Оптимальные размещения систем массового обслуживания с дисциплиной обслуживания FIFO Текст научной статьи по специальности «Математика»

11. Полянин А. Д., Зайцев В.Ф., Ж у ров А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

Поступила в редакцию 20.02.07

УДК 519.872

Т.В. Захарова

ОПТИМАЛЬНЫЕ РАЗМЕЩЕНИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИСЦИПЛИНОЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ FIFO

(кафедра математической статистики факультета ВМиК,

e-mail: [email protected])

1. Введение. В статье рассмотрен класс систем массового обслуживания с вызовами, возникающими в некотором пространстве. Чаще всего рассматривают поток однородных требований, различающихся лишь моментами поступления в систему. Спецификой изучаемого класса систем является необходимость использования информации о положении обслуживающих приборов, положении поступающих вызовов, их плотности распределения.

Такие модели систем массового обслуживания служат для изучения реальных систем, где обслуживание производится территориально расположенными объектами. В связи с этим возникают определенные задачи оптимизации.

В данной статье рассматривается проблема оптимизации расположения станций обслуживания по критерию стационарного среднего времени ожидания начала обслуживания для систем с дисциплиной обслуживания FIFO. Описываются свойства оптимальных размещений и приводятся алгоритмы построения асимптотически оптимальных размещений.

2. Постановка задачи. На плоскости R2 возникают требования в случайных точках £i,£2> • • •> независимых и одинаково распределенных с плотностью распределения р. Для обслуживания этих требований имеется п станций. Моменты поступления требований образуют пуассоновский поток с параметром А„. Интенсивность входящего потока А„ изменяется с ростом числа станций п.

Определение 1. Размещением п станций обслуживания на плоскости R2 назовем множество точек плоскости ..., ж„}, в которых они расположены.

Обозначать размещение станций будем символом ж, т.е. х = ..., хп}. Станцию обслуживания и точку плоскости, где она расположена, будем обозначать одним и тем же символом.

Определение 2. Зоной влияния станции Xi назовем множество Ci тех точек плоскости, для которых эта станция является ближайшей, т.е.

С; = {и £ М2 : — xi\ ^ — xj\ , j = 1,2,..., п}.

Расстояние |и — между точками и и v плоскости R2 задается евклидовой нормой.

Станции обслуживают заявки только из своих зон влияния. Обслуживание осуществляется прибором, двигающимся только по прямой и с постоянной скоростью. При поступлении заявки прибор со станции перемещается в точку вызова, заявка обслуживается прибором некоторое случайное время г], затем прибор возвращается обратно на станцию. Дисциплина обслуживания вызовов следующая: если в момент поступления вызова прибор занят, то поступающий вызов ставится в очередь. После освобождения прибора на обслуживание поступает первая заявка из очереди.

В системе M|G|1 с дисциплиной обслуживания FIFO, при загрузке системы меньше единицы, стационарное среднее время ожидания начала обслуживания определяется по формуле [1]

2(1-А/30'

где А — интенсивность входящего потока, ¡3\, /З2 — первый и второй моменты времени обслуживания. Этим определяется целесообразность введения критерия оптимальности

„Г/ ч 1 V^ \fli2

Щх) = ^Т^хфГ,

при условии, что max Aj/Зл < 1, где Ai — интенсивность потока вызовов, поступающих на станцию

Xi, /Зц, f3i2 — соответственно первый и второй моменты времени обслуживания на ж¿.

В статье [2] рассматривалась аналогичная постановка задачи, но с более жесткими условиями на плотность распределения р.

Определение 3. Размещение х* назовем оптимальным, если W(x*) ^ W{x) для любого размещения х, такого, что \х\ = |ж*|. Через \х\ здесь обозначено число элементов размещения х. Введем еще ряд обозначений.

Пусть f{k) = f |и| du, д{к) = f |и|2 du, где — правильный fc-угольник единичной площади

мк мк

с центром в нуле; \р\т = (/рт(и) duЕ 77 = /3\, Е ту2 = /З2; {х} — последовательность размещений.

3. Основные результаты.

Теорема 1. Пусть плотность р ограничена, р2/3 интегрируема по Лебегу, Е < оо и А„ = = о(га1/2), тогда для всякой последовательности оптимальных размещений {ж*}

1) lim y/ü (^W(x*) - 0,5ß2) = 2f(6)ß1 \р\2/3 ; п-> ОО \Хп J /

2) lim Щ = И-?/з Г 2/3(u)d

п —У со п ' J

а

где А — произвольное измеримое по Лебегу множество, х*А = х* Г) А.

Иные результаты в описанной модели получаются, если Е 77 = 0, т.е. обслуживание заключается лишь в перемещении прибора до вызова и обратно.

Теорема 2. Если плотность р ограничена, р1/2 интегрируема по Лебегу, Е < оо и А„ = = ¿»(га1'5), тогда для любой последовательности оптимальных размещений {ж*}:

га2

1) lim — W(x*) = 2g(6) \р\1/2 ;

n-s-oo \п

2) lim И = ы-1/2 Г pi/2fu\du

п—»oo п ' J

а

для любого измеримого по Лебегу множества А.

4. Вспомогательные утверждения. Сначала доказательства проводятся для случая, когда р простая, ограниченная функция и р2/3 интегрируема по Лебегу. Обозначим интенсивность входящего потока А (га).

Лемма 1. Если Е г] > 0, А(га) = о(га), тогда для любой последовательности оптимальных размещений {ж*}:

га

lim ——И^ж*) - 0,5/32 = 0.

Доказательство. Для всякого размещения ж = {х\,..., хп}, такого, что тах A¿/3¿l < 1, выполняется неравенство

1 "

^ ^ Е /Зг2 = Е((2 - хг\ + т?)2/е 6 Сг) 2 Ет?2 = /32,

¿=1

C¿ — зона влияния станции ж», а интенсивность потока поступающих на нее требований есть А¿ = = А(га) Р(С,). С учетом этого получаем оценку снизу для \¥(х):

\¥(х) ^ 0,5^/32.

га

Пусть К{ = {и £ К2 : р{и) = > 0}, К{ — измеримые по Лебегу непересекающиеся множества. Множество и его меру Лебега ¡1 иногда для краткости будем обозначать одной и той же буквой. Построим размещение ж0. Для этого каждое множество К{ покрываем правильной 4-решеткой с площадью фундаментального региона = /í'¿/m¿, где m¿ = т Р'2/з' 1 т — некоторое натуральное

Ер/ к^

число.

Если //(с, П Кг) > 0, то в центр С{ помещаем станцию обслуживания. Число таким образом размещаемых станций обозначим через а общее число станций через га. Оценим сверху ТУ(ж*). По определению ~\¥(х*) ^ И^ж0). Для {ж0}

гаТУ(ж°) ^

1 ^ А№(4ст25(4) + 4/31/(4К3/2 + /32стг

2 i ' 1-АРг(2/(4)стг3/2 + /31Стг)

Знаменатель дроби имеет порядок 1 + о(1), так как А (га) = о(га) и

3/2

3/2 ' - ~

Pi°i =

(y.i>fK>) п~3/2 + °(га_3/2) =

Рг°г=р)'* (^рТк^п-1 +о(га"1) =0(га"1).

Таким образом,

Устремляя то, а тем самым и га к бесконечности и учитывая оценку снизу для W, получаем утверждение леммы:

га

lim -~-W(х*) - 0,5/32 = 0.

n-s-oo А(га)

Введем некоторые обозначения.

Пусть G — некоторый компакт на носителе плотности р, Dn(ж) = max diamAi, А{ = {и £ А- : > 0}, А- — зона влияния жj на компакте G.

Лемма 2. ¿ля размещения {ж} lim ттЧ'И^ж) — 0,5/32 = 0, тогда

п —Уоо лУп)

lim Dn{ж) = 0.

п—>оо

Следующая лемма обобщает результат Л.Ф. Тота [3].

Лемма 3. Пусть {х\,..., ж„} размещение на выпуклом k-угольнике S, С{ — зона влияния жi на S, а — правильный шестиугольник площади S/n с центром в нуле. Для k ^ 6 и / — неубывающей действительной функции на [0, оо) — справедливо неравенство

j f{\u - Xi\) du ^ п j f(\u\)du.

i=lc.

Теорема 3. Если р2/3 интегрируема по Лебегу, тогда для всякой последовательности оптимальных размещений {ж*}

lim inf ^ i^W{x*) - 0,5/32) ^ 2/(6)/3i H2/3 .

n^oo V A„ / I

Доказательство. Пусть плотность p определяется так же, как в лемме 1, J — конечное

множество индексов, тогда R2 = 1J пС\ Э 1J Kj.

¿=1 jeJ

Следовательно,

f min l-x.fA. + A Г nun

' уJ i^n J 1<:г<:п

" ' Kj Kj

Так как Kj — ограниченное, измеримое по Лебегу множество, то для него найдется такое элементарное множество Lj, что fJ,(Kj \ Lj) < ,. О < е < 1, //(Lj \ Kj) = 0. Пусть Lj = 1J Pi, Ij —

ieij

конечное множество индексов, Р{ — непересекающиеся прямоугольники.

Число станций, попадающих в Р{ при оптимальном размещении ж*, обозначим через щ. Пусть Bi — прямоугольник с площадью — е), гомотетичный Р{ относительно его центра симметрии. Обозначим через zm = {zi,...,zn.} оптимальное размещение щ станций для по критерию

Е min Iи — ж/1m для то, равного 1 или 2.

В силу леммы 2 при достаточно больших п зоны влияния станций, находящихся в Р?, не пересекаются с Bi, поэтому

/min \и — хАт du > / min I и — zAm du. Bi Bi

Обозначим через A\ зону влияния станции z\ на Bi. Применяя лемму 3 для к = 4, имеем

i /» />

min Iи — zAm du = > / \и — zAm du > щ / \u\m du = CniO

ЦК»! fl'J J

(2 + m)/2

В,- '"^г

где о^ — правильный шестиугольник с центром в нуле и площадью С = /(6) для ш = 1 и

С = ¿((6) для то = 2. Следовательно,

min жгГ £ УСпга\2+т)/2 = СУ п~т/2в\2+т)/2 £ Cn"m/2/if+m)/2 (1 - г)2+т

г г £

где га.,- — число станций размещения х*К..

При выводе последнего неравенства было использовано неравенство Гельдера с параметрами

m ' 2 + m

Далее

nX^Wiж) - 0,5/32 ^ (25(6)п"1К2(1 - е) + 2ß1f(6)nj 1/2К3/2) (1 - е)3 ^ jeJ

> 2g(6)n~1(l - г)4 + 2/3i/(6)n"1/2(l - г)3 (J>2/3Кз)

4ieJ 7

Здесь дважды было применено неравенство Гельдера с параметрами —l) и —2). Из интегрируемости р2!3 следует неравенство

lim inf y/ü (^W(x*) - 0,5ß2) 2 2f(6)ßi \p\2/3 (1 - e)3. 00 ул« J '

Так как е может быть выбрано произвольно малым, то

lim inf ^ i^W{x*) - 0,5/32) ^ 2/(6)/3i |p|2/3 .

n^ 00 V A„ J '

5. Доказательство основных результатов. Приведем только доказательство теоремы 1; доказательство теоремы 2 проводится аналогично. Укажем способ построения таких размещений {ж}, на которых неравенство теоремы 3 превращается в равенство. Такие размещения будем называть асимптотически оптимальными второго порядка по критерию УУ.

Множество К{ покроем 6-решеткой, у которой площадь фундаментального региона равна а{ = = К{/гп{. Дальнейшее построение {ж} такое же, как и для {ж0} в лемме 1. Тогда

п

W(x) ^J2^t{2a*g{6) + 2ß3lf2{6)a*/2) I ^ ß2PiKi

А 'l- XPt(2f(6)a3t/2 + ß1ai) 2 ^ 1 +

1 /2

3 3

+ 0,5/32(1 + О(П"1/2)).

Совершая предельный переход, получаем

lim sup ^ —W(x) - 0,5/32 iC 2/(6)/3i \р\2/3

п—ОО \ )

Из полученного неравенства и теоремы 3 следует утверждение первого пункта теоремы 1 в случае, когда плотность р простая.

Пусть р — произвольная функция, удовлетворяющая условиям доказываемой теоремы. Введем простые функции Рк(и) по правилу:

Рк(и) = т/к, если т/к < р(и) ^ (то + 1)/к, к £ Л/", то = 0,1,... .

В определении критерия заменим р на рк и полученное выражение обозначим через И7^. Для простых функций было доказано, что

^ ( T~Wk{x*) — 0,5/32 ) = 2/(6)/3i рк +о(1).

Лп / 2/3

Применим теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла к обеим частям равенства, тогда

yfr ~ = 2/(6)/3i |р|2/3 + о(1).

Устремляя п к бесконечности, получим

п

lim ^ — W(x*) - 0,5/32 = 2/(6)/3i \р\2/3 .

п->ОО \ А„ J '

Приведем основные этапы доказательства второго пункта теоремы 1.

Рассмотрим размещение хд = ж Р| А. Пусть к = \хА\ — число станций, попадающих в множество А при размещении ж. И определим W{xa) как W{x) для р1л- Тогда для размещений, на которых lim уf-^-W(x) — 0,5/32 = 0, выполняется

п —УОО лУп)

\\mmiVk —\¥(ха) - 0,5/32 Р(А) ^ 2/(6)^ \Р1А\2/3 •

Пусть теперь ж — асимптотически оптимальное второго порядка размещение, алгоритм построения которого был описан выше, при доказательстве первого пункта теоремы 1. Для него

-0,5/32 ^2/(6 J р2/3(у) ¿V ^ р2/3(и)с1и

Обозначим W = W{xa) ~ 0,5/32 Р(А). Тогда для W из полученных неравенств следует, что 2/(6)/3i |Р1Л|2/3 к-1'2 + oik-1'2) <С W ^ 2/(6)/3i \plA\\% \V\\% п~1'2 + «(n"1/2).

Значит,

^ ^ 1^2/3 \Р\уГ +°(1)'

Пусть 7i — предельная точка последовательности {га-1 (ж^Ц, тогда

7i1/2 ^ IpIaI^I Ь12"/З/3 • Пусть 72 = 1 — 7i. Для 72 будет справедливо соответствующее неравенство

Отсюда следует, что

1 = 7i + 72 ^ Ь1л1г/з №/3/3 + l^sl^/s l-^ü/V3 = L В неравенстве достигнуто равенство. Это возможно только, если

71 = \plA\l% Н2~/з/3 > 72 = \plB\yl Ь12"/з/3 •

Эти равенства верны для любого размещения асимптотически оптимального второго порядка, а следовательно, и для х*

lim Ш = \РГ2/3 [

n—5>оо п ' J

А

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982.

2. Захарова Т. В. Оптимизация расположения станций обслуживания на плоскости // Изв. АН СССР. Техн. киберн. 1987. № 6. С. 83-91.

3. Тот Ф. Л. Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве. М.: ГИФМЛ, 1958.

Поступила в редакцию 01.07.07