CC BY
37
В. А. Нахушева
ОБ ОДНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕПЛООБМЕНА В СМЕШАННОЙ СРЕДЕ С ИДЕАЛЬНЫМ КОНТАКТОМ
Построена корректная математическая модель и проведен качественный анализ модельного варианта задачи для уравнения теплопроводности смешанного типа. Найдены фундаментальные соотношения между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы.
1. Построение математической модели. Рассмотрим теплопередачу в составной (смешанной) системе £, состоящей из двух однородных неподвижных стержней 5 + и 5_ с разными теплофизическими характеристиками. Стержни 5 + и 5_ считаются достаточно тонкими и расположенными на оси абсцисс: 5 + = {х: х е • , - г < х < 0}, 5 _ = {х: х е • ,0 < х < /}, они соприкасаются в точке х = 0 числовой прямой Я. Предположим, что перенос теплоты в стержне 5 + происходит согласно принципа локального термодинамического равновесия и, стало быть,
закона Фурье, а в стержне 5_ — в соответствии с принципом расширенной необратимой термодинамики, учитывающим пространственную нелокальность процессов переноса и конечность скорости распространения тепла в среде [1, 2].
Пусть и + = и+(х, t) — температура в точке х е 5 + в момент времени t от начального t = 0 до расчетного t = Т ; и- = и- (х, t) — температура в точке х е 5_ в момент времени t.
При отсутствии источников тепла в системе 5 функции и+ и и- можно искать как решения следующих уравнений в частных производных:
ди+ 2д2и+ +
---= а,—г-, хе ^ ; (1.1)
дt 1 дх2
ди
-------+
дt
2
А
д2и 2 д2и
= а2—^, х е 5 , (1.2)
дt дх
где а2 и а| — коэффициенты теплопроводности в средах 5 + и 5 соответственно, а Су — скорость распределения теплоты [3].
Уравнение (1.1) означает, что тепловые свойства тела 5 + одинаковы во всех его точках и по всем направлениям; оно представляет собой изотропное уравнение теплопроводности параболического типа и предполагает бесконечную скорость распространения тепла в теле 5 +.
Уравнение (1.2) учитывает конечность скорости распространения тепла в теле 5_. Отношение X ч = (а2 / Су )2 выражает время релаксации тепловых напряжений.
Пусть Щ+ = {(х,0: хе 5+ ,0 < t < Т}, Щ- = {(х,^: хе ,0 < t < Т} — прямоугольные об-
ласти евклидовой (фазовой) плоскости • 2 точек (х, t); Н(х) — функция Хевисайда; 1 и ^2 — положительные величины;
[и+(х,0,(х,0 еЩ+, 2 [а;2, х < 0,
и = < а = <
[и-(х,0,(х,0 еЩ-; [а|, х > 0.
Тогда математическую модель нестационарной теплопроводности в составной системе 5 можно записать в виде одного уравнения в частных производных второго порядка смешанного параболо-гиперболического типа:
тт. . д2и ди 2 д2и X аН (х) — + — = а2—- (1.3)
а дt2 дt дх2
Уравнение (1.3) меняет свой тип на границе контакта двух сред 5 + и 5_ .
В области Щ- уравнение (1.3) совпадает со следующим уравнением гиперболического типа:
д и 1 ди 2
- +------------= с2
д 2 и
дt2
ха дt
а дх2'
(1.4)
Известно [1—5], что при высокоинтенсивных нестационарных тепловых процессах, когда скорость подвода тепла к системе очень велика или процесс протекает в течение малого промежутка времени, для расчета теплопроводности используется неизотропное уравнение теплопроводности гиперболического (релаксационного) типа.
Уравнение (1.3) является следствием обобщенного закона Фурье
да
ди
х аН ( х)^7 + а = -1^
дt
дх
где
[а+(х,^, (х,0еЩ+ ; [ 11, х<0
а = •{ 1 = "ь
[а“(х,0,(х, t) еЩ-; I12, х > 0;
— тепловой поток и коэффициент теплопроводности, и закона сохранения энергии
1 ди да
(1.5)
(1.6)
а“ дt дх
в системе 5 с нулевой мощностью внутренних источников теплоты.
Согласно (1.6) уравнение (1.5) при х > 0 совпадает с законом Д. К. Максвелла [6, с. 233]
(1.7)
да _ л ди
X а^т + а =-12
дt
дх
а при х < 0 — с законом Фурье
+ Л ди+
а =-1^—.
дх
Формула (1.8) допускает следующую запись:
дt
а (х, t)ехр
Vх а
Ч У
2
ехр
ха
Ч У
ди (х, t)
дх
(18)
(1.9)
(110)
2. Условия линейного сопряжения. В теории теплопередачи в составных системах, как и в теории уравнений смешанного типа, важную роль играет корректный выбор необходимых условий сопряжения на границе контакта элементов смешанной среды.
В случае идеального контакта условия сопряжения имеют вид:
и+(0,0 = и - (0, t), (2.1)
а+(0,0 = д- (0,0. (2.2)
Условие (2.1) отражает непрерывность температуры, а условие (2.2) — непрерывность теплового потока.
Если функция ди- (х, t)/дх для всех х е 5_ суммируема на временном сегменте [0, Т], то
решение эволюционного уравнения (1.10) можно записать в виде
а (х, ^ = а (х, 0) ехр
t
а 0
ди (х, л)
дх
(2.3)
Как следует из (2.3), поток тепла а- (х,t) в точке х е 5_ в момент времени t однозначно
определяется только тогда, когда задано условие а- (х,0) и известны значения градиента
ди- (х, л)/дх соответствующей температуры и- (х, л) в точке х для всех предыдущих моментов времени t .
Допустим, что существует
Нш а- (х,0) = а0 . (2.4)
х——+0
Тогда условие сопряжения (2.2) вместе с (2.4) означают
а+(0,11) = а0ехР
t
ехР
а 0
л-1
ди (х, л)
дх
(2.5)
х=0
Равенство (2.5) задает нелокальное условие сопряжения на границе 5 5 раздела двух
сред, которое является отражением нелокальности процесса переноса тепла в стержне 5_.
В силу (1.9) условие (2.5) означает, что
_ 12 \ ды— (х, л)
- du
x _0
q о
dx
exp ґ \ h-t t q dh - .q0 exp / \ t
x _0 1 q К q
О < t < T .
(2.6)
Условие (2.6) является нелокальным условием сопряжения для уравнения (1.3) на линии x _ 0 изменения его типа.
3. Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности смешанного типа. Характеристики уравнения (1.4) имеют следующий вид: Х_ x + cqt , h_ x - cqt , где X_ const, h _ const — координатные прямые на евклидовой плоскости точек (X, h).
А. Г. Шашков [4, с. 181] исследовал структурную модель теплопроводности в системе S, когда l _ +¥ и на свободный торец x _—r, начиная с некоторого времени t _ 0, поступает изменяющийся во времени тепловой поток
_ q (t);
на общей границе х _ 0 тел 5 + и 5 имеет место идеальный тепловой контакт
- du+
11 ix
_ 12 С du (x, s)
x_о 1 q о
dx
exp
/ \ s -1
x _0
Xq
V ^ /
ds ;
соблюдены начальные и граничные условия:
u+(x,0) _ 0, -r < x < 0;
du _ (x, t)
u (x,0) _ 0.
dt
_ 0, x > 0;
t_0
r du (x, s)
---------------з-----------exP
Т q 0 dx
ґ \
s -1 ds
К "q 0
_ 0.
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Пусть О — подобласть области , ограниченная отрезком А0В0 _ {(0, t),0 < t < Т} с концами в точках А _ (0,0), В0 _ (0,Т) и частью АВ1 характеристики х — с^ _ 0, заключенной между точками А и В1 _ (сдТ, Т).
Из единственности классического решения задачи Коши (3.4) для уравнения (1.4) вытекает, что ы— (х, t) _ 0 для всех точек (х, () , принадлежащих замыканию \ О— области \ О— ;
другими словами, из (1.4) и (3.4) следует, что температура ы— (х,t) в точках стержня 5_ сохраняет свое первоначальное нулевое значение до любого момента времени t е [0, х / сд ]. Следовательно, условие (3.5) является следствием (3.4). Условие (3.4) позволяет положить в (2.4) ^0 _ 0 и тем самым из (2.6) получить (3.2).
Через С0 _ (сдТ /2, Т /2) обозначим точку пересечения характеристики АВ1 с характеристикой В0С0 : х + с^ _ сдТ , а через — треугольную область, ограниченную отрезком АВ0
прямой х _ 0 и характеристиками АС0 и В0С0. Ясно, что — треугольник с вершинами в точках А0 , В0 , С0 .
Как отмечено выше, температура ы (х, t) обращается в нуль на характеристике АВ1 и, стало быть,
ы— (с^/2,t/2) _ 0 "tе [0,Т]. (3.6)
В случае, когда однородное условие (3.4) заменено неоднородным
ды
u (x,0) _Фо(x), d
_ j1( x), x > 0,
(3.7)
t_0
X
где ф0(х) и ф1(х) — заданные достаточно гладкие начальные функции, условие (3.6) заменяется условием
ы— (с^/2,t/2) _у(0, 0 < t < Т , (3.8)
а условие сопряжения записывается в виде (2.6). При этом функция у(1) и постоянная величина ^0 однозначно определяются по температуре ф0(х) и скорости ее изменения во времени ф1( х) в начальный момент времени. Это заключение непосредственно вытекает из корректности по Адамару задачи Коши (3.7) для уравнения (1.4) [7, с. 128].
При прикладном моделировании теплопередачи задание условия Коши (3.7) требует прямых измерений температуры ф0(х) и скорости ее изменения ф1(х) в точках х е 5_ в момент времени t. Эти измерения с наперед заданной точностью не всегда возможны. Поэтому при отыскании температурного поля в среде 5 + и на границе раздела А0 может оказаться более эффективным не условие Коши (3.7), а условие
ы (сЛ,0 _у^), 0 < t < Т/2,
(3.9)
означающее задание температуры ы (х, ?) в каждый момент времени t е [0, Т /2] в точках х среды 5_, определяемых формулой х _ с^ .
Такая постановка вопроса приводит к проблеме поиска решения ы(х, !) уравнения (1.3) в областях и О—, удовлетворяющего условиям сопряжения (2.1), (2.6), краевому условию (3.9) и начальному условию
ы— (х,0) _ф(х), —г < х < 0, (3.10)
где ф(х) — заданная температура стержня 5 + в начальный момент времени t _ 0 .
Введем обозначения: Б+ _О+; 1п _ {(0, t) :0 < t < Т}; Б _ Б + • Б— • 1п — смешанная область задания уравнения (1.3); Д, — множество внутренних точек треугольника Д) с вершинами в точках А(), С0 и А1 _ (сдТ ,0).
Далее под регулярным решением уравнения (1.3) в области Б будем понимать решение, непрерывное в замыкании Б, у которого помимо существования в Б производных, фигурирующих в этом уравнении, первые производные непрерывны в Б + • 1п и Б— • 1п , причем след
ды (х,1)
дх
суммируем по ? на временном сегменте [0, Т ].
В результате видим, что математическое моделирование процесса теплопередачи в составной системе 5 приводит к следующим краевым задачам для уравнения (1.3) с нелокальным условием сопряжения на линии изменения его типа.
ЗАДАЧА 3.1. Найти регулярное в области Б решение ы(х, ?) уравнения (1.3), непрерывное
в Б и удовлетворяющее следующим условиям:
ы(х,0) _ф0(х), —г < х < 0; (3.11)
ды
_фч(0, 0<t<т,
_ у(1 ), 0 < t < Т ;
а-
дх
ды (х, 5)
х_0
дх
ехр
х_0
ds — у(1 ).
(3.12)
(3.13)
(3.14)
где ф0(х), ф (t) _— дг(1)/А,1, У(1) , а_11, Р_12/% , у(!) _ д0ехр(—t/% ) — заданные величи-
ны.
ЗАДАЧА 3.2. Пусть х0 _ сТ и расчетное время Т таково, что I > х0, где I — длина стержня 5—. Требуется найти распределение температуры ы(0, t) для всех t е [0, Т] в точке контакта стержней 5 + и 5—, если известно, что ы(х, t) — регулярное решение уравнения
х_0
(1.3) в областях О и О0, непрерывное в О • О0 и удовлетворяющее условиям (3.11), (3.12), (3.14) и условию Коши
и( х,0) = Ф о( х), Э Э/
= Ф1( х), 0 < х < 2 Хо,
(3.15)
/=о
где Фо(х)е С[0,х0]• С2]0,х0[, Ф0(0) = ф0(0), Ф1(х)е С[0,х0]• С1]0,х0[.
Начальное условие (3.15) определятся заданием закона распределения температуры и ее скорости внутри части
стержня ^ -, заключенной между точка-
ми Х = 0 и Х = Х0 .
В случае, когда г = ¥, условие (3.12) заменяется требованием, чтобы функция и + (х, /) было всюду ограниченной:
к
0 1 1 1 1 1 1
//////// //V С" 1 1
/уу^ 1
0 0 о
А0
А1=(х0,0)
I
(3.16)
| и (х,/)|< М V хе] -¥,0[, / > 0, где М — некоторая положительная постоянная.
4. Качественный анализ модельного варианта задачи 3.1. Рассмотрим задачу 3.1 в случае, когда г = ¥, условие (3.12) заменено условием (3.16), а уравнение (1.3) при х > 0 — одномерным волновым уравнением
э2и 2 э2и
Э/2' Эх
2
(4.1)
Пусть и( х, /) = и (х, /) — решение уравнения (4.1) в области О из класса С (О ) • С1(О_ • 1п) • С2(О_), и(0,/) = т(/), Эи“ /Эх = V-(/). Тогда оно представимо в виде
1х=0
т(/ + х / са) + т(/ - х / са ) Са1+Х,/ °а и(х,/) = —--------------а----------------а— + 2 I V-(s)ds .
/ - х / С,
Если (4.2) удовлетворяет условию (3.13), то
т(/) + Т(0) + Са [V-фсЬ = у(/), 0 < / < Т .
9 9 *
(4.2)
(4.3)
Если у(/) е С1]0,Т[, то из (4.3) получаем, что
!'(/) + счп~ (/) = 2у'(/), 0 < / < Т. (4.4)
В области О +=^¥ будем считать, что функция и(х,/) = и+(х,/) непрерывна в О+ = {(х, /): -¥< х < 0, 0 < /< Т}, удовлетворяет в О+ уравнению
Эи 2 Э 2и
— = а — + /) (а = а1);
Э/ Эх
(4.5)
которое при /(х,/) °0 совпадает с уравнением (1.1); начальному условию (3.11), где г = ¥, ф0(х)е С(-¥,0], |ф0(х)|<М для всех хе]-¥,0], и+ (0,/) = х(/)е С[0,Т].
Предполагается, что функция / (х, /) в О+ ограничена, непрерывна и удовлетворяет условию Гельдера по х .
Через 0(х,/; X,Л) обозначим функцию Грина первой краевой задачи для уравнения (4.5) в области О+ , которая задается соотношением
С( х, у; X, Л) =
1
2а^/я(/ - л)
!ехр
(х -X)2
4а 2(/ -л)
ехр
(х + Х)2
4а 2(/ -л)
(4.6)
Решение первой краевой задачи: и(х,0) = ф0(х), и(0, /) = т(/) для уравнения (4.5) в области О+ имеет вид
u(x,t) = 0 G(x,t;X,0)j0(X)dX-a2 [dG(xt;0,h) t(h)dh -¥ 0 dX
0 t
+ J JG(x, t;X,h)/(X,h)dXdh° u(jo, t, /; x,t).
-¥ 0
Из (4.6) видим, что
G( x, t; X,0) = -
1
exp
2aVP"
dG( x, t;0, h) = 2
ЭХ axVP
dG( x, t; X, h)
(x -X)2
4a 2t
exp
(x + X)2
4a 2t
dx
(t -h)12 ~T exP d h
X
3/2eXP
x=0
2\fPa 3(t -h)
4a (h-t)
X2 '
4a 2(t -h)
(4.7)
(4.8)
(4.9) (4.10)
Как следует из (4.7), и(х,/) = и(ф0, 0,0; х,/) + и(0, х, 0; х, /) + и(0,0, /; х, /).
Найдем связь между функциями ф0 (х), х(х), /(х,/) и п(/) = Эи + /Эх на временном ин-
1х=0
тервале In.
В силу (4.8) и (4.10)
Эи(ф0,0,0; x, t)
dx
1 0 x
= ~т К 3 3/2 exP x=0 2a t
4a 2t
j0(X)d X°v(j0; t).
Отсюда, после замены переменной интегрирования X, по формуле X = -2a^/-1 log h , получаем
1 1
vj t) =--------=- Jj0(-2a^-t log h).
av PtJ
Согласно (4.10) находим du (0,0, /; x, t) dx
1 'r dh 0 g/(g ,h)
(4.11)
^(/;t)= -^JЛ J
a 01-h -¥ 2aA/t-
Замена X = 2asyjt - h показывает, что
t0 2 dh
h
exp
g2
4a 2(t - h)
dg .
v(/;t) = ^=- J , h J /(Zasyjt-h,h)sexp(-52)ds. aVP 0Vt-h-¥
(4.12)
Рассмотрим теперь функцию
u(0,-t,0; x, t) = a2 J
2 r dG (x, t;0, h)
0 dX
На основании (4.9) она имеет следующий вид:
t(h)d h.
u(0,-t,0; x, t) = -
rJ
t(h)
2aVP 0 (t -h)
3/2
exp
4a (t -h)
Если в (4.13) заменить переменную интеграции h на s по схеме
s =
2ajt - h
V2asy
d h =
Л 2 3
2a s
d h.
ds ,
(4.13)
то получим формулу
2
u(0,-t,0; x, t) = ^=- [ t
t -
4a 2 s 2
exp(-s )ds .
(4.14)
2a-Jt
Если t'(t) e i[0,T], то из (4.14) непосредственным вычислением находим
du(0,-1,0; x, t) t(0)
dx
Зл/P/
exp
4a 2t
зл/Р 0^/7-
h
exp
4a (h-t)
d h.
(4.15)
Формула (4.15) позволяет получить следующую связь между функцией х(х) и функцией п(х;/) = -Эи(0, х,0; х,/)/Эх|х=0 :
v(t;t) -1 D0-t1/2t'(-), 0 < t < T . (4.1б)
av Pt a
Здесь и в дальнейшем DXt означает оператор дробного интегродифференцирования порядка X
Из (4.16), принимая во внимание, что D-t1/2t'(h) = D1/2t(h)-t(0)^>/Pt, получаем важную формулу
v( t, t) = -1 D1/2t(h). (4.17)
a
Пусть теперь v(t) = du + / dx . Очевидно, что
lx=0
v(t) = v(j0; t) -v( t; t) +v( /; t). (4.18)
В интеграле (4.12) положим h = X?. Тогда имеем
2 t 1 d X 0 ___
v(/;t) = —r J-7== J /(2a^t^l-X,Xt)sexp(-s2)ds . w p 0v1 -X-¥
Из этого равенства находим
lim v/t) _ 2./(0.0) _ 0 sexp(_s2
!®S0 vt „VP 0,/R-Lsexp( s d.
0 1 dX
Так как 2 J sexp(-s2)ds = -1, J . ^ = 2, то окончательно получим
-¥ W1 -X
limvOT^ = -2^. (4.19)
t®0 yjt av p
Из (4.16), (4.18) и (4.19) следует, что если функция t'(t) является ограниченной на [0,T] или не обращается в бесконечность порядка, большего чем 1/2, то поведение v(t) при t ® 0 определяется поведением следующей функции при t ® 0 :
N0(t) = v(j0; t) -v( t; t). (4.20)
Действительно, поскольку t(0) = j0(0), то из (4.11) и (4.20) следует, что
= - 2фр (0) - J j0(-2^-t log h) -j0(0)dh + 1D-1
aVPt -¥ aVPt a
Пусть j0( x) удовлетворяет условию
|j0(x)-Ф0(0)!<M\x\h , (4.22)
где M = const > 0, h = const > 1. Тогда, как нетрудно заметить из (4.21) и (4.22), N0(t) будет ограниченной на [0, T] в том и только в том случае, когда j0(0) = 0 .
Введем в рассмотрение линейный интегральный оператор, действующий на функцию j(t) e L[0,T] по формуле
N0(t) = -ф) - t фо(-2^-t!°і-)-фо(0)Г- +1 D0fV(-). (4.21)
W Pt — aV Pt a
t г -t4
Exp [ф; t] ^фС-)^ -
xp
0
ta
d-. (4.23)
Условие сопряжения (3.14) в терминах у(/) = У+(г), V (г) и оператора (4.23) имеет вид
ап(г) = ЬЕхр [V-; г ] -у(г). (4.24)
Из (4.24) на основании (4.4) и (4.18) получаем
[п(Фо; г) -п( х; г) + п( /; г)] = ЬЕхр [2 у7 - х'; г ] - ед у(г).
Отсюда с учетом (4.16), (4.20) и линейности оператора (4.23) имеем
£о-Мл) - тЕхр [х'; г ] = ^ (г). (4.25)
Здесь и ниже е = 1/2, ц = -аР /(аед),
Ро (г) = -а[п(Фо; г)+п( f; г) + у(г) / а] - 2^ [у'; г ] -фо(0)/>/п7.
К обеим частям равенства (4.25) применим оператор ,О0/. Впоследствии получим
j x'(v)d v -D6 Exp К; v] = АнЧ (v).
(4.26)
Из определения (4.23) следует, что Ехр [Т;ґ] = т(ґ) - т(0)ехр(-ґ/ тд)- Ехр [т;ґ]/ тд. Поэтому (4.26) эквивалентно уравнению
т(0 -№ет(л) + (т / тд) Ц-Е ЕХр [т; л] = *і(ґ), (4.27)
где ^і(ґ) - Д-Е ^о(л) = ^іі(ґ) =[і-тД-є ехР(-Л/ тд )]т(0).
Пусть ЕР [ г] = Еі/р [ ^;і] — функция Миттаг-Леффлера; Т^/1 — оператор, который действует на функцию т(ґ) є С[0, Т] по формуле Т0Еґтт = т(ґ) -|тД-ет(л); Н0ґ — оператор, обратный оператору Т0т . Тогда на основании формулы Хилле-Тамаркина [5, с.93]
имеем
!(/)=H теч=- J Ee [m(t - h)e ] Ct dh. dt о
ЛЕММА 4.1. Для любой функции t(t) е С[0, T] справедливо равенство D— Exp (t; h) = ^л/РЛо-3е{х(Х)Е1[(Х-1)/t, ;3e]}.
В самом деле, руководствуясь определением (4.23), можно записать
t h
Г (e) Do-te Exp (t; h) = J (t -h)-e d hj exp //t, -h /t,) t(X) d X =
о 0
= J t(X)d Xj (t -h)-eX
(4.28)
k=о
\k
x-v
xq
V У
d v
k!
Отсюда принимая во внимание, что
j (t -v)-E (v- X)k d v = (t - X)E+k j sk (1 - s)-e ds:
k I Г(є) Г(є + k +1)
(t -X)
e+k
получаем
D- Exp(x; v) = J x(X)(t - X)e X
k=о
X-1
k
xq
V У
d X
iX-1 ;3є! d X^eD-Nx^E [X-f;3el
_ xq _ 1 _ xq _
Г(е +1 + к)
= |х(Х)(/ -Х)е Е 0
Но Г(3е) = ел/я . Лемма 4.1 доказана.
Теперь установим достоверность следующей леммы.
ЛЕММА 4.2. Пусть Ф(/) е С[0,Т]. Тогда
яе№ф(Х) = |Ф (Х)(/-Х)-е Е2Ш<-Х)е; е] d Х,
-нт Dо-tєФ(X)=Dо-tєФ(X)+цф(і)+т2 нот Dо-tєФ (X).
(4.29)
(4.30)
В силу (4.28) имеем:
л/Рн>№ф (X) = - j Ee [m(t -v)E ] d vj
dt
vF (X)d X о (v- X)e
jF(X)dXj(v-X) eEe[m(t-v)e]dv:
jF(X)d X^ j (v-X) e Ee [m(t -v)e ]d v . (4.31)
о
о
Нетрудно убедиться в том, что функция
EЄ (X, t) ° -t j (v-X) Є Ep [m(t-v)e ]d v = -T- X
дґ
Положим л = Х + (ґ - X)5 . Тогда увидим, что
е е (X, ґ)=-Э £т ‘('-Х)
dtk=о Г(1 + ek) X (v-X)
Так как
то
j sx-1(1 - s)J-1 ds о
Eє (X, t) = ^ ^
3і:=о Г(1 + ek) о
_ Г(x)Г(j)
є+ek 1 /і „4ek
j^f- ds.
Г( x + J)
[m(t -X)e ]k
= B(x, j), Г(x +1) = xr(x),
^ E2[m(t-X)e;є].
(ґ -Хґі“0 Це + гк) (ґ -X)
Из (4.3 і) и (4.32) вытекает (4.29). В силу этих же равенств имеем
(4.32)
d н оєт Dо-tєФ(X)=-- Jf (X) X
mk (t -X)
ek-є
dt
dt о '"k= Г(є + є:)
-d X =
= -D-11ф (X)+тФ (t)+-- j f(X) X
mk (t -X)
ek-є
dt о '"*=2 Г(є + Є)
-d X =
: DiF(X)+тФ(t)+Jf(X)X(ek 1!()mk (tk ^ оо k=2 Г(1 + ek -є)
ek-є-1
-d.
Стало быть дґ
н dm D-fF(X) - D,lt ф (X)-тФ (t) = Jf (X) X
mk (t -X):
ek-є-1
г(є: -є)
-d X =
Ф2 Jf (X) X^Jr
J ]ґо G(ej + Є)
k=2
-є t
dX=rn2Jf(X)(t-X) eX
[rn(t-X) j x.
(4.33)
0 у=0 ^ ^ 0 ]=0 Г(Є + Є])
Легко видеть, что (4.33) есть другая форма записи (4.30). На основании леммы 4.і заключаем, что уравнение (4.27) эквивалентно интегральному уравнению Вольтерра второго рода
Те^т + (ел/Рт/тд)Л0-ґ3є{т(Х)Еі[(Х-ґ)/тд;3е]} = ^(ґ). (4.34)
К обеим частям уравнения (4.27) или (4.34) применим оператор Н0ґ. В результате полу-
чим
x(t) + (т / xq) нот D-lExp [x; v] = нот Fl.
Согласно равенству (4.29) леммы 4.2 имеем:
t
H от D-f ExP (x; v) = j Exp (x; X)(t-X)-e E2^(t-X)e; є] dX =
(4.35)
где
j(t-v) єE2[rn(t-v)e;є]dvJx(X)
ехр
X-v
xq
X-v
d X =
Jx(X)dxj(t-v) єE2[rn(t-v)e;>]exp Xx-v dv = Jx(X)(t-X)eK(t-X)dX, (4.36)
xq
у 4 J
Ґ \ sJ
ds .
К(у) = |(і-5) ее2ІМл/(і-5)у;е]ехР
0
Равенства (4.30), (4.36) и лемма 4. і позволяют записать:
Ехр (т; л) = Ехр (т; X) + ^ (т; ґ) + т 4^% (т; X) =
(4.37)
о
= ел/я£03е (х(Х) ^[(Х - г)/ Тд ;3е]}+тЕхр (х; г) + т2 ] (г - Х)е К (г - Х)х(Х) d Х. (4.38)
0
Правая часть Е2(г) = И^т р1 уравнения (4.35) представима в виде Е2(г) = И^т д-6^^) +
+Н<ет Еп(г). Поэтому лемма 4.2 дает основание утверждать, что
г
р2 (г) = | [*0 (Х)+тЕц(Х)](г - Х)-е Е [т(г -Х)е; е] d Х+^(г); (4.39)
0
г
р2,(г) = № (г)+т2I Ро (Х)(г -Х)-е Е [т(г -Х)е; e]d Х+
0
— 2 г
+Ло-ге^,(л) +--У | Ее [т(г-Л)е ШЛ^Л. (4.40)
дt о
Непосредственным вычислением убеждаемся в том, что
—2 г — 2 г ¥ т к (г _^)ек
^ I ^п(л) Ее [т(г-Х)е ]d л-^(г)=-г2I Ч1(л)£ЁГ(1:+к^л=
= 9 л = -^АIМД^^1(Л)£¥¥■л=
—го к=1 Г(ек) Г(е) —г0 (г-л)1 е —го к Г(ек)
= мА-г%(л) +т2 Еп(г) +т3^\(г), (4.41)
где
сі(л э (■„ ( )-¥тк-3(ґ-л)ек-іа гг ( )V тк-3(ґ-л)ек-2а гг ( )](ґ-л)е]-еа
) = дґ0Г(ек) ^л = |сіі(л)5 Г(ек -1) ^ = 0Г(е + е/) ^.
Легко видеть, что
сі (ґ) = Е2 [т(ґ -л)е; е] й л. (4.42)
0(ґ-л)
Из (4.4і) и (4.42) получаем
д2 ґ
—І Ее [т(ґ -л)е ]сіі(л)й л = Сі (ґ)+тЙ0ЄґСп(л)+т2сп(ґ) +
дґ 0
ґ
+т31Сіі(л)(ґ-л)еЕ2[т(ґ-л)е;е]ал.
0
Это дает нам основание переписать (4.40) в виде
СгЧґ) = Сі'і(ґ)+^ЗД)+т[зд+^ЛКл)+тСіі(ґ)] +
ґ
+т21 [ с (X)+м^л©] (ґ - X)-e Е2 [т(ґ -X)e; е] а X. (4.43)
0
Справедлива следующая
ТЕОРЕМА 4.і. Закон распределения температуры т(ґ) в точке идеального контакта смешанной системы Б однозначно определяется как решение следующего интегрального уравнения Вольтерра второго рода:
ґ
т(ґ) = -^ |(ґ - X)є К (ґ - X)т(X)d X + С2(ґ), (4.44)
т9 0
где К(ґ) и С2(ґ) задаются формулами (4.37) и (4.39);
л/яК(0) = 2; Ііт уеК'(у) = ец , (4.45)
у®0
если непрерывная при х < 0 начальная функция ф0(х) удовлетворяет условию (4.22) и при Н = і существует
Нш
х—-0
Ф0( х) ~ф0(0) =ф0(0),
то
^(е) (0)=нш р2(г) - ^2(0) = [ -2ад0 /(а^), к >1;
2 “ ге }-2а[д0/а + <0(0)]/л/я, к = 1;
г——0
Нш ^2(г) = -ац [д0/а + <0(0)], к = 1.
г——0
(4.46)
(4.47)
(4.48)
Истинность уравнения (4.44) вытекает из (4.35)-(4.37) и (4.39). Поскольку В2[0;е] = 1
1 / Г(е) и I (1 - я) еds = 2, то из (4.37) прямо следует, что К(0) = 2/л/я . Принимая во внима-
ние, что
—Е2[^Т(^; е] = Ё [т(1 - я )е ]к еку *-1 = Ё [т(1 - * )е ]]*(е+*) у е]-е
—У ^ к=1 Г(е + ек) ^ Г(1 + ее)
= т
]=0
|е£2[^ (1 - 5) у ;1] + Ё
е
[т(1 - 5)е ] ]уе] Г(е])
= т
из (4.37) нетрудно увидеть (4.45):
1- 5 V у У
{еЕ2 [^>/(1^?Ху;1]+Мл/(1 - 5) уе2 1Мл/(1 - 5) у;е]},
1т уеК'(у) = ет Нш I Е2[^(1 - 5)у ;1]ехр
у ®0 у—0 0
/ \ -5у х д
V 4
ds = ец£2[0,1] = ет .
Переходя к доказательству равенства (4.47), вспомним, что ^2(0) = ^п(0) = х(0) и запишем
(-Хд )
-к
х(0) - Рп(г) = тх(0) =мх(0)геЁ
к!
(-г / хд)к
к=0
к=0 Г(е +1 + к)
Следовательно
Рц(г) = х(0)-тх(0)ге в^-г / Хд ;3е].
Представление (4.39) для функции ^(г) и формула (4.49) позволяют записать
г
F2 (г) - ^2(0)+тх(0)ге в, [-г / Хд ;3е] = 1 [ ^ (Х)+м^11 (Х)](г -Х)-е Е2 [т(г -Х)е; е] d Х =
(4.49)
= г
I[^(гл)+М^п(гл)](1 -л)-ев'21^г(1 -л);е]dл. (4.50)
Из (4.50) и равенств Г(е) В2[0; е] = 1, Г(е) В1[0;3е] = 2 вытекает, что
^2е)(0) = 2^,(0)/Г(е). (4.51)
Поскольку функции у(/;г) и Вхр [у7;г] при г — 0 стремятся к 0, а у(0) = д0, то в силу (4.11) предел правой части ^(г) уравнения (4.25) равен
ад=- ад0+1,ш )-<щ^л.
а г—0 0 л/яг
Отсюда при к > 1 нетрудно увидеть, что ^0(0) = -ад0 /а. Так как Г(е) = л/я , то из (4.51) получаем, что F2E)(0) = -2ад0 /(ал/я). Если же к = 1, то в соответствии с (4.46) имеем
^0(0) + ад0/ а = Нш I 2^ 1о^ л[<( х)—<(0)^ л= - <0(0) и - 1og лd л.
х—^ Ху/ я *'я •’
Г
л/я
0
0
ло быть, ^Т(е)(0) = -2а[д0 / а + <0(0)]/\/я и тем самым доказана формула (4.47).
С учетом этого из (4.43) и (4.49) заключаем, что
с{і(,)=_тт(0) +щ(о) ґ. еі
л/пґ та
-----;3е
ІітС'(ґ)-мС0(0)-т2т(0) = Ііт[^(ґ) + тОоЄґСіі(л)] = тІітдеґСіі(л) = -т(0)т2 .
ґ—0 ґ —0 ґ—0
Стало быть, Ііт С2'(ґ) = тС0(0), и равенство (4.48) доказано.
ґ——0
Важным следствием теоремы 4.і являются следующие предложения: Ііт т'(ґ) =
ґ— 0
= а^/а + 2ф0(0)]; пусть Я(ґ,X;т/т?) = £Ки+і(ґ,X)(m/т?)п , где Кі(ґ,X) = (ґ-X)ЄК(ґ-X),
п=0
ґ
Кп(ґ,X) = |Кп-і(ґ,л)К(л,X)dл, п = 2,3..., — резольвента ядра Кі(ґ,X), тогда единственное ре-
шение уравнения (4.44) определяется формулой
т(ґ) = С2(ґ)+і І я (ґ, X; т / т?) С2 ^)й X
Я 0
или в виде ряда
т(ґ) = £ с2п(ґ )(т/ тя)П
(4.52)
(4.53)
п=0
где
С20(ґ) = С2(ґ), С2п (ґ) = |Кі(ґ,X)С2п-і©^X, п = і,2,...
0
ЛЕММА 4.3. Пусть С0і(ґ) = С0(ґ) + |аі7іі(ґ). Тогда С2 (ґ) = Сі і (ґ) + м£>0-ґ£Сі і (л) + £>0-ґЗЕ [с (л) + т2С0і(л)] +
МАйЧіСф +m3D_2Fо(X)Е2[т(ґ-X)Є;2]. (4.54)
Действительно, к обеим частям равенства (4.43) применим оператор Л-. В результате будем иметь
с2(ґ) = Сіі(ґ)+дЛм+мА)ґ1С0і(л)+mDоґlDолXFіі(X)+т2с2і(ґ),
где
Поскольку
0 0
к ґ
І (л- X) е Е2[т(л- X)"; е] а л=£Г(т к) | (л- X)єk е ал-X, к=0 Г(е + ек) XX
^+т(ґ
Г(3е)
т] (ґ -X)Ё ] =0 Г(4е + е])
(4.55)
(ґ) = 1 ал|Fоі(X)E<2[^iXт)e X);е]аX = |(л-X)еE2[m(л-X)є;е]ал. (4.56)
(л-X) 0 X
то
= -= (ґ -X)є+m(ґ-X) Е2[т(ґ-X)Є ;2]:
УІП
^21(г) = D^fEFоl(Х)+т1 (г-Х) В2[т(г-Х)е ;2] ^(Х^Х. (4.57)
0
Теперь нетрудно видеть, что из (4.55)-(4.57) и равенства F2(0) = <2(0) вытекает лемма 4.3.
Из (4.52) непосредственно получаем
где ii • ii — норма в банаховом пространстве C[0, T ],
Rs = sup j І R(t, X;т/ xq) ІdX. (4.59)
[0,T ]0
Справедлива
ТЕОРЕМА 4.2. Пусть: x(t) — решение уравнения (4.52); || f ||s = sup І f (x,t)|<¥;
S ~x[0,T ]
11 jo ||e= sup|[jo(x) -jo(0)]/x |< ¥ . Тогда существует такая, не зависящая от g, f, y, j0, постоянная C > 0, что
І x i<
іkітіRs
C [i jo(0)i k ii g ii k ii jo lie k ii y ii k ii f iis j.
Доказательство начнем с легко проверяемого неравенства
|Д-г5у(Х)|<||у||г5 / Г(1 + 8), справедливого для любого 8> 0 и для любой функции у с || у ||<¥ .
Из (4.39) и леммы 4.3 имеем
г
F2 (г) = Fl 1 (г)+б- Fо 1 (Х)+т( Fоl (Х) В2 [т(г -Х)е ;1] d Х.
0
Согласно (4.60) находим
| б- Fоl(Х) |<е || Fоl || г еГ(е) < ф~г (|| ^о || +1 т ||| ^11|;
Далее имеем
(4.60)
(4.61)
j Fol(X) E2[rn(t -X)e ;l]d x
ІFolii Xj
т ik (t -X) k=0J0 Г(1 kek)
ek
-d X =
= ii Folii X-
i т ik tek k1
< (ii Foil kirn ill Fllii) iE2[j т i te ;2].
к=0 (1 + ек) Г(1 + ек)
На основании (4.61) и (4.62) заключаем:
^(г)|<(1 + ^тя71т| +гт2Е2[|т|ге;2])|^ п||+(^/я7 + г|т|В2[|т|ге;2])|^о
Переходя к оценке || Fо ||, заметим, что ввиду равенства (4.11)
| Fо | -1 ag / а + ап( /; г) - 2^Ехр [у7; г] | <
1
(4.62)
(4.63)
-2a V- log V[ jo(-2a V-t log V) -jo(0)] d v
VP
2a
-v/P
jo lie JV-logV dV =a ii jo lie. (4.64)
0 -2^ -t log V
Далее, согласно (4.23) имеем І Exp [y'; І ]j=І У (І) - y(0) exp(-t / x q) - (1/ x q )Exp [y; t ]| < j y(t) - y (0) exp(-i / xq )j k(1/ x )j Exp [y; t] |.
Но 1 Exp [y;1 ] 1 < 1 y 1 exp(-t / xq)j exp(V / xq)dx =1 y 1 xq [1 - exp(-t / xq)] . Стал° быть,
0
І Exp[y';t] І < ii y(i) -y(0)exp(-t/xq) ii k[1 - exp(-i/xq)] ii y ll.
Из определения функции v(f;t) видим, что
(4.65)
І v( f; І )i< —
a
є
P
j (1 -X) ed xj s exp( - s2)ds .
Поэтому
І v( f; t )i<-
a
В силу (4.49)
P
(4.66)
0
л/я
Таким образом, из (4.64)-(4.66) имеем оценку
| С0(ґ)|<| а/а ||| у || +(ґ/я)е || /||, +2|т ||| у(ґ)-у(0)ехр(-ґ/тд)|| +2|т |||у || +а || ф0 0 . (4.68)
Оценки (4.63) и (4.68) дают основание утверждать: существует не зависящая от у, /, у
и фо положительная постоянная С > 0 такая, что
|| Со ||<С(|| у || + || у || + || фо ||е + || /|5), || Сіі ||<С | фо(0) |. (4.69)
Неравенства (4.69) говорят о справедливости первой оценки теоремы 4.2.
Оценим теперь | т' | в предположении, что т(0) = ф0(0) = 0. Как следует из (4.44) и (4.45)
ґ
тЯ
т'(ґ) ^/т^Я уе к (у )№ + С (ґ), у = ґ -X. (4.70)
тя о
В силу (4.37) [ у еК (у)]' = Кі( у) + К2{ у), где
і і -
Кі( у) =—|5(і - 5 )-"е2 [т>/(і - 5) у;е] ехР(-/ тя)а5,
Я о і К2(у) = |(і - 5)-ек3(5, у) ехР(-5у / тЯ)а5. 0
Легко убедиться в том, что
е К , ч е э Е г г-л—г- п е э -¥ тк (і - 5)екуек+е
уе К3 (5, у) = у V Е2 \Н (і - 5) у; е] = у \----=
ду Эук=0 Г(ек + е)
= е + (і - 5)ек(ек + е)уек = _^ + цу (і + е])т] [У(! - 5)у]]+і =
Г(е) £ Г(ек + е) Г(е) ] Г(і + ]
= г§)+^'/У<I_5* | Е >+| ^Г]" [
Другими словами
К3 (5, у) = е( пу )-е+т(і - 5)е Ее [^ у (і - 5) ] +т2(і - 5) ує Е22 у (і - 5); е]. (4.7і)
На основании (4.7і) можно записать:
і і
е
| к2( у) | <| (і - 5 )-е К3( 5, у )№ <-г= | (і - 5)-ґ а5 +
о ^яу о
1 1
+ | т 11 Ее [| т | у/у (1 - 5) ]ds + т2 уе I (1 - 5 )е Е^ у(1 - 5); e]d^. (4.72)
о о
Введем функцию
1
Fp [7;а,Р] = Iга-1 Ещ [/гр;№, (4.73)
0
где а, Ь и р — произвольные числа, а > 0, р> 0 .
Из определения функции типа Миттаг-Леффлера получаем, что
¥ гк 1
Fр [г; а,Р] = Ё-----------1 га+рк-1dг.
Р Р к=о Г(Р + рк) ^
Поэтому
¥ гк
Fр[г;а,Р] = £(---------. )Г(Ь к). (4.74)
к=о(а + рк)Г(Р + рк)
Очевидно, что Fр [ 7; а, а] = Е1/р [ 7; а +1].
В силу (4.73) и (4.74)
I Ее [| т и у(1 - 5) Л = I Ец е [| т | у еге ;1] Лг = Е2[| т | уе ;2],
0
1 1
I (1 - 5 )е Е2[| т | л/у(1 - 5); е]& = I ге Еуе [| т | у еге; е] лг =
0
1
= Fe[|m|yt ;1 + е, е] = Fe[|m|yt ;3е, е],
и из неравенства (4.72) имеем
Функция
| К2( у) |< (яу )-е+1 т | е2[| т | уе ;2]+м2 уе Fe [| т | уе ;3е, е]. (4.75)
ехр(-у / хд) 1 е е
к, (у) = _ д’ I г-е (1 - г)Е2 [ц(-у)е; е]ехр(-у / хд) А
-хд 0
допускает следующую оценку:
1
|К1(у)|<—Iг-е(1 - г)Е2[| т |(гу)е;е] Л--
т
хд о
^ ЁГ-Ц-1 -“-е (1 - г) <* Ё-
Хд к=0 Г(е + ек) 0 Хд к=0 Г(2 + е + ек)
Отсюда нетрудно видеть, что
|К1( у )|< Е2[| т | уе ;5е]/ Хд. (4.76)
Из (4.70) имеем:
| х'(г) |< 1Ш || х(г) || I[| к,(,-Х) | +1 К2(г-Х) |]ЛХ+1 FГL(г) |. (4.77)
хд 0
Но согласно (4.76)
г г 1 г
11 К1(г-Х)| л, =I| К1(у)| Лу < — I Е2[|т | уе;5е]Лу =
хд о
* 1 1 ¥ 'м |к гек+1
= !_ Ё—Ш----------I у гклу = ±_ Ё.
Х "Г(5- + -* )К ' Х
Хд *=о Г(5е + ек)0 Хд кто (ек + 1)Г(5е + ек)
стало быть
гг
11 К1(г -Х) | лХ< — Fe [| т | ге; 1,5е]. (4.78)
о Хд
Аналогично, в соответствии с (4.57), можно записать
г ( - л- г г
11К2( у )| Лу - 21- =| т ^ Е2[| м | уе ;2] Лу + ц21 yeFe [|у|уе ;3е, е] Лу =
я
о о
|Ё |м|к [у екЛу + м2 £-----------------Iм*---------Гуек+еЛу =
кГо Г(2 + ек )0 к=о(3е + ек)Г(е + ек)0о^ Л
1кгек+1 2 ^ | м 1кгек+3е
+ м2 Ё-
к=0 (1 + ек )Г(2 + ек) к=о (3е + ек )(ек + 3е)Г(е + ек) Так как (3е + ек)(ек + 3е)Г(е + ек) > (3е + ек)(е + ек)Г(е + ек) = (3е + ек)Г(1 + е + ек) = (3е + ек) х хГ(3е + ек) = Г(1 + 3е + ек) = Г(5е + ек), то
ге
я
IIК2(у)|Лу < 2 0
Поэтому
г- Ч *
+1 м | гFe (| м | ге ;1,2) + м2г3еЕ2 (| м | ге ;5е).
11К2( у )Л < 2
+1 м | гFe [| м | ге ;1,2]+м 2г3е Fe [| м | ге ;3е,3е].
я
0
В оценке (4.77) примем во внимание (4.78) и последнее неравенство. Тогда будем иметь
0
г
Равенство (4.43) при т(0) = 0 принимает следующий вид:
t
) = ц-е ^ (л)+ы*0 (t)+ы2|*0 т -Х)-в ^2 [ыа -Х)в; в]й х.
0
Поэтому
^'(01 < IЩ{ |ы | + д-е1+ы2Тл;ц-е^2[|ы | (t-л)в;в]}. Так как Б- 1 = tв / Г(3в),
¥ к.\к t ¥ I..\к tЕк+в
ТРб- Е2 ГУ (t -л)в; в! = УЛ— [ (t - л)вк+в-1 й л = у--------------^-------------=
0t 2 4 к=0 Г(в + вк) 1К и ' к=0(вк + в)Г(в + вк)
\к
¥ (И?Є) Г Т
= г еу Vі >------= ге в2 Гы гв ;1 + в]
к=о Г(1+в+вк) 2 ^ ]
то
л
Г(3в)
Отсюда, согласно оценке (4.69), следует, что
С2(0|<і !ы!+г^+гвИ2£2[|ы|гв;3в]^^о||. (4.80)
\Р2
2(г)|<с{ |ы| +гг/Г(3в)+геы2£2[|ы|ге;3в] } ( ЦтЦ + М + ЦД +||фо||в). (4.81)
.79) учтем (4.81). В результате будем иметь
!'(/)! <НМгвм 1(г) + с ( М + Н| + ||Фо||є+||Д)2(г), (4.82)
В неравенстве (4.79) учтем (4.81). В результате будем иметь №1
где
М 1(t) = 2т я /4Р +1е |]ы| tе ;1,5в! + |ы| т^ в |]ы| tе ;1,2 ^ + ц2 т^Зв |]ы| tе; 3в, 3в^, (4.83)
а
М2(0 = Ы| +1е /Г(3в) + |ЛеЕ2 [|ы|tе;3в] . (4.84)
Система оценок(4.81)-(4.84) вместе с теоремой 4.2 сводят задачу получения априорных оценок для уравнения смешанного типа к хорошо изученной проблеме для параболического и гиперболического уравнений теплопроводности. Из этих оценок по стандартной схеме следует единственность и устойчивость решения смешанной задачи.
5. Аналог редукции задачи 3.2 к задаче 3.1. Вначале рассмотрим случай уравнения (4.1). Решение и(х, ^ задачи Коши (3.15) для уравнения (4.1) в области Д однозначно определяется формулой Даламбера
х+cqt
1 ^
2и(х,0 = Ф0(х + с^) + Ф0(х - сц() + — | Ф1(Х)йX . (5.1)
°Ч х-с^
Поскольку начальные функции Ф0(х) и Ф^х) принадлежат пространству С[0, х0], то из
(5.1) находим функцию
2у(г) = 2и
сА г
2 , 2
V /
Сд‘
Фо(сдг)+фо(0)+— ]ф1(Х)^X.
сч о
Так как о < сдг < Хо = сдТ , то участвующая в условии (3.13) граничная функция у(г) для любого момента г є [о, Т] однозначно определяется формулой
ф о(с!) + Фо(о) 1 У
У(г) = ^ ч ^ ; + — |Ф1(Х)^Х. (5.2)
2 ч о
............. " " " (5.3)
21 1^ с ют ] <!Ф 0( х) + Ф 0(0)11с [0, х0] + Т\ 1Ф1( х с [0, х0
2|У'(0||с[0т] < ||Ф0(х)|с[0 .. ] + ЦФхСх)||
11с[0, х0
11С[0,х0] •
(5.4)
Неравенства (5.3) и (5.4) вместе с (4.3) и (4.4) позволяют получить соответствующие оценки для функции т(х).
Вернемся теперь к уравнению (1.4), которое простой заменой у = с^ сводится к уравнению
ихх -иуу + ъиу = 0, Ь = -1/(сЛ). (5.5)
В силу (3.15) решение и (х, у) = и( х, у / сд) уравнения (5.5) должно удовлетворять условию Коши:
и(х,0) = Ф0(х), иу(х,0) = Ф1(х)/сд, 0 < х < х0 . (5.6)
Далее понадобятся следующие вспомогательные предложения.
Пусть
^ 7к
Е1/р[7;ы] = £-----------—---------------------------------------, (5.7)
к=0 Г(Ы +Р1к)Г(.2 +р2к)
— обобщенная функция Райта [10], р = (р1, р2) — упорядоченная пара неотрицательных чисел, а . = (ы1,.2) — пара, вообще говоря, комплексных чисел. Через Еп[7] обозначим функцию (5.7) при р = (1,1), . = (1,У + 1):
Еп [ 7 ] = у------------------7-.
к=0 Г(1 + к )Г(1 + п+к)
Отметим, что функция (5.8) связана с функцией Бесселя JV(7) следующим образом:
^ V ( 7) =
[ ,2!
7 - 7
Еп
2 V 4
V У
171< ¥, | а^ 71< я;
(5.8)
(5.9)
она при V = 0 совпадает с функцией, которую Э.Гурса [5, с. 150] обозначает символ J(7).
Как видно из (5.8) и (5.9)
¥ 7к
Е0[7] = -1 (7) = ХтТТГг , J0 (2^7) = Е0[-7], Jl(247) = ''У7Е1 [-7]. (5.10)
к=0(к!)
Теперь вернемся к системе (5.5)-(5.6).
Пользуясь хорошо известной (см. [7, с. 138]) формулой, определяющей решение и (х, у) задачи Коши (5.6) для уравнения (5.5), и принимая во внимание четность функции J 0( 7), нетрудно заметить, что
2ехр(ыу)и (х у) = Ф 0( х + у) +Ф 0 (х - у) +
х+у
х - у
/ г-2-----------------у-/1 (у - (х -х)
J 0 (V у 2 - (х -X)2)---------------- '
V.
2 2 ф о(Х)^Х+
у -(х-X)
+ с- \ J0 (у2 -(х-X)2)ф— х. (5.11)
х+у
х-
х- у
Пусть 8 = Ь /4. Тогда из (5.11) в силу (5.10) имеем 2ехр(-28у)и(х,у) = Ф0(х + у) + Ф0(х - у) -
- 28
х+у
8 | {Е0[-82|у2 -(х-Х)2|]-8уЕ1 [-82|у2 -(х-X)21 }ф0(Х)йХ +
х- у
+-У
х+у г п
I Ео ё~§21У2 - (х -Х)2|]фх(Х)^X,
8 = -т.
(5.12)
Я х-у
Формула (5.12) однозначно определяет значение у(0 = и (у/2, у/2), у = с^ на характеристике А0С0 :
2У(0 = [Ф о(у) + Ф о (0)]ехр(8у) - 28 ехр(8у) ] | Е0 [^82( у - £)] - у Е у - Х)82 ]| Ф о (Х)с? X +
2с
/
-] Ео [Х( у-Х)82 ]Ф1(Х)^ X.
я о
(5.13)
Равенство (5.13) говорит о том, что задача определения граничной функции у(?) по начальным данным Фо( х) и Ф1( х) является корректной и в общем случае.
6. О фундаментальном соотношении между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае обобщенного закона Фурье. Рассмотрим задачу 3.1 в случае, когда фо(х) ° о, у(/) = о. Как замечено ранее, это означает, что имеют место условия (4.3) и (3.4).
Пусть: и(х,t) — регулярное решение уравнения (1.4) в области ; X = с^; У = -х ; т = 1/(2сЯхЯ). Тогда функция
будет решением уравнения
и (X ,У) = и(-У, X / с)ехр(тХ),
э2и э2и 2
—г —г=т2и
^2 ~\\г2 “
с = с
Я
(6.1)
(6.2)
ЭУ 2 ЭХ2
в треугольной области Б- евклидовой плоскости точек (X,У), ограниченной характеристика-
ми ЛоСо : X + У = о, ВоСо : X - У = сТ и отрезком Л°В° = {,о), о < X < сТ}.
Известно [3, с. 7], что если и = и (X ,У) — регулярное решение уравнения (6.2) из класса С(й_) • С1(Б- • ЛоВо), иУ У=ое Ь[о, сТ], то
^эи эи
ЭУ ЭX
X
=^]
0у=о о
X-X
и (хо) = ] з о [ X-X)]Э^У
(6.3)
(6.4)
у =о
В силу (6.1) имеем
и (X,о) = и(о, X / с^^) = х^ / с^^),
иу У=о = - их |х=о ехр(тс0 = -п- (t) ,
и
у У=о
-и\х=о +mu(0, t)
exp(mct) =
- х ,(t)+цх^)
exp(mct).
Принимая это во внимание, из (6.3) и (6.4) получаем
V (о+-х '(о+цх(о = -т exp(-mct) ] 31[т(с?1 у X)] х — exp(mX)dX
с с -X с
с
-т]
х(t)exp(mct) = -]зо[т(с/- X)]п (^ ^04)^X = -с]зо^ -лж (л)exp(mch)dл.
Jl[mc(t -л)]
t-л
exp(mc(h -1 ))х(л)ё л,
Согласно (5.9) 31 [с^-л)] =1 [с^-л)]Е1 [-|т2с2^-л)2/4]. Поэтому
о
о
1 2 г V- (0 + - х'(0 + тхр) = - ^ ] Е1
г 7 •»
/mc(t -л)л2
х(0 = -с] Ео
тс -л)
exl
p [цс(л-1 )]х(л)ё л,
exp[mc(л- t)]v (л)ёл .
(6.5)
(6.6)
7. О фундаментальном соотношении между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае закона Фурье. В этом и следующих разделах изложим схему получения фундаментального соотношения между х(^ и ) в случае, когда соблюдено условие (3.3).
Уравнение Фурье (1.3) в области ^+ в терминах новых обозначений
принимает вид
X = х + г, У = а\ а = а1, и^,У) = и+^ - г,У/а2)
Эи Эи о < X < г, о < У < а2Т .
ЭУ ЭX2
Функция Грина О^ ,У; X!, лО смешанной краевой задачи:
(7.1)
и(X,о) = фо(X - г), и\х=г = х
/уЛ уа2 /
Эи 1 г у ^
эх X=о -11Яг V а2 0
о < У < Та
2
(7.2)
для уравнения (7.1) задается формулой [4, с. 272]
1
О( X, У; ^ лО =
2^1 р(У -л1) п=-¥
exp( X -X1 + 4ГП) + exp-( X + X1 + 4ГП)
4(л1 - У)
^X -^ - 2г + 4гп/ - X + Xl - 2г + 4т)
4(л1 - У)
2
4(л1 - У)
4(л1 - У)
Условия (7.2) вытекают из (3.11), (3.12) и равенства и (о,Г) = х(^.
Функция
г о
ио(X, У) = фо© - г)О(X, У; X1,о)ёXl = ] фо©О(х + г, а2t; X + г,о)ёX
является решением уравнения (7.1), удовлетворяющим условиям ио(X,о) = фо(X - г) = фо(х), ио(г,У) = и+(о,0 = о;
эи
эх
X=о
Эи+ Эх
= о.
Поэтому, не нарушая общности, будем считать, что фо (х) ° о .
Свойства функции Грина позволяют представить функцию и (X ,У) следующим образом:
и (X ,У) = -] х
л1
о \а
ЭО
3X1
О( X, У ;о, л1)ё л1 .
Последняя формула после возвращения к исходным переменным и замены л = л1
/а2
принимает вид
' ЭО+
'(х, t) = -]х(л)-
о ЭX
где О + (х, t; X, л) = а2О(х + г, а2^ X + г, а2л).
X=о
ёл + ^ ]Яг (л) О + (х, V;-г, л)ёл,
А'1о
Если ввести функции 5 = t-л, Еп(х,5) = exp-
(х)2
4а 2(-5)
(х)п = х + 4га, п = о, ±1, +2,'
(7.3)
то
легко видеть, что
О+(х, V, X, л) =
1Т1== X [Еп(х-X,5)-Еп(х + X,5) + Еп(х + X + 2г,5)-Еп(х-X-2г,5)]; ЧР( 5) п=—
t
о
о
-г
О + (х, Г; - г, л) =
л/яС5) п=-<
X Еп(х+г,5) - Еп(х - г, 5)];
ЭО+(х, г; X, л)
ЭX
-3/2
X=о
-----Т= X [2(х)пЕп (X, 5) - (х + 2г)пЕп (х + 2г, 5) - (х - 2г)пЕп (х - 2г, 5)].
4а>/я „=-¥
Отсюда, принимая во внимание равенства
ЭЕп (X, 5)
Эл
4а2(5)2 п
получаем
ЭО+(х, г; X, л)
(х)” Е(х5) ЭЕп (X, 5) = (х)пЕп (X, 5)
п ’ ’ Эх 2а 2(-5)
ЭОо( х, 5)
эx
= -а>/5 / я
X=о
Эл
(7.4)
Оо( x, 5) = X
п=
ЭО+(х, Г; - г, л) = 5
2 Еп (х, 5) Еп (х + 2г, 5) 2 Еп (х - 2г, 5)
п=-<
-3/2
( х)п
(х + 2г )п
(х - 2г)п
Эх 2а\/я п=_^
Справедлива следующая
ЛЕММА 7.1. Пусть х(Г) е С[о,Т] • С1]о,Т[, х'(Г) е ![0, Т]
X [(х + г)пЕп (х + Г, 5) - (х - г)пЕп (х - Г, 5)].
(7.5)
Чх: х, t) = -] х(л)
(7.6)
X=о
Тогда
где
Эи^^ = Е + (х, t) + -2!—D0_-l2E+(х^/Г-л )х '(л),
Эх 2ау я г 2а
Е+(х, Г) = X [2Еп (х, Г) - Еп (х + 2г, Г) - Еп (х - 2г, Г)].
п=-¥
Доказательство. В самом деле, подставляя в (7.6) выражение, стоящее в правой части (7.1), а затем, интегрируя по частям, получим
н(х;х,Г) = -ах(0)^-Г-О0(х,Г)-^=1 О0(х,5)ё[х(л)л/5] .
Отсюда дифференцированием по х находим Эи+(х; х, Г) Ц
Эх
ах(0) V я О0 (х, Г) - ] О0 (х, 5)ё [х(л>75 ],
где О0 (х, 5) = ЭО0 (х, 5)/ Эх .
Далее понадобится функция
Е - (x, 5) = X
2 Еп (х, 5) Еп (х + 2г, 5) Еп (х - 2г, 5)
(х)п
(х + 2г )п
(х - 2г)п
которая связана с функцией Е+(х, 5) следующим образом: Е - (х, 5) + Е+(х, 5) /(2 5а 2) = -О0 (х, 5),
2ч_ \ ЭЕ (х, 5)_ Е + (х, 5)
Эл
4а 2 5 2
Легко видеть, что
а
Тя;
]О0(х,5)ё[х(л)75]= ^я]Е (х,5)ё[х(л) л/5] + 2^= ]^ ё[х(л)^5] = 31
1 ГЕ + ( х, 5)
о '' о
Функция Е- (х, 5) при л®Г (5 ® 0) обращается в нуль для любого х > 0, а х(Г) е С[0, Т ]. Поэтому на основании формулы интегрирования по частям имеет место равенство
З = -ах(0) & (х, і) —5Цх(ц)л/5 Э
V я л/я 0 Эц
которое можно переписать в виде
а
л/я
1 і
Поскольку 3 2 =-----/= [ Е + (х, 5)
1 / 1Т •>
ЭЕ (х, 5)
Зі = а=х(0^л//Е (х, і) + —| х(ц)ёц.
х '(Ц) х(ц)
45 2 53/2
4^л/я 0 5~
-^= }е + (х,5)^ёц--І=}е + (х,5)^ёЦ . 2ал/я 0 4ал/я 0 5
Сложив Зі и 32 , будем иметь
а
\/я;
[ О0 (х, 5)ё Гх(ц^л/5] ёц = —[ Е+(х, 5)Т ((Ц)ёц—ах(0)л/ЇЕ (х, а). ■’ ё ^ 2ал/ я^ »'с -'я
л/5 л/я
Это равенство вместе с равенством
а
-^т(
л/я
(0)л/^0 (х, і) —^ х(0)л//Е “ (х, і) = —^ х(0)л/7 Г ^0 (х, і) + Е ~ (х, і)] = Т(0^ Е + (х, і)
-у/я '/я ё J 2а ІП і
1(0)
л/я ё " J 2ал/я і
показывают достоверность формулы
Эи+(х; х, і) х(0) Е + 1 гЕ+(х, 5)
----^------ = У~ Е (х,і) + —5=1 —т-^х'(ц)ёц
Эх 2аЛ/я і 2^Ія' -1с
2ал/я 0 л/5
и леммы 7.1.
Согласно (7.3) имеем
п(і) = Из (7.5) следует, что
Эи+(х; х, і)
х=0
Эх
ЭО+(х, і, - г, ц)
+ 7“ ) Чг (ц) ^і 0
ЭО + (х, і, -г, ц)
Эх
х=0
Эх
х=0
2ал/я
где Е0(5) = X [(г)«Е« (г,5) - (-г)«Е« (-г, 5)].
Теперь можно воспользоваться леммой 7.1. В результате получим
п(і) = ^0и Е+(0, і) + -1-д-//2е+(0, і-ц)х'(ц) + —Ц= |Чг ((ц ^'Ч- ц) ё.
2ал/ я і 2а 2аМя 0 (і -ц)
Формула (7.7) представляет фундаментальное соотношение между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае закона Фурье.
8. Анализ фундаментальных соотношений между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы. Условие сопряжения (2.2) диктует соотношение (4.24) между градиентами у(і) =У+(і) и V-(і) температуры и(х, і) в точке х = 0, где
происходит идеальный контакт подсистем 5 + и составной системы 5. Это соотношение согласно (4.23) имеет вид
/ \ ц-і
ап (і) = Р|п (ц)ехр
хч
V /
ё ц-у(і),
0 < і < Т .
(8.1)
Введем в рассмотрение функции
кп (X) = 2Еп (0, X) - Еп (2г, X) + Еп (-2г, X), Х = і -ц> 0,
/п (Х) = (г)п Еп (г, Х) - (-г)п Еп (-г, Х) , к(Х) = X кп (Х) /(Х) = X -їп
0
ря (і) =. 1 г ){(? ц) Чг (ц)ёц, £=2.
2а11л/я 0 (і -ц) 2
(8.2)
Поскольку (х)п = х + 4га для любого х е Я и п = 0, ±1,* , то
(-х)п = -(х)-п , (-х)-п = -(х)п, Еп (X, X) = Е-п (-X, X) .
Стало быть,
ко (X) = 2Ео (0, X), кп (X) + к_п (X) = 2 Еп (0, X) - Еп (2г, X) + Еп (-2г, X) + 2 Е_ п (0, X) -
-Е-п (2г, X) + Е-п (-2г, X) = 4Еп (0, X), Го (X) = 2гЕо (г, X),
/п © + Лп (X) = (г)п Еп (г, ^ - (-г)п Еп (-Г, X) + (г)-п Е-п (Г, ^ - (-г)-пЕ-п (-Г, X) =
= 2[(Г)пЕп (Г, X) + (г)-пЕ-п (г, X)] .
Отсюда в силу равенств
Ео(0,X) = 1, к(X) = ко© + £[кп(X) + к-п(X)], /(X) = /о© + Ё[/п(X) + /-п(X)]
п=1 п=1
к (X) = 2 + 4Е (X, У),
/(X) = 2гЕо (Г, X) + 2£[(Г)п Еп (г, X) + (г)-п Е-п (Г, X)], к=1
получаем
где у = (2г / а) ,
Е(X, У) = £ ^С-^2/ X).
п=1
Следует отметить, что функция (8.5) связана с 0 -функцией Якоби
(8.3)
(8.4)
(8.5)
3(/, т і) = X ехР
■\/я і п=-~
і > 0
следующей формулой:
ІяХ
я і
V У
[1 + 2 Е(Х, 1)]:
(8.6)
где І — мнимая единица.
Вернемся теперь к формуле (7.7). Введенные здесь обозначения вместе с равенствами
(8.2)-(8.5) позволяют записать фундаментальное соотношение между п(і) и х '(і), приносимое
из области на точку х = 0 идеального теплового контакта в следующем виде:
1 г1 + 2Е(Г-л,У) ,, ч , „ ч
п(Г) =-------г ]-, ' х '(л)ёл + Еч (Г).
Ыя 0 (Г-л)
Здесь и далее предполагается, что х(0) = 0; Е+(0, X) = к(X), Е0(X) = /(X). На основании (8.6) и равенства -у/у = 2г / а из (8.7) имеем
(8.7)
я І (і -ц)
’ У .
х '(ц)ё ц + К (і).
(8.8)
Принимая во внимание, что х(0) = 0, Г(е) = л/я и Э0^х'(ц) = х(ц), из (8.7) получаем
ап(і) = - ДЄіх(ц) + і І х(ц)Не+1Е+-ц(0)ёц + (і),
л/я,
Е (х + Х, У) - Е (х, у)
где Не Е+ (х) =
(8.9)
(х > 0, Х = і -ц) — правое гельдеровское отношение по-
рядка е в точке х , Не+1Е+ (0) = — Нш НеЕ+ (х).
Ь ЭX х®0 ь
Подставим значение V-(Г) из (6.5) в (8.1). Тогда будем иметь
Э
і 2 t -av(t) + g(t) + -Exp [t'; t ] + mExp [t; t ] = - cm- J d -J E-
о о
mc(--x)
exp[mc(x--)]t(x)d x.
Отсюда, с учетом равенств t(0) = 0, tqExp [t';t] = -Exp [t;t], после перестановки порядка
2t
интегрирования находим, что av(t) =
1 -mtq
7-xp [t; t ] - g(t) -b^ J t<x)K (t -Х; mc)d x.
(8.10)
q о
Ядро K(x; mc), где x = t -Х, определяется следующей формулой:
K (x, mc) = J E1
Х
mc(--x)
2
exp[mc(x--)]d -,
которая после замены ^ = Х + _ X)5 переменной интегрирования принимает вид
K (x, mc) = x J E1
Х
( mcxs)
I ~
2
exp[-mcxs]ds.
(8.11)
Система (8.9) всегда разрешима и притом единственным образом. В самом деле, из (8.9) и (8.10) получаем задачу Коши т(0) = 0 для интегро-дифференциального уравнения
D$tt(-) = mtq-1 Exp[t,t] + g(t) + ^ Jt(x)K(t - Х;mc)dХ + -^Jt(-)He+1Et+--(0)d- + Fq(t). tq 2 о о
На обе части этого уравнения подействуем оператором D-. В результате с учетом условия t(0) = 0 получим
mt і Ви2 —
t(t) = ——D0-te Exp [t -]+^2- D0-te Jt(x) K (- - x; mc)d x -
tq 2 о
(8.12)
2
+ VP D0-te Jt(x) H e+1E-+-x (0)d Х + Pg (t),
где Pg(t) = D0te [g(-) + Fq (-)].
Легко видеть, что
- ^ d- n-
г(є)D0te J t<x)k(- - Х; mc)dx = J ( _ J t<x)k(- - Х; mc) dx =
о о (t --) 0
t tK(--x; mc) d- = J (t-xft(x) d xJK ((t-x)S;mc) ds,
Jt(x) d xJ-
(t --Г
t
о о (j - s
1 TJ є+l , 77 +
4 1 1 Н ^ + Е (0)
Г(е)£>(-?е/х(Х)не+1£п+_х(0)ёХ = /V_Х)Ёх(Х¥X/---------- _^;.
0 0 0 (1 5)
Последние равенства вместе с леммой 4.1 говорят о том, что уравнение (8.12) представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода, которое в пространстве С[0,Т] имеет единственное решение х(/). Метод последовательного приближения позволяет найти приближенное его решение с любой наперед заданной точностью.
Пусть у(/) е С1[0,Т]. Тогда из (8.12) следует равенство
t '(t) = D0-te-f A[t; -] + P; (t), d-
(8.13)
где
mtq -1 A[t; t ] = ^—
Exp [t, t ] + b^ A-[t; t ] +A A2[t; t ].
tq 2 VP
A-[t; t ] = J t(x)K (t -Х; mc)d Х, A2[t; t ] = J t© H ^E+x (0)dx.
Утверждение (8.13) является прямым следствием равенства А[т;0] = 0, которое дает основание записать Ц^Л[т;л] = Ц_е—Л[т;л].
— л
Из (4.23) видим что —Exp[t,t] = t(t) -Exp[t,t]/Tq e C[0,T].
Согласно (5.8) Е[[х] = У-= Е2[х]. Поэтому из (8.11) имеем К'(х;цс)е
р> Г(1 + ])Г(3 + ])
е С[0, ¥[. Стало быть,
Э ^
-4[т;/] = 0х(Х)К'(/-X;цс)—Хе С[0,Т].
По определению и в силу (8.5) функция Не+1Е+ (0) = Х_£Е(X,у) = Х_е^ехР(_7и2/X) при
И=1
X® +0 обращается в нуль. Следовательно, функция
|^[т;/] = |т(/)Э[(/_Х) эЕ(?_X,У)] —Хе С[0,Т].
Полученные включения говорят о том, что функция — А[т; / ] принадлежит пространству
Э/
C[0, T ].
.-е Э
Теперь становится ясно, что первое слагаемое — А[т; л] в правой части равенства
Эл
(8.13) является непрерывным на временном сегменте [0,Т] и обращается в нуль при / = 0 .
Функция Р'(() = Э~Щ(Е[у(л) + (л)] = ^у(л) + Ае^(л). Представление (8.2) и свойства
функции (8.4) говорят о том, что Нш00(Еа(л) = 0 .
/®0 4
Поскольку Д_Еу(л) = Ц_еу'(л) +У(0)/_Е / Г(е), то равенство (8.13) позволяет утверждать, что функция т'(/) при / ® 0 будет ограниченной, если у(0) = 0 . При у(0) ф 0 она обращается
в ¥ порядка е.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Лыков А. В. Тепломассообмен. — М.: Энергия, 1971. — 560 с.
2. Соболев С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса // УФН, 1997. — Т. 167, № 10. — С. 10961106.
3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 784 с.
4. Шашков А. Г. Системно структурный анализ процесса теплообмена и его применение. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 280 с.
5. Нахушева В. А. Некоторые классы дифференциальных уравнений математических моделей нелокальных физических процессов. — Нальчик: КБНЦ РАН, 2002. —100 с.
6. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
7. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных линиях // Инженерно-физический журнал, 1964. — Т. VII, № 1. — С. 89-92.
8. Джураев Т. Д., Сопуев А. С., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического ти-
па. — Ташкент: Фан, 1986. — 220 с.
9. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. — М.: Иностранная литература, 1957. — 443 с.
10. ДжрбашянМ. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. — М.: Наука, 1966. 672 с.
Поступила 27.12.2005 г.
