CC BY
14
УДК 519.872
H. Д. Леонтьев1
АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ С ЗАВИСИМЫМИ ВРЕМЕНАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ
В работе рассматривается система типа M\G\\ с зависимыми временами обслуживания. Проведен анализ нестационарного режима функционирования системы, найдено распределение длины очереди в произвольный момент времени.
Ключевые слова: теория массового обслуживания, нестационарный режим.
I. Введение. В последние годы в специализированной литературе все большее внимание уделяется изучению систем массового обслуживания с зависимыми параметрами. В статье [1] рассмотрена система, в которой длительности интервалов между поступлениями требований в систему и времена обслуживания зависят друг от друга. В статьях [2] и [3] изучена система с дискретным временем, в которой размеры пакетов поступающих требований связаны авторегрессионной зависимостью. В настоящей работе рассматривается система типа M|G|1 с зависимыми временами обслуживания, предложенная в работе [4], где получены основные характеристики функционирования системы в стационарном режиме. Мы изучаем нестационарный режим функционирования системы.
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: ndleontyevQgmail.com
2. Описание системы. Рассмотрим систему обслуживания, состоящую из одного обслуживающего устройства, на которое поступает простейший поток требований с интенсивностью а. Будем считать, что число мест для ожидания не ограничено. Длительность обслуживания требований имеет распределение с плотностью Ь(х) и преобразованием Лапласа /3(s). Также предполагается, что длительность обслуживания n-го требования с вероятностью 0 ^ р < 1 равна длительности обслуживания (п — 1)-го либо с дополнительной вероятностью 1 — р является не зависящей от нее случайной величиной. По окончании периода занятости информация о прошедших обслуживаниях "забывается". Нас будут интересовать следующие случайные процессы: L{t) — число требований в системе в момент t;
X(t) — время, прошедшее с начала обслуживания требования, находящегося на обслуживании в момент t (в случае, когда система свободна, можно для определенности положить X(t) = 0);
Y(t) — реализовавшаяся длительность обслуживания требования, находящегося на обслуживании в момент í, если таковое имеется, либо длительность обслуживания последнего требования, покинувшего систему, если система в момент t свободна. Введем следующие обозначения:
02
Р(п, х, у, t) = Р(L(t) = n,X(t) < х, Y(t) < у),
\J Ju С/ Lj
P(n,y,t) = -fp(L(t) = n,Y(t) < у), ду
P(n,t) = P(L(t) = n).
Легко видеть, что определенные выше функции связаны соотношениями
у ос
P(n,y,t) = j P(n,x,y,t) dx, P(n,t) = j P(n,y,t)dy. (1)
o o
Обозначим
ос \Г
Sr(3,s) = Y;zn e~stP(n,t)dt
_ rt J
п=0 „
при < 1, §?(«) > 0.
Сделаем дополнительное техническое предположение о том, что
ос
£/?((*+ 1)а)
i=Q
Р <
ос
1+ £/3((¿ + l)a)
i=Q
В условиях этого предположения вывод формулы для определения тт(z, s) содержится в основной теореме.
Теорема. Функция ír(z, s), р < \z\ < 1, > 0, определяется по формуле
^ „ 1 — (1 — p)q(z, s) z — z(s) s + a — az(s)
iT(z,S) =--1 + a--- ' K '-, v '--p-—
s + a — ■ s + a — az 1 — .LJ£a(ZtS) s + a — az
где
9{z,s) = J
pe — (s+a—az)v
а z(s) — решение функционального уравнения z(s) = (1 — р)д(г(в), в).
Доказательство. Рассмотрим случайный процесс (!,(£), В силу сделанных предпо-
ложений этот процесс является марковским. Рассматривая изменения состояний процесса в интервале времени £ + А), получим следующие уравнения:
Р(п, х + А, у, £ + А) = Р(п, х, у, ¿)[1 — аД] + (1 — бп^)Р(п — 1, х, у, ¿)аД, (2)
11 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2
У
Р(0,у,г + А) = Р(0,у,г)[1 - аА] + J Р(1,и,у,г)(1и[1-аА],
у-А
А у
! Р(п,и,у,1 + Д) йи = р ! Р(п + 1, и, у, ёи[1 — аД]+
О у-А
СЮ V
+ (l-p)Jdv J Р(п + 1,и,у,1)ёиЬ(у)[1 - аЛ] + 6пАР(0,ф(у)аЛ.
(3)
(4)
О и — А
Поскольку по окончании периода занятости информация о прошедших обслуживаниях "забывается'' имеем
Р(0,у,г) = Р(0,г)Ь(у).
(5)
Так как в момент 1 = 0 система свободна, то Р(п, ж, у, 0) = 0 при п ) 1 и Р(0,0) = 1. Кроме того, положим Р(0, у, 0) = Ь(у).
Переходя в уравнениях (2)—(4) к пределу при Д ^ 0, получим
дР(п,х,у,1) дР(п,х,у,1)
дх
т т
= —аР(п, х, у, I) + (1 — <5пд )Р(п — 1, х, у, 1)а, = -аР(о,у,г) + р(1,у,у,г),
Р(п, 0, у, = рР(п + 1, у, у, + (1 — р) J Р(п + 1, v, v, ¿v Ь{у) + <5пдР(0,¿)Ь(у)а.
(6)
(7)
(8)
Обозначим
оо ОО
ОО р ОО р
ф, х, у, в) = ^ г""1 / е"8*Р(п, ж, у, г) <Й, тг(г, у, в) = ^ г""1 / е"8*Р(п, у, г)
П=1 д П=1 д
сю
ОО ~ ~
в) = ^ / е"8*р(п, <Й, 7Г0(«) = / е"8*Р(0, <Й
ей,
при ^ 1, > 0. Легко видеть, что 7г(г,«) = «) +7Го(5). Имеем с учетом уравнения (5)
£
П=1
<ЗР(п,ж,у,г)
т
¿П-1 I c-st У"Ч У' ^ _
0
сю
п=1
е Р(п, ж, у,
сю
5 J е~81Р(п,х,у,1)сИ
= я
У] г" 1 J е 8*Р(п, х, у, (И = еж (г, ж, у, «),
сю
^-sJ е~81Р(0, у, Л = (втг0(в) - 1)Ь(у).
т
о о
Переходя в уравнениях (6)-(8) к производящим функциям и преобразованиям Лапласа по имеем
<3тг(.г,ж,у,5)
<Эж
= — [« + а — аг]7г(г, ж, у, «),
У, У, в) = ([в + фоМ - 1)%),
(9) (10)
тгО, 0, у, «) = у, у, «) - |тг(0, у, у, «) +
оо сю
1 — р Г , \ , \ 1 — р
[ 1-р [
/ 7г(г, V,«) д/о Ъ(у)--/ 7г(0,«) (¿V Ь(у) + 7Го(5)Ь(у)а. (11)
г
о о
Решение уравнения (9) имеет вид
тг(г, ж, у, в) = е-(8+а-аг)жтг(г, 0, у, 5). (12)
С учетом этого и (10) можно переписать уравнение (11) в виде
7Г (г.
сю
о, у, 8) = £е-(а+а~а*)уф, 0, у, в) + ^ [ е-^-^ф, О, -и, в) (IV Ъ(у) - 1([в+0-аф0 (з) -1 )Ъ(у).
Отсюда
сю
Ф, о, у, 8) = х^ре_1+а_аг)у (Ц^ I О,8)йу--г{[8 + а- аф0М - 1)) Ь(у).
о
Поэтому
сю
о, ,,»)<;» =
о
сю сю
/" + /1 — « /" , ч 1 \
о о
В соответствии с введенным в формулировке теоремы обозначением
-Ь{'о) (IV = о *=°
Легко видеть, что функция определена при > р. Имеем
/ге-(з+а-аг)г) {р\*
—-————Ь{у)йу = (-) /3((г + 1)(в + а-аг)).
^ Р® ■_г\ 4 ^ '
о
С учетом (1) и (12)
сю
([« + а — аг]7Го(«) — 1)<7(г, «)
г - (1 -рЫ^в)
г + а - аф0(5) - 1
»М.^') = г_(1_р)8(г,,) "М-
1 г(е-(д+а~аг)у _ [8 + о-аф0(8) _ 1
- >ч + „ ^ ^ ^ ^ (1 -р)д{х,8)
Ч*,8) 8 + а^аг г - (1 - р)д(г,8) \9[,)
Далее,
= 5 + а ^ аг г - (1-р)д(г,а) 1 " ] + ^ =
х~1)дМ и.)---—1+--—• (13)
г — (\ — р)д(г, «)\ 8 + а — аг ) 8 + а — аг
12 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 2
Рассмотрим уравнение
z = (l-p)g(z,s). (14)
Покажем, что при выполнении условия
оо
£/?((* + 1)о)
--(15)
1+£/?((*+ 1)а)
i=О
существует функция z(s), определенная для s G (0, ар) и принимающая вещественные значения, которая является решением функционального уравнения (14). Покажем сначала, что 1 > (1 —p)g(l,s). Действительно,
сю сю
(1 - р)д( 1, s) = ( 1 - р) 4(i + l)s) < (1 - р) = (16)
г=0 г=0
поскольку s > 0.
Теперь установим неравенство р < (1 — p)g(p,s). Имеем
сю сю
(1 - р)д(р, *) = (1-р)£ ßdi + l)(s + а - аР)) ^ (1 - р) № + ^ > (1?)
г=0 г=0
если выполнено условие (15)*.
Из неравенств (16) и (17), а также из непрерывности обеих частей уравнения (14) по z вытекает, что существует функция z(s), определенная для s G (0, ар), принимающая вещественные значения и являющаяся решением функционального уравнения (14). Тогда
Яо00 = —---гт-
s + в — az(s)
Наконец
ч 1__1 (л . 1 ~ (1 ~p)g(z,s) z-z(s) s + a-az(s)\
n(z, s) =--г— -- 1 + а--т—--p- . (18)
s + а — az(s) 1 — p \ s + а — az 1 — ±-JLg(z, s) s + а — az I
Функция tt(z, s) определена и аналитична в области р < \z\ < 1, 5?(s) > 0, в то время как правая часть уравнения (18) определена для действительных р <z<1h0<s< ар. В силу теоремы единственности аналитической функции (см., например, [5]) вышесказанное означает, что функция, стоящая в правой части (18), может быть единственным образом продолжена на всю область определения функции 7r(z, s).
Следствие. Сопоставим полученный результат с аналогичным результатом для стационарного случая. Согласно теореме Таубера (см., например, [6]),
сю
lim У znP(L(t) = п) = lim S7r(z, s).
t—>oo ^—' s—
n=0
Домножив уравнение (13) на s и сделав предельный переход, убеждаемся, что
~ (2-1) lim P(L(t) = 0)9(z,0)
u. Y.fnm = B) =--•
Это соответствует результату, полученному в [4].
*Мы предполагали, что д(р, s) = lim g(z, s) < оо. Легко видеть, что в случае расходимости ряда неравенство
г—ур
р < (I — р)д(р, s) также справедливо.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Adán I., Kulkarni V. G. Single-server queue with Markov-dependent inter-arrival and service times // Queueing Syst. 2003. 45. N 2. P. 113-134.
2. Hwang G. U., Sohraby K. On the exact analysis of a discrete-time queueing system with autoregressive inputs // Queueing Syst. 2003. 43. N 1-2. P. 29-41.
3. Hwang G.U., Choi B.D., Kim J.-K. The waiting time analysis of a discrete-time queue with arrivals as an autoregressive process of order 1 // J. Appl. Probab. 2002. 39. N 3. P. 619-629.
4. Ушаков В. Г., ХаритонцеваИ. Г. О системе с зависимыми временами обслуживания // Математическое моделирование и цифровая обработка информации. М.: МИЭТ, 1990. С. 154-163.
5. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1960.
6. Климов Г. П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 06.12.12
TRANSIENT BEHAVIOUR OF A QUEUEING SYSTEM WITH DEPENDENT SERVICE TIME Leontyev N. D.
The paper studies an M|G|l-type system with dependent service times. Transient behaviour of the system is analyzed and queue length distribution is found.
Keywords: queueing theory, transient behaviour.
