) = Z(t) = Z(t) — V(t). Докажем по индукции, что V(ti) = Z(ti) = —a(ti), где a(ti) — число скачков процесса Yi(t) в отрезке [0, ti], произошедших в моменты, когда прибор был свободен. Имеем V(ti) = Z(ti) = 0. Предположим, что утверждение верно для момента ti: V(ti) = Z(ti) = —a(ti) = —m, m E Z+. Докажем его для момента ti+i. Пусть Si E (ti,ti+i) — момент времени, когда на свободный прибор приходит требование. Пусть в отрезке [ti, Si] произошло n скачков процесса Yi(t), в полуинтервале (si, ti+i] произошло l скачков процесса Yi(t), и, следовательно, в отрезке [si,ti+i] произошло l скачков процесса X(t). Ясно, что V(si) = Z(si) = —m — n.
Поскольку Z(t) ^ Z(Si) при s Е [ti,ti+\], то V(ti+i) = V(si) = —m — n = Z(si) = Z(ti+i), причем a(ti+i) = m + n.
Докажем, что для произвольного момента времени V(t) = —a(t). Обозначим через ti0 последний момент освобождения прибора, предшествующий моменту t. Пусть a(ti0) = m. Существуют две возможности.
1) В момент t прибор все еще свободен. Пусть за время [ti0,t] произошло ni скачков процесса Yi(t). Тогда
V (t) = Z (t) = Z (tio) — ni = V (ti0) — ni = —m — ni = —a(t).
2) В момент t прибор занят, т.е. t > Si0, а за время [ti0,Si0] произошло n2 скачков процесса Yi(t). Тогда
V (t) = V (Sio) = Z (Sio) = Z (tio) — n2 = V (tio) — n2 = —m — n2 = —a(t).
Таким образом, в любой момент времени —V(t) представляет собой число скачков процесса Yi(t) в отрезке [0,t], при которых не происходило обслуживания требования на приборе. Следовательно, Ai(t) = Ai(0) + X(t) — (Yi(t) + V(t)) = Z(t) — V(t). Лемма доказана.
Лемма позволяет использовать результаты п. 4. Процесс N(t) может рассматриваться как случайная среда для процесса Ai(t). Поскольку N(t) имеет стационарное распределение, можно воспользоваться соотношением (2) для вычисления коэффициента загрузки. Для нашей модели
f (N) = Л; p(N) = vI{A2(t) < к, ei (t) = 1}.
Таким образом,
En f (N) = Л,
Env(N) = lim vP{A2(t) < k,ei(t) = 1} = lim v(P{ei(t) = 1} — P{A2(t) = k,ei(t) = 1}) =
t—<x t—<x
= lim v(P{ei(t) = 1} — P{A2(t) = k, ei(t) = 1, e2(t) = 1} — P{A2(t) = k, ei(t) = 1, e2(t) = 0}) =
t—
(кЪ -Vk{\)~rk{\)
&21\ + 6х
Итак, рг = Лг/"1 (¿27^172 ~ Рк(^) ~ гк(А)) — коэффициент загрузки для системы
Если А > V (¿271+^172 — Рк(А) — гк(Х)^, то в соответствии с теоремой 1 имеем А\(Ь) ^ Р > оо. Поскольку в рассматриваемой ситуации циклы независимы, то, как следует из [7], А\(Ь) > то. Это означает,
что Р1 = Р1 при Л > г/ (¿27^172 - Рк(А) - гк(Л)).
Если же Л < V (¿27^172 ~ ~ ' то Рк(^)+гк(Х) < рк + гк. В этом случае из условия р! < 1
следует р\ < 1. Теорема доказана.
6. Экспоненциальный случай. Для экспоненциального случая (61 = 62 = 1) получим формулы для вероятностей рк и % и найдем асимптотическую форму для коэффициента загрузки при к ~^<х>.
Как и ранее, рассмотрим вспомогательную систему. В этом случае поток автомобилей, поступающий на второй прибор, — дважды стохастический пуассоновский поток со случайной интенсивностью V = иХ{А2(Ь) < к,в\(Ь) = 1}. В качестве случайной среды для процесса А\(Ь) возьмем процесс N(Ь) = {А2(Ь),е\(Ь),е2(Ь)}, а в качестве вспомогательного процесса — процесс N(Ь) = {А2(Ь),е\(Ь),е2(Ь)}. Используем следующие обозначения (3 = 0,к):
Рз(Ь) = Р{А2(Ь) = 3, ех(Ь) = 1, е2(Ь) = 1}, %(Ь) = Г&Ю = 3, ех(Ь) = 0, е2(Ь) = 1},
%(Ь) = Р{А2(Ь) = 3, ех(Ь) = 1, е2(Ь) = 0}, %(Ь) = Р&(Ь) = 3, ех(Ь) = 0, в2(Ь) = 0}, Рз = 1™ %(Ь), % = Ит %(Ь), Гз = Ит (Ь), % = Ит %(Ь).
т^ж т^ж т^ж т^-оо
Для последовательностей {р^}, {(}, {г^}, {Т^} введем производящие функции Р (г), Q(z), Б (г)
соответственно. Записав уравнения Колмогорова для стационарных вероятностей, можно получить следующую систему уравнений для производящих функций:
' (2Ъг - V(1 - г)2)Р(г) - ЪгП(г) - ъzQ(z) = -Vро(1 - г) + иркгк+1(1 - г), -цгР(г) + ((Ъ + Ъ)г - V(1 - г)Шг) - ъгБ(г) = ^(о(1 - г),
(3)
-ЪР(г) + ((Ъ + ъ) + V(1 - г))Е(г) - ЪБ(г) = vГkZk(1 - г), -Ъ(R(z)+Q(z))+2ЪБ (г) = 0.
Анализируя систему (3) стандартными методами, получим теорему об асимптотической форме стационарных вероятностей рк и г к и коэффициента загрузки р1(к) при к ~^<х>.
Теорема 3. При к стационарные вероятности рк и г к и коэффициент загрузки р1(к) имеют
следующую асимптотику:
/ \ (Л-1\
2
~ =в_+ _+ о —\ +о
lk (71 + 7г)(1 + /?)(& + 1) + (2 + /? — (1 + f3)a)v ~ ^¿a-1 / \ k ~ _+ _
" (71 + 72)(1 + /?)(& + 1) + (2 + /? — (1 + f3)a)v ~ J у к
КЪ+Ъ) с (71+72)с2-с(|±|г/ + 71 + 72-аг/)\
где
2Y2V 2(yi + 72)72*2 + 272VZ2(1 - Z2)
c = l + ----Г77, a
(71 + 72)^ - + ((272 + 71> + 2v2)(1 - г2)2 '
о __2(71 + 72)72^1 ~ 272^(1 - ¿1)_
-2(71 + 72)7221 + ((272 + Ъ> + 2р2)(1 - zl)2'
= (71 + 72)2 + (272 + 371)г/ + 2и2 г1'2 2и2 + (272 + 71 )г/
± УЫ + 72)4 + 2(71 + 72)2(272 + 371)г/ + 4(37? + 47172 + 722)г/2 + 871^3
2и2 + (272 + 71)1/
Автор выражает глубокую признательность профессору Л. Г. Афанасьевой за постановку задачи и полезные обсуждения и приносит благодарность рецензенту за ценные замечания, которые, безусловно, способствовали улучшению работы.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 10-01-00266а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gaver D.P.Jr. A waiting line with interrupted service, including priorities // J. Roy. Statist. Soc. 1962. B24. 73-90.
2. Афанасьева Л.Г, Булинская Е.В. Математические модели транспортных систем, основанные на теории очередей // Тр. МФТИ. 2010. 2, № 4. 6-21.
3. Gideon R, Pyke R. MR Modelling of Poisson traffic at intersections having separate turn lanes // Semi-Markov Models and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 285-312.
4. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Некоторые задачи для потоков взаимодействующих частиц // Современные проблемы математики и механики. Т.4. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. 55-67.
5. Боровков А.А. Эргодичность и устойчивость случайных процессов. М.: URSS, 1999.
6. Fayolle G., Malyshev V.A., Menshikov M.V. Topics in the Constructive Theory of Countable Markov Chains. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995.
7. Афанасьева Л.Г. Системы массового обслуживания с циклическими управляющими последовательностями // Кибернетика и системный анализ. Ин-т кибернетики НАН Украины. 2005. 1. 54-69.
8. Takacs L. Combinatorial Methods in the Theory of Stochastic Processes. N.Y.: John Wiley and Sons, 1967.
9. Grandell J. Doubly Stochastic Poisson Processes. Berlin: Springer-Verlag, 1976.
Поступила в редакцию 17.07.2011
УДК 515.164.174, 515.122.55 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ОСНАЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ МОРСА НА ПОВЕРХНОСТЯХ
Е. А. Кудрявцева1
Пусть M — гладкая замкнутая ориентируемая поверхность. Пусть F — пространство функций Морса на M и F1 — пространство оснащенных функций Морса, снабженные C^-топологией. Определено пространство F0 специальных оснащенных функций Морса и доказано, что отображение включения F0 ^ F1 является гомотопической эквивалентностью. В случае, когда у любой функции из F отмечено не менее чем х(М) + 1 критических точек, доказаны гомотопические эквивалентности K ~ M и F ~ F0 ~ D0 х K, где K — комплекс оснащенных функций Морса, M ~ F1 / D0 — универсальное пространство модулей оснащенных функций Морса, D0 — группа диффеоморфизмов М, гомотопных тождественному.
Ключевые слова: функция Морса, оснащенная функция Морса, комплекс оснащенных функций Морса, Cто-топология, универсальное пространство модулей.
Let М be a smooth closed orientable surface. Let F be the space of Morse functions on M, and F1 be the space of framed Morse functions, both endowed with the CTO-topology. The space F0 of special framed Morse functions is defined. We prove that the inclusion mapping F0 ^ F1 is a homotopy equivalence. In the case when at least x(M) +1 critical points of each function of F are labeled, the homotopy equivalences M and F ~ F0 ~ D0 х IK are proved, where IK is the complex of framed Morse functions, M ~ F1/D0 is the universal moduli space of framed Morse functions, D0 is the group of self-diffeomorphisms of M homotopic to the identity.
Key words: Morse function, framed Morse function, complex of framed Morse functions, CTO-topology, universal moduli space.
1. Введение. Настоящая работа является продолжением работ [1-3] по изучению топологии снабженного C^-топологией пространства F = F(M) функций Морса на гладкой замкнутой ориентируемой поверхности M. В работе [1] введено понятие оснащенной функции Морса, а в [1, 2] доказана гомотопическая эквивалентность F ~ F1 пространства F функций Морса и пространства F1 = F1(M) оснащенных функций Морса. Согласно [3, 4], в большинстве случаев (см. (9)) имеется гомотопическая эквивалентность F1 ~ R х M, где R = R(M) — одно из следующих многообразий: RP3, S1 х S1 и точка (см. (8)), а M = M(M) — многообразие, гомеоморфное универсальному пространству модулей оснащенных функций Морса. В настоящей работе определено пространство F0 = F0(M) специальных оснащенных функций Морса и доказано, что отображение включения F0 ^ F1 является гомотопической эквивалентностью. Отсюда мы выводим, что комплекс K = K(M) оснащенных функций Морса (см. [3, 5]) является сильным деформационным ретрактом многообразия M. Тем самым мы доказываем гомотопическую эквивалентность F ~ R х K.
Обзор результатов, касающихся связных компонент пространства функций Морса на поверхности, количества и топологии его орбит при действии диффеоморфизмов, топологии пространств функций с умеренными особенностями, связей с интегрируемыми системами, имеется в [1] (см. также [6-9]).
2. Ключевые понятия и формулировка основного результата.
Определение 1. Пусть M — гладкая (т.е. класса C) связная замкнутая поверхность.
1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений
мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eakudr@mech.math.msu.su.
