CC BY
10
УДК 519.21
А. В. Ушаков, В. Г. Ушаков2
ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ
ПРИ КРИТИЧЕСКОЙ ЗАГРУЗКЕ В СИСТЕМЕ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМ
ПРИОРИТЕТОМ
Рассматривается одноканальная система с относительным приоритетом и гиперэкспоненциальным входящим потоком. Найдено предельное распределение виртуального времени ожидания для требований низшего приоритета в условиях критической загрузки.
Ключевые слова: относительный приоритет, виртуальное время ожидания, критическая загрузка.
1. Введение. В данной статье изучено предельное поведение виртуального времени ожидания в одноканальной системе с гиперэкспоненциальным входящим потоком и относительным приоритетом в условиях так называемой критической (тяжелой) загрузки. Показано, что в зависимости от соотношения скоростей стремления времени к бесконечности и загрузки к единице возможны три различных предельных распределения. Доказательство предельной теоремы основано на результатах работы [1], в которой найдено нестационарное распределение времени ожидания, работ [2-5], в которых подробно изучены свойства решений ряда функциональных уравнений, а также асимптотических разложений этих решений, полученных в данной работе.
2. Описание системы. Рассматривается последовательность одноканальных систем обслуживания с г, г ^ 1, приоритетными классами требований. В п-ш системе справедливы следующие положения: а) длительности обслуживания — независимые в совокупности и не зависящие от входящего потока случайные величины с функцией распределения В]'"(ж) для требований г-го класса; б) входящий поток требований — рекуррентный, определяемый плотностью распределения интервалов между поступлениями требований вида
(п)г ч _ / Е 4ПЦП) ехР (-aja)x) ' Ж ^ о,
а {X) — < j—i \ /
[О, ж < О,
N
где ф а^ при i ф j, с^ > 0, = 1; в) поступившее требование направляется в %-й
г= 1
приоритетный класс с вероятностью р\п\ г = 1, • • •, г, независимо от остальных требований.
Будем предполагать, что системы обслуживания в рассматриваемой последовательности функционируют независимо друг от друга, требования из класса с меньшим номером имеют относительный приоритет перед требованиями из класса с большим номером. Требования из одного приоритетного класса обслуживаются в порядке их поступления в систему (дисциплина FIFO). Пусть, кроме того, в начальный момент t = 0 системы свободны от требований.
3. Основные обозначения и предположения. В дальнейшем для сокращения записи будем опускать индекс п (номер в серии). При этом lim будет означать lim . Предельные значения па-
п—>со
раметров входящего потока и характеристик длительности обслуживания (функция распределения, моменты и т.п.) будем обозначать теми же символами, что и допредельные, но с дополнительным индексом "*".
1 Институт проблем информатики РАН, асп., e-mail: grimgnauQrambler.ru
2 Факультет ВМК МГУ, д.ф.-м.н., проф., e-mail: vgushakovQmail.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 11-01-00515а и 12-07-00109а), а также Министер-
ства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-
2013 годы".
6 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Как уже было указано выше, функцию распределения времени обслуживания требований из г-го приоритетного класса будем обозначать В^х). Пусть далее ¿»¿(ж), /Зг(^), /% — соответственно плотность распределения, преобразование Лапласа-Стилтьеса и ;/'-й момент случайной величины с функцией распределения Вг(х),
, N ч -1 к к
а=\У2сЗа^1) > Рк1 = а- ^РФп-, Рк2 = а-
\?'=1 г=1 г= 1
№ №
, Рг2 -2 -1
Р/г = 1 ~ Рк17 Р = Рг, « = -у + а- 2_^сзаз ~ '
¿=1 ¿=1
Введем случайный процесс и)(1) — виртуальное время ожидания для требований г-го приоритетного класса в момент времени
Положим
оо оо
= I е^^РИ*) < у,№=]), 4(8,V) = I
о о
Сделаем следующие предположения:
1) существуют первые два момента функции распределения длительности обслуживания требований всех приоритетов, причем справедливы разложения
= РпВ + ^В2 +0П(82), (1)
°п{$2) п п
где -т--> и при 8 и равномерно по п;
81
2) для любого п ^ 1 рг 1 < 1;
3) существуют пределы Иmcj = с*, Нша,:1 = а*, j = 1,..., Нт/З^ = [3*к, к = 1, 2, г = 1,..., г, НтРг = р*, г = 1,..., г, Нтрг_ц < 1, НтрГ1 = 1. Положим и* = Нтя.
4. Предварительные результаты. Из результатов работы [1] вытекают следующие соотношения для нахождения распределения виртуального времени ожидания:
" " + TT fS-iW
Cij CLj X
и=1к=11фи ai рфк l(s) Pk,r-l(s)
iV JL JL \rt,i'-i\-/ ' / T — 1 \
E , (fc) («Л JV (TT) ' ( S ^Ä.mis) +PrJwrj- (s - /igLW^) ,
(2)
x
где
N
С
Wrj(s,v) = -----;--P0j(v) + -3---У^ aküürk(8,v) ■ Pmßm(s), (3)
11 — «4- и Ii — «4- и Ii — «4- и / i
V — 8 + üj V — 8 + üj V — 8 + üj
k= 1 m=1
3 — 3 — 3 fc
N г ч N N N
1 " E ' E Pmßmis) ) • E °*"rk(s, v) = E " 5 E (4)
' v — s + a-j ) ' ' v — s + a-j v — s + a*
3 = 1 ■' m=1 k=1 3 = 1 ■' 3 = 1 ■'
функции pak(v), к = 1,..., N, определяются по формулам
N
N N
г \ V^ V"^ Cpttp j=1
OfcPOfc(w)
1=1 v^i + ' ~ (afc - br{v)) ■ П {'ФпЛ'о) ^ 1plr(v)) ■ П - ai) '
пф1 гфк
а функции фц(у), I = 1,..., Ж, г = 0,..., г, являются решениями (относительно «) уравнения
N , %
с ¡а
-1 из
3 = 1
"ГП= 1
т=г+1
Пусть далее а^^) = Л (р>к(%) — а №.(%)■> ■ ■ ■ >М^(^) корни многочлена
%фк
N N
№ + а*) ~ (р> X сзаз № +
3 = 1 гф'З
г=1
^(я) = + /4*= • • •' • • •! !)> = Е Рто^то-
СО/
то=1
Замечание 1. Легко показать (см. [2-5]), что только одна из функций фи (у), I = обращается в нуль при V = 0 и только одна из функций Рк(^), к = 1,..., Ж, обращается в нуль при г = 1. Не ограничивая общности, будем считать, что ^¿(О) = 0 и /¿1(1) = 0.
5. Предельная теорема. Основным результатом статьи является следующая теорема. Теорема. При п +оо существует предел
е 2 ¿у, а < 2,
НтР (рЙ'ш (¿р а) < х) = <
1 — 7Г 2
,-2/г
е у (1у
е у (1у
4и* V *
1 - е"2/г, а > 2,
4и* V *
, а = 2,
гс>е
* Г ® /о
й = 5= 2'
2«*
а > 2.
Для доказательства нам понадобится асимптотика при п ^ оо функций, определенных в предыдущем пункте.
Лемма 1. Справедливы следующие асимптотические разложения функции :
ф1г(ура) = <
УО" ( а
1 О Р2
и
2 'ор
1 + л/1 + 4гго ^р""1 + с^р""1)
, а < 2,
о(р), а = 2, а > 2.
(5)
Доказательство. Так как
N
¿=1 ^
то, используя (1), имеем
и ■ ф\г{ура) + р- фхг{ура) — ира + о (тах (ф\г(ура), р ■ ф1г(ура), ра)) = 0. Следовательно,
Ф1Г^) = + о {Мра)) _
2 и
Отсюда вытекают разложения (5). 7 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Лемма 2. Справедливо следующее асимптотическое разложение функции фх^-х^з) :
л ль
, , Рг-1,1 б $Р Рг-1,2
Ф1,г — 1\8Р ) = ~-Яр--з"
Рг-1
Рг-1
(^Рг-м) +о(р2г).
(6)
Доказательство. Положим Аг(5,р) = яр + фх^-х^р). Из определения функции фх^-^я) имеем
N ,г-1 ч
ЧТО=1
Отсюда и из (1) получаем
+ а-^г-^зр6) + ^ с:)а~2 ■ ф^.^вр6) + о(ф1г_1(8рЙ))^ х
X {1^а-1рг.1Л(Хг(8,р)) + а-1^^(Хг(8,р))2 + о((Хг(8,р))2)) = 1. (7)
Сначала выделим из ф1уГ-1{8рЙ) главную часть порядка рй. Из (7) имеем
(1 + а~1ф1^г-1(8рЙ) + о(ф1гГ-1(8р6))) ■ (1 - а_1рг_1д(Лг(5,р)) + о(Аг(>,р))) = 1.
Отсюда
ф1,г-1(8рЙ) = Рг 1Д 8рЙ +фг-1,
Рг-1
(8)
где фг-1 = о(рПодставляя (8) в (7), получаем
N 2
1 + а"1 + Фг-1) + р^а~2 (уу^) + «И)) х
х I 1 - а"Ч-1Д ( — + ^-1) + а"1 • ^ . + ) = !.
Рг-1
п2
Рг-1
ЛГ
с,-а
Отсюда следует (6). Обозначим 0(Жр) = 1 — У) . , ч ✓ ,
¿=1 + - Аг(5, р) то=1
Лемма 3. Справедливы следующие асимптотические разложения:
„2
Е Рто/3 то (Аг(в, р)).
,-1 „а
П8
а -о—
Рг-1
0(р»),
а < 2,
в(8, р) = { а 1р2 I V
-Iя 2/1 1-р£ 1
^ + о (р2) , а = 2, + + о (р2) , а > 2.
Рг-1 Рг-1
(9)
Рг-1 \ Рг-1, Доказательство. Используя разложения (1) и (6), имеем
в(8, р) = 1 - (1 + а"1 (Аг(в, р) - ура) + ^ с^а"2 (Хг(8, р) - ура)2 + о (р2йЛ х
V ^=1 /
X ( 1- X РшРт\К{я,р) + - РтРт2 (Хг(8,р))2 + 0 (р2<5) ] = а
то=1
то=1
-1 / „.„а
¿+1
8 V,
%}р
Рг-1 Рг-1
рП)+о{р2Й).
Отсюда вытекает (9).
Лемма 4. Для функций рок (у) справедливы следующие асимптотические разложения:
и а а
-1кр~~ + о(р~~), а <2,
V
р0к(ура) = \ + 0(р-1) а = 2,
¿V
—р1-а+о(р1~а),
а > 2,
где
п.,. — п..-
1фк Як - Щ ^г(О)
Доказательство непосредственно вытекает из определения функций рак(у) и результатов леммы 1.
N , , . ч
Обозначим У,р) = ^ ак^гк ( 8рЙ — /-4 г-1 1 '°Ра ) ■
к=1 ^ ' '
Лемма 5.
а*
а < 2,
НтраП(5, V, р) = <
1
V 1 + (1 + VI + 4«*«)
V 1
а = 2,
а > 2.
(10)
№
Доказательство. Прежде всего заметим,что ^ /к = 1. Далее, из (4) имеем
к= 1
раП(з,у,р) =
N £
с,-а
■л "у
N
{*Рб - №-Л*р')) Е
о-зРоз («Ра)
~{ ура — ,$р& + /4^-1 +
N
1 - £
¿=1 г>ра - 5рй + ¿4^-1 + а3 т=1
Е Рто/З™ -
Рассмотрим три случая: 1) а < 2. В силу (8)—(10)
пъг ч I -. ЯР2 и -— \ I 118
раП(з,г>, р) = ( 1---— \! - Р 2 + о(1) I а ( «--2
Рг-1 V V
Рг-1
2 пЛ 1 (л/«Рг-1 - . т
о!1) =--2-. „9 4 /17 +°(1) =
рг-1(ур2_1 - ПЯ2)^ а
V 1
вл/и
Рг-1у/у
0(1);
2) а = 2. В этом случае и, р) = (1
«р 1 + л/1 + 4гго . ,
р + о(1) ) а ( V 2
Рг-1
2«
Рг-1
Рг_1 Рг-1
5 (1 + л/1 + 4гго)
0(1)
-1
2«
— арг-1 „ „
V Рг-1 — «Рг-1 — и.3£
= ^ . 2«*
1 +-(1 + VI + 4гге)
Рг-1
8 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
3) а > 2. В этом случае
p°n(s,v,p) = ( 1 - + + °(ра_2)
Pr-l V
s и
Рг-1 Рг-1
V 1
SU
Рг-1
0(1).
Переходя в полученных соотношениях к пределу при п —> +оо, получаем утверждение леммы. Доказательство теоремы. Заметим, что
+ ОС м
I e~vtB (ехр (-späw(tp~a))) dt = ^ paUj(spä, vpa). о i=1
N
Поэтому найдем сначала lim ^ paUj(spö, vpa). Из (2) и свойств функций p>^'l_1(s) и ac(z)K2l 1(s),
з=i
• • • , 1) следует, что
Jfc)
N
N
-1
N
п
9=1
3 = 1 и=1 «1 -4^-1,1 1J 3 = 1
N
Но «1 (0);..., = а-1 JJ aq. Следовательно,
9=1
N N
lim ^^paUj(spä,vpa) = lim ^spä — p[1l-i(spä), vpa^j .
N
Ра^2шг3 (V (spä),vpa^j .
3 = 1
3 = 1
Теперь из (3) и из лемм 4, 5 получаем
N
limp'^E^rj - Л r-i(sPÖ)ivPa) = ( з=1
1
V 1
syu
Pr-lVv 1 1
= / v _ 2и* s , г----ч
* 1 + —— (1 + л/1 + 4u*v)
Рг-1 1
V 1
SU
Рг-1
а < 2,
а = 2,
а > 2.
Отсюда, обращая преобразования Лапласа и Лапласа-Стилтьеса, получаем утверждение теоремы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ушаков А. В. О виртуальном времени ожидания в системе с относительным приоритетом и гиперэкспоненциальным входящим потоком // Информатика и ее применения. 2012. 6. Вып. 1. С. 2 6.
2. Ушаков В. Г. Система обслуживания с эрланговским входящим потоком и относительным приоритетом / / Теория вероятн. и ее примен. 1977. 22. С. 860-866.
3. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.
4. Ушаков В. Г. Аналитические методы анализа системы массового обслуживания С/|С?9~|1|со с относительным приоритетом // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1993. № 4. С. 57-69.
5. Ушаков В.Г. О длине очереди в однолинейной системе массового обслуживания с чередованием приоритетов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 1994. № 2. С. 29-36.
Поступила в редакцию 27.03.12
THE HEAVY TRAFFIC LIMITING DISTRIBUTION OF THE WAITING TIME IN A HEAD-OF-THE-LINE PRIORITY QUEUE
Ushakov A. V., Ushakov V. G.
The single server queue with hyperexponential input stream and head-of-the-line priority discipline is considered. The heavy traffic limiting distributions of the virtual waiting time for lowest priority class are obtained.
Keywords: head-of-the-line priority, virtual waiting time, heavy traffic.
