CC BY
89
УДК 519-866 О.А. КОЖУХВСЬКА
МОДЕЛЮВАННЯ Ф1НАНСОВИХ РИЗИК1В З ВИКОРИСТАННЯМ ЙМОВ1РН1СНОГО П1ДХОДУ
Описуються основнi типи ризик1в у страхуванш та визначаються форми !х можливого математичного опису. Розглядаеться можлив1сть застосування байeсiвського пiдходу до побудови математичних моделей актуарних ризик1в. Будуеться модель байесiвського типу для випадкового фiнансового процесу.
1. Вступ
Повторш ф1нансов1 кризи, вшськова активнють деяких держав i боротьба з тероризмом протягом останшх двох десятилггь свщчать про високу актуальнють розв'язання задач анал1зу i менеджменту фшансових ризиюв. Разом з тим стае очевидним факт, що 1снуюч1 методи анал1зу i моделювання ситуацш, яю спрямовуються на опис та менеджмент ризиюв, досить часто е недостатньо адекватними для отримання високояюсних прогноз1в ймов1рно-стей виникнення таких ситуацш та можливих втрат. Це пояснюеться не стшьки недостат-ньою увагою фах1вщв до таких проблем, скшьки високою динамшою протшання фшансових процешв, !х надзвичайно високою розм1рн1стю, наявшстю складних iерархiчних та горизон-тальних взаемозв'язюв мiж фiнансово-економiчними процесами на рiвнi окремих фiрм, галузей промисловостi, макроекономши в цiлому i на глобальному рiвнi [1]. Iнодi наявнi математичш моделi е досить складними для практичного використання, а тому виникають спрощеш варiанти, адекватнiсть яких може суттево вiдрiзнятись вiд iдеалiзованих. У будь-якому випадку модель - це спрощене представлення ситуацiй i процесiв, яке може призво-дити до неповноти опису та некоректних прогнозiв i рiшень, що на них грунтуються. Тому однiею з першочергових задач, якi виникають у менеджмент фiнансових ризикiв, е створен-ня математичних моделей достатньо високого, прийнятного для практичного використання, ступеня адекватности Моделi повиннi бути зрозумшими практикам i, за необхщносп, доповненi ними неврахованими елементами структури, коректними апрiорними експертни -ми оцшками окремих параметрiв i початкових умов, додатковими експериментальними (статистичними) даними, можливими напрямами застосування.
Значну роль у коректному та своечасному розв'язанш задач менеджменту фшансових ризиюв вщграе системний шдхщ, який полягае, у даному випадку, у врахуванш впливу поточних ринкових факторiв; виявленнi нових факторiв впливу (у тому чи^ прихованих); визначеннi рiвнiв та частот впливу зовшшшх i внутрiшнiх фактс^в на протiкання дослiджу-ваних процешв; виявленнi i врахуваннi можливих невизначеностей структурного, статистич-ного i параметричного характеру; коректнш постановцi i розв'язанш оптимiзацiйних задач у тих випадках, коли це необхщно; i, наскшьки це можливо, у застосуваннi аналггичних критерilв якостi на всiх етапах аналiзу даних [2, 3].
Аналiз протiкання i взаемодil фiнансових процешв протягом двох останнiх десятилiть свщчить, що особливо! уваги з точки зору менеджменту фшансових ризиюв потребують банювська система, галузь страхування, а також велию i середнi фiрми та корпорацil. Особливо складними i високо динамiчними е фiнансовi процеси у галузi страхування та вщповщш 1м ризиковi ситуацil, оскiльки страхування безпосередньо i тiсно пов'язане з шшими локальними та глобальними процесами у мiжнароднiй банкiвськiй системi, вироб-ництвi, туризмi, вантажному i пасажирському транспортi, з природними та шдус^альними катастрофами. Саме галузь страхування, яка покликана щоденно розв'язувати складнi фiнансовi задачi на всiх рiвнях економши та приватно! дiяльностi, потребуе високояюсних математичних моделей i методiв аналiзу даних i знань, безпосередньо спрямованих на практичне застосування. Математичш методи i моделi даних та методи тдтримки прий-няття рiшень не замшюють професiоналiв, якi приймають остаточш рiшення, але вони допомагають отримати поглиблене розумшня вiдповiдних процесiв, покращити обробку даних i експертних ощнок та прискорити процедури генерування альтернативних ршень i об'ективно вибрати краще з них.
У данш робот дослiджуються деякi аспекти моделювання фiнансових ризикiв у стра-хуваннi, а також виявляються кращi математичнi моделi ризикiв для практичного засто-сування.
Мета роботи: встановити типи ризиюв у страхуваннi та визначити форми !х можливого математичного опису; розглянути можливють застосування байешвського пiдходу до побу-дови математичних моделей актуарних ризиюв; побудувати модель байешвського типу для випадкового фшансового процесу.
2. Ризики у страхуванш
Означення ризику пов'язують iз ймовiрнiстю настання подiй, якi супроводжуються (матерiальними) втратами, а також рiвнем можливих втрат. Зокрема, Мiжнародна оргашза-щя iз стандартiв дае таке формулювання: „ризик - це комбiнацiя ймовiрностi поди та И наслiдкiв " [4], а у роботi [5] дано подiбне означення: „ризик - це множина сценарпв si, кожний iз яких характеризуеться ймовiрнiстю настання pi i наслiдком с ". Можна сказати, що це узагальнет робастнi означення, якi придатш для використання при розв'язаннi шженерних задач технiчного чи фiнансового характеру. У бшьшосп практичних задач ризик багатовимiрний, тобто iснують внутрiшнi i зовнiшнi фактори ризику, якi формують загальну ситуацiю, пов'язану iз виникненням ризиюв.
Галузь страхування характеризуеться множиною рiзнотипних ризикiв, зокрема, такими: 1 - шдивщуальш ризики; 2 - колективш ризики для короткого (одного) перюду; 3 - колективш ризики на довгих перiодах; 4 - велик розподiленi ризики втрат; 5 - операцшний ризик; 6 -ризик неповернення кредиту; 7 - ризик банкротства та iншi [6, 7, 8]. Так, значш втрати виникають сьогодт внаслiдок виникнення операцшного ризику. Його можна визначити як ризик прямих або непрямих втрат, як виникають внаслiдок ненадежно! оргашзацп виконан-ня необхiдних робгг або неналежного виконання внутрiшнiх процешв у фiрмi, некоректно! поведiнки пращвниюв та/або некоректного функцiонування систем техшчного забезпечен-ня, або внаслщок впливу зовшшшх факторiв. До виникнення операцшного ризику призводить також вiдсутнiсть належних методiв та засобiв менеджменту цього ж типу ризику. Так само як i iншi види ризику, операцшний ризик необхщно представити якюно i кiлькiсно, для чого потрiбно зiбрати вiдповiднi статистичнi данi та експертш оцiнки. Оскшьки на виникнення цього ризику впливають найрiзноманiтнiщi поди, то задачi збору даних i оцiнювання ступеня й прогнозування ймовiрностi такого ризику потребують значних зусиль фахiвцiв з iнформацiйних технологш, математичного моделювання, прогнозування та шдтримки прий-няття рiшень.
Можливим джерелом статистичних даних можуть бути страховi полюи, якi мiстять iнформацiю стосовно страхових ризиюв, що виникають внаслщок виникнення подiй, пов'яза-них з операцшними втратами. Однак це не кращий варiант отримання необхiдних даних, оскшьки полiси мiстять конфiденцiйну шформащю, а власне обробка позовiв - це складний, тривалий процес, який не в^^зняеться iнформацiйною повнотою стосовно поставлено! задача На сьогоднi для математичного опису ушх типiв ризиюв у страхуваннi широко застосовують методи прикладно! статистики, теорi! ймовiрностей та нечггко! логiки.
У процесi аналiзу ситуацiй, пов'язаних iз виникненням фшансового ризику, важливо отримати об'ективну шформащю стосовно поточного стану страхово! компанп з незалеж-них джерел. Необхщно встановити коректнють дiй вiддiлу ризик-менеджменту, дослщити iнформацiю, яку вiн використовуе, та методи !! обробки. Одшею iз найважливiших характеристик ще! iнформацi! е !! повнота - чи достатньо наявних даних для побудови моделi з метою оцшювання i прогнозування можливих втрат. Часто може виявитись, що наявно! шформацп недостатньо для виявлення усiх титв ризикiв, якi виникають у компанп. Так, вiдомi втрати можуть не вщображати усiх типiв ризикiв, з якими прийшлось зiткнутись компанi!, оскшьки деяю ризики ще не призвели до втрат, а тому були про^нороваш.
У таких випадках необхщно виконати додатковий аналiз, який стосуеться: 1 - уточнення моменту часу, коли виникли фiнансовi втрати, а також встановлення факту прийняття ршення, яке призвело до цих втрат; 2 - оцшювання можливого доходу, який могла отримати компашя у випадку уникнення ризиково! ситуацп; 3 - розподшу наявних фшансових втрат вщповщно до впливу декiлькох факторiв ризику, якщо так1 фактори юнують (тобто кiлькiсть iснуючих факторiв ризику бшьша одиницi); 4 - збору додатково! iнформацi! вiд персоналу,
який мае вщношення до ризиково! ситуаци, що мала мiсце. Метою додаткового аналiзу е вияснення послiдовностi подш, як фактично призвели до втрат, уточнення причин виникнен-ня цих подш та встановлення можливостей 1х уникнення; а також встановити - чому не вдалось 1х уникнути. Завжди юнуе ймовiрнiсть того, що не вс втрати були виявлеш i врахованi вiддiлом ризик-менеджменту. Тому робота з персоналом може надати додаткову шформащю стосовно шших можливих втрат, якi вдалось вiдвернути або ж вони залишають-ся цшком актуальними.
Загалом процедура щентифшаци титв ризикiв та управлiння ними може бути представлена у виглядi циклчно! послiдовностi таких дiй: 1 - встановлення можливих титв ризиюв для компанп; 2 - щентифшацш, поглиблене розумiння та опис ситуацш, якi сприяють виникненню факторiв ризиюв; 3 - докладний аналiз титв можливих ризиюв iз встановленням мiр втрат та методiв !х оцшювання i прогнозування; 4 - прийняття управлiнських рiшень стосовно контролю (менеджменту) ризиюв конкретних типiв; 5 - спостереження за вико-нанням управлшських рiшень, виявлення i аналiз iндикаторiв настання можливих ризиюв; 6 -складання докладного звiту стосовно виконаних дiй, спрямованих на уникнення, к-норування або активне управлiння ситуацiями з виникненням ризиюв. Реалiзацiя вказано! циктчно! процедури щентифшаци ризикiв та менеджменту вщповщних ситуацiй повинна спиратись на класифшащю можливих ризикiв для компанп (пiдприемства). Часто вживають термiн „ри-зик тдприемства", який включае всi можливi ризики для конкретного пiдприемства. Ризик пiдприемства, у свою чергу, роздшяють на основний ризик для бгзнесу i операцШний ризик, як також мають сво! складовi.
1снуе декiлька методiв кшьюсного аналiзу, якi можна застосувати до розв'язання задачi поглибленого розумiння суп та оцiнювання рiвня фiнансового ризику. До методiв цього класу вщносять такi: 1 - статистичне оцгнювання (емшричш дослiдження, оцiнювання максимально можливих втрат, оцшювання функцш розподiлу ймовiрностей; регресiйний аналiз); 2 - частотний аналгз втрат (частотний аналiз величини втрат, теорiя екстре-мальних значень, стохастичш диференцiальнi рiвняння); 3 - статистичний байесгвський тдхгд (моделi динамiки дослщжуваних об'ектiв, дiаграми впливу, байешвсью мережi довiри i моделi причинних зв'язюв, аналiз карт розвитку процешв); 4 - системи штучного 1нтелекту на основi нейронних мереж i нейронечiтких моделей (класифiкацiя ктенпв та пiдприемств, оцiнювання рiвня можливих втрат); 5 - модели на основг методгв Монте -Карло i модели з перемиканням режим1в (генерування сценарпв розвитку, аналiз доходности стратегiчний iнвестицiйний аналiз); 6 - експертне оцгнювання г нечгтка логгка (методи нечiткоl лопки, безпосередне оцiнювання правдоподiбностi варiантiв, метод Делф^ моделi активiв капiталу та цшоутворення, оцiнювання ринкового ризику у страхуванш); 7 -практичт методики менеджменту ризиюв (стрес тестування i аналiз сценарilв, промис-лово-бiзнесовi сценари, динамiчний фiнансовий аналiз, ринкове бета-порiвняння окремих компанiй мiж собою у межах секторiв ринку).
Математичнi модел^ якi використовуються в актуарнiй математищ, класифiкують як детермiнiстичнi та стохастичш. Очевидно, що моделi - це спрощене представлення можливих наслщюв майбутнiх невизначених подiй. Невизначенiсть пов'язана у даному випадку з часом виникнення та можливими наслщками. Хоча при використанш детермшстичних моделей оцшка прогнозу генеруеться цiлком визначено, ця „визначенють" грунтуеться на припущеннях, яю невизначенi за своею природою. Це стосуеться титв розподшв вiдповiд-них випадкових величин, вибору методiв оцшювання структури i параметрiв моделi, оцшювання типу випадкового збурення i т. iн. Якщо припущення, прийнят при побудовi детермi-нiстичноl модел^ вiдповiдають фактичнiй поведiнцi дослiджуваного процесу i майбутнi змiни цього процесу вщповщають оцiнкам прогнозiв за моделлю, то такими оцшками можна користуватись при прийнятп рiшень. Стохастичнi моделi спрямовуються на прогнозування ймовiрностей виникнення подш також на основi шформацп стосовно поведiнки процесiв у минулому. Вони грунтуються на гiпотезах i припущеннях, якi е логiчно узгодженими стосовно ймовiрного протiкання подш у майбутньому з урахуванням можливих невизначеностей. Необхщно зазначити, що прогнози, отримуваш за такими моделями, не можуть бути повшстю визначеними, оскшьки повна визначенiсть фактично означае непридатнють мо-делi для практичного використання.
Байеавський пщхщ до опису ризикiв. Нехай M={M1,M2,...,Mn } - множина моделей, яК застосовуються до опису ризиюв; p(x | Mi3G^ - функцiя правдоподiбностi для моделi Mi3 i = 1,...,N з параметрами Gi i наявними даними x; i нехай p(Gi |Mi) -апрiорний розподш вектора параметрiв G{ вибрано! моделi Mi. Апостерiорний розподiл параметрiв Gi за умови вщомо! структури моделi Mi i даних x можна записати так: p(Gi |Mi,x) = cip(x|Mi,Gi)p(Gi |Mi), де ci - нормуюча константа. Структури рiзних моделей в^^зняються кiлькiстю параметрiв, при цьому перевага, за принципом економп, надаеться проспшим моделям, якщо якiсть математичного опису залишасться прийнят-ною. Для вибору кращо! моделi можна скористатись шформацшним критерiем Акайке (1КА), модифiкованим для даного класу iмовiрнiсних моделей [9]:
log p(x|Mi,Gi) = logp(x|Mi,Gi) - A(ki ),
де ki - розмiрнiсть вектора Gi; A(ki) = ki - зростаюча функцiя ki. Вш приймае максимальне значення для кращо! модели Цей критерiй можна представити у форм^ яка мiнiмiзуеться для кращо! модели тобто -2logp(x|Mi,Gi) + 2ki. Альтернативою для
1КА е критерiй Байеса-Шварца, у якому A(ki) = 0,5ki log N, де N - потужнють вибiрки даних x . Дещо iншi модифiкацi! цих критерпв використовують також для аналiзу якосп регресiйних моделей рiзноманiтних структур.
Пюля вибору структури моделi M = Mit необхщно максимiзувати апостерiорну щiльнiсть p(Git |Mit ,x) по Git (або обчислити апостерiорне середне E[Git |Mit ,x]) для того, щоб знайти кращу оцiнку вектора параметрiв G^. Якщо потужнiсть вибiрки даних достатньо велика, а апрюрний розподiл p ( Git | Mit) - дифузiйний, то апостерiорний максимум можна замiнити оцiнкою максимально! правдоподiбностi. Знайденi структура M., i параметри моделi Git надалi вважаються прийнятними. Розглянемо тепер можливють введення невиз-наченостей у параметри i структуру модели
Отримаемо вирази для апостерiорних розподшв для Mi i Gi | Mi (для спрощення записiв нижнш iндекс "i" не будемо застосовувати). Позначимо через pr(M) апрiорну ймовiрнiсть оцiнювання структури моделi M, а через p( Gi | Mi) - апрюрний розподш параметрiв G за умови вщомо! структури M . Згщно з правилом Байеса маемо:
p(G,M|x) = p(G |m,x)pr(M|x)=p(G |m,x) • c• pr(M)p(x|M),
тут p(x|M) = J p(x| G,M)p(G |M)dG; c - нормуюча константа. Таким чином, спшьна
апостерюрна щшьнють для (G, M) визначаеться добутком апостерюрно! щiльностi для G за умови, що модель M коректна, i апостерiорно! ймовiрностi визначення коректно! структури моделi M при наявносп даних x . Спiльний розподiл (G, M) визначаеться за виразом: p(G,M | x)=c (ci p(x | G,M) p(G | M)) p(x | M) pr (M),
де Cj - нормуюча константа для p (G | M, x) , а c - нормуюча константа для всього апостерюрного розподшу.
Припустимо, що необхщно знайти ймовiрнiсть банкротства y, яка визначаеться через параметри моделi M . Умовна ймовiрнiсть для y мае вигляд:
p(y|x) = ]Tp(y|x, Mi)pr(Mi|x),
де p(y|x,Mi) = J p(y|x,Mi9Gi)p(Gi | Mi3x) dGi ;
p(Gi |Mi3 x) = cip(x|Mi, Gi)p(Gi |Mi).
Асимптотичний аналiз розподшу p(Gi |M;, x) свiдчить [10, 11], що
logp( в; lMi.x) =c - !(Gi -0i)T H i( 8i -8i) + o(|e,-e,f2),
де GG i - зважене середне оцiнки максимально! правдоподiбностi для G, i моди апрiорного
розподшу для G,; H, - сума гессiанiв у вщповщному максимумi функцiй правдоподiбностi та апрюрно! щiльностi.
Якщо апрiорний розподiл дифузшний i потужнiсть вибiрки N достатньо велика, то при
обчисленнi ощнок можна застосувати деяку прийнятну апроксимащю, тобто матрицю H,
можна апроксимувати добутком N B, , де B, = B,(G,) - iнформацiйна матриця для
одного спостереження за умови, що G, - це iстинне значення для G,. Оцiнку G, можна обчислити також за методом максимально! правдоподiбностi. Розглянемо тепер апостерюрний розподiл для моделi M,:
pr(M;|x) = cpr(Mi)p(x|Mi), де p(x|M1), p(x|M2), ... - фактори Байеса (з точнютю до масштабно! константи). Дещо спрощений розрахунок цих факторiв можна виконати за формулою [12]: 1 1 ~
logp(x | M,) = c+^k, log2n -^log I, + logp(x | Gi,Mi)+logp(G, | M,)+O(N-1). (1)
Тут I, - шформацшна матриця для даних x, якi описуються моделлю з параметрами G,; k, - розмiрнiсть вектора G,; p( Gi|Mi) - апрiорний розподiл для G,. Оскiльки спостереження за припущенням незалежш, то I, = N IB,, де B, - шформацшна матриця, що вщповщае одному спостереженню при використанш моделi M, з параметрами G ■ • Таким
чином, можна записати, що log I, = k, log N + log
В,
Зазначимо, що при зростанш N другий член справа буде залишатись приблизно пост-
iйним для кожно! моделi. Якщо k, прийматиме одне i те ж значення для вшх моделей, то
змшюватись буде тiльки log В, . Вплив на критерiй складово! log p(GG, | M, ) , пов'язано! з
апрюрним розподiлом, незначний, особливо при використанш дифузшного розподiлу. Пiсля
введення позначення l, = logp(x | (Gi,Mi ) i вилучення члена log p(G, | M, ) критерiй (1) прийме спрощений вигляд:
logp(x | M;) « c+-2-k, log2n + l, - -2k, logN -2log
B,
або
logpr (M, | x) « logpr (M;) + -2-k, log2n + 1, - -2-k, logN -2log
B,
(2)
+ c, (3)
де с - нормуюча константа, яка забезпечуе рiвнiсть: рг (М; | х) = 1.
Приклад побудови моделi випадкових надходжень (платежiв). Нехай { х (к) } — випадковий процес надходження платежiв, де к — дискретний час надходжень. Отже, накопичення на перший момент часу складають ехр ( х (1)), а на довшьний момент к накопичення складуть ехр ( х (1) + х (2) + ... + х (к) ) . Для зручносп аргумент тд екс-
понентою позначимо так: у(к) = =1 х(1). Необхщно визначити типи розподiлiв для 50
y(k) i F(k) = exp(y(k)) . Одшею i3 простих моделей, яК використовують для опису подiбних фiнансових процесiв, е авторегресiя першого порядку, тобто piB^HM АР(1):
x(k) = a0 + a1x(k -1) + s (k), (4)
де s (k) — процес випадкових збурень, який приймемо у даному випадку нормальним без особливого порушення загальносп аналiзу. Рiвняння (4) представимо у зручшшш для подальшого аналiзу формк
x(k) — д = a(x(k — 1) — д) + а z(k), (5)
тут д - середне значення вщповщного ряду даних; a, а - параметри моделi; { z (k) } ~ Norm (0,1) - послщовнють незалежних випадкових величин, яю мають стан-дартний нормальний розподш. Зазначимо, що piвняння (5) - це наближений дискретний аналог звичайного диференщального piвняння першого порядку. Знайдемо вирази для ощ-нок паpаметpiв за методом максимально! пpавдоподiбностi.
Запишемо функцiю умовно! пpавдоподiбностi для ряду надходжень платежiв:
f (x | д,а2,a) =
П J (2па2)—1/2exp
(x(i) — д — a(x(i —1) — д ))2
2а
(6)
За допомогою функцi! (6) знайдемо вирази для ощнок паpаметpiв моделi (5):
^0 = — N + 2 ( x(i) — д )( x(i — 1) — д )
a =
д =
1
I! = — N + 2 (x(' —1) — А Г
( — 1 „,лч „, ХТ , 1>Л
N—1
I x(i) +
x(0) — x ( — N+1)
— N + 1
x ,
1 — a
а2 =
1 0
т^ I [x(i) — д — a(x(i —1) — д)]2
N —1 , = — N + 2
Запишемо наближений вираз для функцп умовно! пpавдоподiбностi (6) розкладанням в ряд:
f (x | д,а2,a) да
да (а2)—(N—1)/2exp
1 f - 2 - 2 --г 1ф1 +ф 2 (д —д) +Фз(a — a) +
2 а
+ ф4 (д — д) (a — a) + ф5 (д — д) (a — a) + + фб(д — д)2 (a — a) + ф 7(д — д)2 (a — a)2 }L
де " да" — знак пpопоpцiйностi;
ф1 = (N—1) а2; ф2 = (N—1)(1 — a)2; Фз * (N—1) а2/(1—a2); Ф4 = 2(x( — N + 1) — x(0)) * 0; ф5 = ф4/(1 a) * 0; фб = — 2(N —1)(1 — a);
ф7 = (N — 1).
Для випадку розв'язання задачi моделювання ризику у наведенiй вище фоpмi запропоно-вано такий апрюрний pозподiл [13, 14]:
f (д, а 2,a) = а—3 (1 — a)1/2 (1 + a)—1/2,
— N + 2
або f (д,а2,a) = а 3 (1 - a)3 2 (1 + a)12, якi можна застосовyвати пpи a ^ ±1. Тепеp можна записати таю апостеpiоpнi pозподiли для паpаметpiв пpоцесy:
Вpаxовyючи знайденi паpаметpи д, а2, a за умови наявностi даниx x(k) , повеpнемось до piвняння (5):
Для виконання обчислювального експеpиментy вибpано данi стосовно надxодження платежiв до вибpаноï стpаxовоï компанiï за п'ятиpiчний пеpiод. В pезyльтатi отpимано такi оцiнки паpаметpiв:
а оцiнки, отpиманi за методом момента для циx статистичниx даниx, мають такi значення: д = 0,2139; а2 = 0,0861. Anpwprn ймовipнiсть для моделi вибpaнa piвною 0,5, що лопч-но в yмовax вiдсyтностi додaтковоï iнфоpмaцiï стосовно цieï оцiнки. Апостеpiоpнa ймовipнiсть для моделi склала: pi. (M) = 0,59. Таким чином, отpимaно пapaметpи пpогнозyючого aпостеpiоpного pозподiлy в yмовax нaявностi пapaметpичноï i стaтистичноï невизначенос-тей дослщжуваного пpоцесy (у цьому полягае пеpевaгa ймовipнiсного пiдxодy). Очевидно також, що отpимaнa aпостеpiоpнa ймовipнiсть для моделi в цiломy недостатньо висока, що можна пояснити викоpистaнням спpощеноï моделi aвтоpегpесiï пеpшого поpядкy та набли-женим обчисленням фyнкцiï yмовноï пpaвдоподiбностi. Також потpебyе поглибленого досл-щження вплив типу aпpiоpного pозподiлy на остаточний pезyльтaт. Поглиблений aнaлiз можливосп застосування iмовipнiсниx моделей pозглянyтого типу потpебyе застосування декiлькоx aльтеpнaтивниx шдацщв до побудови моделi i поpiвняння pезyльтaтiв застосування кожноï з нж.
З. Висновки
1снуе шиpокa множина aктyapниx pизикiв, якi потpебyють aнaлiтичного дослщження за допомогою мaтемaтичниx i стaтистичниx моделей piзноï стpyктypи i складносп. Визначено методи кiлькiсного aнaлiзy, як можна застосувати до pозв'язaння зaдaчi поглибленого pозyмiння сyтi та ощнювання piвня фiнaнсового pизикy. Для ощнювання piвня та ймовipностi втpaт можна устшно застосовувати моделi iмовipнiсного типу, оскшьки вони дають мож-ливють вpaxовyвaти пapaметpичнi i стaтистичнi невизначеносп дослiджyвaного пpоцесy. Розглянуто бaйесiвський п^^д до опису pизикiв i заволновано пpоцедypy фоpмyвaння моделi iмовipнiсного типу, яка викоpистaнa для побудови пpогнозyючоï моделi стосовно нaдxоджень плaтежiв. Виконано обчислювальш експеpименти з метою ощнювання rnpa-метpiв пpогнозyючого pозподiлy. Отpимaнi pезyльтaти близькi до pезyльтaтiв застосування методу моменив до фaктичниx стaтистичниx дaниx. Встановлено, що aпостеpiоpнa
ймовipнiсть для моделi склала: pг (M) = 0,59, тобто отpимaнa апост^^на ймовipнiсть
f (a j x) = d(a,N) [l - Я2 + (a - Я)2 ]-(N-l)/2 (1 - a2 )-l/2, -1 < a < 1.
2 \ -1/2
x(i) - д = a(x(i-1) - д) + аz(i) = = а ( z (i ) + az(i-1) +... + as-l z(l)) + as (x(0) - д ). Наведеш pезyльтaти дають можливiсть отpимaти в^аз для y (k) :
y(k) j д,а2,a,x = дk + (x(0) - д) M(a,k) + а(V(a,k))12 Z, де M(a,k) = a(l - ak)/(l - a);
Я = - 0,2587; д = 0,2165; а2 = 0,0873,
для моделi в цшому недостатньо висока, що можна пояснити використанням спрощено! моделi автоpегpесi! першого порядку та наближеним обчисленням функцп умовно! правдо-подiбностi.
У подальших дослiдженнях необхщно застосувати множину альтернативних моделей-кандидаив iмовipнiсного типу з метою вибору кращо! для отримання високоякiсних оцшок пpогнозiв. Для побудови високоефективних прогнозуючих моделей перспективним е засто-сування методу Монте-Карло для марковських ланцюпв. У даному випадку марковськими ланцюгами представляють невiдомi оцiнки паpаметpiв моделей. Такий чисельний шдхщ надае можливють суттево збiльшити кiлькiсть паpаметpiв i застосувати ускладненi мате-матичнi модели
Список лiтератури: 1. Bernstein P.L. Against the Gods: the remarkable story of risk / P.L. Bernstein . New York: John Wiley & Sons, Inc., 1996. 383 p. 2. ЗгуровскийМ.З. Системный анализ / М.З. Згуровский, Н.Д. Панкратова. Киев: Наук. думка, 2011. 900 с. 3. Holsapple C. W. Decision support systems / C.W.Holsapple, A.B.Winston. Saint Paul (USA): West Publishing Company, 1996. 850 p. 4. Aven T. On risk defined as an event where the outcome is uncertain / T.Aven, O. Renn // Journal of Risk Research. 2009. No. 12. Р. 1 - 11. 5. Kaplan S. The words of risk analysis / S.Kaplan // Risk Analysis, 1997. Vol. 17. Р. 407 - 417. 6. Actuarial Mathematics / [Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbitt C.J.]. Itasca (Illinois): The Society of Actuaries. 1986. 624 p. 7. Шахов В.В. Теория и управление рисками в страховании / В.В.Шахов, В.Г. Медведев, А.С. Миллерман. М.: Финансы и статистика, 2002. 224 с. 8. Фалин Г.И.Актуарная математика в задачах / Г.И. Фалин, А.И.Фалин. М.: Физматлит, 2003. 192 с. 9. Sik-Yum Lee. Structural Equation Modeling. - New York: Wiley & Sons, Ltd, 2007. 460 p. 10. Bernardo J.M. Bayesian theory / J.M.Bernardo, A.F. Smith. - New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. 586 p. 11. Bayesian data analysis / [Gelman A., Carlin J.B., Stern H.S., Rubin D.B.]. New York: Chapman and Hall/CRC, 2004. 670 p. 12. DraperD. Assessment and propagation of model uncertainty / D.Draper // Journal of the Royal Statistical Society.1995. Ser. B. Vol. 57. Р. 45 - 97. 13. Klugman S. Bayesian statistics in actuarial science / S. Klugman. Boston: Kluwer, 1992. 256 p. 14. Rossi P.E. R. Bayesian statistics and marketing / P.E. Rossi, G.M. Allenby, R. McCulloch. New Jersey: John Wiley & Sons, Ltd, 2005. 348 p.
Надшшла до редколегИ 11.06.2012 Кожух1вська Ольга Андрпвна, канд. техн. наук, старший викладач кафедри шформати-ки та шформацшно!' безпеки Черкаського державного технолопчного ушверситету. Науковi тереси: аналiз i моделювання складних систем. Адреса: Укра!на, 18006, Черкаси, бульвар Шевченка, 460, тел. 0472 730217. E-mail: olga-kozhuhovska@mail.ru.
УДК 681.324:519.613
К.Е. ГЕРАСИМЕНКО
МЕТОД ПОВЫШЕНИЯ КОНТРОЛЕПРИГОДНОСТИ КРИТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ АЭС
Разрабатывается и тестируется на прикладных примерах метод контролепригодности оборудования защит из состава управляющей системы безопасности АЭС. Отличительной особенностью метода от существующих [1-16] является использование логических элементов защит, построенных на базе арифметических операций с интегральной оценкой значений входных сигналов в диапазоне [0; 1], без применения логических операций и операций отношения. Это позволяет контролировать работоспособность данных элементов по их реакции на изменения входного непрерывного сигнала от канала ввода в АЦП через все логические элементы защит, в которых используется данный сигнал, до дискретного выходного элемента, формирующего команду защиты на конкретный исполнительный механизм. Данный метод позволяет обеспечить контроль и диагностирование целого ряда неисправностей типа «несрабатывание», относящихся к категории скрытых в существующих реализациях оборудования защит, которые применяют логические операции и операции отношения.
1. Введение
Одним из основных показателей, характеризующих надежность оборудования защит из состава управляющих систем безопасности (УСБ) атомных электростанций (АЭС), является вероятность правильного выполнения дискретной функции по формированию последо-
