Открытые неоднородные сети массового обслуживания с возможностью внутренних изменений в узлах Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(11)

УДК 519.2

Ю.В. Малинковский, Ю.Е. Летунович ОТКРЫТЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ СЕТИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ВОЗМОЖНОСТЬЮ ВНУТРЕННИХ ИЗМЕНЕНИЙ В УЗЛАХ

Исследуется открытая сеть массового обслуживания с простейшим входящим потоком, экспоненциальным обслуживанием в узлах и марковской маршрутизацией. В сети циркулируют заявки нескольких типов. В каждом из узлов сети находится единственный прибор, который может работать в нескольких режимах. Время пребывания в каждом режиме имеет показательное распределение. Переходы возможны только в соседние режимы. Во время переключения режимов число заявок в узле не меняется. Устанавливаются условия обратимости, при выполнении которых стационарное распределение вероятностей состояний сети имеет мультипликативную форму.

Ключевые слова: сеть массового обслуживания, стационарное распределение, обратимость.

Изучение систем и сетей с многорежимными стратегиями обслуживания представляет большой интерес, поскольку зачастую на практике возникает ситуация, когда оборудование может частично или полностью выходить из строя. Попытка построения таких моделей была предпринята в работе [1]. В ней рассмотрена открытая сеть с многорежимными стратегиями обслуживания, в которой циркулируют заявки одного типа. Настоящая работа обобщает результаты, полученные в [1], на случай, когда в сеть поступают заявки нескольких типов.

Таким образом, исследуется открытая неоднородная сеть с многорежимным обслуживанием. Рассматриваемые режимы отвечают разной степени работоспособности узлов сети. При переходе в режим с большим номером, в менее «надёжный» режим, производительность узла уменьшается. Прибор не выходит из строя полностью. Прибор может частично терять работоспособность как при обслуживании, так и в незанятом состоянии.

Для рассматриваемой сети допускается наличие внутренних изменений в узлах. Под внутренними изменениями будем понимать переходы обслуживающего устройства из одного режима работы в другой. На практике это может означать возможность поломки или восстановления устройства без воздействия внешних факторов.

При описании состояния узла были введены обозначения, аналогичные обозначениям, введённым в работе [2]. Состояние описывается произвольно и может не совпадать с числом заявок определённого типа в узле. Такое описание позволяет упростить процесс обращения времени и обобщить модели сетей с многорежимным обслуживанием, которые были рассмотрены авторами ранее.

1. Изолированный узел

Рассмотрим одноканальную экспоненциальную систему массового обслуживания с ожиданием, в которую поступают М независимых пуассоновских потоков с

параметрами аи, и = 1,М . Здесь аи есть интенсивность поступления заявок типа и.

В системе находится единственный прибор, который может работать в г+1 режимах. Назовём 0 основным режимом работы. Время переключения с одного режима на другой имеет показательное распределение. Во время переключения прибора с одного режима работы на другой число заявок в системе не меняется. Переключение происходит только на соседние режимы.

Состояние системы будем описывать абстрактно, и состояние системы может не совпадать с числом заявок в ней. Пусть х(ґ) - состояние системы в момент времени ґ. Обозначим через \Х( - число заявок типа и, и = 1,М, в системе, которая

функционирует в 1-м режиме и находится в состоянии х. Предполагаем, что х(ґ) -однородный марковский процесс с фазовым пространством X.

Пусть пи (х, х) - условная вероятность того, что система перейдёт в состояние

X, если в неё поступит заявка, заставшая его в состоянии х, |х| 1и = |х|и +1; ци (х, х)

- интенсивность перехода из х в х за счёт ухода заявок типа и из системы,

|х|1 = \х\1 —1, \х\1 Ф 0 .

I 1и I I и I I и

В рассматриваемой системе предполагаются возможными внутренние переходы из состояния х в другое состояние х , но с тем же числом заявок

/ І '~|/+1 I |/ І '~|/ —1 I |1 \

(|х|и = |х|и, |х|и = |х|и, х Ф х). Это значит, что такие переходы связаны не с поступлением или обслуживанием заявок, а с переходами системы из одного режима работы в другой. Для состояний х, у которых номер режима 1 < / < г — 1, время пребывания в режиме / имеет показательное распределение. При этом с интенсивностью v(x, х) прибор переходит в /+1-й режим, а с интенсивностью ф( х, х) - в /-1-й режим. Предполагается, что V (х, х) =0, когда система находится в режиме г, и ф(х, х) =0, когда система функционирует в режиме работы 0.

Предполагается, что введённые параметры выбраны таким образом, что процесс х(ґ) эргодичен. Тогда финальное распределение является единственным стационарным распределением.

Введём следующие обозначения

О+ (и,/,х) = { х є X : |х|и = |х|и +1; |х| 1т = |х|гт ,т є {1,2,...,М}\ {и}} ,

О—(и,/, х) = { х є X : |х|г = |х|г — 1; |х|г Ф 0, |х|г = |х|г , т є{1,2,..., М }\{и}},

V’’ / ( ІІи 11и Ч1и ’11т 11т’ *,???

©+ (и,/,х) = { х є X : |х|и+ = |х|и ;/ Ф г, |х|5 = |х|и , х Ф х,5 є {0,1,...,г}\ {/}},

©— (и,/,х) = { х є X : |х|и1 = |х|и;/ Ф 0, |х|и = \х\и,х Ф х,5 є {0,1,...,г}\{/}}.

Обозначим через р(х) стационарные вероятности состояний марковского процесса х(ґ). Уравнения обратимости для рассматриваемой системы запишутся в следующем виде:

аипи (х, х) р (х) = ци (х, х) р (х), х є О+ (и, /, х), и = 1,М; v(x, х) р (х) = ф(х, х) р (х), х є ©+ (и,/, х), и = 1,М.

Обозначим через у1к - состояние системы с числом заявок типа и, равным |у£ | = К , находящейся в режиме работы /.

Лемма. Для обратимости системы необходимо и достаточно выполнения условий

п ((1, у*-1 )(У-1, у[ы)^и (у{ы ,Уи -1 )ф( ук -1 , У--1 ) =

=пи(-1, У*и )-((, у*:1 К ((1, у*:-1 Му*:-1, у„ -1

Доказательство леммы аналогично соответствующему доказательству в [1].

Из уравнений обратимости легко определяются стационарные вероятности состояний системы:

м к ап (у* , у* ) I V(у0-1 у0)

р(х)=ПП и "(^У*и", )П-У^)(*),

^и (, Укы -1) *=1 -(, Уо )

и =1 К =

х, 2, у[ є X, \г\0 = 0.

Здесь 2 - такое состояние системы, когда в ней отсутствуют заявки, и система работает в основном режиме 0. Вероятности р(х) не зависят в силу обратимости системы от выбора пути, приводящего из состояния, когда система пуста, в состояние х.

2. Склеивание узлов в открытую сеть

Рассмотрим сеть, состоящую из N обратимых однолинейных узлов со структурой, определённой в предыдущем пункте. Это означает, что пи (х, х), Н (х, х), v(x, х), ф(х, х) такие же, но снабжены индексом і, указывающим номер узла. В

сеть поступает простейший поток заявок с параметром X. Заявки могут быть М типов. Каждая заявка входного потока независимо от других заявок направляется

( N М Л

в і-й узел и становится заявкой типа и с вероятностью р0(і,и) І ЕЕ р0(і и) = 11. По-

V і =1 и=1 )

сле обслуживания в і-м узле заявка типа и независимо от других заявок мгновенно направляется в ]-й узел и становится заявкой типа V с вероятностью р^»^», а с ве-

( N М ___ ____Л

роятностью р(іи)0 покидает сеть

ЕЕ р(і ,и)( і ,v) + р(і,и )0 =1;і = і,N, и = IМ

Vі=і

Будем предполагать, что матрица переходов (р(;,и)(/,у)), и, V = 1,М, /', ] = 0, N , Р(0,и)(0у> = 0 неприводима. Тогда уравнение трафика

N М ____ _____

8и = Р0(г,и) + XX 8/уР(/,v)(г,u) , 1 1 N, и = 1М, (1)

/=1 v=1

имеет единственное решение (8и), для которого е,и>0 (/ = 1, N, и = 1,М). Обозначим через аи= Я,8,-и среднюю интенсивность поступления заявок типа и в г'-й узел.

Состояние сети в момент времени t описывается вектором х^^х^О, х2(^,..., х^)), где х(Г) - состояние г-го узла в момент времени t. Очевидно, x(t) - однородный марковский процесс с фазовым пространством Х=Х1 хХ2х...хХдг

Пусть пги (х., х) - условная вероятность того, что узел перейдёт в состояние

х , если в него поступит заявка, заставшая его в состоянии хг, |х ||| = \х^ +1.

Здесь \х^‘ - число заявок типа и в 1-м узле, который функционирует в режиме к,

когда система находится в состоянии х. Пусть цім (х, х) - интенсивность перехо-

В каждом узле предполагаются возможными внутренние переходы из состояния хг в другое состояние х , но с тем же числом заявок

поступлением или обслуживанием заявок, а с переходами системы из одного режима работы в другой. Для состояний хі, у которых номер режима 1 * Іі * Г -1, время пребывания в режиме Іі имеет показательное распределение. При этом с интенсивностью V і (х., х) прибор переходит в І+1-й режим, а с интенсивностью ф і (х, X) - в Л-1 -й режим. Предполагается, что V і (х., х) =0, когда система находится в режиме г „ и ф і (х., х) =0, когда узел функционирует в режиме работы 0.

Инфинитезимальные интенсивности перехода системы из состояния хі є X і в состояние X є Xi (хі Ф х) принимают следующий вид:

живания -м узлом заявок типа и, когда он находится в состоянии х ;

счёт повышения номера режима функционирования -го узла;

нижения номера режима функционирования -го узла. Здесь в суммах 0+У, и, 1г, хг), О- (, и, 1г, хг), ©+ у, и, к, хг), ©-(', и, кг, хг) указывают, что суммирование ведётся по X, принадлежащему одному из определённых множеств. Множества 0+ (,и,кг,хг), О-(,и,к,хг), ©+(,и,к,хг), ©-(,и,к,хг) вводятся так же, как и в пункте 1, но с указанием номера узла.

Предполагается, что введённые параметры выбраны таким образом, что процесс х(0 эргодичен. Тогда финальное распределение является единственным стационарным распределением.

Согласно предыдущему пункту, стационарное распределение состояний изолированного узла ( -го узла сети) находится по формуле

да из хі в X за счёт ухода заявок типа и в і-м узле, |Х '

(|Х и+1 = їх Iі' , |х И 1 = їх Iі' , X Ф х). Это значит, что такие переходы связаны не с

I * и I * и I * и I * и II' а

я,(х,,х)-і \’1(х,х),х ^+(кик,х^

0, в остальных случаях.

фг- (х) = Е©-( и І х )фг- (х, х) - интенсивность выхода из состояния хі за счёт по-

Здесь і і - такое состояние і-го узла, когда в нём отсутствуют заявки, и система находится в основном режиме работы 0.

3. Основной результат

Обозначим через [х ] Х-мерный вектор х, у которого все координаты, кроме і-й, совпадают с координатами вектора х, а і-я координата равна х . Через [хі, х- ] обозначим Х-мерный вектор х, у которого все координаты, кроме і-й и --й, совпадают с координатами вектора х, а і-я координата равна х , І-я координата равна х^. Если я(х,у) - интенсивность перехода процесса х(ґ) из состояния х в состояние у, я(х) = ХуФХЯ(х,У) - интенсивность его выхода из состояния х, то интенсивности перехода процесса х(ґ) имеют следующий вид:

я(х[х ]) = ^0(г,и)Пи (х,х), х є О+ (i,и,Іі,х); я (х [х ]) = Ни (х, х )Рс,и)0^^ ФО], х є °- (,иІі, х);

я(х[х]) = \(х,хУ^г]х ^(їиІі,х); (3)

я(х[х]) = ф (х,х )1[ііф0], х є ®- ((иІі,х);

я(х,[х,X-]) = Ни (х,X^Р(г,и)(П(х;,) 1 [(хіифо],

х є О- (,', І, х), х- єП+( І, V, І -, х- ), і, І - 1, Х.

Для всех иных состояний у я(х,у)=0. Интенсивность выхода получается сложением указанных интенсивностей:

Х М Х

я(х) = ь + XX Ни (х)1 [|х;|1,- фО] + X [\ (х )1[ііФГі] + Ф (х )1[ііФО] ].

і-1 и-1 ^ 1 и ] і-1

Теорема. Если все изолированные узлы удовлетворяют условию обратимости

п и (у(1_1,\(, уік ) н и(уік ,уік -1) фг () -

- и ( -1, у'к)ф (, У-)н и (у(, \ (у(1_1, у‘к -),

то стационарное распределение сети имеет мультипликативную форму

р(х) - д(х)Р2(х2)...Рх(хх), (4)

где р і (х) - стационарное распределение изолированного узла, определяемое с помощью (2).

Доказательство. Для доказательства того, что р(х), определённые в (4), образуют стационарное распределение марковского процесса х(ґ), достаточно подобрать функцию

як : (X,X)\ {х, х), х є X} — [О, да), которая удовлетворяла бы соотношениям

Р(х)яК (х,у) - Р(у)я(у, х); (5)

яК (х) -X яК (х,у) -X я(х, у) - я(х). (6)

уф х уф х

Если такие д*(х,у) удастся найти, то окажется, что д*(х,у) являются инфините-зимальными интенсивностями перехода для обращенной во времени цепи Маркова х(—), ар(х) - стационарными вероятностями для х(0 и х(—). Положим

(X, [хг ]) = агпПи (хг, хг ) Р(г,и)0 , X 6 0+ (‘, U, 1г, х1 );

/ (X, [X ]) = ^ а , х' ) ХР0(г,и)7[|х,.к ,0] , х 6 0 (Х ^г , );

/ (X, [хг ]) = ^(хг, х )1[ ,г ] х 6©+У, U, кг, хг ) (7)

(x, [х ]) = Ф (хг, х )1[ ,0] х 6 ©- У, U, кг, х );

д* (х, [х , х; ])=ЦШ ах , ) Р(№,и)“^vП] ( , х] )1Пх,.и,- ,0] ,

аги Г '1и ]

хг бО-У',и,к,хг),х^ б0+ (_/',V,I/,х;-).

Для всех иных состояний у положим д*(х,у)=0. Для функции д*(х) соотношение (5) выполняется, что проверяется подстановкой в него равенств (3) и (7) и использования (4). Осталось доказать (6). Складывая равенства (7), имеем

N М N М .. (х х )

д* (х)=ХХ X аги Пи (х , х )Р(г,и)0 +ХХ X “ ( г, ') Х Р0(г,и) ^ ,01 +

г=1 и=1 .хг-б0+Х,и, 1г ,х,) г=1 и=1 х(б0~у,и,,х,) аги Г и

N N

+Х X V (хг, х)1[г,.*т,]+Х X Фг (хг, х )1[,0] +

г=1 х б©+Х,и,кг ,х,) г=1 хс{ б©-у,ик ,х,)

N М N М и (х х )

+ХХ X XX X " а.г, г ^ ^)(г,и) а/V П ( ^ УГх^и ,01 =

г=1 и=1 х,-б0 Х,ик,хг-)]=! х]б0+(>,/],х/) г и

=^+ХХ X

г=1 и=1 х,60 Х,ик ,х,) а

Иг'и (хг,х)) V' / ~ О

Р0(и) +ХХ X Р(],v)(г,u)а/VП^ Iх/ ,Х/ )

/=1 v=1 х]б0+(./ У к] ,х/)

V

N N

+ХУг (хг )1[к,-,г] +ХФг (хг )1[,0].

/[1 ,°] +

г=1 г=1

Используя уравнения трафика (1), получим

N М и (х х ) N N

д* (х) = Х + ХХ X Ш аг, г ) аги1 [|х.|и,01 +ХУг (хг Уй,г,] + Хфг (хг ,0] =

г=1 и=1 :^г.б0-у,и,//,х) Г г1и ] г=1 г=1

N М N N

= Х + ХХИги (хг ,0] +ХУг (хг У[ЬЩ] +Хфг (хг У[Ь,0].

г=1 и=1 Г 1 и ] г=1 г =1

Таким образом, д*(х)=д(х) для любого состояния х 6 X. Теорема доказана.

4. Примеры

Пример 1. Рассмотрим частный случай исследованной выше сети: открытую неоднородную сеть с многорежимными стратегиями обслуживания, заявки в которой выбираются из очереди согласно дисциплине обслуживания ЬСБ8 РЯ с до-обслуживанием. Такая модель сети рассматривалась в [3]. Интенсивность обслу-

живания заявки типа и і-м экспоненциальным прибором равна ціи (хг), где х,= (хі1, хі2, , хія(і), Іі) - состояние і-го узла. Здесь хг1 - тип заявки, находящейся

последней в очереди, ..., хі,и(і)_і - тип заявки, стоящей первой в очереди, хі и(і) - тип заявки, находящейся на обслуживания, Іг - режим, в котором работает і-й узел, п(і)

- число заявок в і-м узле. Условия обратимости принимают вид

V (^ ( 2 — х,пО> Іг - !)), х) ( хги хі2 ,..., X,n(г), Іг )ф< ( хги хг 2,..., х^г)—^Іг ) =

= V ( ( 2 ,..., х^г)—^Іг -1)Н, х) (X■1, (2 ,..., хі,пС0> Іг -1)фг ) ( 2 ,..., хгМГр Іг ).

Здесь вероятность П и ( х, х) =1.

Из уравнений обратимости, которые для данной модели сети запишутся в виде

Хєі,х,„(і) Рг (хі1, Xi2,...,хі,п(і)—1,Іг ) =

= Р і (( X 2 ,..., хі, п(і ) , Іг ), х) (^ X 2 ,..., хі,п(і) , Іг ),

V ( Xl, х^.-хі,п(і) , Іг ) Рг ( хги хі2 ,..., хі,п(і) , Іг ) =

= Р г (хг ^ х 2 — хі,п(і) , Іг + 1)Ф! (Xl, х 2 ,..., хі,п(і) , Іі + 1),

находим стационарное распределение вероятностей состояний изолированного узла

р. (хг) = Г(г)П-------------^-----------П ^(0, к — :) Рі (0,0).

Д ^ ІІ Н,х„ (1, х-2,..., х«, Іг ) Фг (0, к) РЛ ’ '

Стационарное распределение сети получается умножением найденных вероятностей по всем і = 1, N .

Пример 2. В работе [4] рассматривается открытая неоднородная сеть с многорежимным обслуживанием. Обслуживание в узлах осуществляется согласно дисциплине разделения процессора с весами.

Состояние сети в момент времени ґ будем характеризовать вектором х(0 = (х(ґ), х2 (Ґ),..., XN (ґ) ) , где х (Ґ) = ( х (ґ), Іг (Ґ) ) = ( ^(ґ), хп(ґ),..., хш (ґ), і. (ґ) ) описывает состояние і-го узла в момент времени ґ. Здесь хіи (ґ) - число заявок и-го типа в і-м узле в момент времени ґ, І. (ґ) - режим, в котором работает і-й узел в момент времени ґ. Времена обслуживания заявок независимы, не зависят от процесса поступления и для заявок и-го типа в -м узле имеют показательное распределение с параметром ц іихи, х. - общее число заявок в і-м узле.

х

Условия обратимости принимают вид

V (хги х2 — хм ,Іг — 1) Фг (Xl,..., хги + ^ хгМ ,Іг ) =

= V (Xl,..., хги +1,..., Хм , Іг —!) фг(х 1, х 2 , "^ хМ , Іг ).

Здесь вероятность п и (х, х) =1, ци(хі, х )=цИхи +1.

х +1

Уравнения обратимости для данной модели сети запишутся в виде

а і и Рі ( х^..^ х и^ хм , Іг ) =

Цги—Рг ((и хг 2 ,..., хМ , Іг ), и = 1 M, 1г = 0, ^ ; х

V (Х-1>X2,•••,xM,h)Pi (xi1>X2,•••,Xm,li) =

Фг ((1> X 2 ’•••, XM , li + 1) (1> X 2 ’•••, XM , li +1) li = 0, ^ -1

Стационарное распределение вероятностей состояний изолированного узла

Стационарное распределение сети получается умножением найденных вероятностей по всем I = 1, N .

В настоящей работе исследована неоднородная сеть с экспоненциальным обслуживанием в узлах и марковской маршрутизацией. Однолинейные узлы могут работать в нескольких режимах, отвечающих различной степени работоспособности. Время переключения с одного режима на другой имеет показательное распределение. Переключение происходит только на соседние режимы. Установлены достаточные условия мультипликативности стационарного распределения состояний сети.

1. Малинковский Ю.В., Нуеман А.Ю. Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями обслуживания // Весщ НАН Беларуси 2001 № 3. С 129 - 134

2. Малинковский Ю.В. Критерий представимости стационарного распределения состояний открытой марковской сети обслуживания с несколькими классами заявок в форме произведения // Автоматика и телемехани^ 1991 № 4 С 75 - 83.

3. Летунович Ю.Е. Стационарное распределение состояний открытой неоднородной сети с многорежимными стратегиями и немедленным обслуживанием // Современные информационные компьютерные технологии: сб. науч. ст Гродно, 2008. С 97 - 99.

4 Летунович Ю.Е. Открытые неоднородные сети с многорежимными каналами и дисциплиной обслуживания PS // Юбилейная научно-практическая конференция: материалы конф. Гомель, 2009. Ч. 4 С. 141 - 144 •

Малинковский Юрий Владимирович

Летунович Юлия Евгеньевна

Гомельский государственный университет им^ Ф^Скорины

E-mail: Malinkovsky@gsu.by; yu28031984@yandex.ru Поступила в редакцию 8 февраля 2010 г

Заключение

ЛИТЕРАТУРА