CC BY
12
УДК 519.2
В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков
ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ КОНТУРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ1
(кафедра математической статистики факультета ВМиК, факультет информационных технологий, математики и электротехники научно-технологического университета, г. Тронхейм, Норвегия)
1. Введение. Проблема оценивания разрывных функций часто возникает в непараметрической статистике, статистике случайных процессов, при обработке сигналов и изображений. В настоящее время имеется обширная литература по данной теме как в плане математического исследования проблемы, так и в плане разработки и использования практических методов. К первой группе работ относятся, например, [1-4]. Среди второй группы работ можно указать [5-10].
Иногда, однако, возникает проблема оценивания не просто разрывной функции, а функции, у которой, грубо говоря, информативная часть сосредоточена на множестве меры нуль (если говорить о практическом аспекте — на множестве меры, близкой к нулю). Такова, например, задача восстановления контурных изображений. Задача эта близка задаче определения границ в "обычных" разрывных изображениях, однако далеко не эквивалентна ей и на самом деле существенно труднее.
Для контурных изображений методы фильтрации, основанные на усреднении, вычислении выборочной медианы и т.д. в двумерной окрестности обрабатываемой точки, неприемлемы, поскольку количество точек фона (после дискретизации изображения) в такой окрестности сильно превышает количество точек изображения, и поэтому фон будет подавлять информационную часть. Выход состоит в том, чтобы соответствующую оценивающую процедуру (среднее, выборочная медиана) выполнять не в двумерной окрестности, а в одномерной, совпадающей в точках контура с самим контуром. В предельном случае линии контура бесконечно тонкие — эта задача, разумеется, невыполнима, поскольку получается, что для восстановления изображения нужно его знать. Однако, если реальное изображение лишь "приблизительно контурное", то задача допускает разумные решения.
Одно из возможных решений предлагается в настоящей работе. Мы даем описание и математически обосновываем метод оценивания функций, описывающих контурные изображения. Рассматривается двумерный случай, отвечающий проблеме обработки изображений, однако обобщение на функции большего числа переменных представляется довольно простым (в теоретическом плане). Для функций одной переменной рассматриваемая задача, по-видимому, теряет смысл.
2. Описание метода. В настоящем пункте мы дадим общее описание предлагаемого метода. При этом для удобства описания мы будем пользоваться терминологией обработки изображений. Пусть F(x,y), — функция изображения, т.е. распределение интенсивности (яркости) в области, занимаемой изображением. Для простоты и не ограничивая общности, будем предполагать, что эта область представляет собой прямоугольник U = {(х, у) : а ^ х ^ Ь, с ^ у ^ d}.
Пусть S — некоторое множество линий на плоскости, удовлетворяющих некоторому условию гладкости, например, с максимальной кривизной, не превосходящей заданной величины. Мы не даем точного определения, поскольку выбор класса S не влияет на метод построения оценки и на ее асимптотические свойства. Предполагается, что изображение состоит из конечного числа линий, принадлежащих множеству S. Обозначим их si,.. .,s„. Для простоты будем предполагать, что яркость изображения на каждой из указанных линий постоянна. Таким образом, функция изображения F(x, у)
п
имеет следующий вид: F(x,y) = fk, (х,у) £ sk, к = 1,2,..., га, и F(x,y) = /0, (х,у) Е U \ |J sk, где
к= 1
fk ~f~ fo; ^ = 1,2,...,га, и fo — интенсивность фона. Поскольку рассматриваемое изображение сосредоточено в прямоугольнике С/, мы будем рассматривать только пересечения линий с прямоугольником, используя для этих пересечений те же обозначения, что и для самих линий: s\,..., sn.
Отметим, что хотя линии s\,..., sn предполагаются гладкими, контуры изображения могут иметь крутые изгибы, поскольку эти линии могут пересекаться.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 04-01-00671, 05-01-00535.
Функция Р(х,у) — это истинное восстанавливаемое изображение. Наблюдаемое изображение является суммой Р(х,у) и аддитивного шума:
Р0(х,у) = Р{х,у) +
Предполагается, что значения шума в различных точках являются некоррелированными случайными величинами.
Идея метода состоит в следующем. Пусть в данный момент изображение восстанавливается в точке (х,у). Рассмотрим окно (окрестность) с центром в точке (х,у) и все линии множества 5, проходящие через эту точку. Вычислим среднее значение функции изображения в окне и средние значения вдоль отрезка каждой линии, проходящей через точку (ж, у), принадлежащего окну. В качестве восстановленного значения в точке (ж, у) берется среднее вдоль того отрезка, для которого оно максимально отличается от среднего в окне.
Перейдем к строгому описанию метода. Пусть (хо,уо) — произвольная точка прямоугольника С/. Рассмотрим квадратное окно с центром в точке (хо,уо)- Размер окна и само окно обозначим соответственно 6 и УГ(х0, Уо) (таким образом, ТУ(жо, Уо) = {(ж> у) Е и : \х — жо| ^ 8/2, \у — уо\ ^ 8/2}).
Предлагаемый метод является итерационным. В качестве начального приближения берется исходное (зашумленное) изображение: ^(ж,?/) = Ро(х,у). Пусть Рп-\{х,у) — восстановленное изображение после (п— 1)-й итерации. Тогда п-я итерация строится следующим образом. Рассмотрим фиксированную точку изображения (х,у). Обозначим:
и впИг(х,у)
для каждой в 6 5, проходящей через точку (х,у) (подмножество всех линий из 5, проходящих через точку (ж, у), обозначим 5(ж, у)), где /(И7, в) — длина пересечения зГ)УУ(х, у), и интеграл берется вдоль этого пересечения (отрезка линии в);
Ф(з) = Ф(Ж, = у^-у I (и, V) - 5)]2 Л.
«ПТ¥(х,у)
Пусть во = «о(ж,у) — линия, минимизирующая Ф(в) на множестве 5(ж,у), т.е. такая линия из 5(ж, у), для которой
Ф(в0) = тт Ф(в).
Согласно предлагаемому методу, п-е приближение в точке (ж, у) вычисляется как среднее значение предыдущего приближения вдоль пересечения во П И^(ж,у), т.е.
Рп(х,у) = Е(\¥,з0). (1)
3. Состоятельность. Далее для простоты и без ограничения общности будет предполагаться, что значение функции яркости на всех линиях контура одно и то же. Кроме того, предполагаем, что размер окна достаточно мал, чтобы отрезки линий, принадлежащих окну, были близки к прямым.
Из описания предлагаемого метода видно, что центральным пунктом алгоритма является выбор одномерной окрестности для каждой точки изображения, вернее, для точек, принадлежащих линиям, формирующим изображение (при восстановлении изображения в точках фона выбор одномерной окрестности почти не играет роли). После дискретизации изображения выбор окрестности описывается следующей математической моделью. Предположим, что центр окна находится на контуре.
Пусть ,..., Уп — независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием ЕУ^ = д и дисперсией Уаг(К,) = а2 (это значения функции изображения вдоль "информативной линии", т.е. вдоль контура, формирующего изображение) и
Хц,..., Х\„,
1 • • • ч Хтп
— независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием EX¡j = = 0 и дисперсией Var(X¿j) = а2 (фон). Здесь то — число всевозможных (дискретизованных) отрезков линий, находящихся в окне, и проходящих через его центр, а га — число точек, по которым ведется усреднение (например, при размере окна 5 X 5: то = 12 и га = 5; именно такое окно использовалось в приводимом ниже примере). Без ограничения общности будем считать, что ¡i > 0.
Положим
л п 1 "
Y = -J2yj, хг = -У2хгл i = i,...,то.
га ' га '
3=1 3=1
Согласно предлагаемому алгоритму, правильный выбор окрестности будет сделан, если
У > max{Xb .. .,Хт}.
Теорема.
Р(У > max{Xi,..., Хт}) —> 1 при га — 1п то —> оо. При доказательстве теоремы основную роль играет следующая
Лемма. Пусть Zq, Z\,..., Zm — независимые одинаково распределенные случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение. Если п — 1п то —> оо, то для любого а > 0 и
— оо < b < оо
Р(max{Zb . ..,Zm} - Z0 < ал/ñ+b) 1.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что а = 1, b = 1. Тогда функция распределения случайной величины max{Zi,..., Zm} — Zq равна
оо
1П(,)=/Ф»(х-.)«(.), (2,
— ОО
где Ф(ж) — стандартная нормальная функция распределения. Заметим, что если п — 1п то —> оо, то
Фт(^-и) (3)
для любого фиксированного и. Действительно, применяя хорошо известное неравенство
справедливое для всех действительных t, получаем (пределы берутся при п — 1п то —> оо)
lim inf Фт (>/ñ - и) ^ lim
1 _ е-(лА-")2/2
= lim е = 1,
что доказывает (3).
Из (2), (3) и теоремы о мажорируемой сходимости получаем Р(^/п) —> 1 при га — 1п то —> оо, что доказывает лемму.
Доказательство теоремы. Имеем
Р(У > тах{Х!,..., Хт}) = Р (тах | ^^,..., ^-Хт | - ^ (У - /х) < .
Пусть г0,г1,..., Zm — случайные величины из леммы. Тогда (при га —> оо)
max<í —Хь . ..,—Хт \ Л max{Zi,.. — (У - д) Л
(7 (7 I (7
и утверждение теоремы следует из леммы.
4. Пример. В этом пункте мы приводим пример применения предложенного метода для обработки реального изображения при контроле технологического процесса в производстве бумаги. Исходное изображение (участок листа бумаги с царапиной) приведено на рисунке, а. Поскольку фон неоднороден (лист бумаги помят), предварительно была произведена низкочастотная фильтрация для выравнивания фона. Далее были выполнены 6 итераций алгоритма. Результаты представлены на рисунке, б-ж.
Для повышения эффективности метода в комбинации с алгоритмом выполнялась (на каждой итерации) следующая коррекция гистограммы изображения, которая оказывается возможной для рассматриваемого класса изображений благодаря тому, что среднее значение яркости по всему изображению практически совпадает с фоном. Предположим, что известно:
min |/о - fk\ > с,
1 ^/с^п
где с > 0 — некоторое число. Обозначим гистограмму яркости изображения после п-й итерации Gn(t). Идея модификации метода состоит в замене части гистограммы в окрестности /о на /о, т.е. значения яркости, близкие к /о, заменяются на /о - Точное значение /о не известно, но, как указано выше, близко
к среднему значению яркости по всему изображению. Таким образом, (3) заменяется на
р (х ) = 5о)> если 5о) - Е\ > с'
п[х,у) )е, если - Е\ <С с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Tsybakov А. В. Optimal estimation accuracy of nonsmooth images //Problems of Information Transmission. 1989. 25. P. 180-191.
2. Frigessi A., Hjort N.L. Statistical models and methods for discontinuous phenomena // Nonpara-metric statistics. 2002. 14. P. 1-5.
3. Chu С. К., Glad I. К., G od 11 i e b s e n F., Marron J. S. Edge-preserving smoothers for image processing // J. Amer. Stat. Assoc. 1998. 93. N 442. P. 526-556.
4. Rue H., Chu С. К., Godtliebsen F., Marron J. S. M-smoother with local linear fit // Nonpara-metric statistics. 2002. 14. P. 155-168.
5. В e d i n i L., T о n az z i n i A. Image restoration preserving discontinuities: the Bayesian approach and neural networks // Image and Vision Computing. 1992. 10. P. 108-118.
6. Blake A., Zisserman A. Localising discontinuités using weak continuity constraints // Pattern Recognition Lett. 1987. 6. P. 51-59.
7. Gem an D., Reynolds G. Constrained restoration and the recovery of discontinuities //IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1992. 14. P. 367-383.
8. Nagao M., Matsuyama T. Edge preserving smoothing // Computer Graphics and Image Processing. 1979. 9(4). P. 394-407.
9. Terzopoulos D. Regularization of inverse visual problems involving discontinuities // IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell. 1986. 8. P. 413-424.
10. To mi ta F., Tsuji S. Extraction of multiple regions by smoothing in selected neighborhoods // IEEE Trans. Systems, Cybern. 1977. SMC-7. P. 107-109.
Поступила в редакцию 14.11.05
УДК 519.214.4
Л. С. Ярославцева
НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В МНОГОМЕРНОЙ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
(кафедра математической статистики факультета ВМиК)
1. Введение. В работе получена оценка скорости сходимости в многомерной центральной предельной теореме для разнораспределенных слагаемых с использованием характеристик типа псевдомоментов. Первый, расширенный, вариант был опубликован в качестве препринта [1].
Пусть Rd — вещественное (i-мерное евклидово пространство векторов с нормой |ж|2 = ж2 +.. - + x2d и скалярным произведением (ж, ж) = |ж|2. Пусть Х\,.. .,Хп — последовательность независимых случайных векторов с общим математическим ожиданием ЕXj = 0. Обозначим S = Х\ + .. , + Хп. Далее полагаем, что S имеет невырожденное распределение.
Пусть Z — гауссовский случайный вектор такой, что ЕZ = 0 и соvS и cov Z совпадают, т.е. (С2ж, ж) = Е(5, ж)2 = Е(Z, ж)2 для любого вектора ж G Rd■ Имеем
Z á у +... + у„,
