О режимах с обострением в одном нелинейном параболическом уравнении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946:536.24 И.М. Никольский

О РЕЖИМАХ С ОБОСТРЕНИЕМ В ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ПАРАБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИИ1

(кафедра вычислительных методов факультета ВМиК,

e-mail: haifly@rambler.ru)

1. Введение. Неограниченные решения дифференциальных уравнений являются очень интересным объектом исследований, как для математической теории, так и для приложений. Такие решения часто возникают в математических моделях, описывающих процессы определенного типа, называемые в литературе режимами с обострением. Более точно, под режимом с обострением мы будем понимать процесс, в котором исследуемая величина (температура, энергия, численность популяции и т.д.) неограниченно возрастает при стремлении времени t к конечному моменту Т, называемому моментом обострения. Такие процессы встречаются в самых разных отраслях науки — биологии, физике, химии, демографии и многих других [1-4].

С точки зрения теории интересен целый ряд вопросов, связанных с режимами с обострением. Так, например, можно попытаться оценить время обострения, определить множество, на котором данное неограниченное решение обращается в бесконечность при приближении к моменту обострения и так далее. Наиболее полный обзор таких вопросов приведен в [5].

В данной работе исследуется поведение решений нелинейного уравнения теплопроводности

Щ = (иих)х + (и - и0) (и - щ) . (1)

Аналогия с логистическим уравнением подсказывает, что в зависимости от начального возмущения фона может наблюдаться релаксация решения к фону или рост в режиме с обострением. Поскольку при больших и линейный член мал по сравнению с и2, можно ожидать, что неограниченные решения такого уравнения будут асимптотически приближаться к автомодельному решению уравнения

Щ = (иих)х + и2,

вид которого известен [6]:

. , 1 2 / х \

uAt, х) = --- • — 1 + cos—= .

1 ' ; (То — t) 3 V v^J

В [7] уже рассматривалось уравнение

щ = (u^u^x + au<T+1 + Su.

Авторы [7] с помощью метода разделения переменных получили однопараметрическое семейство точных локализованных решений, которые в зависимости от начальных данных либо развиваются в режиме с обострением, либо затухают. В нашем случае разделение переменных неприменимо из-за наличия свободного члена в источнике. Поэтому для нахождения точных решений мы используем подход, предложенный В.А. Галактионовым в статье [8] и развитый в монографии [9]. Полученные нами решения не являются локализованными.

Кроме того, в предлагаемой работе исследуется задача Коши для уравнения (1) с начальными данными в виде финитного возмущения ненулевого фона щ. Интерес к задаче Коши для уравнения (1) с такими начальными функциями обусловлен возможностью приложения к моделированию вспышек в короне Солнца [10]. Простейшая модель этих явлений выглядит так. На температурном фоне щ (средняя температура Солнца) время от времени возникают возмущения. Если такое возмущение мало, то оно постепенно разглаживается. Если же оно достаточно велико, то температура начинает стремительно расти и мы наблюдаем вспышку.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00852).

2. Задача Коши для основного уравнения. Рассматривается начальная задача для квазилинейного параболического уравнения:

Щ = (иих)х + (и - и0) (и - щ) , (2)

и(х, 0) = /(ж) ^ и0, (3)

где щ > щ > 0. Задача ставится в области (О, Г) X К, где Т — некая положительная константа. Функция /(ж) предполагается непрерывной и ограниченной на числовой оси.

Нас будут интересовать классические решения задачи (2), (3). Под классическими понимаются решения и(ж,£), обладающие следующими свойствами: и{х,£) £ С^ ((О, Г) X 1)ПС([0,Т) X К).

Далее в работе будут установлены условия на начальную функцию /(ж), которые обеспечивают затухание (т.е. стремление к ненулевому фону щ в метрике С (К)) или развитие в режиме с обострением соответствующего решения задачи Коши (2)-(3). Всюду в тексте решения, не существующие глобально, мы будем называть неограниченными(этот термин принят в литературе, см., например, [6]) или развивающимися в режиме с обострением.

3. Вспомогательное уравнение. Рассмотрим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение

г = (г - а) (г - Ь) , (4)

где а < Ь.

С помощью замены V = г — а можно свести (4) к уравнению типа Бернулли:

V = V (и + а — Ъ) .

Используя формулу общего решения этого уравнения [11], получаем

1

г(Ь) = а +

£е(Ь-а)Ь + 1

Ь — а

где С = --—^--, г0 = г(0), г0 ф а.

(/о — а) (о — а)

Поведение решения определяется начальным значением При го Е (а,Ь) решение стремится к а справа при £ —> оо. В случае го = а или го = Ь решение будет стационарным. Режим с обострением наблюдается при го £ (Ь, оо), г(Ь) разрушается при

1 , ( 1

t = t* = --1п -— •

Ь — а \ С Ь — а / И наконец, при го £ ( — сю, а) г(Ь) стремится к а слева при £ —> сю.

4. Неограниченные и затухающие решения. Для описания физических явлений (например, вспышек на Солнце) интересна задача (2), (3) с начальной функцией /(ж), являющейся финитным возмущением ненулевого фона щ (температура поверхности Солнца). Локальное существование решения при таких начальных функциях доказано в [6]. В этом пункте исследуются решения (2), (3), соответствующие таким начальным данным.

Сразу отметим, что для решения и(ж, соответствующего начальной функции /(ж) ^ щ, в любой момент времени будет выполнено соотношение и{х,£) ^ щ. Это утверждение легко обосновывается с помощью теоремы сравнения (заметим только, что константа щ является стационарным решением нашего уравнения).

Покажем, что решение, соответствующее начальной функции, ограниченной сверху на всей прямой константой щ, будет затухающим. В самом деле, рассмотрим решение уравнения (2), зависящее только от времени. Такое решение II = £/(£), очевидно, удовлетворяет уравнению

й=(и-и0)(и-и1),

которое имеет такой же вид, как и рассмотренное выше вспомогательное уравнение (4).

Исходя из результатов пункта 3 получаем, что при 11(0) Е (^0,^1) соответствующее решение и{Ь) будет затухать: £/(£) —> щ при £ —> оо. С помощью теорем сравнения легко получаем, что при

11/(ж)11с(к) < И1 ноРма Ии(ж^)|1с(к) ио ПРИ 1 00 •

Теперь выясним условия на начальную функцию, при которых в задаче (2), (3) будет наблюдаться режим с обострением.

Очевидно, что функция (и — щ)(и — и\) оценивается снизу многочленом и2 — (щ + щ)и. Следовательно, для решения (2) будет выполнено

Щ ^ (иих)х + и2 - (и0 + щ)и.

Рассмотрим уравнение

Щ = (~мх)х + V2 - (и0 +

Его можно решить с помощью разделения переменных. Будем искать автомодельные решения вида и(ж,£) = $(х)д{£). Для функций / и д получим следующие уравнения (константу разделения переменных положим равной единице):

¡+(и0 + и1)/=/2, (5)

Ы)'+92=9- (6)

В работе [6] показано, что уравнение (6) имеет финитное решение в3(х). Амплитуда /(£) легко вычисляется из (5), в итоге получаем семейство решений

где

[о, |х| ^ тг^Д.

При 0 < С'о < 1 решение (7) развивается в режиме с обострением. Это решение соответствует начальной функции и*(ж) = и(ж,0). Из теоремы сравнения следует, что решения исходной задачи (2), (3), отвечающие начальным функциям /(ж) ^ и*(ж) Уж, будут развиваться в режиме с обострением.

5. Поиск частных решений. Легко видеть, что уравнение (2) представимо в виде

щ = А(и) - (и0 + щ)и + щщ,

где оператор

А(и) = и2х + иихх + и2 (8)

является квадратичным дифференциальным.

Непосредственной подстановкой устанавливается, что пространство функций = £ |1,соз-^|

инвариантно относительно оператора (8). Следовательно, по методу Галактионова (см. [8]) будем искать решение уравнения (2) в виде

ж

и(х, = р(£) + д(£) сое —(9)

Подставляя (9) в (2), получаем динамическую систему относительно р(£) и <?(£):

[р = р2 + ±д2 + ЩЩ - (щ + Щ)р,

= |РЯ ~ (Щ + Фазовый портрет системы приведен на рисунке.

6. Неограниченные и затухающие точные решения. В этом пункте будет доказано существование неограниченных и затухающих точных решений вида (9) путем исследования системы (10).

Для коэффициентов р(£) и будут выведены условия на их начальные значения, стартуя с которых эти коэффициенты затухают или же, наоборот, неограниченно возрастают с ростом аргумента t.

0 10 20 30 р

Фазовый портрет системы (10)

Заметим вначале, что р{£) и положительны, если начальные данные ро = р(0), до = <?(0) больше нуля. Это следует из формулы Коши, которую применим к обоим уравнениям системы (10). Получим:

t

p(t) = ро ехр(—ujt) + ехр(—ujt) J exp(ws)a(s) ds,

о

t

q(t) = q0exp^J ß(s) ds^j ,

где

1 3

a(t) = -q2(t) + p2(t) + и0щ, ß(t) = -p(t) - (u0 + Mi), и = щ+щ.

Всюду далее нас будут интересовать решения системы (10) (p(t), q(t)), лежащие в положительном квадранте.

Получим оценки на коэффициенты p(t) и q(t). Для этого используем технику дифференциальных неравенств [12, гл. III]. Из первого уравнения системы (10) следует, что

Р ^ Р2 - (ио + щ)р + и0щ. (11)

Сложив уравнения системы (10), получим

^ (Р+1)2 - (uo + u1)(p+q) + u0u1. (12)

Рассмотрим уравнение z = z2 — (щ + u\)z + щщ, которое, очевидно, эквивалентно уравнению

Z = (z - U0)(z - Ml). (13)

Используя результаты пункта 3, получаем

z(t) -7- оо при t —> t*, если zo > щ, (14)

z(t) -7- ио при t —т- сю, если zq < щ. (15)

Результаты пункта 3 позволяют также вычислить и время обострения решений (13):

Ml - и0 \ С Щ-Uoj1 (z0 - и0)(щ - и0)'

Из (11), (12) следует, что

p(t) 2 zi{t) при р0 2 *i(0), (16)

р(*) + <1 (*) ^ (*) при Ро + до ^ ¿2 (0) • (17)

Здесь — решения уравнения (13) с соответствующими начальными условиями. Используя

(14), (16), мы получаем, что при ро > щ функция р{£) возрастает и обращается в +оо за конечное время Го, которое оценивается сверху числом

Доказательство наличия у системы (10) затухающих решений получим с помощью (15), (17). Фиксируем ро и до, такие, что щ ^ ро < щ, 0 ^ до < тт(ро — ио,Щ ~ Ро)- Возьмем два решения уравнения (13) с начальными данными, равными соответственно ро и ро + до- Оба этих решения (обозначим их и согласно (15), стремятся к щ. При названных ограничениях на начальные

значения верна следующая цепочка неравенств:

Отсюда делаем вывод, что р{£) —> щ, д(£) —> 0 при £ —> оо.

7. Исследование фазовых кривых системы в параметризации р(<7). Как было установлено в пункте 6, при ро > щ функция р{£) развивается в режиме с обострением. Ниже будет доказано, что при ро > щ + щ функция д(£) также неограниченно возрастает и разрушается одновременно с р(Ь), а отношение ^у стремится к единице при £ —> Г0~, где Го — момент обострения р{£) и д(£). Разделим первое уравнение системы (10) на второе. Имеем

(1р(д) _ р2 + \д2 + и0щ - (щ +

с1д \рд - (и0 + щ)д

Зададим начальное условие для (18):

р(Чо)=Ро, (19)

где ро = р(0), до = <?(0) — начальные условия для системы (10). Будем считать, что

Ро > и0 + Щ, Чо > 0. (20)

Фазовой траектории системы (р^),д(Ь)) соответствует интегральная кривая полученного ОДУ. Другими словами, это та же самая кривая, но в другой параметризации, а именно (р(д),д)-Перепишем (18), выделив в числителе и знаменателе члены второго порядка:

^± = А(р(д),д)ф(р(д),д), (21)

где

^ I "о»1 ~(и0 + И1)р(д)

*(*«>■«> = ! Р2)

1 3 р(д)

С учетом (20) можно оценить множители в правой части (21). Имеем

0 < 71 ^ Ф(р(д),д) ^ 72,

где 71, 72 — положительные константы, причем 71 зависит от ро,

2 ,, . . . . 2 1 д

- ^ А (р(д),д) ^ —р(д) + --

3 Здо 3 и0 + и1

При оценке А(р(д),д) снизу мы использовали неравенство

Таким образом, получаем оценку для производной -щ

аЬ + h>2. (23)

dp ф

dg

где j(po), Сi(go), Ci — положительные константы

т- ^С1Р(д) + С2д, (24)

Левое неравенство в (24) дает нам возможность утверждать, что при условиях (19), (20) функция p(q) монотонно возрастает и стремится к бесконечности при q —> оо. Правое неравенство означает, что p(q) бесконечно продолжима (т.е. p(q) конечна при любом конечном q). Теперь докажем одно утверждение о пределе отношения ^jiL.

Лемма 1. Пусть решение уравнения (21) p(q) стремится к бесконечности при q —> сю. Тогда

lim РМ = 1. (25)

?->оо q

Доказательство. Очевидно, что в условиях леммы функция (22) стремится к единице. Поэтому при q, большем или равном некоторого qs > qo, верна оценка

(1 - е)А (p(q),q) <: ^ ^ (1 + е)А (p(q),q) , (26)

где е — произвольное положительное сколь угодно малое фиксированное число. Рассмотрим вспомогательное уравнение

*M = aA(p(q),Q), (27)

где (х rti 1. Начальное условие зададим в точке q = qe: p(qs) = p(qs)-

Уравнение легко интегрируется с помощью замены u(q) = Получим

| (2а - 3)и2 + ot\ = Cq^^, С > 0. (28)

Поскольку а к, 1, правая часть стремится к нулю при q —> сю. Следовательно,

EmffiV = _^. (29)

q J з - 2a v '

Вернемся к оценке (26). Используя теоремы сравнения, мы можем утверждать, что

Мч)\\(Щ\(рЩ2 . (зо)

Ч / V 1 / \ <1

Здесь р\{(1), Р2(ч) — решения уравнения (27) с а, равным соответственно 1 — е и 1 + е. Используя результат (29), получаем при q > q*(£l,£,£2) > (1е

где £1, £, £2 — произвольные фиксированные, сколь угодно малые положительные числа. Из (31), в силу произвольности £1, £, £2, следует утверждение леммы.

Вернемся к системе (10). Выше мы выяснили, что при ро > щ (и, тем более, при ро > щ + и\) функция р{£) растет в режиме с обострением, т.е. р{£) —> сю при £ —> Г0~, где Го — момент обострения. Оказывается, что при начальных условиях (20) q{t) также обращается в бесконечность при £ —> Г0~.

В самом деле, поскольку, согласно (24), р(у) конечна при конечном q, функция q{t) не может иметь конечный предел при £ —> Г0~, а так как р(у) —> сю при д —> сю (см. (24)), q{t) не может обратиться в бесконечность раньше чем р{£) (при каком-либо Т\ < Го).

Кроме того, на основании леммы 1 мы можем утверждать, что при выполнении условий (20) отношение функций стремится к единице при £ —> Г0~.

8. Асимптотическое поведение неограниченных точных решений. Если решение исследуемого уравнения (2) развивается в режиме с обострением, наступит момент, когда максимальное значение этого решения будет настолько велико, что линейная часть в источнике станет пренебрежимо малой по сравнению с и2, т.е. мы можем ожидать, что при стремлении времени к моменту обострения Го решение уравнения (2) будет асимптотически приближаться к автомодельному решению следующего уравнения теплопроводности:

Щ = (иих)х + и2.

Это уравнение хорошо изучено в литературе (см., например, [6]), его автомодельное решение имеет

вид

где

us(t,x) = ---Xs(x),

lb - t

2 ( x \

X, I = — 1 + cos —=

1 ; 3 V y/2j

Положительная константа Тъ в (32) имеет смысл момента обострения.

Введем понятие обработки функции. Обработкой функции f(x) назовем функцию

(32)

Q(u(x,t),A) = А-

и(х, t)

и(х, t) — ||и(а

где А — произвольная константа.

Здесь и далее знаком ||-|| мы обозначаем норму в

\\g{x,t)\\ = sup \g{x,t)\.

(33)

х&

В частности, обработка решений семейства (9) будет иметь вид

p(t)

e(u(x,t),2A) = A\^+cos^=J .

В предыдущем пункте было показано, что при начальных условиях (20) p(t)/q(t) —> 1, когда t —т- Tq , а следовательно, справедлив следующий факт:

0 u(x,t), - - xs(x)

О при t Т0 ,

т.е. обработка решения из семейства (9) сходится к х3, если на коэффициенты р{£) и д(^) наложены начальные условия (20).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лобанов А. И., Старожилова Т.К. Нестационарные структуры в модели свертывания крови // Новое в синергетике: Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002. С. 346-367.

2. Кириченко Н.А. Локализованные нестационарные структуры в задачах лазерной термохимии // Режимы с обострением. Эволюция идеи. М.: Наука, 1998. С. 217-230.

3. Белавин В. А., Курдюмов С. П. Режимы с обострением в демографической системе: сценарий усиления нелинейности // ЖВМиМФ. 2000. 40. № 2. С. 238-251.

4. Капица С. П. Феноменологическая теория роста населения Земли //Успехи физ. наук. 1996. 166. № 1. С. 63-80.

5. Galaktionov V.A., Vazquez J.L. The problem of blow-up in nonlinear parabolic equations // Discrete and continuous dynamical systems. 2002. 8. N 2. P. 399-433.

6. Самарский А. А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.

7. Г ал а к т и о н о в В.А, Дородницын В.А., Еленин Г.Г., Курдюмов С.П., Самарский А. А. Квазилинейное уравнение теплопроводности с источником: обострение, локализация, симметрия, точные решения, асимптотики, структуры // Итоги науки и техники. Т. 28. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 95-207.

8. Galaktionov V.A. Invariant subspaces and new explicit solutions to evolution equations with quadratic nonlinearities // Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect A. 1995. N 2. P. 225-246.

9. Galaktionov V.A., S vi r s h с h e v с k i i S.R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Applied Mathematics And Nonlinear Science Series. UK: Chapman&Hall/CRC, 2007.

10. Ковалев В.А., Чернов Г.П., Ханаока И. Мелкомасштабные высокотемпературные структуры во вспышечной области // Письма в астрономический журнал. 2001. 27. № 4. С. 310-320.

11. Полянин А. Д., Зайцев В.Ф., Ж у ров А. И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

Поступила в редакцию 20.02.07

УДК 519.872

Т.В. Захарова

ОПТИМАЛЬНЫЕ РАЗМЕЩЕНИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ДИСЦИПЛИНОЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ FIFO

(кафедра математической статистики факультета ВМиК,

e-mail: lsa@cs.msu.su)

1. Введение. В статье рассмотрен класс систем массового обслуживания с вызовами, возникающими в некотором пространстве. Чаще всего рассматривают поток однородных требований, различающихся лишь моментами поступления в систему. Спецификой изучаемого класса систем является необходимость использования информации о положении обслуживающих приборов, положении поступающих вызовов, их плотности распределения.

Такие модели систем массового обслуживания служат для изучения реальных систем, где обслуживание производится территориально расположенными объектами. В связи с этим возникают определенные задачи оптимизации.

В данной статье рассматривается проблема оптимизации расположения станций обслуживания по критерию стационарного среднего времени ожидания начала обслуживания для систем с дисциплиной обслуживания FIFO. Описываются свойства оптимальных размещений и приводятся алгоритмы построения асимптотически оптимальных размещений.

2. Постановка задачи. На плоскости R2 возникают требования в случайных точках £i,£2> • • •> независимых и одинаково распределенных с плотностью распределения р. Для обслуживания этих требований имеется п станций. Моменты поступления требований образуют пуассоновский поток с параметром А„. Интенсивность входящего потока А„ изменяется с ростом числа станций п.

Определение 1. Размещением п станций обслуживания на плоскости R2 назовем множество точек плоскости ..., ж„}, в которых они расположены.

Обозначать размещение станций будем символом ж, т.е. х = ..., хп}. Станцию обслуживания и точку плоскости, где она расположена, будем обозначать одним и тем же символом.

Определение 2. Зоной влияния станции Xi назовем множество Ci тех точек плоскости, для которых эта станция является ближайшей, т.е.

С; = {и £ М2 : — Xi\ ^ — Xj\ , j = 1,2,..., п}.

Расстояние |и — между точками и и v плоскости R2 задается евклидовой нормой.

Станции обслуживают заявки только из своих зон влияния. Обслуживание осуществляется прибором, двигающимся только по прямой и с постоянной скоростью. При поступлении заявки прибор со станции перемещается в точку вызова, заявка обслуживается прибором некоторое случайное время г], затем прибор возвращается обратно на станцию. Дисциплина обслуживания вызовов следующая: если в момент поступления вызова прибор занят, то поступающий вызов ставится в очередь. После освобождения прибора на обслуживание поступает первая заявка из очереди.