CC BY
32
УДК004.942; 674.047 Асист. М.Ф. Сало; доц. М.В. Дендюк, канд. техн. наук;
магктрант Ю.1. Каратник - НЛТУ Украти, м. Львiв
ДОСЛ1ДЖЕННЯ КРОКУ ДИСКРЕТИЗАЦН МЕТОДУ СК1НЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТ1В П1Д ЧАС МОДЕЛЮВАННЯ РОЗПОД1ЛУ ВОЛОГИ У ДЕРЕВИН1 ВНАСЛ1ДОК СУШ1ННЯ
На основi узагальнення методу скiнченних елементiв на волопсну область роз-роблено програмне забезпечення з використанням об'eктно-орieнтованого програму-вання та з його допомогою дослiджено вплив розмiрiв скiнченних елеменпв у прос-торi та в час на результати моделювання розподшу вологи у деревинi внаслiдок су-шiння.
Ключов1 слова: деревина, сушшня, вологiсть, моделювання, метод скiнченних елеменпв.
Актуальнiсть. У працях [1-3] на основ! узагальнення методу скшчен-них елеменлв (МСЕ) наведено результати моделювання розподшу вологи у висушуванш деревиш. Зокрема вказано, що р1вном1рний розподш початково-го вологовмюту шсля переходу у регулярний перюд видалення зв'язано! вологи набувае парабол1чного характеру, а в нерегулярному перюд1 сушшня деяка частка вологи у деревиш починае випаровуватися через и поверхню, а деяка частка - прямуе до центру матер1алу. Це призводить на початковому еташ сушшня до збшьшення вологовмюту у приповерхневих зонах матер1алу пор1вняно з початковим (рис. 1).
Рис. 1. Розподт вологи вздовж ширини пиломатерьалу посередиш товщини [2]
Таю результати викликають сумшви у деяких фах1вщв з технологи сушшня деревини { тому дослщження результат моделювання розподшу вологи у процес сушшня методом скшченних елеменлв залишаеться актуальним.
Постановка задачь Нестащонарний процес вологоперенесення в про-цес сушшня деревини на еташ видалення зв'язано! вологи описують р1внян-ням [1-3] у частинних похщних
ди
дт
д 2и д 2и
' дх2 + а ду2
{ вщповщними граничними умовами 3-го роду
и = ив (5), а^ = в(ип -ик)
дп
та початковою умовою и| = и0,
(1)
(2)
170
Збiрник науково-техшчних праць
Науковий вкник 11.1ТУ Укра'1'ни. - 2012. - Вип. 22.15
де: U- вологовмют; т- час; ax, аУ - коефiцieнти вологопровiдностi вздовж осей ашзотропп, м2/с; UB (S) - вологовмiст на поверхш, який може бути фун-кцieю координат; n - зовнiшня нормаль; в- коефщент вологовщдач^ м2/с; Un - вологовмют на поверхнi; UR - рiвноважний вологовмiст; U0 - початко-вий розподiл вологи.
Початковий розподш вологи U0 на початку сушшня приймаемо рiвно-мiрним, тобто U0 = const, а на етат регулярного процесу (критерiй Фур'е F0 = 0,1) - параболiчним
UU=0,1 =
= U Ц
1 -
x - a/2 a/2
1 -
У
-b/2
b/2
(Uц - Un ),
(3)
де: Щ, Un - вологовмют в ^mpi та на поверхш пиломатерiалу; a, b - ширина та товщина пиломатерiалу; x, y - поточш координати на вiдповiдних осях.
Узагальнивши МСЕ на вологiсну область, отримаемо систему ль нiйних алгебра!чних рiвнянь:
[K ] + Т ^ }н = ^[С № ]){U }„ + 2{F},
(4)
де матрицi K, С i F вiдповiдно - вологопровщносп, демпфування та наванта-ження, Un - значення вологи у попереднш момент часу моделювання ti-1, UH -поточне значення вологи у поперечному перерiзi матерiалу у момент часу
На основi математично! моделi (1-4) розроблено програмне забезпе-чення (ПЗ) вiдповiдно до принцитв об'ектно-орiентованого програмування, яке дае змогу описувати сам об'ект та ди з ним як одне цiле, надае програмю-ту можливiсть розподшити складну проблему на ряд простих та полегшуе процес тестування та налагодження програмного продукту. Створене ПЗ складаеться iз головного модуля та двох клаив: Point_class, масив об'екпв якого вiдповiдае за розбиття област задачi на вузли i !х нумерацiю та клас Element, в об'ектах якого збер^аються самi елементи (рис. 2).
Рис 2. Дiаграма клаав розробленого ПЗ
Щд час роботи формуеться масив об'екпв класу Point_class, у полях яких збер^аються координати точок розбиття та номер вщповщного вузла.
3. Технологiя та устаткування лiсовиробничого комплексу
171
По^м формуеться масив класу Element, об'екти якого мютять 3 точки класу Point_class, а також тип та номер вщповщного елемента.
Програмний продукт був реалiзoваний у консольному режимi з метою економи ресурсiв апаратно!' частини комп'ютера та, як наслiдoк тдвищення швидкоди роботи, що навiть при сучасному стат розвитку комп'ютерно!' тех-нiки е неoбхiдним. У процес проведення дoслiджень було визначено, що у разi розбиття oбластi задач на 2000 елеменлв обчислення одте! ^ераци за часом займало приблизно 30-40 с.
Результати дослщжень. Чисельний експеримент визначення нестащ-онарного розподшу вологоперенесення у прoцесi сушiння деревини на oснoвi алгоритму реалiзацil фiзикo-математичнol мoделi [2] проведено для сосни р0 = 400 кг/м3) з початковими значеннями вологоел W0 = 0,3 % i температу-ри t0 = 20 °С та такими умовами процесу сушiння: t = 79 °С, ( = 77 %, v = 2 м/с ((, v — вiдпoвiднo вщносна вoлoгiсть та швидкiсть агента сушшня).
У рoбoтi [4] дoслiдженo вплив порядку скшченних елементiв на точ-нiсть розв'язання краевих задач i показано, що збiльшення порядку апрокси-маци n > 3 приводить до тдвищення похибки МСЕ. Лише застосування скшченних елеменпв (СЕ) другого порядку е ефектившшим пoрiвнянo iз застосу-ванням СЕ першого порядку. Але тoчнiсть МСЕ е залежною вiд геометрич-них рoзмiрiв елемента розбиття. Тому для дослщження згаданих результатiв i розробленого ПЗ проведено чисельш експерименти як для рiзнol кiлькoстi то-чок розбиття i елементiв (для n = 1) при сталих геометричних рoзмiрах пило-матерiалу, так i для рiзних прoмiжкiв часу At.
Аналiз чисельних експериментiв моделювання динамiки розподшу во-лoгiсних пoлiв у точках поперечного перерiзу дошки тангенцiальнoгo розпи-лювання залежно вiд тривалoстi сушшня з рiзними кроками часу сушшня At показуе, що максимальне вщхилення мiж залежностями не перевищило 0,01 %. Тому величина кроку At у чаш не е виршальним фактором похибки МСЕ тд час моделювання розподшу вологи у висушуванш деревиш.
°0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 °0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
а, м а, м
Рис. 3. Розподт вологи вздовж ширини Mamepiany у u,eHmpi товщини для pi3Hux po3Mipie СЕ у pi3Hi моменти часу суштня: а) через 0,5 год.; б) через 5 год.
Рис. 3 характеризуе розподш вологи у центрi поперечного перерiзу пилoматерiалу вздовж ширини а для рiзних рoзмiрiв скшченних елеменпв (% рoзмiру СЕ вщносно ширини а). Аналопчш залежност отримано i для iнших поперечних перерiзiв пилoматерiалiв.
172 Збiрник науково-технiчних праць
Науковий вкник НЛТУ Укра1'ни. - 2012. - Вип. 22.15
Висновки. Точшсть результапв моделювання методом скiнченних елеменлв розподiлу вологи у деревинi тд час сушiння залежить не вщ кроку дискретизацп у часi At, а вщ вибраних розмiрiв скшченних елементiв вщнос-но областi розбиття.
Як показуе аналiз проведених дослщжень, розмiри СЕ повиннi бути меншими нiж 5 % вiд розмiрiв областi моделювання. Зменшення ж розмiрiв СЕ менше нiж до 1 % вщ розмiрiв поперечного перерiзу пиломатерiалу, на вщ-мiну вщ проаналiзованого збiльшення порядку полiнома n > 3, надалi тдви-щуе точнiсть результатiв моделювання МСЕ, але стрiмко збiльшуються об'еми обчислень, що призводить до невиправданих затрат ресуршв i часу роботи ПЗ.
Л1тература
1. Бакалець А.В. Моделювання нелшшних тепломасообмшних процеав у висушуванш деревиш методом скiнченних елеменпв / А.В. Бакалець, Я.1. Соколовський // Вюник Нащ-онального ушверситету "Льв1вська жштехшка". - Сер.: Комп'ютерш науки та шформацшш технологи. - Льв1в : Вид-во НУ "Льв1вська полггехшка". - 2005. - Вип. 543. - С. 58-63.
2. Дендюк М.В. Моделювання зв'язку тепломасоперенесення з деформатившстю та мщшстю деревини / М.В. Дендюк, Б.П. Поберейко, Я.1. Соколовський // Промислова пневматика i гщравлжа : матер. Всеукр. наук.-техн. журналу. - Вшниця. - 2006. - № 3(13). - С 97-103.
3. Бакалець А.В. Математичне моделювання не1зотерм1чного вологоперенесення та в'язкопружного стану в деревиш у процес сушшня : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 01.05.02 - "Математичне моделювання та обчислювальш методи" /
A.В. Бакалець / Нацюнальний ушверситет "Льв1вська полггехшка". - Льв1в, 2010. - 22 с.
4. Карашецький В.П. Вплив порядку штерполяци кшцевих елеменпв на точшсть розв'язання краевих задач розрахунку статичних магштних потв диференщальним методом /
B.П. Карашецький // Науковий вюник НЛТУ Укра!ни : зб. наук.-техн. праць. - Льв1в : РВВ НЛТУ Укра!ни. - 2010. - Вип. 20.8. - С. 280-285.
Сало Н.Ф., Дендюк М.В, Каратник Ю.И. Исследование шага дискретизации метода конечных элементов при моделировании распределения влаги в древесине при сушке
На основании обобщения метода конечных элементов на влажностную область разработано программное обеспечение с использованием объектно-ориентированного программирования и с его помощью исследовано влияние размеров конечных элементов в пространстве и во времени на результаты моделирования распределения влаги в древесине при сушке.
Ключевые слова: древесина, сушка, влажность, моделирование, метод конечных элементов.
Salo M.F., Dendiuk М.У., Karatnyk Yu.I. Research sampling step finite element method for modelling the distribution of moisture in wood during drying
According to the analysis of finite element method on a humid region a software was developed using object-oriented programming and using it investigated the effect of the size of finite elements in space and time on the results of modeling moisture distribution in the wood during drying.
Keywords: wood, process of drying, moisture content, modelling, method of finite elements.
3. Технолопя та устаткування лковиробничого комплексу
173
