О математической модели жидкостной эпитаксии из тройного раствора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

А.Г. Петрова

О математической модели жидкостной эпитаксии из тройного раствора

Ключевые слова: фазовый переход, обратная задача, автомодельное решение.

Key words: phase transition, inverse problem, selfsimilar solution.

1. Построение модели и постановка задач. Будем рассматривать одномерный процесс роста пленки AxB1-xC в двух вариантах: неподвижный жидкий раствор, из которого растет пленка, занимает в момент t ограниченную область 0 < x < s(t), сужающуюся в ходе процесса (задача 1); и жидкий раствор занимает полубесконечный интервал x > s(t), граница которого движется вправо в процессе роста пленки (задача 2). Диффузией компонент пленки пренебрегаем. Перенос компонент в жидкости подчиняется закону Фика с постоянными коэффициентами диффузии (D1 и D2 = kD1). Температуру системы считаем заданной функцией времени: в = 6(t). На фронте роста пленки x = s(t) ставятся условия сохранения массы компонент и задается зависимость их концентрации от температуры в, выражающая условия равновесия фаз. Обозначим массы компонент AC и BC в единице объема пленки через р1 и р2, а плотности твердых бинар-

* *

ных составляющих AC и BC - через р и Р2 . Плотность р + р2 пленки AxB1-xC предполагается зависящей линейно от y (y есть функция от x):

Pi +Р2 = УР* +(1 - У) р2 •

При этих предположениях процесс роста пленки в задаче 1 описывается следующей начальнокраевой задачей с неизвестными функциями С (x, t) (i = 1,2), s(t), y(t):

В задаче 2 уравнения (1.1) выполняются в другой области:

dCi

д 2 с;

дс д 2с -t- = Di -2-, 0 < x < s(t); dt -x (1.1)

д2с- Di . 2 = s(t)(KPi Ci X dx (1.2)

Ci = 4 (t) = u (e(t)), x = s(t);

s(0) = 1, ci (x, 0) = ф (x), 0 < x < 1; (1.3)

ci (0, t) = ci0; (1.4)

P +P2 = УРр +(1 - y) P*, У = P1(P1 +P2)-1. (1.5)

(1.1)’

Работа выполнена при поддержке программы «Развитие научного потенциала Высшей школы 20092010 гг.» (проект 2.2222.2.4.4278).

дТ = ’ х > ^

д дх

начальные условия (1.3) принимают вид:

5(0) = 0, сг-(х,0) = ф (х), 0 < х <да; (1.3)’

краевые условия (1.4) заменяются на следующие:

С К *) = с^. (1.4)’

В задачах 1 и 2 функции с1 (х, *) представляют собой массу компоненты с номером 1 в единице объема раствора; к - заданные положительные постоянные, а постоянная у есть отношение молекулярных весов первой и второй компонент; ф (х), ' (в), в(*) - заданные непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, такие, что ' '(в) > 0, в '(*) < 0, причем в задаче 1 ф/ (х) < 0, а в задаче 2 ф/ (х) > 0, и выполнены следующие условия:

0 <л, (/) < 1,

(1.6)

Х (0) + Я2 (0) < тт(р*, рр);

ф (х) >Х (0), I = 1,2. (1.7)

Также считаются выполненными условия согласования граничных и начальных данных, необходимые для классической разрешимости задач. В случае задачи 2 на бесконечности ставятся условия ограниченности функций с1 (х, *) .

Пусть МА, Мв - атомные веса элементов А, В, а МАС, Мвс - молекулярные веса АС, ВС. В случае к = МА/МАС , к2 = Мв/Мвс задача (1.3), (1.4) моделирует рост пленки из раствора с компонентами А, В, С. Значениям к1 = 1, к2 = Мв/Мвс соответствует рост из раствора АС, в, С.

Если к = 1, к2 = 1, то имеем рост из раствора АС, вС, С.

Сформулированные задачи 1, 2 служат для определения состава растущей пленки у(х) в зависимости от заданной рабочей температуры процесса в(*) и начального распределения концентраций ф (х). Назовем эти задачи «прямыми».

Поставим также задачу определения рабочей температуры процесса в(*) по заданному составу образовавшейся пленки у(х) и начальной концентрации компонент ф (х): требуется найти функции с (х, *), 5(*), в(*), удовлетворяющие уравнени-

ям (1.1) - (1.5), в которых ф (x) и y(x) со значениями из интервала (0,1) являются заданными функциями. Назовем такую задачу «обратной задачей 1». Аналогично ставится «обратная задача 2». Отметим, что обратные задачи 1 и 2 в нашем случае, в отличие от обратных задач кристаллизации бинарного сплава [2], являются корректными в смысле Адамара и отличаются формально от соответствующих прямых условиями на свободной границе, которые приобретают вид: дс■

C2 = а с + 3, Di = s'(t)(Kp - ci), i = 1, 2,

дx

где р > 0, i = 1, 2 - известные функции; a, S - положительные константы.

Оба типа задач представляют собой задачи со свободной границей для системы двух параболических уравнений. При этом «прямые» задачи представляют собой так называемые переохлажденные задачи Стефана [3]. В них уравнения «перевязаны» алгебраическим условием на свободной границе, тогда как «обратные» близки к задаче затвердевания бинарного сплава: если интерпретировать сф (x, t) как температуру и концентрацию, то три равенства (1.8) представляют собой условие термодинамического равновесия (линия «ликвидус» на диаграмме фазового состояния) и пару условий Стефана для случая нулевых коэффициентов теплопроводности и диффузии в твердой фазе.

2. Прямая задача в ограниченной области.

Заметим, что в случае

4 (t) = ci0 = const, задача 1 (1.1) - (1.6) имеет решение только в случае ф (x) = 4, и это решение есть

s(t) = 1, ct (x, t) = c,0 (i = 1, 2), y(x), где y(x) - произвольная функция.

Будем считать в дальнейшем, что 4 (t) ^ const для i = 1 или i = 2 и выполнены условия на характер поведения входных функций, а также неравенства (1.6), (1.7). Кроме того, будем исследовать разрешимость задачи в предположении

с1,0 + с2,0 < min(p1\Р*)- (2.1)

Лемма 2.1. При выполнении соответствующих условий на гладкость входных функций, неравенства ф'(0) -Ф2(0) * 0 и необходимых условий согласования начальных и граничных данных задача 1 разрешима в гельдеровских классах функций на достаточно малом интервале времени. При этом s(t)- невозрастающая функция и справедливы неравенства р (s(t)) > 4 (t).

Доказательство этой леммы базируется на применении теоремы Шаудера о неподвижной точке к оператору, построенному по задаче аналогично [4]. Монотонность свободной границы x = s(t) устанавливается при помощи принципа максимума и

условия (1.6). После этого неравенства Р (s(t)) > 4 (t) очевидны.

Лемма 2.2. Пусть, помимо (2.1) и условий леммы 2.1, выполнены следующие условия:

Фф (x) < Ht • (1 - x) + 4 (0)x, 0 < x < 1,

sT = inf (s(t)) > 0,

(0,T)

и существует постоянная d e (0, sT), такая, что сг 0 > Htd + 4 (0)(1 - d). Тогда |s '(t)| ограничена на (0,T) постоянной, зависящей от d, sT, 4 (0),

*

pi , ci,0 .

Доказательство проводится при помощи теоремы сравнения и принципа максимума.

Предположение о неограниченности скорости свободной границы ведет к противоречию с условиями (1.2) и (2.1).

Замечание. В случае Ht = ci 0 для классического решения, в силу принципа максимума, справедлива оценка ci (x, t) < oi0 (1 - x) + 4 (0) x.

Аналогично можно получить оценку для |s '(t)| в явном виде.

Теорема 2.1. При выполнении условий на характер поведения входных функций, сформулированных в п. 1, неравенств (1.6), (1.7), (2.1) и условий лемм 2.1 и 2.2 с Ht = ct 0 задача (1.1) - (1.6) имеет классическое решение на интервале времени (0,T), где T- время окончания процесса (т.е. s(T) = 0).

Доказательство. Заметим, что для рассматриваемой задачи (1.1) - (1.5), поскольку она относится к типу задач с переохлаждением, имеют место следующие три возможности:

1) классическое решение существует для всехt > 0 ;

2) существует время окончания процесса TB такое, что lim s(t) = 0 ;

t ^TB

3) существует TC > 0 такое, что lim s(t) > 0

t ^TC ~

и inf s' (t) = -да.

(0,TC )

Умножая уравнения (1.1) на x, затем интегрируя по х на (0, s(t)) и по t на (0, t), получим

s (t) 1

J xct (x, t) dx-J xфi (x) dx =

0 0

= J s (t) s' (t) рi (s (t)) dt + (22)

0

+DiJ (c,0 - 4 (t))dt.

0

Последний интеграл неограниченно растет при t ^-да , так как 4 (t) - убывающие функции, тогда как остальные слагаемые ограничены, следо-

вательно, случай (А) невозможен. В силу леммы 2.2 случай (С) тоже невозможен. Таким образом, реализуется случай (В). Отметим, что в условиях теоремы

/х(^1 (х) + (р2 (х))йх < тт{р*, р**}. о

Теорема 2.2. Если

|х(^1 (х) + ф2(х))йх > тах{р*,р**}, (2.3)

о

то имеет место случай (С).

Доказательство. Суммируя равенства (2.2) и принимая во внимание условие (2.3), получим

X X

^1 I^1,0 — А(х))+^2 I(с2,0 —^2(Х))^ =

= - {х(^(x) + ^2(x)) dx -о

t

- {5(t)5'(t)(p (5(t)) + P2 (s(t))) dt +

0

s(t) * *

+ { x(q(x, t) + c2(x, t)) dx <- max{p , p2} -о

-maxp,p2,}(s2(t) -1) +

s (t)

+ { x(c1(x, t) + c2(x, t)) dx. о

Поскольку случай (А) исключен, а в случае (В) s(TB) = 0 , то последнее неравенство при t = TB противоречит условию 0 < 4 (t) < ci0 , что и завершает доказательство.

Автомодельные решения задачи 1

Предположим, что в уравнениях (1.1)—(1.4)

4 (t) = 4 0 = const < ci0, y(x) = y0 = const.

Тогда p1 (x) = p1 = const, p2 (x) = p2 = const, и вследствие уравнений (1.5)

(ЛУо + p2(1 - Уо))ГУо ГУо +1 - Уо ’

(p* Уо + P*(1 - Уо))(1 - Уо)

в -в2 a=(p-Ai,0)-D exp( 4dx i=1,2;

(2.5)

Рі + Рг = Р / (Рі + Рг) + Рг / (Рі + УРг)• (2.6)

Покажем, что система (2.4)-(2.6) имеет положительное решение

в = і/^Т, уо, р,А, і = і, г.

Для этого выразим р из первой пары уравнений, в которых в качестве Аі взяты правые части

второй пары уравнений: p =

ci,0 Лі

в exp(-в2 ,в

2D, 4 D,

-+Л.

(2.7)

) f exp(---------)dx

0 4 D,

Рг = +,

УУо +і - Уо

При подходящих начальных распределениях концентраций задача і имеет точное решение вида

я(0 =у!і - г / Т = /ЗЛ—Пт, у(х) = у0;

в

Єї (х, г) = А | ехР(х / 4Д )ёх + 4 0

ХІ^Т — ’

на интервале времени (0, Т). Константы

в = \/Я, у0, А, Р, і = і 2 определяются из следующей системы уравнений, полученной из условий на свободной границе (і.2), (і.3):

в хг

А іехр(—^ = єі,о -Л■о, 1 = і, г; (г.4)

о 4Ді

Очевидно, p > 4 для любых положительных в. Подставим выражения p из (2.7) в уравнение

(2.6) и обозначим левую и правую части полученного выражения через Ft (в) и Fr (в) соответственно. Нетрудно проверить, что

lim F{ (в) = тс, 0 < lim Fr (в) < тс, в—0+ в—*0+

lim F (в) = c1,0 + c2,0,

в—™

У J7 I в p1 c1,0 + p2c2,0

lim Fr (в) =--------:- .

в—“ c1,0 + yc2,0

Очевидно, Fl (0) > Fr (0).

Таким образом, для пересечения непрерывных кривых Ft (в) и Fr (в) достаточно потребовать выполнения неравенства Ft (^) - Fr («>) < 0, которое в терминах входных данных ci 0, 4 0 приобретает вид

c1,0 + c2,0 < p1 c1,0 t (c1,0 + yc2,0 ) + p2c2,0^/ (c1,0 + Yc2,0).

Сформулируем полученный результат.

Теорема 2.3. При выполнении неравенств

0 < 4 0 = const < ci 0,

c1,0 + c2,0 < p1 c1,0 t (c1,0 + Yc2,0) + p2c2,0Y/ (c1,0 + Yc2,0) для подходящих начальных данных задача 1 имеет решение вида

s (t) = вT -1, y (x) = У0; :в2 в -А

ci(x,t) = (p -4,0)вe4Di J e4Didx+4,0

2D,

x

JT-t

с положительным в . При этом Т = і / в1 есть время окончания процесса. Таким образом, реализуется случай (В).

3. Прямая задача на полубесконечном интервале. Рассмотрим теперь задачу (і.і)’ (і.2), (і.3)’, (і.4)’, (і.5)’. В этом случае растущая пленка занимает область (0, я(г)), а жидкая фаза - полубеско-нечный интервал (я(г), ^). Эта однофазная задача для системы уравнений также относится к типу за-

дач с «неправильным» знаком в условии Стефана, т.е. задач с переохлаждением, если пользоваться терминологией моделей плавления-затвердевания. В случае решения задачи на полубесконечном интервале имеются две принципиальные возможности поведения классического решения в зависимости от входных данных:

- (А)’ классическое решение существует для всех г > 0;

- (В)’ классическое решение существует лишь на конечном интервале времени (0, Т).

Случай (А)’ соответствует бесконечному по времени процессу роста, при этом скорость роста стремится к нулю с течением времени; случай (С)’ означает, что рост прекращается за конечное время вследствие градиентной катастрофы, т.е. 3 Т > 0

такое, что Иш 5(г) = s(T) < & и И 5'(г) = & .

г ^Т - (0,Тс)

Теорема 3.1. При выполнении условия

с1~ + с2~ < шт(р*,р*), (3.1)

аналогичного условию (2.1), в задаче (1.1)’ (1.2),

(1.3)’, (1.4)’, (1.5)’ классическое решение существует на любом интервале времени, т. е. реализуется (А)’.

Доказательство. Локальная по времени разрешимость задачи и монотонность свободной границы (в этом случае 5 (г) возрастает) доказываются тем же способом, что и в лемме 2.1 со стандартными изменениями, связанными с неограниченностью области. Ограниченность 5'(г) доказывается методом, использованным в доказательстве леммы 2.2 с соответствующими изменениями неограниченности области. При этом выполнение условия (3.1) существенно для выбранного способа доказательства.

Теорема 3.2. Если выполнено условие

с1~ + с2,& ^ шах(р*, р*), (3.2)

и с. &- ф (х) е Ц_ (0, &), то классическое решение

задачи 2 может существовать лишь конечное время, т.е. реализуется случай (С)’.

Доказательство. Проинтегрируем уравнения

(С,& - С(х, г))г = Д (сг> - с(х, г))хх

по х от х = 5(г) до х = & , затем по г - от 0 до г . Принимая во внимание (1.2), (1.3/ - (1.4/ и суммируя полученные равенства для . = 1, 2, приходим к тождеству

I (С1,& + С2,& - с (х, г) -С2 (х, г))йх -

5 (г)

-](С1,& + С2,& -ф(х,г)-ф,(х,г))& = (3.3)

0

г

= 15(г)(Р1 + р2 - Су &- С2 & )йг.

0

Первый интеграл в левой части (3.3) неотрицателен для всех г > 0 , второй конечен, следователь-

но, выполнение условия (3.1) влечет ограниченность s (t) для всех t > 0 .

Далее умножим обе части уравнений (3.1/ на exp(-Д p t - px), p > 0 и проинтегрируем по x от x = s(t) до x = <™ , затем по t - от 0 до t. Принимая во внимание (1.2), (1.3/ - (1.4/, и устремляя t к бесконечности, приходим к равенству

°j (s'(t)р. + Di pA) exp(-DiP2t - ps(t))dt =

0

= J <pt (x)exp(- px)dx.

0

Предел левой части при p, стремящемся к нулю, в предположении ограниченности s (t) для всех t > 0 конечен, тогда как правая часть последнего равенства неограниченно возрастает при p ^ 0. Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы.

Автомодельные решения задачи 2. В предположениях

A (t) = A 0 = const < ci0, y(x) = y0 = const задача 2 имеет автомодельное решение вида s(t) = fijt, y(x) = У0;

ct (x, t) = Ai J exp(x2 / 4 Д )dx + ci^, i = 1, 2, x/>/F

где постоянные в, У0, Ai, i = 1, 2 определяются из системы уравнений

4D

- AD exp

-в

dx + c.,

■2 ^

= A

4D,

i,0, . = l, 2; в

(3.4)

= (Pi -A,0)f, i = 1,2; (3.5)

Pl +P2 = P1 Уо +P2/(l - Уo), Уо =Pl/(Pl +fP2).

(З.б)

Существование положительного в, положительного и не превышающего единицы у0 , а также отрицательных констант Д при выполнении условия на входные данные, аналогичного условию теоремы 2.3, доказывается тем же способом, что и в вышеназванной теореме.

Таким образом, имеет место следующий аналог теоремы 2.3.

Теорема 3.3. При выполнении неравенств

0 <4,0 < С„,

Pl cl,.

p2c2-Y (3.7)

(Сх~+ГС2~ ) (Сі~ + /С2,^ )

и при начальных условиях щ (х) = сі ^ прямая задача

жидкостной эпитаксии на полубесконечном интервале имеет решение вида

s(t) = p4t, y(x) = уо;

i = 1, 2.

С (х, 1) = Д J exp(x2 / 4Д. )dx + c{,

x /^1

Более того, для исследования асимптотического поведения решения задачи со свободной границей на полубесконечном интервале нетрудно убедиться в справедливости следующей теоремы, характеризующей асимптотическое поведение границы растущей пленки в задаче 2.

Теорема 3.4. Пусть А (t) — А. 0 при t — ж , где

0<Ао <Сж. При выполнении условия (3.7) для

решения задачи 2 имеет место асимптотическая формула

s(t) ~ p4i, t —— Ж.

Замечание 3.1. Данные теоремы 3.3, очевидно, не удовлетворяют условиям согласования. Вместо автомодельных переменных s(t) = /3^1, = х / 41

можно рассмотреть

s(t) = [Цt + а, £ = х / Vt + а, а> 0

и получить серию точных решений, соответствующих начальным распределениям специального вида.

Замечание 3.2. Если вместо второго неравенства

(3.7) значения концентраций на бесконечности подчинены равенству

Р\с\,~ , рС2~Г

(Cl,~ + rc2,^) (q +Yc^ )

s(t) = Vt, y(x) =-

Ll,‘

c (x, t) = (Ao - ct^) exp

:1, - + Yc2,=

Ґ (Vt - x)V Л D;

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

cit = cixx,i =1,2, x >s(t);

ДCx = s'(t)(pk - с X Ci = А (°(t)), x = s(t);

с. (x, 0) = <Pi (x), s(0) = 0, t = 0;

lim c( x, t) = с.ж;

x—^

Pi +P2 = P* У + P*/(1 - У), y = Pi/(Pi + p).

Здесь y (x), x e (0, s(T)), где T - время окончания процесса является заданной функцией, принимающей значения из интервала (0,1). Эта функция характеризует состав пленки в точке x при x < s(T). Отметим, что в предыдущих задачах фигурировала функция у(1 ), связанная с нынешней простым соотношением y(t) = y(s(t)). В этой задаче будем считать, что заданные функции А., i = 1, 2 подчинены условию А = а А + b, где a ,b - положительные константы.

Выразим р1 и р2 через у из уравнений (4.5):

(Pi* У + Р*(1 - У))ГУ

(4.6)

Pl =

P2 =

1 - У + УУ (Pl* У + p2(1 - У))(1 - у)

то для подходящих начальных распределении концентрации задача 2 имеет решение вида бегущей волны:

4. Обратная задача. В п. 1. была сформулирована задача определения рабочей температуры процесса по заданному составу пленки в конце процесса в ограниченной области и названа «обратной» задачей 1. Здесь мы сосредоточим внимание на «обратной» задаче 2, т.е. на задаче управления составом пленки, занимающей в момент времени ї область (0, я(ї)), (соответственно жидкая фаза - полу-бесконечный интервал (я(ї),^)) с помощью управляющего параметра - температуры процесса. Отметим, что эта задача является корректной и по своей математической природе близкой к задаче затвердевания бинарной смеси. «Обратной» она названа только по отношению к предыдущей задаче нахождения состава растущей пленки по заданной рабочей температуре процесса.

Итак, задача состоит в нахождении функций в(1), $(1), сі (х, ї), і = 1, 2 , удовлетворяющих следующим уравнениям и условиям:

1 - У + УУ

Теорему о разрешимость задачи (4.1)-(4.5) и примеры ее численного решения можно найти в работе [5].

Автомодельные решения «обратной» задачи.

Автомодельная постановка задачи определения рабочей температуры процесса по заданному (постоянному в нашем случае) составу пленки соответствует заданию y (x) = y = const, или, в силу формул

(4.6), постоянных плотностей Pl и P2 и постоянных начальных концентраций. Таким образом, автомодельная задача состоит в нахождении положительных констант в и A1 по заданным положительным

константам с0 = p (x), pi = pt (x), i = 1, 2. При этом

s(t) = , Cj (x, t) = Cj (x / 4t)

должны удовлетворять уравнениям (4.1) - (4.3), где

A = a A + b .

В силу (4.1) и (4.3)

cj = A °f exp(-£2 / 4Dj )dg + c0, i = 1, 2. (4.7)

x /Vt

Из условий (4.2) получим систему для определения постоянных в, A, A1, A2 :

A j exp(-£2 / 4Д )d£ + c0, i = 1, 2.

(4.8)

в

(4.9)

-Д-Д ехр(в2/4Д) =

= рп-(КР -Л), = 1,2.

Теорема 4.2. Пусть Ь = 0 и а лежит между числами е°/с]0 и (с2 -к2р2)/(с° -к1р1). Тогда существует автомодельное решение «обратной» задачи в > 0, Л > 0, Л2 = а Л. Если при этом с0 < к р , то Л < с0 и градиенты концентраций в жидкой фазе положительны.

Действительно, разрешим систему (4.8)-(4.9) относительно Л, Л :

Л =

0 Р

cl - 2D" kipi exP

(в_ л

4Д

( _. л

4Д

і в

1 —— exp

2 Dj

(в_ л

4Dj

j exp

в

(_.l л 4д

(4.10)

d.

Л2 =-

в

2D2

к2р2 exp

(в_ л

4 D2

j exp

в

(_.l л

4 D2

d.

1 -

в

2D2

exp

(в л

4D2

j exP

в

f _.l л

4D2

(4.11)

d.

Обозначим правую часть (4.10) через g1(в), а правую часть (4.11) - через g2(в). В силу равенства Л = аЛ имеем

g2(в)/ gl(в) = а. (4.12)

При этом нетрудно убедиться в том, что

g2(0)/ ^(0) = с2/ с0;

g2 (да) / gl (да) = (с2 - К2р2 ) / (с10 - К1р1 ).

Следовательно, в силу принятых условий уравнение (4.12) имеет решение в> 0. Константы Л,, = 1,2 находятся из уравнений (4.10), (4.11). Последнее же утверждение теоремы 4.2 следует из анализа формул (4.10), (4.11).

Библиографический список

1. Бадратинова, Л.Г. О задачах со свободной границей, моделирующих процесс жидкофазной эпитаксии из тройных растворов / Л.Г. Бадратинова, В.В. Кузнецов, А.Г. Петрова, В.В. Пухначев // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1986. - Вып. 78.

2. Петрова, А.Г. Обратная задача затвердевания бинарного сплава / А.Г. Петрова // Известия АлтГУ. - Барнаул, 2009. - №1.

3. Petrova, A.G. The one-phase supercooled Stefan problem with temperature boundary conditions / A.G. Petrova,

D.A. Tarzia, C.V. Turner // Advances in Math. Sciences and Applications. - 1994. - V. 4, №1.

4. Петрова, А.Г. Локальная разрешимость термодиффузионной задачи Стефана / А.Г. Петрова // Динамика сплошной среды. - Новосибирск, 1984. - Вып. 64.

5. Зальцман, Б.Б. Задача управления составом материала, получаемого методом жидкостной эпитаксии в условиях невесомости / Б. Б. Зальцман, А. Г. Петрова // Космическая наука и техника. - Киев, 1990. - Вып. 4.

0