CC BY
132
УДК 510.67
Т. Ф. МИХАЙЛОВА (ДПТ), О. В. П1СКУНОВА (ДФА)
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ОБСЯГ1В ПОДАТКОВИХ НАДХОДЖЕНЬ З УРАХУВАННЯМ РИЗИКУ
Запропоновано економетричну модель для прогнозування обсяпв податкових надходжень та оцiнки ри-зику недовиконання планових показник1в.
Предложена эконометрическая модель для прогнозирования объемов налоговых поступлений и оценки риска недовыполнения плановых показателей.
An econometric model for forecasting volumes of tax returns and estimating risk of not being completed plan indices have been proposed.
Побудова математичних моделей для часо-вих рядiв та 1х застосування для прогнозу з урахуванням ризику розглядалась у роботах [1, 3]. Для дослщження нестащонарних рядiв дощ-льно застосувати АММА модел^ що детально розглянут в [2].
Для того, щоб побудувати математичну модель для прогнозування обсяпв податкових надходжень з урахуванням ризику докладно були проаналiзованi часовi ряди мiсячних да-них щодо обсягiв податкових надходжень по Дншропетровськш областi у перiод з ачня 2000 року по грудень 2005 року, а саме податку на прибуток шдприемств, акцизного збору, плати за землю, податку з доходiв фiзичних осiб i податку на додану вартють. Данi наведено у фак-тичних цiнах.
Розглянемо прогнозування находжень У вщ 250
податку з доходiв фiзичних оаб (одиницi вимiру - млн грн). Для того, щоб уникнути шфляцшного викривлення iнформацii, необхщно перейти до реальних одиниць вимiру. Для переходу до щн грудня 2005 року необхщно всi спостереження ряду У помножити на iндекс СР1.
Побудуемо модель для прогнозу податку з доходiв фiзичних осiб У у щнах грудня 2005 року Спочатку проаналiзуемо динамiку показ-ника У у перюд, що розглядався, яку представлено на рис. 1. Аналiз структури часового ряду показуе, по-перше, наявнють лiнiйного тренду, по-друге, шдвищення надходжень вiд податку з доходiв фiзичних осiб у грудш кожного року, по-трете, змiну тенденцп показника У з сiчня 2004 року, що вщповщае змiнi законодавчо! бази щодо нарахування даного податку.
200 150 100 50
J у
j /
г* к и*
0
12 24 36 48 60 72 84
Рис. 1. Динашка щомюячних надходжень податку з доходiв фiзичних оаб у порiвняльних цшах у перюд з ачня 2000 року по грудень 2005 року
Виходячи з даних спостережень побудуемо модель такого виду
yt = a0 + a1t + a2 X1t + a3t ■ X1t + a4 X2t + a5 X3t +
+a6 X4t + a7 X5t + lt
(1)
де t - змшна часу (номер перюду), x1 - фштив-на змшна, яка приймае значення 0 для пер1од1в часу до 2004 року i значення 1 - з 1 с1чня 2004
року; х2, х3, х4 - фштивш змiннi, що вщобра-жають сезонш коливання в надходженнi даного податку та приймають значення 1 вщповщно для I, II i III кварталiв, i значення 0 для ушх ш-ших перiодiв часу; х5 - фiктивна змiнна, яка
приймае значення 1 для грудня мюяця кожного року, та значення 0 для шших перiодiв.
Отримаш за методом найменших квадратiв за допомогою функци «ЛИНЕИН» оцiнки па-раметрiв моделi (1) наведенi у табл. 1.
Таблиця 1
Оцшки параметрiв прогнозно'1 моделi для податку з доходiв фiзичних осiб у порiвняльних щмах
Залежна змшна У
незалежт змшш коефщент стандартна похибка t- статистика Р - р1вень значимосл
константа 52,2 2,17 24,0 0,000
t 1,68 0,068 24,6 0,000
Х1 -33,6 12,0 -2,8 0,006
t • х1 0,010 0,204 0,049 0,961
х2 6,77 2,14 3,16 0,002
х3 11,6 2,18 5,31 0,000
х4 12,8 2,48 5,15 0,000
Х5 21,2 3,19 6,63 0,000
Як бачимо з табл. 1, оцшки майже ушх па-раметрiв моделi (крiм параметру при перехрес-ному членовi t • х2) можна вважати значимими.
Значення коефiцiента детермшаци Я2 = 0,95 наближаеться до 1. Вiдносна похибка регреси ), що вiдображае прогнозш властивостi моделi,
е
складае: -100% = 5,7 %.
У
Розглянемо залишки моделi Ь, що побудо-вано. На основi аналiзу графiку i гiстограми
залишкiв Ь (рис. 2), а також результат перев> рки наявностi автокореляцп в системi за тестом Дарбiна-Уотсона, який дозволив прийняти п-потезу про вщсутнють автокореляцп (ОЖр = 1,8 > ОЖ2 = 1,682 для 1 %-го рiвня значимости, можемо зробити припущення про но-рмальний закон розподiлу залишюв дано! мо-делi.
За допомогою модел^ що побудовано, отри-мано прогнозш значення надходжень вiд податку з доход ¡в фпичних ослб на 2006 рпс.
30 -Г
25 -
■ 20 -
О
н и 15 -
■
X 10 -
5 -
0 -
Рис. 2. Пстограма частот залишшв Ь прогнозно! модел1 податку з доход1в ф1зичних ос1б
у пор1вняльних цшах
Визначимо як одну з компонент вектора по-даткового ризику ймовiрнiсть можливого недо-виконання планових податкових надходжень [1]. Ризик 10 %-го недовиконання планового показника за прогнозування на один крок дорь внюватиме:
Р (У < 0,9Ур) = 1 - Ф\01
де V - аналог коефщента варiацil:
V = 4;
(2)
(3)
s - похибка прогнозу, отримана на базовому штервалц Yp - прогнозоване значення пода-ткових надходжень; Ф(У) - функцiя Лапласа.
В електронних таблицях Excel функщя Лапласа розраховуеться за допомогою статистично! функцп НОРМРАСП( Y , 0, 1, 1).
Так, зпдно отриманого прогнозу у ичш 2006 року очшуються надходження вiд податку з доходiв фiзичних осiб в обсязi 141,6 млн грн, похибка прогнозу s = 6,38 млн грн, V = 0,045. Величина ступеня ризику як ймовiрнiсть недо-отримання податкових надходжень вiд податку з доходiв фiзичних осiб по Дшпропетровськш областi становить:
ки параметрiв моделi (1) наведенi у табл. 2. Таким чином, побудована така модель:
yt = 31,9 +1,51 - 88,9 x1t +
+1,28t • x1t 5,30 x2t + 7,23x3t
+8,68x4t +18,7x5t.
(4)
P(Y < 0,97p) = 1 - Ф
0,1
0,045
= 1 -Ф(2,219) = 0,013 .
Тобто ймовiрнiсть 10 %-го недовиконання планового показника податку з фiзичних осiб складае 0,013, або 1,3 %.
За збшьшенням прогнозованого iнтервалу похибка прогнозу також збшьшуеться. На рiч-ному iнтервалi похибка розраховуеться за и максимально можливим значенням
е 2(1 + 2 + 3 +... +12).
Таким чином, ми отримали прогноз надходжень до бюджету податку з доходiв фiзичних оаб у цшах грудня 2005 року. В той же час у бюджетному про-цеа важливим е прогнозування податкових надходжень у номшальних цшах. Тому розглянемо тепер прогнозування обсяпв податку з доходiв фiзичних оаб у фактичних щнах.Спочатку побудуемо модель регресп показника У виду (1). Отримаш у цьому випадку за методом найменших квадра-тiв з використанням функцп «ЛИНЕИН» оцш-
Таблиця 2
Ощмки параметрiв прогмозмоТ моделi для податку з доходiв фiзичних осiб у фактичних цiмах
Залежна змшна: У
Як бачимо з табл. 2, ус оцiнки параметрiв моделi можна вважати значимими на 1 % рiвнi. Значення коефщента детермiнацii R2 = 0,97 наближаеться до 1. Вiдносна похибка регресп
s
складае: -100% = 6,5%.
У
Аналiз залишкiв моделi L на основi побудо-вано! пстограми (рис. 3) та дослiдження наяв-ностi автокореляцii за допомогою статистики Дарбша-Уотсона (DW2 = 1,284 < DWp = 1,6 <
<DW2 = 1,682 для 1-го % рiвня значимостi, конкретних висновюв зробити не можемо) вже не дозволяе зробити висновок про !х нормаль-ний розподiл. Крiм того, слiд взяти до уваги, що зазвичай рiвень цiн е нестацюнарним рядом, а оскiльки цша входить складовою в показники у номшальному виразi, це збiльшуе порядок штеграцп часового ряду. Отже ймовiрно ми маемо справу з нестацюнарним часовим рядом.
Для дослщження часового ряду на стацюна-рнiсть необхщно побудувати та проаналiзувати автокореляцiйну та часткову автокореляцшну функцii, а також застосувати тест Дш-Фуллера на наявнють одиничного кореня.[2, 3]. Викона-ти таю процедури дозволяють сучаснi статис-тичнi пакети програм, зокрема, STATA, E.VIEWS, SPSS, STATISTICA.
незалежт змшш коефщент стандартна похибка t- статистика Р - р1вень значимосл
константа 31,9 1,98 16,1 0,000
t 1,51 0,062 24,4 0,000
x1 -88,9 10,9 -8,13 0,000
t • x1 1,28 0,186 6,89 0,000
x2 5,30 1,95 2,72 0,008
x3 7,23 1,99 3,64 0,000
x4 8,68 2,26 3,85 0,000
x5 18,7 2,91 6,41 0,008
Використовуючи можливосп електронних гою ARIMA моделi. Ряд залишюв позначимо YL . таблиць Excel, змоделюемо залишки за допомо- Будемо вважати, що порядок штеграцп ряду
УЬ дорiвнюe 1, оскшьки для економiчних да- та побудуемо модель для Б1УЬ виду (6).
них бшьш високi порядки штеграцп майже не „ . , „ . „ .
т ^ • а1у1, = а0 + а1а1у/, , +а2а1у1, 2 +...-
зустрiчaються.[2J Створимо ряд перших рiз- ^ ' 0 1 у 1 2 у 2
ниць £>1УЬ :
+а „аЩ_р + и - 2 "... -РаЩ-а + Ъ (6)
ё1у!( = у1{ - у1-
(5)
Рис. 3. Пстограма частот залишк1в Ь прогнозно! модел1 податку з доход1в ф1зичних ос1б у фактичних цшах
ки параметрiв моделi (7):
ащ = 0,141 - 0,588 • а1у!(-1 - 0,441-а1у/(_2 (8)
Для цього необхiдно обрати специфiкацiю моделi, тобто визначити порядок р ЛЯ-складово! моделi та порядок а МЛ-складово!. Зауважимо, що не iснуе правила для знахо-дження iдеального порядку р i д. Один з най-простiших та найпоширенiших методiв - аналiз корелограм. Його зручно застосовувати, вико-ристовуючи сучаснi статистичнi пакети про-грам. В електронних таблицях Ехсе1 будемо здiйснювати вибiр моделi на пiдставi зниження показника ризику, що визначаеться на основi значення абсолютно! похибки регреси 5 та вщносно! похибки [1]. Крiм того, тд час побу-дови моделi будемо враховувати похибки ощ-нок коефщенпв моделi (6) а ■, в ■, тобто модель вважаеться адекватною, якщо всi !! пара-метри будуть значимими на 5% рiвнi значимость В результат було обрано модель виду:
а1у!( = а0 + а1ё1у11-1 +а2 й1 у1-2 + г( (7)
тобто р = 2, а = 0 . Вщм^имо, що aнaлiз коре-
лограм за допомогою статистичного пакету програм 8ТЛТЛ шдтвердив обрану нами спе-цифiкaцiю моделi ЛЛМЛ(2,1,0) для ряду УЬ (моделi ЛКМЛ(2,0) для ряду £>1УЬ ).
Для побудови моделi (7) в електронних таблицях Ехсе1 було створено чaсовi ряди 01УЬ _ 1 i £>1УЬ_2, як отримaнi з ряду Б1УЬ шляхом зсуву у час вiдповiдно на 1 i 2 перiоди, та за допомогою функцi! «ЛИНЕЙН» знайдено ощн-
4-2 '
Оцiнки пaрaметрiв дано! моделi можна вва-жати значимими на 1 % рiвнi. Анaлiз зaлишкiв ЬЬ моделi (5.14) на основi побудовано! псто-грами (рис. 4) та статистики Дарбша-Уотсона (ОЖр = 2,00) дозволяе зробити припущення
про !х нормальний розподiл.
Для отримання прогнозу для ряду УЬ за допомогою побудовано! моделi спочатку необ-хщно розрахувати за формулою (8) прогнозш
значення для ряду перших рiзниць И1УЬ , а поим вiд прогнозних значень ряду перших рiз-
ниць И1УЬ перейти до прогнозних значень ряду УЬ:
у11 = у1-1 + ащ
- для базового перюду;
уЬ = У1-1 + а1уЬ
- для прогнозного перiоду, (9). Прогнозш значення надходжень вiд податку
з доходiв фiзичних осiб У р розраховуються як
сума прогнозних значень показника У, отри-маних за формулою (4), та прогнозних значень
ряду УЬ, отриманих з рiвняння (9): Ур =У + УЬ
Використання ЛЯ1МЛ моделей та фштив-них змшних для aнaлiзу нестaцiонaрних часо-
вих рядiв дозволило побудувати економетричш модел1 для прогнозу обсяпв податкових надхо-
16 j 14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -0 J—к
1«
н о
джень з фiзичних осб з урахуванням ризику та проанал1зувати залипши моделей.
■4°
\-1-1-1
LL
Рис. 4. Пстограма частот залишшв LL для модел1 часового ряду YL
2.
Б1БЛЮГРАФ1ЧНИИ СПИСОК
Вгглшський В. В. Моделювання економши -К.:КНЕУ, 2003. - 408 с.
Лукяненко I. Г. Сучасш економетричш методи у фшансах / I. Г. Лукяненко. Ю. О. Городшченко, - К.: Лггера ЛТД, 2002. - 352 с.
3. Dickey D. A., Fuller W. A. Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root // Econometrica, 1981, № 49. - P. 1057-1072.
Haginmna go pega^ii' 18.09.2007.
