Открытые марковские сети массового обслуживания с контрольными очередями и карантинным узлом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2017 Управление, вычислительная техника и информатика № 41

УДК 519.2

Б01: 10.17223/19988605/41/4

Ю.Е. Летунович, О.В. Якубович

ОТКРЫТЫЕ МАРКОВСКИЕ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С КОНТРОЛЬНЫМИ ОЧЕРЕДЯМИ И КАРАНТИННЫМ УЗЛОМ

Исследуется открытая сеть массового обслуживания с пуассоновским входящим потоком. В каждом узле формируются две очереди заявок: контрольная очередь проверки заявок на стандартность и очередь на обслуживание заявок. Поступающие в узлы заявки присоединяются к контрольной очереди, в которой происходят их сканирование, проверка на соответствие требованиям сети. По результатам проверки заявки могут быть направлены в карантинный узел для решения обнаруженной проблемы.

Ключевые слова: сеть массового обслуживания; карантинные очереди в узлах; стационарное распределение; эргодичность.

Системы и сети массового обслуживания позволяют моделировать и анализировать функционирование различных реальных объектов, осуществляющих обслуживание: сети связи, телекоммуникационные и информационные сети и т.д. В настоящее время весьма актуальным является вопрос защиты информации, использования антивирусного программного обеспечения, которое обнаруживает и обезвреживает вредоносные объекты и угрозы для систем и сетей. Ранее исследованы сети массового обслуживания, позволяющие учитывать ситуации, когда ожидающие в очереди заявки, обладая некоторым дефектом, становятся временно неактивными [1, 2] или обслуживающий прибор реагирует на вредоносные заявки сменой режима обслуживания [3]. В настоящей работе исследуются сети массового обслуживания, позволяющие описать функционирование подобного программного обеспечения с помощью введения очередей, в которых производится проверка всех поступающих объектов с последующим обезвреживанием вредоносных объектов в карантине. В работе [4] рассматривается модель с карантинным узлом, в который направляются заявки, признанные нестандартными в очередях узлов, при этом возможна ситуация, когда заявка будет направлена на обслуживание в узле, не успев пройти проверку. В настоящей работе контрольная очередь присутствует в каждом узле, что позволяет учитывать ситуацию, когда все поступающие заявки проходят предварительную проверку, сканирование до того, как они будут допущены к обслуживанию. Исследуется открытая марковская сеть, в которую поступает пуассоновский поток заявок. Узлы состоят из двух очередей: контрольной очереди и очереди для обслуживания. Заявки, поступая в узел, увеличивают длину контрольной очереди узла на единицу. В контрольной очереди узла производится проверка поступивших заявок, при обнаружении опасности заявка направляется в карантинный узел для устранения проблемы, в противном случае заявка присоединяется к обычной очереди узла.

1. Изолированный узел

1.1. Изолированный узел с контрольной очередью

Рассмотрим систему массового обслуживания, в которую поступает пуассоновский поток заявок с параметром X. В системе формируются две однолинейные очереди: контрольная очередь и очередь к обслуживающему прибору. Каждая поступающая заявка присоединяется к контрольной очереди, где проверяется экспоненциальным прибором на стандартность. Времена проверки независимы, не зависят от процессов поступления, обслуживания и имеют показательное распределение с параметром V, V -некоторая положительная постоянная. Дисциплина проверки заявок произвольная. Каждая заявка после окончания проверки либо с вероятностью р признается нестандартной и покидает систему, либо с вероятностью 1 - р присоединяется к очереди стандартных заявок.

Времена обслуживания заявок в системе независимы, не зависят от процессов поступления, проверки и имеют показательное распределение с параметром ц. Порядок обслуживания заявок произвольный.

Функционирование рассматриваемой системы массового обслуживания в момент времени t описывается случайным процессом x(t) = (m(t), n(t)), где m(t) - количество заявок в контрольной очереди в момент времени t, n(t) - количество заявок в обычной очереди в момент времени t. Тогда x(t) - однородный марковский процесс с непрерывным временем и счетным пространством состоянийX = {x = (m, n): m, n > 0}.

Предположим, что {p(x), x e X} - стационарное распределение вероятностей состояний процесса x(t). Уравнения равновесия для стационарных вероятностей имеют следующий вид:

p(m, n)

X-

-vI,

= p(m -1, n)XI{m^0} + P(m,n + 1)ц-

+p(m +1, n)vp + p(m +1, n -1)v(1 - p), (m, n) e X. Теорема 1. При выполнении неравенств

± < 1, К!-/!) < 1

v Ц

марковский процесс x(t) эргодичен, а стационарное распределение вероятностей состояний системы имеет следующий вид:

P (m, n) =| - Г Í }£=£> "

V J | Ц

i - X

v

f

1 -

X(1 - P) Ц

Л

Доказательство проводится стандартным образом - подстановкой стационарных вероятностей в уравнения равновесия. Условие эргодичности получено из эргодической теоремы Фостера.

1.2. Изолированный карантинный узел

Рассмотрим систему массового обслуживания, в которую поступает пуассоновский поток нестандартных заявок с параметром X.

Времена обслуживания заявок в системе независимы, не зависят от процессов поступления и имеют показательное распределение с параметром ц. Порядок обслуживания заявок произвольный.

Функционирование рассматриваемой системы массового обслуживания в момент времени t описывается случайным процессом n(t), где n(t) - количество заявок в системе в момент времени t. Тогда n(t) - однородный марковский процесс с непрерывным временем и счетным пространством состояний X = {n, n > 0}.

Предположим, что {p(n), n е X} - стационарное распределение вероятностей состояний процесса n(t). Уравнения равновесия для стационарных вероятностей имеют следующий вид:

p(n) X + ц/{п^0} = p(n - l)AI{n*0}+ p(n + 1)ц, n е X.

Теорема 2. При выполнении неравенства

i < i Ц

марковский процесс n(t) эргодичен, а стационарное распределение вероятностей состояний системы имеет следующий вид:

P(n) =

Í X >n

Ц

Í

X

Л

1--

. Ц J

Доказательство проводится стандартным образом - подстановкой стационарных вероятностей в уравнения равновесия. Условие эргодичности получено из эргодической теоремы Фостера.

2. Открытая сеть

Рассмотрим открытую сеть, состоящую из N узлов первого типа со структурой, описанной в пункте 1.1, и N + 1)-го узла второго типа со структурой, описанной в пункте 1.2. В сеть поступает пуассоновский поток заявок с параметром X.

Каждая заявка независимо от других заявок направляется в 7-й узел с вероятностью р07 (7 = 1, N). Очевидно, что Хнр07 = 1. Каждая заявка, поступающая в 7-й узел первого типа, присоединяется к контрольной очереди, где проверяется на стандартность. Времена проверки независимы, не зависят от процессов поступления, обслуживания и имеют показательное распределение с параметром V, v7 - некоторая положительная постоянная (7 = 1, N). Каждая заявка после окончания проверки в 7-м узле с вероятностью р7 признается нестандартной и независимо от других заявок мгновенно направляется в очередь (М + 1)-го узла, а с вероятностью 1 - р7 присоединяется к очереди стандартных заявок в 7-м узле. Стандартные заявки обслуживаются экспоненциальным прибором, времена обслуживания заявок прибором 7-го узла независимы, не зависят от процесса поступления и имеют показательное распределение с параметром ц7 (7 = 1, N). Порядок обслуживания заявок произвольный.

Каждая заявка после завершения обслуживания в 7-м узле независимо от других заявок мгновенно

направляется ву-й узел с вероятностью р7у, а с вероятностью р70 покидает сеть (^Л= Ру + Рю = 1,7 = 1, N).

В (М + 1)-м узле, который назовем карантином, осуществляется восстановление качеств (лечение) нестандартных заявок или их обезвреживание. Время такого обслуживания имеет показательное распределение с параметром цл+ь Порядок обслуживания произвольный. Каждая заявка после обслуживания в N + 1)-м узле независимо от других заявок мгновенно направляется в очередь у-го узла с вероятностью рл+1у, т.е. «вылечивается» и продолжает движение по сети, а с вероятностью рЛ+10 обезвреживается, т.е. покидает сеть (^ ^ pN+1 у + РN+ю = 1).

Состояние сети в момент времени 7 характеризуется вектором

х(7) = (х:(7), *2(0, • • •, Хл+1(7)), где х7(7) = (т7(7), п7(7)) - состояние узла первого типа в момент времени 7, т7(7) - число заявок в контрольной очереди, п7(7) - число заявок очереди на обслуживание в 7-м узле в момент времени 7 (7 = 1, N); Хл?+1(7) = п^хТ?) - число заявок в карантинном (М + 1)-м узле в момент времени 7.

Процесс х(7) - однородный марковский процесс с непрерывным временем и не более чем счетным пространством состояний X = Х1 х Х2 х • х ХМ+Ь где Х7 = {х7 = (т7, п7): т7, п7 > 0, 7 = 1, N }, XN+1 = {xN+l = = nN+l: п№1 > 0}.

Уравнения трафика имеют вид

8 = рог + 2 8у (1 " ру )ру, + 8N+1 рМ+17, 7 = Ъ N, }=1

Введем следующие обозначения:

N

8N+1 = 2 8уру .

у=1

р 07 = р 07 ,

р*7 = (1 " р} )р>7 ,

*

р]М+1 = ру ,

*

рл+17 = рл+17.

Покажем, что матрица Р* =(р*7, 7, у = 0, N +1) является стохастической.

N N

2 р 0*7 = 2 р07 = ^ 7=1 7=1

N+1 N N N

2 р*7 = 2 (1 - р} ) р у7 + р} = 2 р у7 - р} 2 р у7 + р} = 1

7=1 7=0 7=0 7=0

N * N

2 р N+17 =2 рЛ+17 = 1.

7=0 7=0

Будем предполагать, что матрица маршрутизации Р , где р00 = р^+1 = 0, неприводима. Записав уравнения трафика через введенные обозначения вероятностей переходов, получаем систему уравнений трафика сети Джексона, для которой доказано существование единственного положительного решения при условии неприводимости матрицы маршрутизации [5]. Таким образом, система уравнений трафика

для исследуемой сети имеет единственное положительное решение (е7, 1, N +1).

Пусть {р(х), х е X} - стационарное распределение вероятностей состояний процесса х(0. Уравнения равновесия для стационарных вероятностей имеют вид

( N N

р(х) I Х+2 Ц^*0} + ^N+1^+1 *0} + 2 V* о}

i=1

i=1

= 2 p( x - e;)/Pо,I{ mtФ 0} + 2 p( x + ef)yLtpt о + p( x +

eN+1)m N+1pN+10 +

t=1 t=1

N 1 N 1 2

+ 2 p(x + e, - eN+1)Vtpt/{„N+1 ^ 0} + 2 p(x + e, - e, )vt (1 - pt 0} +

NN 2 , N .

+2 2 p(x + e,2 -e;)^JpJII{m,^о} + 2 p(x + eN+1 e1)^N+1 pN+1 tI{m.Ф0}' x 6 X • t=1 j=1 1 t 1 t=1 1 t 1

(1)

Здесь е7 - единичный вектор размерности (2N + 1) с единицей в (2(7 - 1) + к)-й позиции, 7 = 1, N, к = 1, 2; едг+1 - единичный вектор размерности (2N + 1) с единицей в (2N + 1)-й позиции. Теорема 3. Пусть для любых 7 = 1, N выполняются неравенства

XsL < 1 /е ,■(1 - p,■) < 1 '/еn+1 V

< 1,

(2)

Mt M N+1

тогда марковский процесс x(t) эргодичен, а финальное стационарное распределение вероятностей состояний сети имеет следующий вид:

p(x) = p^x!)p2fe)... pn+^xn+O, x6X' (3)

где

p, (xt) =

fXet ^m f Xet (1 - pt) ^n f

v vt у

"г /

1 -

'et - /et (1 - p t)>

v

V

г /

M

t = 1, N,

2 /

pN+1 ( xN+1 )

/e

\"N+1 (

N+1

M N+1

1 - /eN+1

M N+1

(4)

(5)

(et, 1, N +1) - решение системы уравнений трафика.

Доказательство. Докажем, что марковский процесс x(t) эргодичен при выполнении условий (2), а (3) является решением уравнений равновесия (1). Согласно эргодической теореме Фостера достаточно доказать, что существует нетривиальное решение {p(x), x 6 X} системы уравнений равновесия

p(x)q(x) = 2 p(y)q(y, x), x 6 X, (6)

y^x, y6X

такое, что ряд 2x6Xq(x)p(x) сходится. Здесь q(x) - интенсивность выхода из состояния x.

Докажем, что (3) удовлетворяет уравнениям равновесия (1). Воспользуемся методом локального баланса. Разобьем (1) на уравнения локального равновесия

N

p( x)/ = 2 p( x+e 2 )m, p,0 + p( x+e n+1 )m n+1 pn+10;

(7)

t=1

f N

p(x) I 2 m,i{ ntФ 0} + MN+1I{nN 0}

N 1 N 1 2

= 2 p(x + e , - eN+1)v tp,I{nN+1 * 0} + 221 p(x + e , - e ,)v Д1 - pt)I{ni*0} ;

(8)

N N 1

p(x) 2 v tI{m.Ф0} = 2 p(x - e, )/p0,I{ t=1 l t I

N

2

t=1

{m t Ф 0}

N N N .

+ 2 2 р(х + е, - е} р/цф0} + 2 Р(х + eN+1 - е, ^+1 PN+uI{m¡фо} •

1 ]=

Разделим обе части уравнения (7) нар(х) = р1(х) р2(х)... рлт+1(х), подставим (4), (5), получим

Л N Хв,(1 - р, ) + 1вN+1

Х = 2-М , р,0 +-

,=1 М-,' Ц N+1

"Ц N+1р N+10 =

(

= Л

Л

= Л.

2 Б (1 - р, ) - 2 (в ] - ро ] - Б N+р+1 ] ) + Б N+lPN+10

ч^1 ] =1

Разделим обе части уравнения (8) нар(х) = р1(х)р2(х)... р№1(х), подставим (4), (5), получим

N Хв , мN+1

N

2 ц I

,=1

{",ф 0^ ЦN+17{"„ +1ф 0} - X у Л Б

,=1 V , лБ N+1

= 2-

•V» р7

{"N+1ф 0}

N Лв +2

,=1 v , Хв ,(1 - р,)

' ' ,(1 р1 )1{",.ф0} = 2 Б 1р+1ф0} + 2 Ц»1{"ф0}

+1

'=1

'=1

N

= 2 ц '■/{. ,=1

' Ц N+17{"

Разделим обе части уравнения (9) нар(х) = р1(х)р2(х). рт1(х), подставим (4), (5), получим

N

N

2 '¡7{щф 0} = 2Т^^О,7)

N

{т,. ф 0}

+ 2 2

N Хв] (1 - р] )

,=1 ' ,=1 Лв; ' ' ' ,=1 ] =1

М ]р],1{тф}

+ 2 N+1 „ 1 Ц N+1 pN+1 17{т1 ф 0} =

,=1 Ц N+1 Хв1

N у ,

= 2 ,=1в ,

N

ро, + 2 в , (1 - р] )р]г + вN+1PN+1,

]=1

N

Ь „1=2 у,7 ,=1

т..ф0! ^ ', {т,Ф0}'

Из требования теоремы Фостера о сходимости ряда 2хеХ?(х)р(х), где интенсивность выхода из состояния х

N N

д( х) = X + 2 М17{"ф 0} + ЦN+17{"^+1ф 0} + 2 '^{т,-ф0} ,

учитывая (3), получим условие (2). При этом (3) задает единственное стационарное распределение вероятностей состояний сети. Теорема доказана.

Заключение

В настоящей работе исследована открытая марковская сеть массового обслуживания с поступающим пуассоновским потоком заявок. Сеть состоит из узлов, в которых находятся две очереди: очередь для проверки заявок на стандартность и обычная очередь для обслуживания. Времена проверки и времена обслуживания независимы и имеют показательное распределение. В сети также имеется карантинный узел, в который направляются заявки, не прошедшие проверку. Установлены условия эргодичности и аналитический вид стационарного распределения состояний сети. Рассматриваемая в работе модель является обобщением модели сети, исследуемой в [5] на случай наличия карантинного узла и контрольных очередей в узлах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боярович Ю.С. Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний замкнутой сети массового обслужи-

вания с временно неактивными заявками // Автоматика и телемеханика. 2012. № 10. С. 32-41.

2. Боярович Ю.С. Стационарное распределение сети с различными типами заявок и ненадежными требованиями // Теория ве-

роятностей, математическая статистика и их приложения : сб. науч. ст. Минск : БГУ, 2009. С. 14-20.

3. Малинковский Ю.В., Нуеман А.Ю. Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежим-

ными стратегиями обслуживания // Весц1 НАНБ. Серыя ф1з.-мат. навук. 2001. № 3. С. 129-134.

4. Дудовская Ю.Е., Якубович О.В. Открытая марковская сеть массового обслуживания с «карантинным» узлом // XII Белорус-

ская математическая конференция : материалы Междунар. науч. конф. Минск, 5-10 сентября 2016 г.: в 5 ч. / ред. С.Г. Кра-совский. Ч. 4. Минск : Институт математики НАН Беларуси, 2016. С. 5-6.

5. Jackson J.R. Jobshop-like Queueing Systems // Manag. Sci. 1963. V. 10, No. 1. P. 131-142.

Летунович Юлия Евгеньевна, канд. физ.-мат. наук. E-mail: [email protected] Якубович Оксана Владимировна, канд. физ.-мат. наук. E-mail: [email protected] Гомельский государственный университет имени Ф. Скорины (Республика Беларусь)

Поступила в редакцию 2 сентября 2017 г.

Letunovich Yuliya E., Yakubovich Oksana V. (F. Scorina Gomel State University, Belarus). Open Markov queueing networks with control queues and quarantine node. Keywords: queueing network; control queues in the nodes; stationary distribution; ergodicity.

DOI: 10.17223/19988605/41/4

Recently the questions of information security and using of the antivirus software are very important. Such software finds and neutralizes harmful objects and threats for systems and networks. In systems and queueing networks functioning of the similar software can be described by means of queues in which all arriving objects are checked with the subsequent neutralization of harmful objects in a quarantine.

In this paper, the open queueing network with the Poisson input flow with a parameter X is investigated. Every customer goes to the node i with probability p0i (i = 1, N, p0i = 1). In each of N nodes there are two queues: control queue and a queue for service.

Every arriving customer joins control queue, in which it is scanning, checking on compliance to requirements of the network. The times of checking have exponential distribution with a parameter vi (i = 1, N ).

After checking in the node i every customer is admitted as non-standard with probability pt and is directed to the queue of node (N+1) immediately and independently from the other customers. Or it joins queue of standard customers in the node i with probability 1 - pi.

Standard customers are served by the device, service times in each node are independent and have exponential distribution with parameter ц (i = 1, N ). After service at the node i every customer is sent immediately to the node j with probability pij, and it leaves the network with probability pi0 (ln=1 pj + pi0 = 1, i = 1, N).

In the node (N+1) called quarantine the restoration of qualities of non-standard customers or their neutralization is carried out. The times of such service have exponential distribution with a parameter ^n+1. After service at the node (N+1) every customer is sent immediately to the node j with probability pN+y, and it leaves the network with probability pN+10 (l Nj=1 pN+1 j + pN+10 = 1) . Network state at the moment t is characterized by a vector

x(t) = (X1(t), *2(t),. ■., Xn+1(t)),

where xi(t) = (m,(t), ni(t)) is the state of the node i at the moment t, mi(t) is the number of the customers in the control queue, ni(t) is the number of the customers in the queue for service in the node i at the time moment t (i = 1, N ); xN+1(t) = nN+1(t) is the number of the customers in the quarantine node (N+1) at the moment t.

The process x(t) is homogeneous Markov process with continuous time and finite or countable states spaceX = X1 xX2x... xXN+b где

Xi = {х,- = (mi, n,): mh щ > 0, i = 1,N }, Xn+1 = {xn+1 = nn+1: nn+1 > 0}. Traffic equations are following

s,- = p0, + I s j(1 - pj)pji + sn+1pn+1i, i = 1N,

j=1

N

sN+1 = I s jpj. j=1

Let {p(x), xe X} be stationary distribution of states probabilities for the process x(t). We proved the following statement. If for all i = 1, N inequalities

}£± < 1 tej(1 - p, ) < 1 ^sn+1 < 1 v, ' Vi ' ^n+1

are carried out, then Markov process x(t) is ergodic and stationary distribution of the network states probabilities has the following form

p(x) = p1(x1) p2(x2). pn+1(xn+1), x e X,

where

pl (x) = [ ^ p [ xsxi-p) j - ^ - q- p, ) ], i = tN,

pN+l( xN+l)

(s,-, 1, N +1) is solutions of the traffic equations.

REFERENCES

1. Boyarovich, Yu.S.(2012) The stationary distribution invariance of states in a closed queuing network with temporarily non-active

customers. Automation and Remote Control. 73. pp. 1616-1623. DOI: 10.1134/S0005117912100037

2. Boyarovich, Yu.S. (2009) Statsionarnoe raspredelenie seti s razlichnymi tipami zayavok i nenadezhnymi trebovaniyami [The station-

ary distribution of the network with various types of customers and unreliable requests]. In: Teoriya veroyatnostey, matematich-eskaya statistika i ikhprilozheniya [Probability theory, mathematical statistics and their applications]. Minsk: Belarusian State University. pp. 14-20.

3. Malinkovsky, Yu.V. (2001) Mul'tiplikativnost' statsionarnogo raspredeleniya v otkrytykh setyakh s mnogorezhimnymi strategiyami

obsluzhivaniya [Multiplication of probability distribution in open networks with multimode service strategies]. Vestsi NANB. Seryya fiz.-mat. navuk. 3. pp. 129-134.

4. Dudovskaya, Y.E. & Yakubovich, O.V. (2016) [Open Markov queueing network with quarantine node]. Proc. of the 12th Belarusian

Conference of math. 4. pp. 5-6. (In Russian).

5. Jackson, J.R. (1963) Jobshop-like Queueing Systems. Managment Science. 10(1). pp. 131-142. DOI: 10.1287/mnsc.1040.0268

N+11 N+1 ^ _ N+11

^N+1 ) V ^N+1 )