Одноканальная система с ненадежным прибором и различными временами обслуживания Текст научной статьи по специальности «Математика»

tArn

Ef (RtAr*)4Ti < t} = \E J E[f (Ru - min{bu, Y}) - f (Ru)]du.

0

Окончательно, сложив оба слагаемых, получаем формулу (11). C другой стороны, из уравнения Беллмана—Гамильтона—Якоби (2) следует, что для Rt выполнено следующее неравенство:

±<T2A*f"(Rt) + (c(bt) + fiAt)f'(Rt) + \E[f(Rt - min{Y, bt}) - f(Rt)\ < 0,

причем для R* достигается равенство. Далее, используя это неравенство и переходя к пределу при е — 0, n — ж в (11), по теореме о монотонной сходимости заключаем

E[f (RtAT)] < f (s), (15)

причем для R* достигается равенство. Заметим теперь, что для произвольной стратегии (A, b) капитал RAb — ж при t ^юна {тAb = ж} (см., например, [1]). По лемме Фату, примененной к последовательности f (RtAT), при t —ж с учетом (15) получаем

f (ж)Р [т = ж] < f (ж)Р [т = ж]+f (0)P [т < ж]= E liminf f (RtAT) < liminf Ef (RtAT) < f (s). (16)

Но поскольку существует предсказуемая стратегия (At,bt), для которой выполнено Р[т = ж] > 0 (например, при отсутствии перестрахования и инвестиций, т.е. A = 0, b = ж), то из (16) заключаем, что f (ж) < ж. Далее, из (16) следует, что 5Ab(s) = Р[т = ж] ^ f (s)/f (ж), причем для

¿A*b* ( s) = Р [т * = ж]

достигается равенство (поскольку равенство достигается в (15)). Итак, мы доказали, что для произвольной предсказуемой стратегии (At,bt) имеем 6Ab(s) ^ 6А ь (s), т.е. стратегия оптимальная. □ Автор приносит благодарность профессору Е. В. Булинской за постановку задачи и помощь в реализации идей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Schmidli H. On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance // Ann. Appl. Probab. 2002. 12. 890-907.

2. Hipp C, Plum M. Optimal investment for insurers // Insurance: Math. Econom. 2000. 27. 215-228.

3. Hipp C, Vogt M. Optimal dynamic XL Reinsurance // ASTIN Bulletin. 2003. 33. 193-207.

4. Bertsekas D., Shreve S.E. Stochastic optimal control: the discrete-time case. N.Y.: Academic Press, 1978.

5. Last G, Brandt A. Marked point processes on the real line: the dynamic approach. N.Y.: Springer-Verlag, 1995.

Поступила в редакцию 16.04.2012

УДК 511

ОДНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА С НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ И РАЗЛИЧНЫМИ ВРЕМЕНАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ

А. В. Ткаченко1

Рассматривается система M\GI|1|ж с ненадежным прибором и временем обслуживания, зависящим от состояния системы. Находятся условие эргодичности системы и производящая функция для числа требований в системе в стационарном режиме.

Ключевые слова: одноканальная система обслуживания, эргодичность, преобразование Лапласа, производящая функция.

An M\GI\1\ж queueing system is considered with an unreliable server and customer

1 Ткаченко Андрей Викторович — асп. каф. теории верятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

service times dependent on the system state. The ergodicity condition and generating function are found in the stationary mode.

Key words: one channel queueing system, ergodicity, Laplace transformation, generating function.

1. Введение. Одноканальные системы обслуживания с ненадежным прибором рассматривались многими авторами (см., например, [1-4]). Новизна данной работы заключается в том, что распределение времени обслуживания требований, поступивших в пустую систему, отлично от распределения времени обслуживания иных требований. Такое предположение приводит к зависимости времени обслуживания от состояния системы. Задачи подобного типа возникают, например, в моделях процесса образования очереди на неуправляемых перекрестках, а также в моделях с "разогревом", где свободному прибору требуется некоторое время, чтобы приступить к обслуживанию.

В работе найдено стационарное распределение для числа требований в системе, а также необходимое и достаточное условие существования этого распределения.

2. Описание модели. Рассматривается система M\GIс ненадежным прибором. Входящий поток пуассоновский с параметром Л. Введем последовательность независимых случайных векторов

,£R}i=i, где £f — время работы прибора до i-го выхода из строя, распределенное по показательному закону с параметром ц, а — время восстановления после i-го выхода из строя, распределенное по закону с функцией распределения A(x). Величины £f и независимы между собой. Требования, поступившие в систему, когда прибор не сломан и свободен, обслуживаются в течение времени, распределенного по закону с функцией распределения G(x). Остальные требования обслуживаются в течение времени, распределенного по закону с функцией распределения B(x). Все времена обслуживания независимы между собой. Если прибор выходит из строя во время обслуживания, то требование сразу покидает систему.

Введем преобразования Лапласа-Стилтьеса в(s),j(s),a(s) функций B(x),G(x),A(x) соответственно. Будем считать, что B(0+) = 0,G(0+) = 0,A(0+) = 0.

3. Эргодическая теорема и стационарное распределение. Пусть v(t) — процесс, описывающий число требований в системе в момент времени t с учетом требования на приборе (если оно есть). Поскольку время обслуживания имеет произвольное распределение, то этот процесс не является марковским. Введем более сложный процесс X(t) = {v(t), e(t), Z(t)}. Здесь компонента e(t) — процесс, описывающий состояние прибора в момент t: e(t) = 0, если система свободна от требований (v(t) = 0) и прибор находится в рабочем состоянии; e(t) = 1 (2), если прибор обслуживает требование в течение времени, распределенного по закону B(x) (G(x)); e(t) = 3, если прибор сломан. Величина ((t) — время, прошедшее с момента начала обслуживания требования до момента t, в случае e(t) = 1 или e(t) = 2, и ((t) — время, прошедшее с момента начала ремонта до момента t, в случае e(t) = 3. Когда e(t) = 0, величина ((t) не определяется и процесс X(t) имеет две компоненты v(t) =0 и e(t) = 0. Нетрудно видеть, что процесс X(t) является марковским.

Теорема. Эргодическое распределение nj = lim^^, P {v (t) = j}, j = 0,1, 2,..., процесса v (t) существует тогда и только тогда, когда

Л <

(1 - e(v))(1+ a

где а — среднее время ремонта. При этом производящая функция процесса в установившемся режиме удовлетворяет соотношению

, Ху(1 — у(Х + ¡1 — Ху)) , 1л{1-а{\-\у)) (Л , А(1 - 7(А + /л - Ху)) \ ,

= 1 +-хт^ху-+-а^-+-хТ^Ху-) +

■ 1 — /3(А + ¡1 — Ху)\ ( ^i-a(X-Xy)) У[ А + /Х-А у Ху(1-у)

_ а(л _ Ху)) + Л(1 _ 7(Л + /х - Ay)) (l -

/3(А + /х - Ay) + /ш(А " А у) ■ ~ У

где

ц — Л(1 — в (v))(1 + Va)

Ро= (1 + ца)[ц + X(P(fi) — 7(//))]

X

X

Доказательство. Введем следующие вероятности:

po(t) = P {e(t) = 0},

Pi(n, x, t) = P{e(t) = i, v(t) = n, Z(t) <x},i = {1; 2; 3},

где n ^ 1 для i = {1;2} и n ^ 0 для i = 3. Заметим, что марковский процесс X(t) является регенерирующим. Точки его регенерации суть последовательные моменты попадания его координаты e(t) в нулевое состояние. Распределение периода регенерации содержит абсолютно непрерывную компоненту, поэтому верна теорема Смита (см. [5]) и существуют пределы Pi(n,x,t) = Pi(n,x), i = {1;2;3}. Таким

образом, необходимо найти условие, при котором предельные функции Pi(n,x) задают распределение вероятностей, т.е. po + ^i=1 Xm=i Pi(n,x) + ^~=0 Ps(n,x) = 1. Поскольку входящий поток пуассоновский то, используя подход, описанный в [6], можно доказать, что при x > 0 существуют производные:

dPi(n,x,t) . Pi(n,x,t) =-—-, г = {1; 2; 3}.

Рассмотрим возможные переходы процесса X(t) за малое время А при x > 0. Получим соотношения:

p0(t + А) = p0(t)(l - А*Д)(1 - АА) + ГVl{ 1,ж, t)B{x + A)~B{x)dx • (1 - цД)(1 - АД)+

Jo 1 — B (x)

+ f™ р2( 1, ж, t)G{X dx • (1 - цА)(1 - ЛА) + j™ р3(0, Ж, t)A(X dx • (1 - ЛА) + о(А),

Pl(n,x + A,t + A) = Pl(n,x,t)(l - дА)(1 - АА)1 +

+Pl(n -1,х,№- ^ 2) + о(А),

1 — B (x)

Р\{п, A, t + А) = Г Pl(n + 1 ,x,t)B{x + A)~Bix)dx • (1 -/хА)(1 - АА)+ Jo 1 — B (x)

+ Г Р2(п + 1,х, t)G{X + Al~ G{X) dx • (1 - /хА)(1 - AA)+

J o 1 — G(x)

+ Jo°°Ps(n, x, t)A{X + A\~x^{x)dx • (1 - AA) + o(A),

p2(n, x + A, t + A) = p2(n, x, t)( 1 - (iA)(l - АА)1 (1)

+p2{n - 1, x, t)( 1 - I[n > 2) + o(A),

P2(n, А, t + A)=po(t)(1 — цА)ХАI(n = 1) + o(A), p3(n, x + A, t + A) = p3(n, x, t)( 1 - AA)1 ~ ^ + Рз(п - l,x, ¿)AAX ~ A)I(n ^ 1) + o(A),

P3(n,A,i + A)= [ Pl(n + l.x.^A1 ~ • (1 - AA) +

7o 1 — B (x)

i ^ 1 — G(x + A)

+ / P2{n + 1, X, t)fiA——v ' dx • (1 - AA) + po(t)nA(l - AA)I[n = 0) + o(A), Jo 1 — G(x)

где 1(A) — индикатор множества A.

Введем функции qx(n,x,t) = ^rggf, Q2(n,x,t) = q3(n,x,t) = Р^п/(х) •

Заметим, что Р\(п, А,Ь) = ^р\(п,х,Ь)йх = А • р\(п,вА,Ь), в е (0,1). Из предположения, что

В(0+) = 0, получаем

Рг(п, А,Ь) . А™-А-=Р1{п,0,г) = ql{n,Ъ,t).

Аналогичные равенства выполнены для Р2(п, А, Ь), Рз(п, А, Ь). После несложных преобразований в системе (1) перейдем к пределу при А ^ 0 и запишем получившиеся равенства для стационарного процесса:

гж гж гж

(у + Л)р0 = / д\(1,х)йВ (х)+ д2(1,х)сЮ(х) + д3(0,х)йЛ(х), Уо Уо Уо

дд\(п, х) дх

= — (Л + у)д\(п, х) + Лд\(п — 1, х)!(п ^ 2),

гж гж гж

д\(п, 0)= д\(п + 1,х)йВ(х)+ д2(п + 1,х)сЮ(х)+ д3(п,х)йЛ(х), Уо Уо Уо

дд2 (п, х) дх

дд3(п,х) дх

= —(Л + у)д2(п, х) + Хд2(п — 1, х)1(п ^ 2), д2(п, 0) = Лр01(п = 1), = —Лд3(п, х) + Лд3(п — 1, х)1(п ^ 1),

жж

д3(п, 0) = у д\(п + 1,х)(1 — В(х))йх + у д2(п + 1,х)(1 — С(х))йх + ур0!(п = 0). Уо У о

Введем производящие функции

(2)

Пг(у,х) = ^ Упд1(п,х), г = {1;2;3}.

п=1

Тогда систему (2) можно переписать в следующем виде:

жжж

(у + Л)'ро = / д\(1,х)йВ (х)+ д2(1,х)сЮ(х) + д3(0,х)йЛ(х), Уо Уо Уо

дк! (у,х) дх

= —(Л + у)п\(у, х) + Луп\(у, х),

1ж у

1ж

7Г1 (у, 0) = - / 7Г1 (у, х) - уд 1(1, х)(1В(х)+ у

1 ж ж

/ 7г2(у, ж) - уд2(1,х)сЮ(х) + / 1Тз(у,х) - дз(0, х)с1А(х),

у

<9тг2(у,ж) дх

дк3(у,х) дх

= —(Л + у)п2(у, х) + ЛуП2(у, х), П2(у, 0) = Луро,

= —Лпз(у,х) +Лупз(у,х),

1 Г ж

1 ж 1 ж

7Г3(у, 0) = /X— / -к\{у,х){1 - В(х))йх + у- / 7Г2(у,ж)(1 - С{х))(1х + уРо у Jо у Jо

у

Решая уравнения (4), (6), (8), получаем

пг(у,х) = е~(х+^-Ху)х«¿у, 0),

П2(у,х) = е-(х+^-Ху)хП2(у, 0), П3(у,х)= е-(Х-Ху)хпз(у, 0).

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

Складывая уравнения (3) и (5), находим

1 ж 1 ж ж

{¡л + Х)ро + 7Г1О/, 0) = - / 1Т1(у,х)с1В(х) + - / тт2(у,х)гЮ(х) + ттз(у,х)г1А(х). (11)

у .)о у -)о -)о

Поскольку имеет место равенство /о°°(1 — В(х))е ях = 1 ^^ и аналогичные равенства выполнены для С(х) и А(х), то, подставляя (10) в (11) и (9), получаем

(у + \)р0 + тп(у, 0) = + /х - Лу)тп(у, 0) + ^7(Л + у - Лу)тг2(у, 0) + а(Л - Лу)тг3(у, 0),

Ыу.О) = * ■ ^Г'-Г^о, + 2.1-?'л + "-Л|')^(».0) + т,.

у Л + у — Лу у Л + у — Лу

(12)

Подставляя выражение для пз(у, 0) из второго уравнения (12) в первое, будем иметь

у

Л(1 - 7(Л + /х - Лу)) (1 - + /х(1 - «(Л - Лу))

7Г1(у'0)=Ро-777-Г77—м л -• (13)

/3(Л + /л - Лу) + /ш(Л - Лу) л+м-Лу - у

Введем производящие функции числа требований в системе, соответствующих состояниям прибора:

жжж

П1(у) = (1 — В(х))щ(у,х)йх, П2(у) = (1 — С(х))п2(у,х)(1х, пз(у) = (1 — А(х))пз(у, х)йх. Jo ./о ./о

Тогда из уравнений (10) получим

^(А + м-А,,)

Л + у — Лу

г

Л + у — Лу

7гз(у) = 1-а(ЛГЛу)тгз(у,0). (16)

Л — Лу

Таким образом, система уравнений (14)-(16) выражается через (7), (12) и (13). Неизвестной остается только величина ро. Будем искать ее из соотношения

П1(1)+ П2(1)+ пз(1)+ ро = 1. (17)

Для удобства решения уравнения (17) выпишем следующее равенство, полученное из (9) умножением

г- „ 1—а(Х—Ху)

обеих частей на ———: Х-Ху

7ГЗ(у) = /X ( -7Г1(у) + -ТГ2(у) + Ро) ■ 1~^Х~ХУ\ (18)

\у у ) Л — лу

Слагаемое П1(1) в левой части уравнения (17) находится по правилу Лопиталя, слагаемое пз(1) — с помощью соотношения (18). Решая уравнение (17), получаем

/х-Л(1-/%))(! +/ш) Р0 (1 + /т)[/л + Л№)-7 Ш' 1 '

где а — среднее время ремонта.

Теперь, используя (14), (15) и (18), можно найти производящую функцию для числа требований в системе п(у) из соотношения

п(у) = П1(у) + П2(у) + пз(у) +ро =

р

1 + Лу(1 — 7(Л + /х — Лу)) + /х(1 -а(Л-Лу)) / + Л(1 - 7(Л +/х - Лу))\ + Л + ц- Ху Л-Лу \ Х + у - Ху )

(I-ß(\ + ß-\y)\ / ß(l — а(Л — \у))\

+Ч А + ß-\y Д1+ Ау(1-у) )Х

К1 _ а(л _ Ху)) + Л(1 - 7(Л + /х - Ау)) (l - f^g) ß(\ + ß~ Ay) + /ш(А - Лу) • - у

(20)

Из соотношения (19) видно, что условие ро > 0, эквивалентное неравенству ц — Л(1 — (3(р))(1 + ца) > 0, есть необходимое условие существования эргодического распределения. Оно также и достаточное в силу того, что из соотношения (20) величина п(у) однозначно выражается через ро и является единственным стационарным решением системы (2). Теорема доказана.

Следствие. Если для описанной системы предположить, что О(х) = В(х) и интенсивность поломки прибора ц = 0, то производящая функция для числа требований в системе примет вид

в(Л — Лу) — у

где Ь — среднее время обслуживания требования. Это в точности совпадает с известной формулой Поллачека-Хинчина для производящей функции числа требований в обыкновенной системе Мс надежным прибором и одинаково распределенными временами обслуживания (см., например, [3]).

Автор выражает глубокую признательность профессору Л. Г. Афанасьевой за постановку задачи и полезные обсуждения и приносит благодарность рецензенту за ценные замечания, которые, безусловно, способствовали улучшению работы.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 10-01-00266-а.

х

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gaver D.P.Jr. A waiting line with interrupted service, including priorities //J. Roy. Statist. Soc. 1962. B24. 73-90.

2. Марьянович Т.П. Однолинейная система массового обслуживания с ненадежным прибором // Укр. матем. журн. 1962. 14, № 4. 417-422.

3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 5-е изд. М.: URSS, 2007.

4. Ушаков И.А. Надежность технических систем. М.: Радио и связь, 1985.

5. Smith W.L. Regenerative stochastic processes //J. Roy. Statist. Soc. 1955. 232. 6-31.

6. Севастьянов Б.А. Формула Эрланга в телефонии при произвольном законе распределения длительности разговора // 3-й Всесоюз. матем. съезд. М.: АН СССР, 1956. 58-70.

Поступила в редакцию 20.04.2012

УДК 519.6

О НИЖНИХ ОЦЕНКАХ СЛОЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСЕ АНТИЦЕПНЫХ ФУНКЦИЙ

О. В. Подольская1

Антицепной функцией называется характеристическая функция антицепи в булевом кубе. Множество всех антицепных функций образует бесконечный полный базис. В работе изучается сложность реализации булевых функций схемами в этом базисе. Доказаны нижние оценки порядка для сложности реализации линейной функции, функции голосования и почти всех функций от n переменных.

Ключевые слова: антицепная функция, булевы схемы, линейная функция, функция голосования.

The antichain function is a characteristic function of an antichain in the Boolean cube. The set of antichain functions is an infinite complete basis. We study the computational complexity

1 Подольская Ольга Викторовна — студ. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].