CC BY
17Потом заклеиваем полученные внутренние дырки тоже дисками (рис. 5, г). Мы получили поверхность с краем, которая является диском. Край тоже заклеим диском. В итоге мы получим сферу. А это значит, что наш атом плоский.
Рассмотрим теперь атом, у которого f-граф представляется одной окружностью с ребрами внутри. Если такой атом максимально симметричный, то значит, он любой из серии An (мы используем классификацию атомов из [7], см. рис. 6). Из критерия высотности атома Мантурова вытекает, что среди атомов An только Ai и A2 являются высотными (см. рис. 6). При этом атом Ai плоский, а атом A2 торический.
Теорема доказана.
AAÄÄ
Рис. 5. Стадии построения атома по f-графу Рис. 6. f-Графы атомов An, Ai и A2
Авторы пользуются случаем поблагодарить академика А. Т. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе, а также Е. А. Кудрявцеву и А. А. Ошемкова за полезные обсуждения.
Работа второго автора выполнена при частичной финансовой поддержке гранта Правительства РФ по постановлению N 220, договор 11.G34.31.0053, РФФИ (проект № 10—01-00748-а), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант № НШ-1410.2012.1), программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (госконтракт 14.740.11.0794).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.
2. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.
3. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1. 145-173.
4. Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, № 4. 23-25.
5. Мантуров В.О. Бифуркации, атомы и узлы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 1. 3-8.
6. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
7. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики / Под ред. А.Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 2009. 58-97.
8. Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1994. 205. 131-140.
Поступила в редакцию 18.06.2010
УДК 519.21
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ И ИНВЕСТИРОВАНИЯ А. Н. Громов1
Функционирование страховой компании моделируется с помощью составного пуас-соновского процесса; предполагается, что компания имеет возможность как заключать договоры перестрахования эксцедента убытка, определяемые уровнем собственного удержания, так и вкладывать средства в некоторый рисковый актив, стоимость которого опи-
1 Громов Александр Николаевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
сывается моделью Блэка-Шоулса. Оптимальная вероятность неразорения находится из соответствующего уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби. Доказывается, что всякое возрастающее решение уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби позволяет определить оптимальную стратегию.
Ключевые слова: вероятность неразорения, перестрахование эксцедента убытка, модель Блэка-Шоулса, уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби.
An insurance company is modelled by a compound Poisson process and it is assumed that the company has a possibility to purchase an excess of loss reinsurance defined by retention level as well as invest its surplus into a risky asset described by the Black-Scholes model. An optimal survival probability is derived as a solution to the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation. It is proved that any increasing solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation defines the optimal strategy.
Key words: survival probability, excess of loss reinsurance, Black-Scholes model, Hamilton-Jacobi-Bellman equation.
Рассматривается классическая модель Крамера-Лундберга работы страховой компании: моменты T поступления требований образуют пуассоновский поток интенсивности Л > 0, размеры выплат Yi — независимые, неотрицательные, одинаково распределенные случайные величины с абсолютно непрерывной функцией распределения Q(x). Пусть начальный капитал s ^ 0, а скорость поступления страховых премий c содержит нагрузку безопасности, т.е. c > ЛEYi. Обозначим через Nt число выплат на отрезке [0,t]. Тогда капитал Rt страховой компании в момент t равен
Nt
Rt = s + ct — Ut, где Ut Yi.
i=1
Случай пропорционального перестрахования исследован в [1], а мы будем предполагать, что страховая компания использует динамический вариант непропорционального перестрахования типа эксцедента убытка. Точнее, изучаются динамические предсказуемые стратегии перестрахования b = {bt}, где bt — уровень собственного удержания на момент t; т.е. при поступлении в момент t требования на выплату Y ответственность страховой компании составляет min{Y, bt}, а перестраховщика — max{0,Y — bt}. Пусть c(bt) — скорость поступления страховой премии в компанию после выплаты перестраховочной премии; предполагается, что функция c(b) возрастает (иначе получилось бы, что чем больше перестраховочное покрытие, тем оно дешевле), непрерывна и c(^) = c.
Кроме того, страховая компания может вкладывать средства в некий рисковый актив. При этом считаем, что исследуемая ситуация идеальна в том смысле, что компания имеет возможность, взяв беспроцентный кредит, вложить больше средств, чем у нее есть на настоящий момент. Рыночная стоимость Zt этого рискового актива описывается моделью Блэка-Шоулса:
2
Zt = exp{<7Wt+
где Wt — стандартное броуновское движение, а параметры а, ц > 0. Страховая компания определяет размер At средств, инвестируемых в актив в момент t. Предполагается, что процессы U = {Ut}t^o и W = {Wt}t^Q независимы, а фильтрация {Ft} порождается двумерным процессом (U, W) = {(Ut, Wt)}t^o.
В данной работе рассматриваются предсказуемые относительно фильтрации {Ft} стратегии (A,b) = {(At,bt)}t^o. Капитал страховой компании RAb при использовании стратегии (A,b) удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению:
Nt
dRfb = (c(bt) + fxAt)dt + AtadWt — d ^ min{Yi, bTi},
i=1
где начальный капитал RAb = s. Для того чтобы процесс RAb был определен корректно, считаем, что процесс At локально ограничен.
Обозначим через тAb = inf{t ^ 0 : R^*3 < 0} момент разорения страховой компании, использующей стратегию (A,b). Тогда вероятность неразорения компании с начальным капиталом s ^ 0 равна 6Ab(s) = P[тAb = rxlR^ = s]. Оптимальность стратегии состоит в том, что она максимизирует вероятность неразорения. Таким образом, мы будем изучать величину 6(s) = sup(A;b){^Ab(s)}, и наша основная задача — установить существование такой стратегии (A*,b*), что 6(s) = 5A*b* (s).
Уравнение Беллмана—Гамильтона—Якоби. Предполагаем, что функция S(s) дважды непрерывно дифференцируема при s ^ 0, стохастические интегралы по броуновскому движению являются мартингалами, а также, что все пределы и математические ожидания перестановочны. Тогда, воспользовавшись методом, предложенным в [2] для случая чистых инвестиций, можно вывести уравнение Беллмана-Гамильтона-Якоби для оптимальной вероятности неразорения:
sup sup (\a2A25"{s) + (ф) + (iA)6'(s) + ЛE[6(s - min{Y, b}) - ф)] 1=0 (1)
b^0 A^0 I 2 J
с граничными условиями ¿(то) = 1 и S(s) = 0 при s < 0. Нетрудно показать (см., например, [1]), что если ф) удовлетворяет уравнению (1), то функция S(s) строго возрастающая и вогнутая при s ^ 0.
Далее, заметим, что если S(s) — решение уравнения (1), то для всякого вещественного k функция f (s) = k5(s) также является решением (1), но с граничным условием f (то) = k и f (s) = 0 при s < 0. Следовательно, можно ограничиться поиском возрастающего при s ^ 0 решения f (s) уравнения
sup sup {\o2A2f"{s) + (ф) + iiA)f'(s) + XE[f(s - min{Y, b}) - f(s)\) = 0 b^0 A^0 I 2 )
(2)
с граничными условиями / (0) = 1 и /(в) = 0 при в < 0. Функция в левой части уравнения (2), от которой берется супремум, достигает максимума по А ^ 0 в точке
a2f"(s)
поскольку /''(в) < 0 при в ^ 0 в силу строгой вогнутости. Заметим, что точки А = 0 и А = то не являются точками экстремума (это легко проверить непосредственной подстановкой в (2)). Перепишем уравнение (2) следующим образом:
8Л {"^Ж + с(ь)/'(в) + тЯз" ™п{6'г})]" /(')}}= (3)
Наконец, заметим, что при достаточно малом начальном капитале оптимальной стратегией будет чистое инвестирование без перестрахования. А именно по аналогии с работами [2] и [3] можно доказать следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть /(в) — решение (3) на интервале [0,Ь) для некоторого Н> 0. Тогда существует 0 < е <Н, такое, что Ъ*(в) = то при 0 ^ в < е.
Далее, преобразуем уравнение (3) к виду
f"(s) a2 1
(4)
(f'(s))2 2а2 infb^o{A(f (s) - E[f (s - min{Y, b}) - c(b)f '(s)])} и проинтегрируем от 0 до s:
s
1 a2 f du 1
+ 7777^ (5)
f'(s) 2а2 J infb^o{Kf (u) - E[f (u - min{Y, b}) - c(b)f '(u)])} f '(0)'
0
Наконец, положим д(в) = /'(в) и перепишем (5) следующим образом:
9{8) = / - Я(и - г))д(г)<1г - с(Ь)д(и)} + 7щ) ' (6)
Поскольку нас интересуют только строго возрастающие и вогнутые решения /(в), т.е. /''(в) < 0 при в ^ 0, то выражение в знаменателе (4) должно быть положительным:
М[X [ (1 - д(в - г))д(г)д,г - с(Ь)д(в)} > 0. (7)
Доказательство существования решения уравнения Беллмана—Гамильтона—Якоби. Прежде всего отметим, что А(0) = 0. Действительно, в случае А(0) = 0 в силу неограниченности вариаций винеровского процесса вероятность неразорения равна нулю, что неоптимально. Например, при отсутствии инвестиций и перестрахования (А = 0, Ь = ж) вероятность неразорения ¿(0) = 1 — АЕУ/в > 0 (см., например, [3]). Подставив в = 0, А(0) =0 и Ь(0) = ж в выражение (2), получим в/'(0) — А/(0) = 0, откуда находим, что /'(0) = /(0)А/в = А/в.
Согласно лемме 1, существует е > 0, такое, что оптимальное собственное удержание Ь*(в) = ж при в € [0,е]. Подставим Ь*(в) = ж в (3) и приведем уравнение к виду
оо
А j(f (s - y) - f (s))dQ(y) + cf'(s) =
2a2 f»(s)
Проинтегрировав по частям интеграл в левой части равенства и сделав замену д(в) = /'(в), получим следующее уравнение:
g' (s)
-Ai f g(s - y)Q(y)dy + a(g(s) -—Q(s)) J ci
= \(9(s)?,
(8)
где Q(x) = 1 — Q(x), Ai = Xa2 / ¡i2 и c\ = ca2/fj?.
Лемма 2. Существует решение g £ C 1[0,e] уравнения (8), такое, что g(s) > 0, g'(s) < 0 при s £ [0, e), g(0) = X/c и
. . A aX r- X_ g(s) = --
3
<TC 2
's + -Ц c
Доказательство. Сделав в уравнении (8) замену г(в) = д(в2), приведем его к виду
г'(в)Ф[г](в) = (г(в))2,
(9)
где
Ф[и](в) = -2Àis / tv(st)Q(s2( 1 - t2))dt + ci
v(s) - Ai/ciQ(s2)
Заметим, что г(0) = д(0) = /'(0) = А/в = А1/в1. Кроме того, переходя к пределу при в ^ 0+ в равенстве (9), получаем (г'(0))2в1 = (г(0))2. Поскольку г'(в)|в=о = (/''(в2) + 2в/'(в2))\s=o = /''(0) < 0,
следует взять г' (0) = —А1/С1'2.
Далее, для е > 0 и г £ С 1[0,е] определим Д£ [г] := виро<8^е в-1|г'(в) — г'(0) |. Несложно показать, что пространство Ы£ := {г £ С 1[0,е] : Д£[г] < ж} с нормой ||г||£ := шах{||г||те, \г'(0)|,еД£[г]} является
банаховым и подмножество = {г £ Ы£ : г(0) = А1в||~1,г'(0) = —А1в1 2, ||г — А1 в-1^ ^ а, Д£[г] ^ М}, где М > 0 и 0 < а < 1/2 — некоторые постоянные, является замкнутым. На пространстве Ы£ рассмотрим оператор Т, заданный следующим образом:
T[v](s) :=^ + J^dz,v£Df,s£[О,,].
Нетрудно установить, что оператор T отображает DM на себя и является сжимающим. Тогда по
теореме Банаха о неподвижной точке сжимающего оператора существует функция v £ DM, такая, что
_i _g / 2
T[v](s) = f(s), иными словами, v — решение (9) на [0,е]. Кроме того, v(s) = Х\С~[ — Х\c1 s +ü(s). Следовательно, g (s) имеет требуемый вид. □
Далее мы докажем существование решения g(s) = f'(s) уравнения (6) на [0, ж). Для простоты выкладок будем считать (без ограничения общности), что А = c = 1. Действительно, если c = 1, то всегда можно перейти, например, к другой валюте. Если же А = 1, то можно сделать замену времени. Теорема 1. Существует строго возрастающее решение g (s) уравнения (6) на [0, ж).
s
1
s
s
Доказательство. Пусть [0, Зо] — наибольший интервал, на котором справедливы равенство (6) и условие (7). Из леммы 2 следует, что Зо > 0. Предположим, что Зо < то. Покажем, что решение может быть продолжено на [0, £о+а) для некоторого а > 0, что приведет к противоречию. Определим постоянные К и Ь следующим образом:
2 so
^__^ _ fx f du ^
0 2а2 J ыь>0{£_ь(1 - Q(u - z))g(z)dz - ф)д(и)}
L := inf ( f (1 - Q(so - z))g(z)dz - c(b)g(so)
b>° I Jso-b
Заметим, что L > 0 в силу (7). Рассмотрим оператор V на пространстве H положительных непрерывных убывающих функций h(s), таких, что h(s°) = 1/K и h(s) = g(s) при s < s° (соответственно h(s) = 0 при s < 0):
(a2 } du \
2^ J maX{inf^0{r_b(l - Q(u - z))h(z)dz - c(b)h(u)},L} +KJ ' (1°}
Пусть hi(s) E H, и обозначим через bi(u), i = 1, 2, точки, в которых достигается инфимум в (10) при подстановке вместо h(s) соответственно функций hi(s) и h2(s) (заметим, что такой точкой может быть и ж). Пусть также
I f
Ii(u) := max < (1 - Q(u - z))hi(z)dz - c(bi(u))hi(u), L
[u-bi(u)
Тогда
I2 £ \I-4u) - I21 (u)\du ..2
IVlh^s) - V[h2]{s)I < J«°' 1 7 2 1 " Г ^ < tAjh Г 1Л_1(«) - 4l(y)\du-
2(72 {К + ^ /;о I^(u)du)(K + ^ /;o I^\u)du) 2a2K2 JSQ
Интеграл в правой части оценим следующим образом:
S S
J I JfV) - l2l{u)\du J I h(u) - h (u) I du <
s
so
u
c(b(u))(h2(u) - hi(u))+ J (1 - Q(u - z))(hi(z) - h2(z))dz
u-b(u)
du,
где b(s) = b2(s), если Ii(s) ^ I2(s), и b(s) = bi (s) иначе. Предположим теперь, что s ^ s°+а для некоторого а > 0 (выбор а уточним ниже), и пусть С := maxs^so+a[c(b(s))]. Тогда
s
/ \Ii(u) - I2(u)\du ^ sup \hi(s) - h2(s)\[C(s - s°) + (s° + a)(s - s°)].
J so^s^so+a
so
Выберем теперь число а > 0, такое, что Са + (s° + а)а = (2L2a2)/a2 (заметим, что положительность дискриминанта и отрицательность свободного члена гарантируют существование положительного корня). При таком выборе имеем
|Villus) - V[h2]{s)| < sup (s) - h2{s)\,
K so^s^so+a
что означает, что оператор V сжимающий на (s°, s° + а), и, значит, существует функция h(s), такая, что V[h](s) = h(s). Итак, мы показали, что существует решение g(s) уравнения (6) на (0,s° + а). Полученное противоречие доказывает теорему.
Существование оптимальной стратегии. В [4, с. 153] приведена следующая
Теорема об измеримом выборе. Пусть X — метрическое пространство, У — компактное метрическое пространство, Б — замкнутое подмножество в X х У, и пусть функция / : Б — [—ж, +ж] полунепрерывна снизу. Рассмотрим функцию /*(х) = штУ££>х /(Х,У), где Бх := {у £ У^х £ X : (х,у) £ Б}. Тогда существует измеримая функция ф : Бх — У, такая, что /(х,ф(х)) = /*(х).
Теорема 2. Пусть /(в) — строго возрастающее, дважды непрерывно дифференцируемое при в ^ 0 решение уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби (2) и соответственно уравнения (3). Тогда /(в) ограничена, а оптимальная вероятность неразорения равна 5(в) = /(в)//(ж). Кроме того, существуют измеримые функции А* (в) и Ь*(в), такие, что при каждом в ^ 0 инфимум в уравнении (2) достигается в точках (А*(в), Ь*(в)). При этом оптимальная стратегия определяется как (А*, Ь*) = (А*(К—), Ь*(К—)).
Доказательство. Существование измеримой функции Ь*(в) вытекает из теоремы об измеримом выборе, примененной к уравнению (3). Измеримая функция А* (в) находится затем по формуле А* (в) = —/'(в)(а2/''(в))-1.
Рассмотрим произвольную предсказуемую относительно фильтрации {^г} стратегию (Аг,Ьг). Пусть К* и Кг — капитал страховой компании, использующей соответственно стратегии (А*,Ь*) и (Аг,Ьг), т* и т — соответствующие моменты разорения. Пусть /(ЩАт*„) и /(Кглтр) — остановленные процессы, где т*п = И{Ь ^ 0 : К* £ (е,п)} и тЩ = И{Ь ^ 0 : Кг £ (е,п)}, а е и п таковы, что 0 < е < п. Справедлива следующая формула для математического ожидания Е/(Кглт£):
глт;Е
Е/(Кглт^ ) = /(в) + Е I
{с{Ьи)+^Аи)Г{Ки) + ^А1Г\Ки)
йп+
глт£
+АЕ I Е[/(Ки — шт{Ьи,У}) — /(Ки)Цп.
(11)
Действительно,
Первое слагаем используя формулу Ито:
Е/(Еглтс) = Е/(К*^) 1{Т > 1} + Е/(К^< Ь}. (12)
Первое слагаемое соответствует случаю, когда до момента Ь отсутствуют выплаты. Преобразуем его,
I глт*
Е/
глт£
в + J (в(Ьи) + Ми)Сп + J аАиёШь
\
/
глт^
глт£
= /(в) + Е I
(с(Ьи) + 11Аи)/'(Ки) + ^-А1/'{Яа)
Сп + Е I аАи/'(Ки)с№и.
(13)
Заметим, что процесс Аг в силу его локальной ограниченности ограничен на [0, т'П] для всех е,п > 0. Следовательно, все стохастические интегралы в (13) определены корректно и, кроме того, последнее математическое ожидание равно нулю. Далее, второе слагаемое в (12) равно
Е/(ЕгЛтй)1{Т < Ь} = [/(Щ) — /(Кт—)].
(14)
г=1
Для маркированного пуассоновского процесса (Тп, Уп) и для любой измеримой ограниченной снизу функции ф справедлива следующая формула:
Еф(Ик-1,Тк ,Ук)] = Е
тк
J У ф(Ик-1,г,у^[сСу]АСг
Тк-1
где Ип := ((Т1, У1), (Т2, У2),..., (Тп, Уп)). Доказательство этого утверждения см., например, в [5, теорема 4.1.14]. Применив эту формулу к разностям вида /(Кт) — /(Кт_ 1), составляющим сумму (14), получим, что второе слагаемое в (12) равно
thri
Ef (RtArg)I{Ti < t} = \E J E[f (Ru - min{bu, Y}) - f (Ru)]dn.
0
Окончательно, сложив оба слагаемых, получаем формулу (11). C другой стороны, из уравнения Беллмана—Гамильтона—Якоби (2) следует, что для Rt выполнено следующее неравенство:
±<T2A*f"(Rt) + (c(bt) + fiAt)f'(Rt) + AE[f{Rt - min{Y, bt}) - f(Rt)\ < 0,
причем для R* достигается равенство. Далее, используя это неравенство и переходя к пределу при е ^ 0, n ^ж в (11), по теореме о монотонной сходимости заключаем
E[f (Ълт)] < f (s), (15)
причем для R* достигается равенство. Заметим теперь, что для произвольной стратегии (A, b) капитал R^h ^ ж при t ^юна {тAb = ж} (см., например, [1]). По лемме Фату, примененной к последовательности f (RtAT), при t ^ ж с учетом (15) получаем
f (ж)Р[т = ж] < f (ж)Р[т = ж]+f (0)Р[т < ж] = E liminf f (RMt) < liminf Ef (RMt) < f (s). (16)
Но поскольку существует предсказуемая стратегия (At,bt), для которой выполнено Р[т = ж] > 0 (например, при отсутствии перестрахования и инвестиций, т.е. A = 0, b = ж), то из (16) заключаем, что f (ж) < ж. Далее, из (16) следует, что 5Ab(s) = Р[т = ж] ^ f (s)/f (ж), причем для
¿A*b* ( s) = Р [т * = ж]
достигается равенство (поскольку равенство достигается в (15)). Итак, мы доказали, что для произвольной предсказуемой стратегии (At,bt) имеем 6Ab(s) ^ 6А b (s), т.е. стратегия оптимальная. □ Автор приносит благодарность профессору Е. В. Булинской за постановку задачи и помощь в реализации идей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Schmidli H. On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance // Ann. Appl. Probab. 2002. 12. 890-907.
2. Hipp C, Plum M. Optimal investment for insurers // Insurance: Math. Econom. 2000. 27. 215-228.
3. Hipp C, Vogt M. Optimal dynamic XL Reinsurance // ASTIN Bulletin. 2003. 33. 193-207.
4. Bertsekas D., Shreve S.E. Stochastic optimal control: the discrete-time case. N.Y.: Academic Press, 1978.
5. Last G, Brandt A. Marked point processes on the real line: the dynamic approach. N.Y.: Springer-Verlag, 1995.
Поступила в редакцию 16.04.2012
УДК 511
ОДНОКАНАЛЬНАЯ СИСТЕМА С НЕНАДЕЖНЫМ ПРИБОРОМ И РАЗЛИЧНЫМИ ВРЕМЕНАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ
А. В. Ткаченко1
Рассматривается система M\GI|1|ж с ненадежным прибором и временем обслуживания, зависящим от состояния системы. Находятся условие эргодичности системы и производящая функция для числа требований в системе в стационарном режиме.
Ключевые слова: одноканальная система обслуживания, эргодичность, преобразование Лапласа, производящая функция.
An M\GI\1\ж queueing system is considered with an unreliable server and customer
1 Ткаченко Андрей Викторович — асп. каф. теории верятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
