Обратная задача затвердевания бинарного сплава Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

А.Г. Петрова

Обратная задача затвердевания бинарного

сплава

1. Постановка задачи. Рассмотрим классическую одномерную модель затвердевания бинарной смеси при отсутствии диффузии в твердой фазе [1]: требуется определить распределение температуры вДх, ¿) и концентрации Мх^) в твердой (П8(£) = (0, в(£)), индекс ’V’) и жидкой (П;(£) = (М)> 1), индекс ”1”) фазах, удовлетворяющих уравнениям теплопроводности в обеих фазах

двi dt

д

a.

■2дві

s, l,

dx\ i dx ai

сти, и уравнениям диффузии

дві

dt

- Di дві dx \ дх

с коэффициентом диффузии Di примеси в жидкой фазе и коэффициентом диффузии Ds = 0 в твердой фазе. На границе фазового перехода x = s(t), которая предполагается гладкой функцией, выполнены условия фазового равновесия (для простоты линии ликвидуса и солиду-са предполагаются прямыми с угловыми коэффициентами ms,ml, а температуру фазового перехода чистого вещества без ограничения общности можно считать равной нулю)

0s = 6i = mici = msCs, x = s(t),

и пара условий Стефана, являющихся следствиями законов сохранений энергии и массы:

дв±_ дв1 дх 1 дх

s'(t) = Ks^ - к^, x = s(t),

Обратная задача. Определить начальную концентрацию примеси в жидкой фазе сДх) по известному распределению концентрации примеси в затвердевшей части в конце процесса се(х,Т) из условия минимизации функционала

Ifà) = J (ci(s(t)t) - сДs(t),t) • ms/mi)2dt, (1.0)

о

где Ci(X,t),Cs(x,t) являются решением следующей задачи:

f = ix^ S) ,x ЄП ^ ^ *v>.rn = s,1;

.

дс

= ®,x Є fîsi^): t Є (0, T)\ (1-2)

M-(d‘-xVєп^<L3>

es = ві = mscs,x = s(t),t Є (0,T);

.

дв

дв

s' (t) = Ks —x - Kl -x, x = s(t),t Є( 0,T); (1.5) дв

s'(t)(cs - ci) = Di —1, x = s{t),t Є (0,T); (1.6)

где Ki есть частное от деления соответствующего коэффициента теплопроводности на произведение общей плотности и удельной скрытой теплоты фазового перехода, и

дй

s' (t)(Cs - Cl) = Di , x=s(t).

дх

Начально краевая задача дополняется заданием начальных данных для концентраций, температур, начального положения границы фазового перехода и граничных режимов на известных границах для температуры и концентрации.

* Работа выполнена при поддержке ведомственно-аналитической программы ” Развитие научного потенциала Высшей школы 2009-2010” №2.2.2.4/4278 и гранта СО РАН № 116.2009.

дх

di( х, 0) = х), х е О ¿(0 ), s(0) = s0 е ( 0,1);

(1.7)

МО,t) = fs(t), MOе(0,Т); (1.8)

cs(х,Т) = с(х),х еПs(Т); (1.9)

с,(l,t)=cj t,t MO(1.10)

с[(х,0) = с0(х),х еП¡(0). (1.11)

Будем считать, что данные задачи удовлетворяют неравенствам, определяющим твердую и жидкую фазы:

Мх,t) < mscs(х,£),х е Оs(t),t М0, Т); (1.12)

Мх,t) > mici(х^),х е Оi(t),t е (0, Т); (1.13)

0 < cs(х,t) < 1,х е Оs(t),t МО, Т]; (1.14)

0 < q(х, t) < 1, х е О (t), t MO, T], (1.15)

условиям монотонности фазовой границы в (г) [2] и условиям согласования 1-го порядка, которые для нашей задачи имеют вид:

рМ = Л (о),Ы1) = Л(0),

Ps{ S0) = pi{ s0) = msc(s0)

2$pi

2#Ps/n, dfi as (0), -t-(0)

dx2

dt

dx2

dp s / \ dp!i I \

s(°) = Ks^-(so) - Ki^zr

dx

dx

dc

s'm = (Фо) - ^(so)) = Di~dxS)> dVs( x , 2d'Vs, ,

dx

dpi, \ ,(n^ . 2^^i/ \ ——(so)s (0) + ai^Y(s°) dx dx

dc

= ms — (so)s'(0), dx

(1.16)

неравенствам, определяющим фазы в начальный момент и на известных границах:

^s(х) < msC(x),x е Оs(0), x) > mic0(x),x е Пi(Q), fs(t) < msc(0),fi(t) > micj (t),t e [0,T], (1.17)

а также естественным ограничениям для концентрации

О < о < l,x е П i(0),

О < cl (t) < l,t e[0,T]. (1.18)

Отметим, что наша задача будет соответствовать квазиравновесной модели затвердевания лишь при нулевом минимуме функционала (1.0). В противном случае условие Й1 = mici, т.е. mscs = mici не может выполняться всюду на границе фазового перехода: условие (1.4) вместе с неравенствами

Йц < mscs,x е Оs(t), Й1 < mici,x е Оi(t),

определяющими твердую и жидкую фазы, обеспечивают лишь неравенства

mscs > mi ci, x = s(t).

.

В двух случаях удается доказать разрешимость обратной задачи: c = const; c(x) - линей,

что е'(x)(l — mi/ms) > 0 при ks = ni, поскольку именно в этих случаях очевидна классическая разрешимость задачи Стефана для функций ЙДx,t) — msc(x),i = s,l и свободной грани-st

одна из описанных ситуации и выполнены неравенства

рI > шес(х),х е О¡(0), /¡(г) > т8с(1),г е [0,Т\.

(1.20)

2. Теорема о разрешимости задачи 1.

Здесь, в леммах 1-3 определяются условия на известные функции, обеспечивающие разрешимость задачи (1.1)—(1.15). При этих условиях доказывается существование функции

с0(х) е Ьж(в0,1), 0 < ^(х) < 1

почти всюду в во, 1] доставляющей минимум функционалу Цс0).

Лемма 1. Пусть

р е Н2+“(Що)),/ е Н1+“/2([0,г]), с] е Н1+“/2([0,Т]),со е Н1+“/2(Що))

и выполнены условия (1.16)—(1.18), (1.21). Кроме того, пусть

в'(0) >0; р"(х) < 0, х е О8(0), р](х) < 0, х е О¡(0); / (г)<о, /' (г) < о, г е[о ,Т].

Тогда задача (1.1)—(1.11) имеет единственное решение

в, е Н+а, с1 е Н2+¡ = в,1, в(г) е н1+“/2[о, т], се( х,г) = с(х),

причем в(г) монотонно возрастает при г е [0 ,Т). Доказательство. Рассмотрим задачу (1.1),

(1.4), (1.5), (1.7), (1.8), где сДв(г),г) в условии

(1.4) заменено на с(в(Ь)). Очевидно, эта задача представляет собой задачу Стефана относительно функций

в,(х,г) — шас{х),г = в,1, в(г),

для которой в силу условий леммы имеет место монотонность свободной границы: в'{г) > 0, г е , Т .

с3(х,г) = с(х) и, естественно, се(в(г),г) = с(х). Итак, задача (1.1)- (1.11) распалась. Осталось решить начально-краевую задачу (1.3), (1.6),

(1.10), (1.11) для функции с^х,г) в области с известной монотонной границей х = в (г). Очевидно, эта задача имеет единственное решение с1 из класса Н2+“ [4].

Лемма 2. Пусть в(Ь) е Н +“/2[0,Т],

в'(г) > 0, ц = тах в'(г) < то;

неотрицательные функции q(t) и co(x) удовлетворяют неравенствам

1 -exp{-^2T/Di - (1 - s0)^/Di} <

< ci(t) <exp{-^2T/Di - (1 - s0)^/Di},

1 -exp{-^2T/Di - (1 - s0)^/Di} <

< c0(x) <exp{-^2T/Di - (1 - s0)p/Di}.

Тогда решение задачи (1.3), (1.6), (1.10), (1.11)

q(x,t) неотрицательно и не превосходит единицы.

Доказательство. Подробно проведем доказательство утверждения о том, что концентрация не превышает единицы. Для этого введем функцию

v(x,t) = q(x,t) ■ exp{-^t/Di + ¡ix/Di}.

Для нее имеем:

vt = DiVxx - 2ivx,x G fii(t),t e (0,t),

v(x,0) = c0(x) exp{ix/Di},

v(l,t) = c} (t)exp{-i2t/Di + i/Di},

DiVx - v(i - s') = s'c(s(t)) exp{-i2t/Di +

+ls/Di}, x = s(t).

В силу принципа максимума и леммы о знаке производной в точке экстремума [5]

v(x, t) < max{max co(x) exp(ß ■ x/Di),

max ci (t)exp(p/Di - ¡I2 ■ t/Di)}. Следовательно,

ci(x,t) <exp{-i ■ x/Di + i‘2t/Di+

+1/Di - 1 ■ T/Di - (1 - so)l/Di} < 1.

Теперь достаточно проделать все вышеизложен-

- ci

отрицательности концентрации.

st

ям леммы 2, a c(x) -линейная функция, задан,

е( x)(l - K) > 0, K = mi/ms. Предположим, что

(c} t - c(l)/K)(l - K > 0,

(c0(x) - c(x)/K)(l - K) > 0.

Тогда для решения задачи (1.3), (1.6), (1.10),

(1.11) справедлива оценка

(ci(x,t) - c(x)/K)(l - K) > 0.

Доказательство. Введем функцию

1и(х,г) = (^( х,г) —~с(х)/к) ехр{-^2г/В1->г цх/в{\.

Для нее имеем задачу, подобную той, что рассматривалась при доказательстве леммы 2. Также, используя принцип максимума и лемму о знаке производной в точке экстремума [5], получим оценку 'ю(х, г)(1 — К) > 0, из которой следует, что в случае К < 1 имеем сДх,Ь) > с(х)/К, а в случае К < 1 - х,Ь) > с(х)/К.

Таким образом, подчинив данные задачи, помимо естественных ограничений, следующих из определения фаз, условиям монотонности свободной границы, мы доказали существование и единственность решения задачи (1.1)—(1.11), причем л = тах в' (г) конечен и зависит от разностей

рг(х) — т3с(х),/3(г) — т3с(1), /¡(Ь) — т3с(1).

Леммы 2, 3 дают ограничения на входные функции, обеспечивающие выполнение условий (1.12)—(1.15) для решений задачи (1.1)—(1.11).

Теорема 1. Пусть заданные функции рг, /г{* = в,1), с], с удовлетворяют условиям К<

0< с(х) < Кехр{—л2Т/Б1 — ( 1—во)л/А}, (2.1)

К>

К(1 — ехр{—¡л2Т/В] — (1 — в0)л/В]} < с(х) < 1.

.

с х е

1^<х,(во, 1) и со(х) > 0 почти всюду на [во, 1].

Замечание. Как уже отмечалось, условия леммы 1 относятся к разностям

рг(х) — т3с(х), /3(г) — т3Ц1),/^г) — т3с(!)

и л = тах в'(г) определяется этими разностями. Поэтому условия (2.1) ((2.2)) оставляют достаточную свободу в выборе исходных данных.

Доказательство теоремы. Обозначим через Л множество функций с0(х) е Н+“(1^(0))

,

ющих условиям согласования 1-го порядка для задачи (1.1)—(1.11) и обеспечивающих выполнение условий (1.13), (1.15) для решения вг, сг, в задачи (1.1)—(1.11) (условия (1.12), (1.14) выполнены очевидным образом вследствие леммы 1). В силу лемм 2, 3 и условий (2.1), (2.2) множество Л содержит бесконечное много элементов.

Пусть cj(x) £ А - минимизирующая последовательность для функционала I, т.е.

T

lim [(¿¡(s(t),t) — c(s(t))/K)'2dt = Imin, (2.3)

J

о

где cj(x,t) - решение задачи (1.3), (1.6), (1.10),

(1.11), соответствующее начальному распределению cj. Очевидно, что

\К||Ms0il) < 1,Vp>l. (2.4)

Умножая обе части равенства (1.3) на cj(x,t) — cf (t) и интегрируя по области Qi(t) = <x<l,0<r<t}c учетом того, что значения функций cj (x, t), cf (t),c(x) лежат в проме-

,,

\\Ci \\w£(Qi(T)) < M°>

где M0 не зависит от номера j. В силу (2.4) и

(2.5) можно выделить последовательность индексов (оставим для нее прежние обозначения) так, чтобы {Кx)} сходилась слабо в «о, 1), а {с.} - слабо в W,0(Qi(Т)).

Обозначим слабые пределы соответственно ¿О (x) и ¿О(x,t). При ЭТОМ CQ (x) является обобщенным решением задачи (1.3), (1.6), (1.10),

(1.11), соответствующим начальному распределению ^(x), т.е.

T 1 1

_дп dci дп f _

(—О dt+Di dxdx^dxdt = Co (x)x(x,0)dx

о s(t) s(0)

п

n(s(t),t) = n(l,t) = 0,t ^0, Т,

n(x, Т) = 0, x £ (s(T),l).

В этом легко убедиться, переходя к слабому пределу в обеих частях равенства

T 1 . 1

/ / —О dt+Di dx^x^dxdt = f CQo(x)n(x,0)dx.

О s(t) s(0)

Из локальных оценок решений параболических уравнений [4] следует, что

о < мп,

где Qn{T) = {s(t) < x < 1, 1/п < t <

Т}, a M(n) не зависит от номера j. Поэтому для каждого п из последовательности {¿Кx,t)}

можно извлечь подпоследовательность, сильно сходящуюся К решению Ci( x,t) в норме H+a-S,i+a/2-SßТ)), (¿-малое).

Убедимся, что

T

J (Ci( s(t),t) — сД s{t))/K)2dt = Imla. о

Для этого покажем, что соответствующая разность меньше любого наперед заданного е. В са-

j

при всех j > jo

T

J(4(s(t),t) — Cs(s(t))/K)2dt — Imin <eß. о

Поскольку 0 < c.(x,t) < l,(x,t) £ Q^Т) и c(x, t) £ W2 ’0 (Qi(Т), можно выбрать щ так, что-j

l/n0

cCl s t , t — cj s t , t Ccl s t , t

О

с.(s(t),t) — 2cs(s(t))/K)dt < е/3.

Пусть теперь {clln^ (x,t)} - подпоследова-

Cci x, t

H+«-йД+«^-S/‘2 (Qn° (Т)). Тогда существует jo(n0) > jo такое, что

T

cCi s t , t — cij n s t , t cCi s t , t

/n

.Оо)(s(t),t)) — 2сДs(t))/K)dt < е/3. Таким образом,

T

J (ОД s(t),t) — сД s(t))/K)2dt — Imin =

О

T

Jl (s(t),t) — cs(s(t))/K)'2dt — Irnin +

О

l/n0

cCi s t , t — cij n s t , t cCi s t , t

О

.(Ы (s(t),t) — 2сДs{t))/K)dt+

T

cCi s t , t — cij n s t , t cCi s t , t

/n

cj("o) {s{t),t) - 2cs(s(t))/K)<e.

В завершение доказательства осталось заметить, что, так как с (х) является слабым пределом в Lp(s0,1) последовательности функций, все

,

О < с(x) < 1 почти всюду и с(х) Є LTO(so,1).

3. Автомодельная обратная задача.

Считаем, что твердая фаза занимает область (s(t), то), жидкая - (0, s(t))); s(0) = 0. Известно окончательное распределение примеси в твердой фазе cs(х, Т) = c = const. Ищется начальное

ci x,

co = const из условия минимизации функционала J(co), определенного равенством (1.0), в котором ci и cS являются решением задачи (1.1)-

(1.6), где fis(t) = (0, s(t)),fii(t) = (s(t), то) с данными

ei(x,0)=eio = const, (3.1)

0s (0 ,t)=e0s = const, (3.2)

cs(x, Т) = c(x) = const, (3.3)

ci( x, 0) = cq(x) = const, (3.4)

удовлетворяющими условиям (1.12)—(1.15).

При этом, естественно, считаем, что

0io > msKa, 0°s < msO,0 < c < min{l,K(3.5)

Считая, как и в обычной автомодельной термодиффузионной задаче, s(t) = 2$\ft, а 0i,ci - функциями соответственно x/(2a^\ft) и x/(2*s/Dit), получим следующие известные явные формулы для решения задачи (1.1)—(1.6), (3.1Н3.4):

Os = 0^ (msc-Os) ■eri(x/2asVt)/eri(e/as) , (3.6) Qi = Oio + (mso - Oio) ■ erfc(x/2aiVt)/erfc(e/ai),

.

cs= c, (3.8)

Тогда обратная автомодельная задача имеет решение

c0 = c/K • 1 -

• в(1 - K) •erfc(e/Di)\

exp(-P2/Dt) J '

(3.11)

При этом /(со) = 0.

Доказательство утверждения. Ограничимся случаем K < 1. Нетрудно проверить, что для со, даваемого формулой (3.11), 1{с$) = 0. Остается доказать справедливость неравенств

(1.12)—(1-15). Заметим, что (1.12) и (1.14) очевидны. Докажем (1.15). Для этого рассмотрим функцию

f(P) = exp(-^/D0 - ^Dÿl в ■ erfc в/^).

Для непрерывно дифференцируемой функции имеем: f(0) = l,f(+то) = 0, f'{р) < 0. Следовательно, f(fi) > 0. Поэтому с < с0 < 1. С другой стороны, вследствие (3.9), для q(x,t) имеет место неравенство

со < q(x,t) < с/K.

Таким образом, (1.15) выполнено.

Теперь докажем (1.13). На свободной границе x = s(t) выполнены равенства

Ql = ms • c= ms • K • ci.

В силу (3.5),

Qio > msKc^ = msKci

при x ^ œ. Условие (3.10) с учетом (3.11) влечет

dQl , , ч ч ^,dcl . . . .

— (s(t),t) > msK—

ц = c0+Vn(3(c0-c)erfc(x/2DlVt)^p(-02/Di- откуда и следует требуемое неравенство (1.15), VDl v иначе уравнение

в •erfc (в/\ Dl

VDl

где в ~ положительный корень уравнения

(3.9) dQl да

— = msK—, дх дх

в = кв(тес—в8)-ехр(—в' /а8)/(а8^/п-ег{(—в/а8))+ к](т8с — вю) ■ &ср(—в2/а])/а^/л ■ ет{с(—в/а^.

В существовании положительного корня последнего уравнения легко убедиться, замечая, что правая часть стремится к ”+то” при в ^ 0 и к ”—то” пр И в ^ +то.

Утверждение. Пусть заданные константы в^,в10,с удовлетворяют, помимо условий (3.5), неравенству

которое в нашем случае имеет вид

Aexp(-x2/Aalt) = Dexp(-x2/4Dlt), A, B = const,

c <

(Q;o - msc)\/Dl/пехр(-в2/а() ( ms(K - 1 )eerfc(-e2/Dl) j

имело бы по крайней мере два положительных корня, что, очевидно, невозможно.

Замечание. В случае неравенства, противоположного (3.10), для решения, соответствующего (3.11), условие (1.13) не выполнено: имеет место переохлаждение перед фронтом кристаллизации. Однако обратная задача может иметь решение, но минимум функционала 1(с$) уже не (3.10) будет равен нулю.

Библиографический список

1. Авдонин, H.A. Математическое описание процессов кристаллизации / H.A. Авдонин. -Рига, 1980.

2. Петрова, А.Г. Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана // А.Г. Петрова // Динамика сплошной среды. -Новосибирск, 1984. - Вып. 67.

3. Мейрманов, А.М. Задача Стефана /

А.М. Мейрманов. - Новосибирск, 1986.

4. Ладыженская, O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева. - М., 1967.

5. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман.

- М., 1968.