МЕТОДИКА ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ АКТУАРНИХ ПРОЦЕСіВ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

-□ □-

Запропоновано методику побудови математичних моделей для актуарних процеыв та алгоритм оцтю-вання невидомих параметрiв моделей iз використан-ням байеывського тдходу. В якостi математичного апарату використано узагальнен лтшт моделi, ят представляють собою розширення лЫтног регреси, коли розподш випадкових величин вiдрiзняeться вид нормального. На основi реальних статистичних даних та запропонованог методики, побудовано експеримен-тальш моделi для прогнозування актуарних процеыв

Ключовi слова: узагальнен лтшн моделi, функщя зв'язку, залишки, методи Монте-Карло, байеывський пiдхiд

□-□

Предложена методика построения математических моделей для актуарных процессов и алгоритм оценивания неизвестных параметров с использованием байесовского подхода. В качестве математического аппарата взяты обобщенные линейные модели, представляющие собой расширение линейной регрессии в случаях, когда распределение случайных величин отличается от нормального. На основании реальных статистических данных и предложенной методики построены экспериментальные модели для прогнозирования актуарных процессов

Ключевые слова: обобщенные линейные модели, функция связи, остатки, методы Монте-Карло, байесовский подход -□ □-

УДК 519.766.4

pOI: 10.15587/1729-4061.2015.36486|

МЕТОДИКА ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ АКТУАРНИХ ПРОЦЕС1В

С. В. Трухан

Астрант*

E-mail: svetlana.trukhan@gmail.com П . I. Б i д ю к

Доктор техшчних наук, професор* E-mail: pbidyuke@gmail.com *1нститут прикладного та системного аналiзу Нацюнальний техычний ушверситет УкраТни «Кшвський полЬехшчний шститут» пр. Перемоги, 37, м. КиТв, УкраТна, 03056

1. Вступ

Середовище актуарно! дiяльностi - це сукуптсть процеав, пов'язаних з дiяльнiстю страхових компанш, головною метою яких е фшансова компенсащя наслщ-юв випадкових подш, яю несуть за собою матерiальнi збитки. Однак, наприклад, азартш ^ри та торгiвля цiнними паперами не е предметом розгляду у сферi страхування, осюльки у випадку з азартними крами -учасники сввдомо погоджуються на ризик, розумтчи, що ситуацiя може видатись вдалою або ж невдалою для !х матерiального положення. Аналогiчна ситуацiя i з цiнними паперами - учасник торгiв може зазнати невдачi, але його ризики не страхуються, осюльки у такому випадку страховi компанп повиннi розпла-чуватись за будь-яке невдале розмщення капiталу. Таким чином, у сферi страхування iснуе два основних види ризиюв, перший - чистий ризик, а другий - спе-кулятивш. Предметом iнтересу страховиюв е тiльки чистi ризики [1].

Страхова дiяльнiсть спрямована на перерозпод^ грошових коштiв та акумулювання !х безпосередньо для страхово! дiяльностi, а з шшого боку - для ш-вестування цих коштiв у рiзнi галузi дiяльностi, що сприяе !х подальшому розвитку. Таким чином, ви-никають задачi аналiзу та менеджменту фшансових ризикiв i процеав iнвестування з використанням су-часного апарату математичного моделювання, теорii ощнювання, прогнозування та ефективно! пiдтримки прийняття ршень [2, 3].

!© С.

Отже, в силу характеру та розма!ття дiяльностi страхових компанiй ця сфера потребуе розробки, удосконалення та впровадження у практику еко-номжо-математичних моделей для обчислення, ощнювання i прогнозування в умовах невизначеностi, ризику реалiзацii багатьох процесiв, якi зустрiчаються у повсякденному життi фiзичним особам та тдприем-ствам рiзних форм власносп i дiяльностi.

Робота посвячена розробщ методики моделювання актуарних процеав з використанням узагальнених лiнiйних моделей (УЛМ) [4]. Також пропонуеться метод ощнювання параметрiв УЛМ на основi бай-есiвського пiдходу. Наведено приклади застосування запропоновано! методики побудови моделей з викори-станням фактичних даних.

2. Аналiз лггературних даних та постановка проблеми

На практищ поширеними е методики побудови моделей типу авторегресп з ковзним середшм (АРКС), АРКС з ендогенними змшними (АРКСЕ) [5-7]. Однак, у представлених методиках поняття структури моделi не носить чггкого характеру, а визначенню нелшшност придiляеться незначна увага, що може супроводжува-тися отриманням хибних результапв при застосуванш до актуарних процесiв. Основнi передумови, на яких за-снованi математичш моделi прогнозування за допомо-гою ретроспективно! вибiрки за визначений перюд часу можна формулювати у виглядi таких трьох постулатiв:

1. Ринок враховуе все. Тобто значення показника е i наслiдком, i вичерпним вiддзеркаленням Bcix рушiй-них сил ринку.

2. Рух щн пiдпорядкований деяким визначеним тенденщям. Життя ринку складаеться з nep^iB зро-стання та спадання щн, що чергуються, таким чином, щоб усepeдинi кожного пepiоду вщбувався розвиток пануючо! тeндeнцii, яка дiе до тих nip, поки не почнеть-ся рух ринку у зворотному напрямь

3. Iстоpiя повторюеться. «Ключ до pозумiння май-бутнього криеться у вивченш минулого». Те, що певш конфiгуpацii цiн мають властивiсть з'являтися стiйко та багаторазово, в piзних часових пepiодах, е наслщком дii деяких стepeотипiв поведшки, властивих особi, яка приймае ршення, керуе пiдпpиемством.

Виходячи iз актуальносп прогнозування та ощ-нювання актуарних процеав роботу присвячено до-слщженню та pозpобцi модифiкованоi методики по-будови математичних моделей, виходячи iз структури узагальнених лiнiйних моделей (УЛМ), як широко використовуються для аналiзу страхових випадкiв, прогнозування продовження старих чи укладення но-вих страхових договоpiв, pозpобцi таpифiв та андерай-тингу, щльовому маркетингу.

3. Цiлi та задачi дослщження

Ставиться за мету виконання яюсного аналiзу ш-нуючих структур математичних моделей для засто-сування у сферi страхування з метою !х подальшого використання для прогнозування розвитку дослщжу-ваних процеав.

Для досягнення поставлено! мети необхщно вирь шити такi задачi:

- розробити ефективну методику побудови математичних моделей актуарних процеав у формi узагальнених лшшних моделей;

- запропонувати алгоритм ощнювання параметрiв УЛМ для виконання подальших обчислювальних екс-периментiв у сферi страхування актуарних ризиюв;

- навести приклади застосування методики до побудови моделей актуарних процеив на основi фактич-них даних.

4. Визначення структури математично! моделi

Розглянемо методику побудови математичних моделей для аналiзу та прогнозування актуарних процеав у сферi страхування. Для побудови математичних моделей використовуемо узагальнеш лiнiйнi моделi, як утворюють досить узагальнений клас ста-тистичних моделей, який включае лшшну та нелшш-ну регресiю, дисперсшний та коварiацiйний аналiз, Log-лiнiйнi моделi для аналiзу випадкових таблиць, нелшшш моделi типу пробiт/логiт, регресiю Пуассона та деяк iншi.

Основи методики побудови моделей часових рядiв запропоноваш Боксом i Дженкiнсом у 1970-х роках i розвинутi в роботах [6, 7]. Модифiкована методика побудови математично! моделi процесу:

1) системний аналiз процесу, для якого будуеться модель, на основi експертних ощнок протiкання про-

цесу, вiзуального дослщження вимiрiв вхiдних i вихвд-них змшних, представлених часовими рядами, вивчен-ня iснуючих моделей та шшо! доступно'! iнформацii;

2) попередня обробка експериментальних даних;

3) аналiз часових рядiв на стацiонарнiсть та мож-ливу наявнiсть нелiнiйностей за допомогою множини статистичних критерпв якостi;

4) визначити структури моделей-кандидапв, виходячи iз структури УЛМ:

а) вдентифжащя стохастично'!, систематично! скла-дових та функцп зв'язку;

б) керуючись основними складовими УЛМ задати припущення стосовно випадковоси, систематичностi та вигляду функцп зв'язку;

в) обчислити описовi статистики та визначити величину вщповщност даних вибранш моделi (класу моделей), використовуючи вiдповiднi критерп (напри-клад, критерш вiдношення правдоподiбностi);

г) визначити значимшть предикторiв за допомогою, наприклад, статистики Вальда та статистики мггок;

д) ощнити характеристики шших елементiв структури математично! моделi (наприклад, залишкiв);

5) вибрати метод (методи) ощнювання невщомих параметрiв математичних моделей вибраних структур. Найчастше це метод найменших квадратiв (МНК), узагальнений метод найменших квадрапв (УМНК), метод максимально! правдоподiбностi (ММП), метод Монте-Карло, байеавский пiдхiд;

6) вибрати кращу з оцiнених моделей-кандидатiв за допомогою множини статистичних критерпв адек-ватност (якостi) моделi.

Розглянемо докладнiше кожний з наведених вище етапiв з метою пояснення сутносп та можливостей практичного застосування запропоновано! методики.

4. 1. Системний аналiз процесу

У загальному випадку математична модель систе-ми мштить опис множини можливих сташв останньо! та закон переходу з одного стану до шшого. Але для того щоб побудувати таку математичну модель дощль-но саме на етат системного аналiзу процесу виконати вдентифжащю об'екта дослщження у виглядi системи, що перш за все передбачае визначення проблеми та проведення яюсного аналiзу процесу, а саме:

1) визначити сутшсть проблеми;

2) сформулювати можливi передумови та припу-щення;

3) визначити основш властивостi об'екта моделю-вання: структура, взаемозв'язки мiж його елементами;

4) при можливостi сформулювати гшотези, якi вь дображають динамжу руху об'екта та його взаемозв'язки iз зовнiшнiм середовищем.

Аналiз процесу - це надзвичайно важливий етап, достовiрне виконання якого потребуе практичного до-свiду дослiдження реальних процеав рiзноi природи та спрямовуеться на виконання таких задач [8-10]:

а) визначення юлькоси входiв i виходiв, тобто визначення розмiрностi моделi процесу;

б) встановлення логiчних зв'язюв мiж змiнними та аналiз можливостей !х математичного опису (ко-ректного об'еднання в одному математичному вираз^;

в) визначення юлькост зовнiшнiх збурень та !х типу (детермiноване чи стохастичне);

г) встановлення можливосп розподшу процесу на окремi пiдпроцеси, якi е простшими як з точку зору 1х функцiонування, так i з точки зору математично-го опису; такий «умовний розпод№> в математицi найчаспше називають декомпозицiею - це досить складний процес, який Грунтуеться на спещальних математичних методах;

д) якщо процес мае iерархiчну структуру (верхнiй та нижнш рiвень функцiонування), то необхiдно чггко вiдокремлювати цi рiвнi, визначивши при цьому функ-цii кожного з них i встановити якi типи зв'язкiв кну-ють мiж ними; наприклад, для технолопчних процесiв доречно будувати дерево iерархii, що i розмежовуе на два та б^ьше рiвнiв функцiонування i керування;

е) аналiз та використання знань iз попереднiх пу-блiкацiй та дослщжень щодо особливостей функцю-нування процесу, вщомих законiв та закономiрностей його протжання, виявлення iснуючих моделей процесу та досввду його теоретичного чи експериментально-го дослiдження;

ж) за наявносп розроблених моделей дослщжу-ваного процесу необхiдно встановити iх недолiки та переваги, а також визначити можливкть подальшого використання (модифжацп); аналiз i використання iснуючих моделей надае можливкть суттево скоро-тити час та iншi витрати на побудову та використання модель

1гнорування цього етапу призводить до ускладнень або до неможливосп побудови моделi високого сту-пеня адекватностi процесу, або до отримання хибноi модел^ яка не вiдображае реальноi сутносп процесу дослiдження та подальше використання отриманоi моделi призведе, наприклад, до «неточного» прогнозу, а в подальшому - до корелювання незалежних змшних процесу. Отриману iнформацiю максимально вико-ристовують для попереднього оцiнювання структури моделi або декiлькох моделей-кандидатiв, параметри яких оцшюють за допомогою експериментальних да-них. У процесi виконання аналiзу функцiонування дослiджуваного процесу дощльно використовувати та порiвнювати експертну шформащю з рiзних дже-рел. Це особливо стосуеться фiнансово-економiчних процесiв, щодо яких може надходити шформащя з протирiччями.

4. 2. Попередня обробка експериментальних да-

б) корегування даних полягае у заповненш про-пусюв та зменшеннi викидiв (екстремальних значень), що виходять за основний дiапазон значень змшних;

в) формування перших або рiзниць вищих поряд-юв, якi необхiднi для аналiзу вщповщних складових часового ряду.

Використання кiнцевих рiзниць дае можлившть будувати моделi для швидкосп та прискорення основноi змшноь Часто iз значень ряду ввдшмають його серед-не для того, щоб отримати можливiсть працювати з вщхиленнями, а не повними значеннями змшних. Це необхщно робити, наприклад, при побудовi моделей у просторi станiв. Для оцiнювання середнього кнуе метод оновлюваного середнього, який полягае у ви-користаннi рекурентноi формули для обчислення ве-личини середнього арифметичного. Якщо випадкова величина Х надходить у виглядi дискретних вимiрiв та для ^ -1)-го вимiру обчислено середне значення, то поява нового вимiру змшюе попередне середне зна-

1

чення на величину - Хк-1). Таким чином, при

згладжувант за цим методом у кожнш точцi на чис-ловш осi експериментальне значення замiняеться на величину середнього, що розраховане на конкретний момент часу. Послщовшсть таких середшх значень е статистичним рядом без перешкод щодо змiнноi х, який використовуеться при подальшш обробцi. За-стосування того чи iншого методу тдготовки даних для моделювання визначаеться в кожному випадку по-своему.

4. 3. Аналiз наявностi нелiнiйностей

Для розв'язання проблеми, пов'язаноi з визначен-ням наявност нелiнiйностей у дослiджуваному про-цесi, '¿х характеру використовують вiзуальний аналiз даних та формальнi тести. За допомогою вiзуального аналiзу виявляють iснування дiлянок з лiнiйним або нелшшним трендом, в якiйсь мiрi наявнiсть гетеро-скедастичностi та значних викидiв, якi можуть суттево впливати на яюсть моделi [8].

1снуе також ряд формальних тестiв на наявшсть нелiнiйностi. Розглянемо простий тест для визначення наявноси нелiнiйностi. Цей тест можна застосувати у випадку, коли до уваги можна взяти декшька вибiрок спостережень для одного i того ж процесу:

З практичноi точки зору експериментальш дат -це випадковi величини або величини наближеш до них, тому в ходi експерименту iснуе проблема отримання шформацп спотвореноi певними перешкодами, результуючi данi можуть суттево рiзнитись за одних i тих же умов. Мета попередньоi обробки даних полягае у ввдаюванш грубих похибок i оцiнюваннi достовiр-ност експериментальних результатiв, перевiрка вщ-повщност результатiв вимiрювання одному iз закошв множини експоненцiальних розподiлiв.

Процес попередньоi обробки експериментальних (статистичних) даних, як правило, включае такi опе-рацп:

а) нормування та вiзуальний аналiз даних i, за не-обхщносп, '¿х корегування; нормування даних означае '¿х логарифмування або приведення до зручного дiапа-зону '¿х змши;

1

р = т - 2-=1

£ п,(У, - У,)2

1

£ £(у,-У,)2

де у, - середне значення для 1 - i групи (вибiрки або групи) даних; у, - середне для лшшшл апроксимацii даних; т - число груп даних; п, - число вимiрiв в 1 -й грут; п - загальне число вимiрiв. Якщо статистика р з v1 = т - 2 та v2 = п -т степенями свободи досягае або перевищуе рiвень значимости то гiпотезу щодо лiнiйностi необхщно вiдхилити. Недолiком даного пiдходу е те, що для його застосування необхвдно мати юлька (не менше трьох) груп даних для одного i того ж процесу, яю можна отримати в результатi виконання повторних експерименпв.

Наявшсть нелшшност можна встановити також за допомогою вибiркових нелiнiйних кореляцiйних функцш (НКФ), тобто кореляцiйних функцiй, розра-хованих за вибiрками експериментальних (статистич-них) даних. Наприклад, якщо дискретна НКФ

г =г

ЛГХ2 4 ' у(

1

£ {[у(к)-у][х(к-s)- х]2 }

ух24 у y(k)x2(k-s) N ОС2 '

у х

s = 0,1,2,3,...,

мктить значення, якi суттево вiдрiзняються ввд нуля в статистичному смислi, то процес мктить квадратичну нелiнiйность стосовно регресорах .

Наявшсть нелшшного детермшованого тренду у процесi можна визначити шляхом ощнювання рiвняння:

у(к) = а0 + с1 к + с2 к2 +...+сткт,

яке представляе собою полшом порядку т стосовно часу. Якщо хоча б один iз коефвденпв с!, 1 = 1,...,т е статистично значимим, то гiпотеза щодо вiдсутностi тренду вiдхиляеться. Якщо тренд вщносно швидко змiнюе свiй напрям руху i для нього трудно знайти адекватний функщональний опис, то застосовують моделi випадкових трендiв, яю Грунтуються на ком-бiнацiях випадкових величин [7].

Автоматично оцшюе структуру математично' мо-делi метод групового врахування аргументгв (МГВА), який багаторазово застосовано до широкого класу процеив; його усшшно застосовують i сьогоднi до моделювання процесiв рiзноi природи з нелшшно-стями та нестацiонарностями. Подальшим розвитком даного методу е нечггкий МГВА, який Грунтуеться на нечеткому представленнi параметрiв оцiнюваноi моделi [8].

4. 4. Формування шших елеменив структури моделi

На даному етат необхiдно вибрати структури моделей кандидаив. Поняття структури математично' моделi розглядаеться, виходячи iз складових УЛМ та включае наступне:

а) визначення стохастичног складовог - залеж-но' змiнноi, яка розпод^ена згiдно одного з закошв розподiлу iз сiмейства експоненцiальних закошв розпод^у з середнiм |х Цю компоненту називають ще розподiлом вихвдно' змiнноi.

б) встановлення систематичног складовог - р -не-залежних змшних, якi об'еднуються в один «лшшний предиктор» [7]:

П = X р.

в) визначення характеру функцп зв'язку, виходячи iз розглянуто' '¿х класифiкацii. Вона вiдображае взаемозалежшсть мiж припущенням випадковостi та систематичности

Крiм цього, до структури моделей належать показ-ники, якi визначають:

а) порядок моделi (найвищий порядок рiвнянь, що його утворюють);

б) розмiрнiсть (юльюсть рiвнянь моделi);

в) залишки в УЛМ, яю використовуються для до-слiдження адекватностi моделi прогнозування, вибору функцп зв'язку, функцii дисперсii та елеменпв лiнiй-ного предиктора;

г) можливi нелшшност та '¿х тип;

д) зовшшш збурення та '¿х тип (детермшоваш або випадковi; адитивнi та мультиплжативш).

Коефiцiент кореляцii, а в загальному випадку ко-реляцiйна функцiя, дае можливкть встановити факт iснування зв'язку мiж змiнними. Кореляцiйна ма-триця дае можлившть встановити iснування зв'язку мiж залежною (ендогенною) змiнною та незалежними (екзогенними) змшними у правш частинi. Саме тому, для того щоб визначити питання включення незалеж-них змшних (регресорiв) в праву частину рiвняння, обчислюють коефiцiент кореляцii мiж залежною та вщповщними незалежними змiнними.

Вважаеться, що сукупний вплив не вимiрюваних випадкових факторiв можна описати, в деякш мiрi, за допомогою випадковоi змiнноi е(к) . Оскiльки вона не вимiрюеться, то оцiнити и значення (похибку моделi або залишок) можна тiльки пiсля оцiнювання коефь цiентiв моделi, тобто

е(к) = е(к) = у(к) - у(к),

де у(к)- оцiнка змшно' у(к), отримана за допомогою моделг, у(к) - фактичний вимiр.

Крiм кореляцiйноi матрицi для аналiзу змшних мо-делi використовують описовi статистики, наприклад, такк коефiцiент асиметрii, коефвдент ексцесу, показ-ник статистики Жак-Бера, що стосуеться перевiрки гiпотези про нормальний розпод^.

Таким чином, цей етап закшчуеться формуванням структур юлькох моделей-кандидатiв з рiзними законами розпод^у: нормальний, гамма, розподiл Пуассона та вщповщним видом функцп зв'язку (логарифмiч-на, тотожна). Кандидапв може бути кiлька, оскiльки встановити структуру за один раз, як правило, не-можливо. Загалом побудова моделi високого ступеня адекватносп - це иерацшний процес, який вимагае значних зусиль. На наступному етат оцшюють пара-метри моделей-кандидатiв.

4. 5. Ощнювання коефвденив моделей-кандидатiв

На четвертому етат оцшюють коефвденти (па-раметри) рiвняння, використовуючи принцип економп або збереження. Цей принцип означае, що кглькгсть коефщгентгв, що оцгнюються, не повинна перевищува-ти гх необхгдне число ("необхщшсть" можна визначити, наприклад, як необхщшсть збереження в моделi основних статистичних характеристик процесу) [9, 10].

Ощнювання параметрiв узагальнено' лшшно' моделi зазвичай виконуеться за допомогою методу наймен-ших квадрапв. Для нормально розподiлених моделей це е^валентно оцiнюванню за методом максимально' правдоподiбностi. Але, при моделюванш процесiв будь-яко' природи необхiдно пам'ятати, що поведшку процесу необхiдно апроксимувати за допомогою рiвнянь, а не старатися описати його до найменших дрiбниць.

В процедурi оцiнювання часто використовують не абсолютш значення змшних, а '¿х вiдхилення вiд се-реднього, тобто

У(к) = Y(k)-Цу,

де Y(k)- значення вимiру, цу - середне значення ряду. Якщо для ощнювання параметрiв використовуеться рекурсивна процедура, то поточне середне можна об-числювати за формулою:

Цу(к) =Ц у(к - 1) + ^(к) -Ц у(к - 1)].

Найбiльш поширеними методами оцiнювання па-раметрiв моделi е такi: метод найменших квадратiв (МНК); зважений метод найменших квадрапв (ЗМ НК); метод максимально! правдоподiбностi (ММП); методи Монте-Карло (иеративш та неiтеративнi); метод мо-менпв. Так, оцiнки МНК обчислюють за допомогою виразу:

е = [хтх]-1 хту,

де 8 [р] - вектор ощнок параметрiв вимiрностi р; X[Nхр] - матриця вимiрiв; - вектор вимiрiв за-лежно! змiнноi. В квадратних дужках вказана розмiр-нiсть векторiв i матриць Елементи матрицi вимiрiв об-числюються по-своему для кожно! конкретно! модель Осюльки, застосування МНК в деяких випадках призводить до отримання змщених ощнок через чут-ливiсть ощнок до рiзких викидiв, якi зустрiчаються у вихiдних даних. Тому альтернативою для МНК е метод максимально! правдоподiбностi - один iз основних методiв, який застосовуеться для ощнювання пара-метрiв УЛМ. Для нормально! похибки, логарифмiчну функцiю правдоподiбностi 1, виходячи з п-спостере-жень, можна представити у виглядь

-21 = п^(2ло2) + £

(у,-ц )2

Для фiксованого а2 мaксимiзaцiя параметра I еквiвaлентнa мiнiмiзaцii суми квадрапв ^(у-ц) для вщхилень так, для лшшно'! моделi:

ка ресурсоемнiсть. Проте методи ще'! групи широко використовуються завдяки ушверсальносп, хорошiй мaсштaбовaностi, здaтностi ураховувати неспостере-жувaнi змiннi, незначним похибкам ощнювання, а також можливост застосування паралельних обчис-лень для прискорення процесу ощнювання. Зазначи-мо, що перевiрити виконання наведених умов можна пльки пiсля оцiнювaння коефiцiентiв модели а до оцiнювaння можна пльки постулювати виконання. Тобто тсля оцiнювaння моделi оцiнкa значень ви-падкового процесу визначаеться похибками модель е(к) = е(к) = у(к)- у(к), що дае можливкть виконати aнaлiз характеристик випадкового процесу {е(к)}.

4. 6. Дiагностика моделей - вибiр кращо! з множи-ни оцiнених кандидатiв

На п'ятому етат aнaлiзуеться якiсть моделi, тобто виконуеться перевiркa оцiнених кaндидaтiв на адек-вaтнiсть процесу. Дiaгностикa складаеться з наступ-них крокiв:

а) Вгзуальне дослгдження графгка похибок моделi е(к) = у(к)- у(к), де у(к) - оцiнкa змшно'!, отримана за допомогою побудовано! модель На графжу не повинно бути значних викидiв та довгих iнтервaлiв, на яких похибка приймае велик значення (тобто довгих штер-вaлiв суттево! неaдеквaтностi). Наприклад, у випадку побудови УЛМ, коли закон розпод^у залежно! змiнноi було обрано випадково, без аргументацп та вiзуaльно-го aнaлiзу, то в результaтi використання тако! моделi буде отримано значш вiдхилення вiд реальних даних при прогнозуванш, що пiдтверджуеться критичним значенням похибки i хибною оцiнкою пaрaметрiв [7].

б) Похибки моделг не повиннг бути корельоваш мiж собою. Для aнaлiзу нaявностi кореляцii мiж значення-ми похибок необхiдно обчислити АКФ та ЧАКФ для ряду {е(к)} i за допомогою Q - статистики визначити ступiнь корельованост (наприклад, Q - статистика вважаеться несуттевою до рiвня 10 %).

Крiм того, корельовaнiсть похибок визначають за допомогою статистики Дарбша-Уотсона ( DW ), яка розраховуеться за формулою:

п, = ц, = Ё Х.Д.

]=1

В остaннi десятилiття набув популярностi метод Монте-Карло для ощнювання невщомих пaрaметрiв класу УЛМ. Основна щея методу Монте-Карло поля-гае у рiвномiрному розбиттi штервалу спостереження даних [t1;ti+1] на множину менших вiдрiзкiв шляхом введення неспостережуваних (згенерованих) величин у промiжнi моменти часу [11].

Алгоритм ощнювання пaрaметрiв моделей функ-цiонуе таким чином:

Х,+1

генерування значення

з розподiлу

Р(Хи|Х0,8i), де Х0 - експериментальш значення про-цесу;

- генерування значення пaрaметрiв 8,+1 з роз-подшу Р(8|Х0,Хи).

При досить слабких умовах регулярносп згенеро-ваний таким чином статистичний ряд мае граничний стaцiонaрний розподiл Р(Хи, 81 Х0) , який за допомогою тривiaльних арифметичних операцш перетворюеть-ся в Р(8 |Х0). Недолiк методiв Монте-Карло - вели-

DW = 2 - 2 р,

де р = Е[е(к)е(к-1)]/о;; - коефiцiент кореляцп мiж сусiднiми значеннями похибки; о2 - дисперия по-слiдовностi похибок {е(к)}. Таким чином, при повнш вiдсутностi кореляцii мiж похибками DW = 2 - це вдеальне значення. Граничними значеннями для DW е 0 (при р = 1) та + 4 (при р = -1).

в) Перевiркa значимост пaрaметрiв модель Статистика Стьюдента або t- статистика (випадкова величина, що мае t - розподш), яка використовуеться для визначення значимост ощнки кожного коефвден-та в статистичному сен«, визначаеться за виразом:

t = -

SE-

де а - оцiнкa коефiцiентa моделi; а0 - нуль-гшотеза (початкова гiпотезa) щодо цiеi ощнки; SEa - стандартна похибка ощнки. За нуль-гшотезу щодо значимост оцiнки можна висувати будь-яку: що коефвдент зна-чимий, тобто Н0: а0 Ф 0, або не значимий: Н0: а0 = 0.

2

о

Статистична теорiя nepeBip^ rinoTe3 пропонуе ви-сувати нуль-гiпотезу, яка е протилежною бажаному результату. У даному випадку бажаним результатом е значимшть коефвденпв математично! моделi. Таким чином, необхщно висувати нульову гiпотезу, що коефiцiент не значимий. Це дае можлившть коректно пiдiйти до визначення значимост оцiнок коефiцiентiв та дещо спростити розрахунки.

г) Коефщгент множинног детермтацп R2, який обчислюеться так:

R2 = var(y) = 1 _ SSE var(y) SST'

де var(y) _ дисперая залежно! змiнноi, оцiненоi за допомогою побудовано! моделi; var(y) _ дисперая

N

вимiрiв залежно! змiнноi; SSE = £[y(k)_y(k)]2 _

k=1

сума квадратiв похибок (залишкiв) моделi (sum of

N

squared errors);SST = £[y(k) _ y]2 _ загальна сума ква-

k=1

дратiв (total sum of squares); y_ середне значення;

N

SST = SSE + SSR , де SSR = £[y(k)_y]2_ загальна сума

k=1

квадратiв для регресп. Очевидно, що найкращим зна-ченням е R2 = 1, тобто, коли дисперсп вимiрiв змiнноi, та цiеi ж змшно'!, оцiненоi за рiвнянням, збтються. Цей параметр можна трактувати, також, як мгру 1н-формативностг моделг, якщо вибрати за мiру шформа-тивностi дисперсiю. Таким чином, R2 показуе рiвень iнформативностi моделi по вщношенню до шформа-тивностi вибiрки даних, за допомогою яко! вона була ощнена.

е) Сума квадратгв похибок для вибрано! моделi повинна бути мжмальною, тобто,

£e2(k) = £[y(k)_y(k)]2 ^min

порiвняно з усiма 1ншими моделями.

е) Для ощнювання адекватностi моделi також ви-користовують тформацшний критерш Акайке:

AIC = Nln

£ e2(k)

-2n

та критерiй Байеса-Шварца

BSC = Nln

£ e2(k)

+nln(N),

де п = р + q +1- юльюсть параметрiв моделi, якi ощню-ються за допомогою статистичних даних (р - кiлькiсть параметрiв авторегресшно! частини моделi; q - число параметрiв ковзного середнього; 1 з'являеться тодi, коли оцiнюeться змiщення (або перетин, тобто а0 ).

У правш частинi критерiiв Акайке i Байеса-Швар-ца мiститься сума квадрапв похибок, а тому за цими критерiями вибирають ту модель, для яко! критерп приймають найменшi значення. Введення нового ре-гресора приводить до зб^ьшення критерiю (при цьому

зб^ьшуеться n), але, разом з тим, зменшуеться сума квадратiв похибок i критерiй в цiлому зменшуеться. Якщо регресор не покращуе модель, то критерш зб^ь-шуеться. Необхвдно також зазначити, що асимптотич-m властивостi для довгих виборок крашд у критерiя Байеса-Шварца, тобто, його рекомендують застосо-вувати при ввдносно великих значеннях N ( N > 100 ).

ж) Коефвдент Дарбина-Уотсона вщображае адек-ватнiсть побудовано! моделi та обчислюеться за формулою

£(et _et_1)2

DW = -,

£^2

t=l

де 8 - вектор залишюв (рiзниця мiж значеннями от-риманими за моделлю та фактичними), при цьому DW е[0;4]. Для кращо! моделi DW ^ 2; це означае, що залишки моделi мiж собою не автокорелюють.

з) Окрiм згаданих параметрiв, для визначення адекватностi моделi в цiлому використовують F- статистику Фшера, яка пропорщональна ввдношенню:

F

R2

1 _ R2

Якщо Я2^ 1, то FПорядок застосування F-статистики такий же, як i 1 - статистики. Нуль-гшоте-зою е в даному випадку припущення про те, що модель неадекватна в цiлому, тобто,

Но:а1 = а2 =... = ар = 0

проти альтернативно! гшотези:

Н1: хоча б одне значення а! вiдмiнне вщ нуля в статистичному смислi.

Значення ^ф^ знаходять iз таблиць для F-розподiлу.

Крiм цього, часто для формування статистичного висновку використовують байеавський коефвдент, який представляе собою ввдношення апостерiорних ймовiрностей до апрюрних [11, 12]. Перевага одше! мо-делi над iншою визначаеться у ввдповвдносп iз значен-ням байеавського коефiцiента BF(i, j) . Якщо даний ко-ефiцiент суттево бшьше 1, то приймаеться рiшення про прийняття або ввдхилення моделi. Для вибору моделi використовують критерiй найбшьшо! гранично! шдль-ностi розподiлу р(х | Mi), що ввдповвдае умовi BF(i, j) > 1.

Коректне застосування методики Бокса-Дженкшса забезпечуе побудову адекватно! математично! моделi процесу, якщо експериментальнi даш вiдповiдають вимогам представництва та тформативностг. Перша вимога означае, що вибiрка даних повинна охоплювати досить довгий промiжок часу, щоб повнiстю вщобра-жати поведiнку того режиму функщонування процесу, для яких будуеться модель. Вимога шформативност означае, що вибiрка повинна мiстити в собi об'ем ш-формацп, достатнiй для ощнювання коефвденпв мо-делi. Наприклад, якщо моделюеться процес другого порядку, то вибiрка повинна забезпечувати коректне обчислення першо! та друго! похiдноi. Iнодi шформа-тивнiсть формально оцiнюють за допомогою величини дисперсп процесу, а також за юльюстю гармошчних

складових, як мштяться у процесi. Чим б^ьше гармошк мiстить вибiрка, тим вищою е Ii iнфоpмaтивнiсть.

5. Результати дослщжень

Для дослiдження в якост експе-риментальних даних було застосова-но статистичний ряд, структуру якого представлено в табл. 1.

Для вихiдних даних, представлених в табл. 1, припустимо, що залежна змш-на е нормально розподшеною, а в якосп функцп зв'язку вiзьмемо log-функцiю.

Пстограма вiдповiдностi залежно! змiнноi «Збитки» нормальному закону розподiлу представлена на рис. 1. До-слвдження проведено за допомогою пакету обробки статистичних даних Eviews.

Результат оцшювання лог-нормально! моделi представлено на рис. 2.

Середне значення залежно! змшно! «Збитки» ста-новить 1877,531. 1нформацшний критерiй Акайке слу-гуе для вибору найкращо! моделi iз певного набору альтернативних моделей. Чим менше значення шфор-мацшного критерiю Акайке, тим краще побудовано модель ввдповвдно до вихiдних даних. Для лог-нормально! моделi шформацшний критерiй Акайке ста-новить 20,666.

□ ependent Variable: DAMAGES

Method: Generalized Linear Model (Quadratic Hill Climbing)

□ ate: 02f02f13 Time: 19:12 Sample: 1 9545

Included observations: 9545 Family: Normal Link: Log

Dispersion computed using Pearson Chi-Square Coefficient covariance computed using observed Hessian Convergence achieved after "13 iterations

Variable Coefficient Std. Error z-Stati sti с Prob.

С -394.4486 118.1124 -3.339602 0.0008

AGE OF CAR 0.201732 0.05&817 3.429311 0.0006

BRAND -0.537131 0.056914 -9.437611 0.0000

LOCATION -0.183465 0.049170 -3.731251 0.0002

Mean dependent var Sum squared resid Akaike info criterion H an n an-Qu i n n criter. Deviance statistic LR statistic Pearson SSR Dispersion

1S7T.531 5.27Е-И 1 20.66463 20.66565 55192417 165.7739 5.27E-<-11 55192417

S.D. dependent var Log likelihood Schwann criterion Deviance Restr. deviance Prob(LR statistic) Pearson statistic

7492.245 -98617.96 20.66763 5.27E+11 5.36E+11 0.000000 55192417

Таблиця 1

Структура статистичних даних

№ Характеристика даних Юлькюне значення

1 Загальний розм1р виб1рки 9546 точок

2 Залежна змшна Розм1р виплачено! страховки, тобто збитки

3 Репон продажу полюу Ки!в, АР Крим, Одеса

4 Рж випуску автомобшя починаючи з 2006 року

5 Марка автомобшя Mitsubishi, Toyota, ВАЗ

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

Damages

Histogram of Damages Spreadsheet .sta 4v*9546c : 9545*20000*normal(x; 1877,5309; 7492,2446)

I

-20000

20000 40000

60000 80000 Damages

Рис. 1. Гiстограма з нормально розподтеною залежною змiнною

Рис. 2. Результат оцшювання лог-нормально! моделi

Гарною альтернативою критерж Акайке е критерш Хeннана-Куiнна, якому притаманна швидка збiжнiсть до iстинного значення. Так як, одним iз нeдолiкiв кри-терж Акайке е той факт, що ощнка Акайке неперекон-лива та асимптотичнопереоцшюе (завищуе) iстиннe значення з ненульовою ймовipнiстю, то було запропо-новано бiльш переконливий кpитepiй, який оснований на мiнiмiзацii вiдповiдноi суми, а не величини.

1нформацшний критерш Шварца зазвичай виби-рае кращу модель з числом паpамeтpiв, котре не пере-вищуе кiлькiсть паpамeтpiв в модeлi, яка була обрана за кpитepiем Акайке. Кpитepiй Шварца е асимптотич-но доцiльним переконливим, в той час як критерш Акайке змщений в сторону вибору параметризованих моделей. Для даного прикладу значення критерж Акайке, Хеннана-Кушна та Шварца однаковi з точш-стю до 2-го знаку, тому для подальшого аналiзу альтернативних моделей дощльно взяти будь-яке iз них.

Значення стандартного вщхилення залежно'! змшно'! - «Збитки» стано-вить 74 92,2 4 5.

Тест вщношення пpавдоподiб-ностi (LR statistic - Likelihood ratio test) використовуеться для пepeвip-ки обмежень на параметри стати-стично! модел^ оцiнeних на основi вибipкових даних. Якщо значення LR-статистики бiльшe критичного значення розпод^у /-квадрат при заданому piвнi значимостi, то обме-ження вщкидаються, перевага ввд-даеться модeлi без обмежень, шак-ше - модeлi з обмеженнями.

Значення дисперсп показуе на-стiльки в середньому випадкова величина вщхиляеться вiд матема-тичного очiкування, але важливо те, що вщображае не в звичайних одиницях, а в квадратних. Однак сама дисперая не дуже зручна для практичного аналiзу, осюльки вона мае pозмipнiсть квадрату випадко-

1Е5 1.2Е5 1.4Е5 1.6Е5 1.8Е5

во1 величини. Даний недолж виправлено за допомогою величини стандартного вiдхилення, яке в подальшому використовуемо для визначення величини ризику.

З точки зору фшансового аналiзу первинним е значення стандартне вщхилення, суть якого полягае в наступному - середне вщхилення результапв продажу продажiв полiсу (або страхуван-ня) вiд очiкуваноi доходност про-дажiв полiсу (страхування), тоб-то по сутi ризик страхування. В якост мiри ризику можна викори-стовувати i величину середнього абсолютного ввдхилення (mad). На практищ значення стандартного вiдхилення бiльше ввд середнього абсолютного вiдхилення, але це величина однакового порядку, мае мкце наступне спiввiдношення:

mad = 0.7979- S.

Результат прогнозування величини збитюв та значення ризику представлено на рис. 3. Вщносна похиб-ка результапв прогнозування за допомогою лог-нор-мальноi моделi становить 1,06 %, а це свщчить про те, що прогноз здшснено з високою точнiстю, то ж проаналiзуемо сумарнi значення та результати оцшки приближення даних даною моделлю.

Сумарне прогнозне значення збитюв дорiвню6 18111231.380, а реальне - 17921032.581, що говорить про те, що припущення до залежна змшна «Збитки» е нормально розпод^еною, а функщя зв'язку - лога-рифмiчна не е зовсiм доцiльним, але припустимим для подальшого аналiзу альтернативних моделей.

Отже, побудована лог-нормальна модель е допустимою, але не найкращою для такого набору статистич-них даних, тому доречно продовжити пошук максимально наближеноi до даних модели

Результати побудови математичних моделей iз ви-користанням запропонованоi структури наведено в табл. 2.

Таблиця 2

Результати побудови математичних моделей

№ п/п Характеристики мате-матичноi модел1 Сумарш прогнозы значення збитгав Реальш сумарш значення збитгав Показник вщхилення експеримен-тальних даних вщ величини прогнозу Ризик втрат

Характер розподшу початково'1' змшно'1' Функщя зв'язку

1 Гамма LOG 102008320,905 17921032,581 84087288,32 1,301

2 Нормальний LOG 18111231,380 190198,799 0,495

3 Пуассона LOG 17921032,574 0,007 0,547

4 Нормальний тотожна 17921032,589 0,009 0,532

Результат прогнозування

Зиэчетя СУШРНЕ Milnof

инчбйкя збкти! Mean Sttf.dewjme Мл Mir stjr.djrd

Реальке 1М32Н1 1Ю77.В1 7492.245 151771.370 o.coo

Г ¡»гном 18111231-330 WIJCH 939.910 4010-973 634.054 0.120 49.535Ш

Величина ризику

0.495352306

2.000 I.SOO 1,000 500

гП

woo госо эом -two иоо во« том вооо »»

Рис. 3. Результат прогнозування за допомогою лог-нормальноТ моделi

Результати оцшювання побудованих математичних моделей iз використанням класичного та бай-еавського пiдходiв представлено в табл. 3.

В результат побудови математичних моделей за допомогою припущень про початковий розподш за-лежноi змiнноi та тдбору функци зв'язку - як однiеi iз складових УЛМ отримано:

1) найкращим наближенням даних до побудовано! моделi е модель з початковим розподшом Пуассона залежноi змшно! та логарифмiчною функцiею зв'язку, що тдтверджуеться прогнозним значенням сумарних збитюв - 17921032,574;

2) найбiльш точний прогноз було отримано за допомогою моделi з розподшом Пуассона та логарифмiч-ною функцiею зв'язку про що сввдчить нульове значення ввдносно! похибки;

3) величина ризику для побудованих моделей в середньому коливалась вщ 40-60 %, яке е гранично допустимим та все ж вимагае проведення додаткових заходiв щодо мiнiмiзацii дано величини;

4) модель з нормальним розподшом та логарифмiч-ною функщею зв'язку мае мiнiмальне значення ризику (49-50 %), але значт вщхилення вiд реальних даних

про що свщчать результати оцш-ки даноi моделi;

5) при порiвняннi моделей с нормальним розподшом та ло-гарифмiчною i тотожною функ-щею зв'язку було виявлено, що шформацшний критерiй Акай-ке приймае приблизно однакове значення 20,66, тому вибирати модель доречно, виходячи iз су-марного результату прогнозу ве-личини збиткiв;

6) модель з гамма розподшом та логарифмiчною функщею зв'язку мае найбiльшi вщхилен-ня (на 84087288,324) вщ реальних даних та найбшьше значення похибки (бiльше 100 %);

7) iз табл. 3 помино, що результати оцшок, отриманих за допомогою байесiвського шд-ходу нормального розподiлу «близькi» до класичних резуль-татiв, отриманих за допомогою

Foreca&l: DAMAGE5F1 Actual DAMAGES Forecast sample 1 9545 Included observations 9545 Root Mean Squared Error Mean Absolute Error Mean Abs. Percent Error Theil Inequality Coefficient Bias Proportion Var-ance Proportion Covanance Proportion

7427 60Э 3085 124 11 25038 0 754761 0.000007 0 778125 0.22

методу максимально! правдоподiбностi, але з б1льш точними показниками дисперсп та стандартного в1д-хилення; крiм цього, коеф1щент детермiнацii, отрима-ний в результат оцiнюванням за допомогою байес1в-ского тдходу показуе приблизно однаковi результата без вагомих «стрибюв».

Отже, адекватною, прийнятною для практичного використання, е модель iз законом розподшу Пуассона та експоненщальною функцiею зв'язку через мтмаль-ну величину похибки, показники значущоси моделi, максимально наближеним до реальних даних прогно-зних значень, достовiрну оцiнку величини ризику з використанням байеивського пiдходу вибору кращо! моделi та оцiнювaння невiдомих пaрaметрiв УЛМ.

6. Висновки

Виконано дослщження щодо пошуку удосконале-но! методики побудови математичних моделей для ак-

туарних та фiнaнсово-економiчних процесiв довiльноi природи. Запропоновано та експериментально доведено ефектившсть функцiонувaння створено! багато-кроково! методики iз використанням математичного апарату УЛМ.

Розглянутий приклад шюструе, що запропонована методика побудови математичних моделей е ефективним та зручним шструмен-том моделювання актуарних процеив. Для оцiнювaння невiдомих пaрaметрiв УЛМ зручно використовувати байеавсь-кий тдхщ, оперуючи aпрiорними та апо-стерiорними розподiлaми пaрaметрiв та алгоритмами вибору кращо! моделi. За-лучення новггшх комбiновaних методiв до ощнювання невiдомих пaрaметрiв УЛМ та вибору кращо! моделi на основi максимального наближення прогнозного значення до реальних даних розкри-вае новi горизонти дослiджень власти-востей сучасних методик та математичних методiв. Нaдaлi необхiдно дослiдити точнiсть отриманих ощ-нок, збiжнiсть, виконати порiвняння з методами Монте-Карло для марковських ланцюпв та iн.

Застосування запропоновано! моделi прогнозуван-ня процеив у сферi страхування за допомогою УЛМ та байеавського пiдходу до ощнювання неввдомих пaрaметрiв УЛМ гарантуе високу точшсть ощнюван-ня дослвджувашл величини з мiнiмaльним значенням фшансового ризику. Також можна зробити висно-вок, що сфера страхування, за умови належного менеджменту iз застосуванням сучасних математичних методiв, може бути надшним джерелом стaбiлiзaцii економжи краши.

Таблиця 3

Результати оцшювання моделей

№ п/п Класичний пщхщ Байеавський пщхщ

Mean Std. deviance Variance^ Mean Std. deviance Variance, % R-squared

1 11805,69 15358,12 130,091 11804,346 15247,237 128,669 0,89735

2 1897,457 939,91 49,535 1897,294 939,94 49,4 0,99854

3 1877,531 1027,567 54,73 1877,301 1027,552 55,679 0,99887

4 1877,531 999,302 53,224 1876,909 999,751 53,809 1

Лiтература

1. Bowers, N. L. Actuarial mathematics [Text] / N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones, C. J. Nesbitt. - Itasca (Illinois): Society of Actuaries, 1986. - 624 p.

2. Олексюк, О. С. Системи тдтримки прийняття фшансових ршень на макрорiвнi [Текст] / О. С. Олексюк. - К.: Наукова думка, 1998. - 508 с.

3. Бщюк, П. I. Проектування комп'ютерних систем тдтримки прийняття ршень [Текст] / П. I. Бщюк, О. П. Гожий, Л. О. Кор-шевнюк. - Миколаш: Чорноморський державний утверситет iм. Петра Могили, 2011. - 320 с.

4. Gill, J. Generalized linear models: a unified approach [Text] / J. Gill. - USA: New Delli, 2001. - 110 p.

5. Бщюк, П. I. Ощнювання параметрiв моделей iз застосуванням методу Монте-Карло для марковських ланцюпв [Текст] / П. I. Бщюк, А. С. Борисевич, // Науюж пращ Миколшвського державного гуматтарного ушверситету iм. Петра Могили. 2008. - № 77. - С. 21-37.

6. Tsay, S. Financial time series analysis [Text] / S. Tsay. - Hoboken (New Jersey): John Wiley & Sons, 2010. - 715 p.

7. Enders, W. Applied econometric time series [Text] / W. Enders. - New York: Wiley and Sons, 1994. - 433 p.

8. Бщюк, П. I. Аналiз часових рядiв [Текст] : навч, поабник / П. I. Бщюк, В. Д. Романенко, О. Л. Тимощук. - К: НТУУ «КШ», 2013. - С. 115-158.

9. McCullagh, P. Generalized Linear Models [Text] / P. McCullagh, J. A. Nelder. - New York: Chapman & Hall, 1990. - 526 p. doi: 10.1007/978-1-4899-3242-6

10. Трухан, С. В. Прогнозування актуарних процеав за допомогою узагальнених лшшних моделей [Текст] / С. В. Трухан, П. I. Бщюк // Наую^ вюп НТУУ «КШ». - 2014. - № 2. - С. 14-20.

11. Bergman, N. Recursive Bayesian Estimation: Navigation and Tracking Applications [Text] / N. Bergman // Linkoping University (Sweden). - 1999. - Vol. 579. - P. 219.

12. Besag, J. Markov Chain Monte Carlo for Statistical Inference [Text] / J. Besag // Working Paper, Center for Statistics and the Social Sciences. - 2001. - Vol. 9. - P. 25.

JäT