Одномерные задачи фильтрации смешивающихся жидкостей в условиях их взаимодействия с пористой средой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512

Т. С. Образцова

Одномерные задачи фильтрации смешивающихся жидкостей в условиях их взаимодействия с пористой средой

Постановка задачи

В случае линейного закона фильтрации (закона Дарси) уравнения нестационарной фильтрации жидкости в пористой среде имеют вил 11):

— (тр) + <Цу(р(7) = О,

Э* _ (1.1) ь

V = - — grad(p + р^Л),

Ц

где ¡7 _ вектор объемной скорости фильтрации; р — давление; р — плотность; т — пористость грунта, Ъ — высота точки над фиксированным уровнем; |1 — вязкость жидкости; к — коэффициент фильтрации.

Д-1Я смешивающихся жидкостей в условиях их взаимодействия с пористой средой уравнения (1.1) дополняются уравнением движения (закон Фика) и баланса массы вещества, содержащегося в твердой и жидкой фазах;

Ичй + — + тс) =0,й = си - БЧс , (1.2)

Э t

здесь и — вектор массовой скорости ассоции-ровшпюго с жидкостью вещества; с и .V — массовые концентрации вещества в жидкой (на единицу объема раствора) и твердой (на единицу объема пористой среды) фазах; О — тензор конвективной диффузии, учитывающий молекулярную диффузию и гидродинамическую дисперсию. Для О, например, принимается линейная зависимость его от скорости фильтрации, т.е.:

+ \ |й|)5у, (1.3)

где Ц, — коэффициент молекулярной диффузии в пористой

среде; л^ — параметр дисперсии; 51/ = 1 при I = , бу =0 при I * ] .

К уравнениям (1.1)-(1.3) нужно добавить уравнения состояшш жидкости и пористой среды:

р = р0[1 + а0(р- р„)],

, . С-4'

т= т0 +а,(р - р0).

Здесь р„, ти - начальные плотность и пористость, отвечающие начальному давлению р0;а0,а1- коэффициенты "сжимаемости" жидкости и грунта.

Система (1.1) - (1.4) замыкается уравнением кинетики или уравнением равновесия, соответственно:

™=f(c,N),N=nc).

Например, скорость массообмена в процессах растворения (засоления) и кристаллизации может определяться для поверхностного и объемного растворения соответственно выражениями:

' »У.ЧО-M ni

где ср - массовая концентрация вещества в

жидкой (на единицу объема раствора) фазе в условиях равновесия; у - постоянная, зависящая от физико-механических свойств среды и жидкости.

К числу равновесных состояний относят изотермы Г'енри, Ленгмюра и Фрсндлиха, соответственно:

N=y с , N N = ус\ (1.6)

1 + ее

здесь у, е - экспериментальные константы. Разрешимость данной системы исследована:

1) в стационарном случае для ограниченной области;

2) в нестационарном случае для системы, допускающей автомодельные решения.

Одномерным стационарная задача

При решении стационарной задачи в области Г2=[*1,г2] рассматривается установившееся течение смешивающихся я:ндкостей, описываемое следующей системой уравнений:

A(pi)) = o,D = -a(c)4^, (2.1)

Ах dr

р = р0[1 + ав(р-рв)]. (2.2)

(си - D= 0, D = D0 + X|i>|, (2.3) d* ах

при следующих краевых условиях:

P(*i) = Pi. Р(*г)= Pi - (2'4) с'(ж,)=0. с(хг)=с2. (2.5)

Пусть аа,р0, p0,X,D0,c2 — положительные постоянные, a функция а(с) обладает следующими свойствами:

1 ) а(т) определена для V X б R ; (2.6) 2) 3 М-,, = const> 0 такая, что V т е R : о(т) 2! lim а(т)= « ; (2.7)

Одномерные задачи фильтрации смешивающихся жидкостей..

3) 3 |i(Mu) = const такая, что при

|т| <М0 : о(т)<ц(М0). (2.8)

В общем случае предполагается, что dp

Ср, —^> 0). В случае же зависимости (2.2) dp

граничные значения давления удовлетворяют условию:

min (Pi- р0,р2~ Р0)> (2.9)

Сохраняя за разностью р = р - р0 обозначение р, введем новую неизвестную функцию, заданную формулой:

Р(х)

Ф(*) =Ф[р(*)] = I pfyd^. Pi

Очевидно, что:

Ф(*,) = 0 , Ф(*2) = Ф2 = Pf (2.10)

Pi

и, в силу (2.1), (2.2), (2.10):

влетворяют условиям (2.7), (2.9). Тогда для р(х) и р(х) справедливы оценки (2.13).

Замечинис 2.1 (о знаке скорости и ее производной).

^ г1 . (2.11)

dф х: -pu = А = а(с) —, А = Ф2[ I

dx Xi а(с)

В силу линейной связи плотности и давления для Ф(х) имеем:

Ф(*) = Ро(Р ~ Pi)[l+-^-(P + Pi)] ■ Тем самым с учетом (2.9):

р(х) = —

Oto

-l + Jl + 2 а0(р1+^р?

Ф(х))

Далее, для функции о(с) имеем:

Р

(2.12)

Ой i

2 CÜ-

Хп — X,

Следовательно, sign А = sign Ф2 . Очевидно, что в случае Ф2 = О задача имеет только тривиальное peuieime. Если же Ф2 * 0, то из (2.11) следует, что при Ф2 > 0 функция Ф(х) монотонно возрастает, а при Ф2 < 0 — монотонно убывает. Тогда в силу (2.12), (2.2) для функций р(х) и р(х) имеем:

р* < р(х) < р*, 0 < 1 + а0(р* - р0) <

p(jc) (2.13)

Г О

здесь р* = min(p,.p2), р* = max(plt р2). Сформулируем полученные результаты.

Лемма 2.1.

Пусть р( х) — решение задачи (2.1), (2.2), (2.4), а функции р(р) и а(с) удо-

Из (2.11) имеем:

V =--. Тогда

Р

sign V = sign Ф2 . А Для производной скорости

du

получим: —

dp

> 0.

dx р3а(с) dp Рассмотрим уравнение (2.3) в виде:

^ d2 с dD de du D —+ (—-и) —-С5- = 0. (2.14) dx dx dx dx

Положительный максимум функции c(x) не может достигаться при х = х}, поскольку в de

этой точке — = 0. Пусть положительный de

максимум достигается во внутренней точке xue(xltx2). Рассмотрим уравнение (2.14) в этой точке:

du d2c

с(х0)~(хи) = D(x0)—-(x0) > 0. d* dx

Получаем противоречие в силу замечания 2.1. Значит положительный максимум функции с(х) может достигаться только при

х = х2 , т.е. с(х) й с2 , V х е [х,, х2]. Далее, делая замену с(х) = -с(х) и проводя аналогичные рассуждения, получим, что всюду на отрезке [л^, х2] функция с(х) > 0. Тем самым доказана следующая лемма. Лемма 2.2.

Пусть с(х) , р(х) — решение задачи (2.1)-(2.5), а функции р(р) , а(с) удовлет воряют условиям (2.7), (2.9), тогда для всех х E[xitx2] имеем: 0 <, с(х) < с2.

В силу доказанных выше лемм и согласно свойствам (2.G)-(2.8) выводим, что функция а(с) определена для всех с б(0,с2) и поэтому: < а(е) < ц(с2) = ^ . Пусть дополшггель-но к условиям (2.6)-(2.8) а(е) 6 С1+а[0,с2],

toi да (с(х), р(х)) е С2+а[х, ,х2]. Дальнейшее повышение гладкости функции а(с) влечет по-вьпление гладкости и решения задачи (2.1)-(2.5).

Теореми 2.1.

Если выполнены условия (2.6)-(2.9) и а(с)ЕСиа[0,с2]. то существует классическое решение задачи (2.1)-(2.5). Если же

дополнительно к этим условиям — < 0, то

de

решение единственно.

Определение.

Классическим решением задачи (2.1)-(2.5) будем называть пару функций

(с(х), р(*)) е С2+а[ас, ,х2], удовлетворяющих в области П=[*рд:2] уравнениям (2.1)-(2.3) и непрерывно принимающих на границе заданные значения (2.4), (2.5).

Доказательство основано на теореме Шау-

о существовании неподвижной точки р = р0[1 + а0(р - р0)], т= т0 + аДр - р0),

более упрощенной постановке, а именно, на ладанном поле скоростей исследуются монотонные автомодельные решения типа бегущей волны.

После введения новой неременной £ = * - со< , первоначальная система запишется

в виде:

дера

вполне непрерывного оператора, формулой:

c2f(,x2,c)

заданного

Г(с) =

V

A w

fix, С)

f __—

где: f(x, с) = ехр[- | — (c(e))ds].

Х1

Неп]>ерывный оператор Т(с) является и вполне непрерывным, т.к. любую непрерывную

функцию он переводит в функцию класса Са С другой стороны, данный оператор переводит шар в себя. Поэтому для оператора Т(с) выполнены все условия теоремы Шаудера. Следовательно, существует но крайней мере одна неподвижная точка данною отображения и соответствующая этой точке функция Ф(х) Эта пара является решением задачи (2.1)-(2.5), причем, как отмечалось выше, оно будет классическим, если о(с) е CUa[0, с2].

Одномерпан иестиционирная задача

В нестационарном равновесном случае в области О = исследуется разрешимость

первоначальной системы, допускающей автомодельные решения типа бегущей волны. Раз решимость данной задачи исследовалась в [4] в

— [(com -и)с + <й/(с) + D J-] = О, D = D0 + à|u| dû;

при следующих краевых условиях:

^(-оо) = p-, р(о°)= р+, с(-оо) = с", с'(°°) = 0 .

Здесь мы работали в классе функций, которые на бесконечности постоянны, а их производные равны нулю. Тогда скорость на границе обращается в нуль, вследствие чего система имеет только тривиальное решение. С целью получения нетривиальных решений в качестве функции о(с) выбирают специфически заданную на границе функцию, обладающую следующими свойствами:

1 ) a(t) определена для V X е R ; 2) 3 |!0 = const> 0 такая, что

Vt 6 R: a(T) > ц0> lim о(х)= °° ;

lim [a(T(Ç))p'të)l = -V = const * 0 ,

3)

при О < t(Ç) S т~ de

Основным результатом здесь является существование обобщенного решения, доказываемое на основе локальной разрешимости. При наложении дополнительных условий на начальные параметры доказывается единственность.

1. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, "Наука", 1977, с.420.

2. Полубаринива-Кочинп П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., "Наука", 1977, с.664,

3. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М., "Наука", 1969, с.575.

Литература

4.

C.J.van Duign, P.Knabner. Solute transport in porous media with equilibrium and non-equilibrium multiple-site adsorption: Traveling waves. Schwerpunkt programm der deutschen forschuiigsgeiiicinschaft. Report No 122, 1989, vol. 51p.