Двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами в условиях высокой загрузки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.21

ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕНАДЕЖНЫМИ ПРИБОРАМИ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОЙ ЗАГРУЗКИ

И. В. Руденко1

Рассматривается двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами и конечным числом мест в буфере, расположенном между фазами. Предполагается, что приборы на фазах работают синхронно. В работе найдено условие эргодичности и исследовано функционирование системы в условиях высокой загрузки.

Ключевые слова: многофазные системы обслуживания, условие эргодичности, коэффициент загрузки.

We consider a two-phase queueing system with a finite number of places in the buffer between phases and unreliable servers. The servers at phases function synchronically. The ergodicity condition is obtained and functioning of the system under heavy traffic assumptions is studied.

Key words: multiphase queueing systems, ergodicity condition, heavy traffic assumptions.

1. Введение. Системы обслуживания с ненадежными приборами изучались многими авторами (см., например, [1-4]). Здесь мы рассмотрим двухфазную систему обслуживания с ненадежными приборами и конечным числом мест для ожидания в буфере между фазами. В предположении, что приборы на фазах работают синхронно, т.е. выходят из строя и восстанавливаются одновременно, установим условия эргодичности и изучим функционирование системы в условиях высокой загрузки.

2. Описание модели. Рассмотрим систему массового обслуживания, состоящую из двух последовательно соединенных одноканальных систем Si и S2. В Si поступает пуассоновский поток требований X(t) интенсивности Л и число мест для ожидания не ограничено. Требования, обслуженные в Si, направляются в S2. Между Si и S2 имеется буфер объема k, так что если все k мест заняты, то поступление требований в S2 (и, стало быть, обслуживание в Si) прекращается до тех пор, пока не появится свободное место в буфере.

Приборы в Si и S2 могут выходить из строя, при этом интервалы безотказной работы и времена восстановления приборов образуют независимые последовательности взаимно независимых, одинаково распределенных случайных величин, не зависящие от входного потока и времен обслуживания требований. Приборы выходят из строя и восстанавливаются синхронно. Времена безотказной работы и времена восстановления имеют функции распределения Gi (x) и G2(x) соответственно. Времена обслуживания требований в Si и S2 образуют две независимые последовательности взаимно независимых случайных величин, экспоненциально распределенных с параметром v.

3. Эргодическая теорема. Пусть Ai(t) (i = 1, 2) — число требований в системе Si в момент t. Обозначим через {тП^} ({Т™2^} ) последовательность периодов, в течение которых приборы работают

(восстанавливаются), и пусть Ti = Ет^.

Теорема 1. Существуют пределы lim P{Ai(t) = j} = pj и {pj}°=0 является распределением веро-

t—j ятностей тогда и только тогда, когда для коэффициента загрузки системы р выполняется соотношение

V Ti + T2 k + 1J

Доказательство. Пусть {tn}^=о — последовательные моменты восстановления приборов, так что

0 = to < ti < t2 < ..., tn - tn-i = т^ + тР.

Система Si управляется циклическими последовательностями в смысле определения, данного в [5], причем начала циклов — это моменты tn, для которых A2(tn — 0) = 0. В качестве случайной среды для системы Si можно взять процесс N(t) = (A2(t),e(t)), где e(t) = 1, если в момент t приборы работают, и e(t) = 0, если в момент t приборы восстанавливаются. Введем вспомогательную систему S2

1 Руденко Игорь Викторович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

типа M|M|1|k, в которую входит пуассоновский поток требований с параметром v, а время обслуживания требований имеет показательное распределение с тем же параметром. Пусть A2(t) — число требований в ¿>2 в момент t. Процесс N(t) = (A2(t),e(t)) обладает стационарным распределением, причем ^lim P{Ä2{t) = j,e(t) = 1} = (T1-|_T2)(fc-|-i) • Утверждение теоремы теперь вытекает из следствия 2 работы

[5] и несложных оценок для процессов N(i) и N(i). Теорема доказана.

4. Предельная теорема в условиях высокой загрузки. Опишем ситуацию высокой загрузки, следуя [6]. Рассмотрим семейство систем обслуживания Sf с пуассоновским входящим потоком интенсивности Лг, определяемой соотношением

Ае = (1 — e)v—---. (1)

v 7 (к + 1)(ti +r2) v 7

Таким образом, коэффициент загрузки системы pf = 1 — е и pf | 1 при е ^ 0. Поскольку при е > 0 имеем pf < 1, в соответствии с теоремой 1 существует предел

lim P[A\ (t) < х} = ФДх), (2)

t—

где Ф(х) — функция распределения, а Af (i) — число требований в системе Sf в момент t.

Исследуем асимптотическое поведение функции Фг(х), задаваемой соотношением (2), при е ^ 0. Далее параметры и функции, относящиеся к Sf, помечаются буквой е. Для формулировки теоремы вернемся к системе S2. Входящий в эту систему пуассоновский поток и времена обслуживания не зависят от последовательности {tnи других случайных величин, определяющих Sf. Пусть {Vi}^Lo — последовательность моментов из {tn}^=o, в которые система S2 свободна от требований, а 0n = tn — tn- 1. Будем называть 9n n-м периодом регенерации процесса AL2 (t), где AL2 (t) — число требований в системе S2 в момент t. _

Пусть X(t) — пуассоновский поток с интенсивностью Л = и^k+i)(Ti+T2)' Обозначим через rjn число

требований, обслуженных в S2 за время (tn- 1,tn), а Vn = X(tn) — X(tn-1). Пусть также Kn — число циклов 9n, содержащихся в (tn- 1,tn). Положим = D£n, = Ецп, = cov(£n,Цп), к = Екп. Теорема 2. Пусть для некоторого 5 > 0

< i = 1,2, (3)

а интенсивность Лг задается соотношением (1). Тогда

lim Фе(ех) = 1 - е (4)

f— o

где

pH, a2 = aj + 4-2r,~. (5)

k +1 V V w

Доказательство. Рассмотрим двухфазную систему (£| ) с пуассоновским входящим потоком интенсивности Ле, определяемой формулой (1). Пусть {¿П} — подпоследовательность из {¿п}, такая, что ) = 0, т.е. система пустая в эти моменты восстановления приборов. Обозначим

A i (n, е) = Af (tn), n = 1,2,..., >n = tn — tn- 1. В силу теоремы 1 при е > 0 существует предел lim P{A 1 (n, е) ^ х} = Ff(x) и Ff(x) является функци-

n—

ей распределения. Несложные оценки приводят к асимптотической эквивалентности функций Фг(ех) и Ff (ех), т.е. к соотношению

Фг(ех)

1.

Таким образом, достаточно доказать соотношение (4) для функции ^е(вж). Обозначим

через число

требований, поступивших в систему Б^ за время (¿П-1, ¿П), а через пП — число требований, обслуженных

a

в Sf за то же время. Поскольку A|(j) = 0, j = 1,2,..., случайная величина пП равна также числу требований, обслуженных (и поступивших) в Sf. Введем последовательность

A- (n, е) = max(0, A- (n - 1,е) + СП - пП), n = 1,2,..., A- (0,е)=0. (6)

Лемма 1. Если Ai(n, е) = 0, то при n = 1, 2,...

A- (n, е) < Ai (n, е) < A- (n, е) + nf(ra>f), (7)

где l(n, е) = ma^j ^ n : A|(t) = 0 для некоторого t £ [j, j+i)}•

Неравенство (7) доказывается аналогично подобному неравенству в [7]. Там же показано, что

£nf(n,f) ^ 0 пРи е ^ 0-

Это означает, что (4) достаточно доказать для функции Ff-(x) = lim P{A-(n, е) ^ x}.

n

Обозначим СП = СП — ПП и ЦП = X] СП. Из (6) находим

j=i

A-(n,e) = max j UO = 0,

O^jXn j 0

так что

n n

F" (x) = И sup un ^ x

Положим а£ = Е(П• Теперь воспользуемся следующим результатом, полученным в [6]. Теорема 3 (А.А. Боровков). Если для некоторого 5 > 0 существует Е((П)2+Й и

l im, ЕСП = 0, l im, DZn = a2, — 0 — 0

то для любого y ^ 0

-

pj sup Un > y |ae |- 1e-2y/ff2 при e ^ 0.

В силу условия (3) в рассматриваемой ситуации E (СП)2+Й < Обозначим через гП число требований, поступивших в систему Sf за время [tn- 1 , tn). Тогда £f = ^ vf. Поскольку — марковский момент по отношению к последовательности имеем

i=i

те

к

= Ек\Еу£г = Ае(п + т2)ЕК| = (1 - ^г/п-^Ек!, к

Следовательно, ае = —(1 + б(1)). Кроме того, несложно установить, что —сг~, Ог^ —<т|,

СО¥(СП,Пга) ^ при е ^ 0. Теперь утверждение теоремы 2 следует из теоремы Боровкова. Теорема доказана.

Отыскание нормирующего множителя ст2 представляет, вообще говоря, существенные трудности, поэтому мы рассмотрим частный случай.

Следствие 1. Если т|п) и т2П — константы, то выполняется (4) и

2 к^Т1 к2^2т? ^ „ к^Т1 , . ^

о■ = —— Вкп-2——- соу(кп,г]п) +иг]п.

к + 1 (к + 1)2 к + 1

Таким образом, для применения асимптотического результата необходимо уметь вычислять первые два момента величин кп и пп и их ковариацию.

5. Алгоритм вычисления ст2 при постоянных т^ и г2п). Рассмотрим систему ¿>2- Введем функции Pj:lj(t) = p|A2(î) =j,Ç(t) = г 1^42(0) = г|, г = 0,к, j = 0, к, г ^ 0, где ((t) — число требований, обслуженных в этой системе за время t. Для этих функций справедлива следующая система уравнений:

' ^ = -2vP^(t) + vpV^t) + vP®1J+1{t), г > 1, 0 < j < h,

^ = -2vP${t) + иРЩ,(t), 1 < j < h,

dP0p) _ „p(ï)(t\ , dt - _z/io,oW

с начальными условиями PqJ(0) = 1 при i = 0, к] P^ (0) = 0 при i j или г / 0.

Введем цепь Маркова {x(n) = (xi(n),x2(n))}^=0, где xi(n) = A2(tn), а x2(n) — число требований, обслуженных в ¿>2 за время [0,tn)- Переходные вероятности этой цепи определяются с помощью функций pjt) следующим образом:

®{'Г = P{xi(n + 1) = j,X2(n + 1) = m|xi(n) = i,X2(n) = r} = P^-r-j(ri), m ^ r.

Обозначим через fj(l, m) вероятность того, что цепь x(n), выйдя из состояния (j, 0), впервые попадет в состояние, в котором первая координата равна нулю, через l шагов, причем этим состоянием будет (0, m). С помощью этих функций находится совместное распределение случайных величин кп и пп, так как

P{кп = l, Пп = m} = <£o(l, m),

а следовательно, определяется нормирующая константа ст2 из (5). Функции fj(l,m) определяются с помощью рекуррентных соотношений через переходные вероятности цепи, а именно

k k fi(1, m) = aJOT, fi(2, m) = ^ ^ aj;,0f j(1, m - l), fi(n + 1,m) = ^ ^ aj;,0 f j(n m - l).

l^mj=i l^mj=i

Тогда

те те

P{ki = n} = ^ f0(n, m), P{ni = m} = ^ f0(n, m), P{ki = n, ni = m} = f0(n, m).

m=0 n=i

Автор выражает глубокую признательность профессору Л-Г. Афанасьевой за постановку задачи и полезные обсуждения.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 10-01-00266-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gaver D. P., Jr. A waiting line with interrupted service, including priorities // J. Roy. Statist. Soc. 1962. B24. 73-90.

2. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Математические модели транспортных систем, основанные на теории очередей // Тр. МФТИ. 2010. 2, № 4. 6-21.

3. Gideon R., Pyke R. MR Modelling of Poisson traffic at intersections having separate turn lanes // Semi-Markov Models and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 285-312.

4. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Некоторые задачи для потоков взаимодействующих частиц // Современные проблемы математики и механики. Т. 4. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. 55-67.

5. Афанасьева Л.Г. Системы массового обслуживания с циклическими управляющими последовательностями // Кибернетика и системный анализ. Ин-т кибернетики НАН Украины. 2005. 1. 54-69.

6. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

7. Афанасьева Л.Г., Баштова Е.Е. Предельные теоремы для систем обслуживания с дважды стохастическим пуассоновским потоком (условия высокой загрузки) // Пробл. передачи информ. 2008. 44, № 4. 72-91.

Поступила в редакцию 04.05.2012