ДОСЛіДЖЕННЯ МЕТОДА ВИЗНАЧЕННЯ БЕЗВіДМОВНОСТі ТЕХНіЧНИХ СИСТЕМ З ВИКОРИСТАННЯМ МОДЕЛЮВАННЯ ВИПРОБУВАНЬ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 004.52.32 Б01: 10.15587/2312-8372.201Б.ББ481

Д0СЛ1ДЖЕННЯ МЕТОДА ВНЗНАЧЕННЯ БЕЗВ1ДМ0ВН0СТ1 ТЕХН1ЧННХ СИСТЕМ З ВНКОРНСТАННЯМ МОДЕЛЮВАННЯ ВНПРОБУВАНЬ

Проведене моделювання методом Монте-Карло випадкових виб1рок з генеральной сукупностг з метою визначення ймов1рност1 безвгдмовног роботи. Проведений аналгз якостг статистики. Зроблений аналгз статистичних ряд1в, якг складаються з випадкових чисел за допомогою кри-терггв згоди Андерсона-Дарлгнгтона (О2 Мгзеса), %2 Шрсона. Наведений метод моделювання гаусовського закону розподглу.

Клпчов1 слова: теоргя ймовгрностей, математична статистика, перевгрка правдоподгбностг ггпотез, ймовгрнгсть безвгдмовног роботи.

Егоров С. В., Шкварницька Т. Ю.

1. Вступ

Наше суспшьство на даний момент досягло такого ступеня розвитку, при якому роль впливу шформацп на хд подш у вах сферах суспшьного життя починае ставати домшуючим. Тому сучасне суспiльство по праву можна назвати шформацшним. Зростаючий вплив iнформацii обумовлюе появу нових видiв дiяльностi, таких як ство-рення й розвиток ринку шформацшних послуг, створення й розвиток глобального шформацшного простору, яке забезпечуе доступ до свиових iнформацiйних ресурсiв, поява нових видiв соцiально'i й економiчно'i дiяльностi. Усе це сприяе перетворенню iнформацiйних ресурсiв сучасного суспiльства в дуже потужш ресурси розвитку суспшьства.

Тому в цей час проблема надшносп е ключовою стосовно сучасних шформацшних i телекомунiкацiйних систем, по суп, ввд не1 багато в чому залежать темпи 1х розвитку Вщмова в роботi (у тому чи^ й неправильне функцiонування) шформацшних систем може привести навггь до катастрофiчних наслiдкiв глобального масштабу. Актуальшсть дано1 статтi полягае у наступному:

— Для аналiзу параметрiв надшносп типу iмовiр-нiсть безвiдмовноi роботи потрiбно зiбрати статистику. Для цього необхщно провести випробування певних об'еклв. Часто на такi випробування витра-чаються дуже великi кошти. Це не е ефективним, наприклад, у тих випадках, коли необхщно просто перевiрити новий метод, модель. Тому виникае необ-хiднiсть розробити метод, який дозволяе моделювати випробування партп зразкiв на надiйнiсть.

— Шд час аналiзу отриманих результапв використо-вуеться певна статистика. У зв'язку з цим, вини-кае питання: а чи маемо ми право цю статистику використовувати? У цiй статт була дана вiдповiдь на це питання.

2. Анал1з дослщжень I публжацм та постановка проблемы

Iснуючi методи дослiдження надшносп машин та апаратури, в Украш так i за кордоном, все бшьше не

задовольняють вимогам практики та рiвню технологi'i виробництва. В оглядах про стан технологи дослщження надшносп [1, 2] все частше i частiше лунае розчару-вання шнуючою технологiею дослiдження надiйностi, у зв'язку з тим, що досить часто та набагато розхо-дяться оцшки, що прогнозуються i реальш значення показникiв надiйностi.

Слiд зауважити, що в останнш час, в першу чергу, iз-за неадекватного прогнозування на основi штенсив-ностi вщмов, з'являеться пiдвищений iнтерес до <^зики вщмов» [3].

В роботах закордонних фахiвцiв [2-4] несправедливо вiдмiчаеться, що широко розповсюджений стандарт MIL-HDBK-217, який базуеться на використан-нi експонентного розподiлу, не призначенш для того, щоб забезпечити показник надшносп з гарантованою точнiстю. Скорше, вiн призначений для використання у якосп iнструмента при оцiнки придатност i порiв-няння нових проекпв.

Модель експонентного розподiлу вже давно рiзко критикувалася [5]. Але до цього часу iз-за вiдсутностi математично'i моделi, що пiдходить, яка дозволяла би виршувати основнi задачi й надшносп на iнженерному рiвнi, дослщники змушенi користуватися математичним апаратом, який критикуеться.

На цей час в стандартах та нормативних матерiалах рекомендуються плани та методики експериментально! оцiнки ймовiрностi безвiдмовноi роботи об'ектив (систем) на основi використання рiзних теоретичних моделей ввдмов, що приводить до штотно1 розбiжностi оцiнок i рiзним об'емам випробувань [6-9].

Експериментальш методи передбачають проведення випробувань, в результатi яких одержуеться статистич-ний ряд, вирiвняти який можливо, згiдно з теорiею ймовiрностi i математичнiй статистицi, тшьки за допомогою критерiiв згоди.

Сучасна теорiя ймовiрностi i математична статистика на цей час для виршення ще1 проблеми пропонуе тшьки одне: для вирiвнювання статистичних рядiв ви-сувати декiлька гшотез i пiсля цього зробити перевiрку правдоподiбностi гiпотез [10-12]. Критерii згоди (в цш

TECHNOLOGY AUDiT AND PRODUCTiON RESERVES — № 2/2(28], 2016, © Егоров С. В., Шкварницька Т. Ю.

роботi використовувались критерп Пiрсона i О2) дозво-ляють авторам статтi побачити похибку, з якою можна прийняти ршення. Якщо точнiсть не задовольняе, то можна просто збшьшити кiлькiсть випробувань. Тому цей математичнш апарат необхщно застосовувати i до оцiнки безвщмовност!

3. 06'ект, мета та задач1 дослщження

Об'ект дослгдження — методи iмiтацiйного моде-лювання випробувань та процеси обробки результапв випробувань в теорп надiйностi.

Мета дослгдження — тдвищення ефективностi ме-тодiв iмiтацiйного моделювання випробувань та методiв обробки результапв випробувань.

Для досягнення поставлено! мети необхщно вико-нати таю задачк

— Оцiнити якiсть статистики, що використовуеться

для оцiнки iмовiрностi безвiдмовноi роботи.

— Перевiрити погоджешсть теоретичного i статис-

тичного розподтв.

4. Як1сть оцшно! функци

Для ощнки показникiв надiйностi типу ймовiрнiсть безвiдмовноi роботи R ( використовуеться статистика:

r

J = N'

Jl, J 2,....Jn .

B^ipKOBe середне мае наступний вираз:

n

iJj

J = '

(3)

Випадкова величина Ф е функцiя незалежних випад-кових величин (2). Знайдемо математичне тф очжуван-ня й дисперсiю Б^ цiеi величини (т~ь i Б^ входять у формулу як числа).

1 n 1

mj = — IM [J* ] = —nmJ = mJ,

(4)

Де M [J ] = - IJ*.

1 n D

Dj =— ID [J ] = —,

J n2 n

j=1

(5)

(1)

де г — число об'екпв, що вщмовили, за наробiток Ь з N зразюв, поставлених на R () = 1 -Ф випробування.

У математичнш статистищ якiсть оцiнних функцш визначаеться наступними показниками: достатнiстю, спроможшстю, незмiщенiстю, ефективнiстю.

В [1] установлене, що статистика виду ■&=r/N е до-статньою.

Ощнна функцiя називаеться спроможною, якщо зi збiльшенням об'ему (п) вихiдних статистичних даних вибiркове середне Ф сходиться по ймовiрностi до дшс-ного значения Ф.

Доведемо, що статистика Ф спроможна.

Запишемо числовi характеристики статистики Ф — середне вибiркове значення й диспераю — та з'ясуе-мо, як вони змшюються зi збшьшенням кiлькостi до-слiдiв, п.

Позначимо наявш статистичнi данi випадково! ве-личини:

(2)

Очевидно, що сукупшсть величин (2) являе собою п незалежних випадкових величин, кожна з яких роз-подшена по тому ж закону, що й сама величина Ф.

Уведемо позначення М [Фг ] для вибiрковоi серед-ньо! величини Ф й Б [Фдля вибiрковоi дисперсп величини Ф. У рядi випадкiв, коли величини М[•&;] й Б [-6^] входять у формули як певш числа, '¿х зруч-нiше позначати однiеi буквою. У цих випадках будемо позначати вибiркове середне величини Ф через тФ, а вибiркову дисперсiю Б[Фвеличини Ф позначимо через Б^.

1

де Б[Ф] = ^ТТК^ -М[Ф]).

г=1

Отже, середне вибiркове величини Ф не залежить вщ числа дослiдiв, п i дорiвнюе середньому вибiрко-вому величини Ф, яка спостережуеться; що стосуеться дисперсii величини Ф, то вона необмежено убувае зi збiльшенням числа дослiдiв i при досить великому п може бути зроблена як завгодно малою. Отже, автори статт переконалися, що середне вибiркове е випадкова величина з як завгодно малою диспераею й при великш кшькосп дослiдiв поводиться майже як не випадкова.

Спроможшсть оцiнноi функцп забезпечуе рiст якостi оцiнки (зниження ймовiрностi помилок, що виходять за встановлеш межi), зi збiльшенням об'ему статистики.

Ощнна функцiя е незмщеною, якщо середне вибiр-кове ощнки Ф дорiвнюе дiйсному значенню Ф.

Згiдно з (4) i (5) оцiнка Ф е незмiщеною.

Незмiщенiсть оцiнноi функцп забезпечуе вщсутшсть систематичноi помилки при багаторазовому викорис-таннi Ф замiсть Ф.

Ощнна функщя е ефективною, якщо при даному фжсованому об'емi статистичних даних ощнка мае мь шмальну дисперсiю (серед оцiнок, що забезпечуються будь-якими iншими можливими оцiнними функщями).

З метою виявлення ефективностi ощнно' функцп було пророблено експеримент (табл. 1).

Крiм дисперсiй дослiджуваноi статистики Ф ощнюва-лися дисперсii ощнних функцiй (iмовiрностей вiдмов) на основi цiлого ряду теоретичних розподiлiв [6-8, 10-12].

Емтрична дисперсiя статистики (1):

п

<)

Розподш Релея (R):

D=

2-"2

V У

с

26

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 2/2(28], 2016

n

Dj = ^

n

о2.

Нормальний розподш (N): — диспepсiя:

D (J) = s2,

де о = 1-I(Jг -р) — середньоквадратичне ввдхи-

1 - nx

г=1

лення, р = р ;

— математичне очiкування:

M [Jj ] = " IJ *.

Таблиця 1

Значення дисперай для закошв розподшв випадково! величини

Статис-тична йм^р-шсть Емт-рична Dj R N W LN EXP

F = 0,1 0,03191 0,00044 0,0010180 0,00119 0,31256 0,00992

Аналiз даних табл. 1 показуе, що eмпipичнe зна-чення дисперсп DJ статистики виду (1) i дисперая нормального pозподiлу збiгаються, найменше значення мае розподш Релея, найбшьше значення дисперсп мае логаpифмiчно нормальний розподш.

Експонентний розподш (EXP): — дисперая:

D (J) =

1

n2

IJ*

*=1

Логаpифмiчно нормальний pозподiл (IN): — дисперая:

D(J) = (es -1 ]( е2р+о ],

де о =

1

2\п

^ I( J г-Р)

хилення; р = — I ln (J*) — параметр масштабу. n г=1

Розподш Вейбулла: — дисперая:

D(J)=(

' 2] ( ( 1^2

1 + ^ " ' v Ь,

1 + ^

V v //

w Ь

I ln Jj IJ - nIjb ln Jj = 0;

;-Ijb = 0.

5. Погоджешсть теоретичного i статистичного розпод1л1в

Було розглянуто питання, пов'язане з пepeвipкою пpавдоподiбностi гшотез, а саме — питання про погоджешсть теоретичного й статистичного розподтв за допомогою кpитepiю згоди Шрсона %2 i ю2. При цьому були використаш наступнi закони розподшу й мате-матичнi вирази.

Дослщжувана статистика мае вигляд:

r

J= N,

де r — число зразюв, що вiдмовили, за наробиок t з N зразюв, поставлених на випробування. Нормальний розподш (N):

середньоквадратичне ввд-

F (J) = N (J, р, о ) = Ф

n

IJj

J-р

де р = -

вибipковe сepeдне;Jг — значення ста-

тистики для г-то1 вибipки; n — кiлькiсть вибipок;

J1 n „ 2 --1( J* - р) — середньоквадратичне вщхилення;

де параметри a й Ь визначають, виршуючи наступну систему piвнянь:

1 - n'

1 г=1

Ф — нормований нормальний розподш. Розподш Релея (R):

J

-J2

F (J) = R (J, о) = — е s2 ,

де

v2 - 2 V У

D, D=nziI(Ji-Р).

математичне очiкування:

M = Г

1 + ^

v Ь,

Результати eкспepимeнтiв i оцiнки диспepсiй, досль джувано! статистики з використанням ряду теоретичних функцш наведено в табл. 1.

Розподш Кошi (C) (розподш Лоренца або Брейта-В^нера):

F (J)=C J • y)4 •

де у — коeфiцiент масштабу.

n

+

о2 =

Розподiл Вейбулла (W):

F(J) = W(j; b,a) = 1 -e

де

- 1

b = - ;

v

де v = 0/Д — коефщент варiацiï,

1 yet

эт г

1

Логарифмiчно нормальний розподiл (LN): F(J) = LN(J; Д,ö) = Ф^1П(J) Д

де

Д = 1n Д-

fD л — +1

уД2 /

; ö=

{ т\ \

D

— +1 Д2

v vr //

1n

Були так само використаш критерп згоди: — х2 Шрсона:

х2 = У

j npj)

яке було проведено таким чином. З метою перевiрки правдоподiбностi гiпотез було зроблено сто вибiрок, кожна з яких мштила по сто елементiв. Вибiрки були змодельованi методом Монте-Карло.

Суть методу Монте-Карло полягае в наступному. Для прикладу, оберемо генеральну сукупшсть з об'е-мом (кiлькiсть елеменпв) N = 463. Зробимо моделю-вання. Для цього потрiбно обмежити час випробування або наробггок кожного зразка, що не вiдмовив. Щоб це зробити потрiбно прийняти, наприклад, емтричну ймовiрнiсть появи вiдмови F = 0,1 i вирiшити таке рiвняння:

x x

N = F ^ 463 = Х " 46,

де х — порядковий номер елемента B^ipra, яким потpiб-но обмежити вибipку для даного значення F.

Дал^ за допомогою генератора випадкових чисел створюемо значення порядкових номеpiв у дiапазонi вiд 1 до N (потpiбно згенерувати всього сто елементiв) та фжсуемо числа, якi < x. Кшьюсть генерованих чисел доpiвнюе кiлькостi вiдмов.

За вказаним вище порядком було виконано моделю-вання генеpальноï сукупностi для пеpевipки статистики, що дослвджуеться, для прийнятого piвня F. Об'ем кожноï вибipки складався зi 1°° значень. Моделювання здш-снювалось в Microsoft Excel. Якщо прийняти F > °,1 то piвномipнiсть генератора випадкових чисел Microsoft Excel почне дуже сильно проявлятися. У цьому випадку моделювання це не бажано. Тому брати F > 0,1 немае сенсу (якщо проводити моделювання в Microsoft Excel).

Результати дослщжень, яю були отримаш тсля пере-вipки пpавдоподiбностi гшотез були зведенi в табл. 2, 3.

Таблиця 2

j=1 nP,

де г' — кшьюсть iнтервалiв пiсля 1хнього об'еднання; mj — число елементiв статистики Ф, що потрапили в ]-й iнтервал; npj = pjn; р^ — ймовiрнiсть по теоретичному розподшу; п — кiлькiсть вибiрок.

Застосування критерiiв типу %2 передбачае розбивку област визначення випадковоi величини на k iнтервалiв з тдрахунком числа спостережень щ, що потрапили в них, i ймовiрностей влучення в iнтервали Р{(8), де 8 — вщоме значення параметра (скалярного або векторного), вщповвдних до теоретичного закону.

— Андерсона-Дарлшга (О2 Мiзеса):

Спостережуваш значения %2 i вiдп□вiднi ïm piBHi значимост р для F = 0,1

N H С LN W

р = 0,01 Гшотеза спростована Гшотеза спростована р = 0,05 Гшотеза спростована

Таблиця 3

Спостережуваш значення П2 i вiдп□вiднi ïm рiвнi значимосп р для F = 0,1

N H С LN W

р = 0,615 Гшотеза спростована Гшотеза спростована р = 0,7 Гшотеза спростована

QN = -n-2 y

j=1

2 j -1

2n

+ 1

ln F (J ) 2 j -1

2n

ln (1 - F (J ))

Для оцiнки адекватностi математичного апарата не завжди е можлившть провести реальний експеримент. Щоб виршити цю проблему слiд використовувати piз-нi методики моделювання. У даному випадку можна запропонувати моделювання методом Монте-Карло,

6. Обговорення результат1в моделювання методом Монте-Карло

Переваги запропонованого метода полягають у на-ступному.

— Використання перевiрки правдоподiбностi гшо-тез сумшно з методом моделювання Монте-Карло призвело до тдвищення точностi визначення безвщ-мовностi.

— Статистика (1), яка використовуеться тд час моделювання методом Монте-Карло приводить до зниження погршностей пiд час процесу iмiтацiйного

С

28

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ АУДИТ И РЕЗЕРВЫ ПРОИЗВОДСТВА — № 2/2(28], 2016

2

моделювання й при обробщ реальних статистичних даних.

— Завдяки тому, що тд час nepeBipra правдопо-дiбностi гшотез висуваеться дeкiлька конкуруючих гiпотeз, е можлившть вибрати бiльш адекватний розподш для обчислення безвщмовност!

— При використанш пepeвipки пpавдоподiбностi гiпотeз, планування зводиться просто до збору статистики.

До недолМв слщ вiднeсти той факт, що для адекватного аналiзу статистики необхвдно зiбpати певну кшьюсть вiдмов. Наприклад, для критерш %2 нeобхiдно зiбpати, як мшмум дeкiлька сотень, ю2 — не менше нiш 60. Цi мшмуми не гарантують обраний piвeнь значущост! У такому випадку слiд продовжити збip статистики.

Цi матepiали е продовженням дослщжень iз областi iмiтацiйного моделювання надшносп та обробки статистичних даних. Для усунення недолЫв е необхвдшсть продовжувати вдосконалювання запропонованого методу.

7. Висновки

У результата проведених дослщжень можна зробити наступш висновки:

1. Набув подальшого розвитку метод Монте-Карло, який на вщмшу вщ вiдомих тим, що в мeтодi розгля-нуто пepeвipка пpавдоподiбностi гiпотeз, що привело до полшшення його адаптацп для iмiтацiйного моде-лювання процесу проведень випробувань, що призвело до тдвищення визначення ймовipностi безвщмовно! роботи.

2. Уперше показано, що статистика, яка використо-вуеться у вдосконаленому мeтодi Монте-Карло, е нeзмi-щеною спроможною й ефективною i може використо-вуватися для оцшки ймовipностi бeзвiдмовноi роботи, що привело до доказу того факту, що математичний апарат, який використовуеться у вдосконаленому мeтодi Монте-Карло приводить до зниження погршностей пiд час процесу iмiтацiйного моделювання й при обpобцi реальних статистичних даних.

3. Уперше показано, що для оцшки паpамeтpiв ЙБР за експериментальним даними, необхвдна пepeвipка пpавдоподiбностi гiпотeз, що приводить до тдвищення точност прогнозування (оцшки) паpамeтpiв ЙБР, за рахунок висування декшькох конкуруючих гiпотeз та вибору найбшьш адeкватноi.

4. Уперше показано, що у випадку використання пepeвipки пpавдоподiбностi гiпотeз, планування зводиться до збору статистики ввдмов устаткування, яке перебувае в експлуатацп, що приводить до значного спрощення методики моделювання (проведення) ви-пробувань та обробки експериментальних даних, та приводить до точшшого визначення ЙБР.

Литература

1. The Status of Reliability Engineering Technology [Text] // RAC Journal. — 1995. — № 1. — P. 5-7.

2. Coppola, A. The Status of Reliability Engineering Technology [Text] / A. Coppola // Reliability Society Newsletter. — 1997. — Vol. 43. — P. 7-10.

3. Fuqua, N. B. «Physics of Failure» — historic perspective [Text] / N. B. Fuqua // RAC Journal. — 1995. — Vol. 2. — P. 27-30.

4. Neubeck, K. MIL-HDBK-217 and the real [Text] / K. Neubeck // RAC Journal. — 1994. — Vol. 2. — P. 15-18.

5. Zelen, M. The Robustness of Life Testing Procedures Derived from the Exponential Distribution [Text] / M. Zelen, M. Dannemiller // Technometrics. — 1961. — Vol. 3, № 1. — P. 29-49. doi:10.1080/00401706.1961.10489925

6. Гнеденко, Б. В. Надежность и эффективность в технике [Текст]. Т. 2. Математические методы в теории надежности и эффективности: справочник / под ред. Б. В. Гнеденко. — М.: Машиностроение, 1987. — 280 с.

7. Судаков, Р. С. Надежность и эффективность в технике [Текст]. Т. 6. Надежность и эффективность в технике: справочник / под ред. Р. С. Судакова, О. И. Тескина. — М.: Машиностроение, 1989. — 376 с.

8. Винарский, М. С. Планирование эксперимента в технологических исследованиях [Текст] / М. С. Винарский, М. В. Лурье. — К.: Техшка, 1975. — 163 с.

9. Bhattacharyya, G. K. Fatigue Failure Models — Birnbaum-Saunders vs. Inverse Gaussian [Text] / G. K. Bhattacharyya, A. Fries // IEEE Transactions on Reliability. — 1982. — Vol. R-31, № 5. — P. 439-441. doi:10.1109/tr. 1982.5221421

10. Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича [Электронный ресурс]. — Режим доступа: \www/URL: http://www.sut.ru/

11. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей и её инженерные приложения [Текст]: учебник / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — М.: Высшая школа, 2000. — 480 с.

12. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей [Текст]: учебник / Е. С. Вентцель. — М.: Наука, 1969. — 564 с.

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ БЕЗОТКАЗНОСТИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИСПЫТАНИЙ

Проведено моделирование методом Монте-Карло случайных выборок из генеральной совокупности с целью определения вероятности безотказной работы. Проведен анализ качества статистики. Сделан анализ статистических рядов, которые состоят из случайных чисел с помощью критериев согласия Андерсона-Дарлингтона (П2 Мизеса), %2 Пирсона. Приведен метод моделирования гаусовского закона распределения.

Ключевые слова: теория вероятностей, математическая статистика, проверка правдоподобия гипотез, вероятность безотказной работы.

Сгоров Сергт Вшторович, асистент, кафедра 3aco6ie захисту тформацп, Нащональний авiацiйний утверситет, Кигв, Украта, e-mail: sehorov@gmail.com.

Шкварницька Тетяна ЮрНвна, кандидат техтчних наук, доцент, кафедра комп'ютеризованих електротехтчних систем та технологш, Нащональний авiацiйний утверситет, Кигв, Украта.

Егоров Сергей Викторович, ассистент, кафедра средств защиты информации, Национальный авиационный университет, Киев, Украина.

Шкварницкая Татьяна Юрьевна, кандидат технических наук, доцент, кафедра компьютеризированных электротехнических систем и технологий, Национальный авиационный университет, Киев, Украина.

Yehorov Serhii, National Aviation University, Kyiv, Ukraine, e-mail: sehorov@gmail.com.

Shkvarnytska Tetiana, National Aviation University, Kyiv, Ukraine