CC BY
22
Klymash R.R., Shostak V.V., Tysovskyj L.O., Dorundiak L.M., Lias-henykA.V. Research of the field of speeds of dust-laden blast in pipeline of decentralizing aspiration system
The complete system of equalizations motion of dust-laden air is built in the pipeline of decentralizing aspiration system with autonomous ventilators. Expressions are got for determination of the field speeds dusted blast. The numerical analysis of task is conducted.
УДК 621.39 Проф. Я.1. Соколовський, д-р техн. наук;
асист. В.М. Шиманський - НЛТУ Украти, м. Львiв
ДВОВИМ1РНА МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ВОЛОГОПЕРЕНЕСЕННЯ У КАП1ЛЯРНО-ПОРИСТИХ МАТЕР1АЛАХ 13 ФРАКТАЛЬНОЮ СТРУКТУРОЮ
Розглянуто математичну модель вологоперенесення у капшярно-пористих ма-терiалах iз фрактальною структурою, що описуеться диференщальним рiвнянням у частинних похщних iз дробовим порядком. Рiзницевим методом отримано чисель-ний розв'язок задачi для рiзних значень дробово'1 пох1дно'1.
Актуальнiсть дослiджень. На сьогодш актуальною е наукова задача створення адекватних математичних моделей нер1вноважних ф1зичних про-цеЫв. Особливо це важливо, коли йдеться про системи 1з фрактальною структурою. Адже для опису властивостей систем 1з фрактальною структурою не можна використовувати уявлення евклiдовоi геометри. Тут необхщно залучи-ти представлення геометрii дробовоi розмiрностi. Особливiсть фiзичних систем iз фрактальною структурою полягае в тому, що для них ютотш таю влас-тивостi, як: "пам'ять", складна природа просторових кореляцiй та ефекти са-моорганiзацii. Створення адекватних математичних моделей для систем, у яких проявляються властивост самооргашзаци, детермшованого хаосу також потребуе залучення нетрадицшних пiдходiв, заснованих на застосуваннi ма-тематичного апарату диференцiальних рiвнянь дробового порядку.
Розвиток прикладних аспек^в математичного апарату штегро-дифе-ренцiювання дробового порядку викликае iнтерес не тiльки щодо створення адекватних математичних моделей для виршення практичних завдань, але i стосовно розвитку самого математичного апарату штегро-диференщювання дробового порядку.
На вщмшу вiд традицiйного пiдходу, коли для кшьюсного опису дос-лiджуваного явища використовувалися вiдповiднi рiвняння, що мають заданий клас розв,язкiв, застосування апарату штегро-диференщювання дробово!" розмiрностi дае змогу використовувати однопараметричний контишум дифе-ренцiальних рiвнянь. Це принципово змшюе пiдхiд до аналiзу експеримен-тальних даних, дозволяючи використовувати новий параметр, який е дробовим показником похщноь Фрактальний пiдхiд вносить новий рiвень розумш-ня динамiки стввщношення обiгових i необiгових процесiв, в основi яких лежать самооргашзащя та врахування ефектiв "пам,ятi".
Застосування апарату диференщальних рiвнянь дробового порядку дае змогу глибше зрозумiти вiдомi результати й отримати новий клас ршень, а також охопити широке коло завдань, якi ранiше не пояснювалися з позицiй
традицiйних пiдходiв. Таким чином, розроблення методiв математичного мо-делювання фiзичних процесiв у середовищах iз фрактальною структурою зас-новане на математичному апаратi штегро-диференцшвання дробового порядку. Математичний апарат дробових похщних i дробових штеграшв мае давню iсторiю. У створенш основ математичного апарату iнтегро-диференцiювання дробового порядку брали участь вiдомi математики: Ейлер, Г. Лейбнщ, Абель, Рiман. З огляду на розвиток концепци фрактала пiдвищився iнтерес до прикладних аспектiв дробового числення в теори тепло-масоперенесення, об-числювально! математики, бiофiзики, теори шформаци та соцюлоги.
Хоча сам математичний апарат штегро-диференцшвання дробового порядку досить розвинений, однак його використання для створення матема-тичних моделей систем iз фрактальною структурою розпочато порiвняно недавно. Низка фiзико-технiчних систем, як можуть бути описаш рiвняннями в дробових похщних, повиннi мiстити в собi канали, що входять до складу роз-галужено! фрактально! структури. Такими системами можуть бути процеси тепло- та масоперенесення в пористих середовищах. Показник дробово! по-хщно! за часом вщповщае долi каналiв (гiлок), вщкритих для протiкання.
Незважаючи на шдвищений iнтерес до дослiджень процесу теплома-соперенесення у капiлярно-пористих середовищах, у теори дос залишаеться ряд невиршених проблем, пов'язаних з особливостями просторово! структу-ри багатофазних систем, для опису яких немае адекватного математичного апарату. Глибока фiзична природа системи, яка криеться за фрактальшстю, полягае в тому, що характерний просторовий масштаб неоднорщност системи може зрiвнятися з характерними мжроскошчними просторовими параметрами, що, своею чергою, зумовлюе необхiднiсть аналiзу властивостей у рамках концепци просторово! не локальност [13-14].
Зокрема, говорячи про вщсутшсть традицшно! структури iерархil ча-сiв релаксаци, маемо на увазi те, що зазвичай мiж мiкроскопiчними часами т, (наприклад часом релаксаци, протягом якого встановлюеться термодина-мiчна рiвновага) i характерними макроскошчними часами тт, мае мюце ств-вiдношення Т1 << тт, яке лежить в основi виведення рiвнянь руху для опису властивостей капшярно-пористих середовищ. Для цього використовують рiз-нi процедури усереднення багаточасткових функцш розподiлу. Однак у ви-падку гетерогенних середовищ для фрактальних систем мае мюце сшввщно-шення Т1 <тт. Це робить проблематичним застосовування традицшних процедур усереднення багаточасткових функцш розподшу.
Особливий штерес у застосуванш фракталiв iз використанням дробо-во! похщно! за часом полягае у можливост врахування ефектiв мпам,ятiм фь зичних систем у контекстi моделювання дисипаци мехашчно! енерги системи. "Пам'ять" для деяко! фiзичноl величини , пов'язано! з шшою фiзич-
ною величиною /(), означае наявнiсть мiж ними причинно-наслщкового
г
зв'язку = |К((,т)/(т)<г, де К((,т) - функцiя "пам'ятГ. Для випадку мар-
0
кiвського процесу (вiдсутнiсть "пам'ят!") функцiя К ((,т) мае вигляд К(,т) = пд(-т), де: п - додатна константа, д() - дельта-функщя Дiрака. За
наявност повно1 "пам'ятГ системи мае мiсце сшввщношення K((, т) = t~lO(t - т), де O(t) - одинична функщя Хевiсaйдa. 1снуе етап "частко-boï" еволюцiï системи, що займае промiжне положення мiж двома гранични-ми етапами еволюцiï вщ повноï втрати до повноï присутност "пaм,ятi" [4]. Такий зв'язок мiж величинами F(t) i f (() задаеться дробовим штегралом
F(t) = [—f(-)— dr, де Г(х) - гамма-функщя Ейлера. Г(а) 0 (t -ту~а
Анaлiз iснуючих дослiджень [1-4, 10-12] свiдчить про те, що анал^ич-нi методи рiшення рiвнянь дробово1' дифузiï виявляються малоефективними, а теорiя чисельних методiв ïx виршення мае фрагментарний характер i далека вщ завершення. У цш роботi було використано чисельний метод скшчен-них рiзниць для знаходження розв'язку диференщального рiвняння з частко-вими похiдними дробового порядку.
Постановка задачь Математична модель вологоперенесення у каш-лярно-пористих мaтерiaлaх iз фрактальною структурою описуеться диферен-щальним рiвнянням у частинних похiдних iз дробовим порядком
даи ад 2и ад 2и
-= Da—т + Da—т (1)
dta х дх2 у ду2 w
i вщповщними граничними умовами 3-го роду
Da^U = fî(Up - UR) (2)
дп
та початковою умовою U\t=0 = U0, (3)
де: и - вологовмют, кг/кг; t - час, с; Da - коефщенти вологопровщност (Da = [Da;Da]), м2/с; п - зовнiшня нормаль; в - коефщент вологообмiну,
м /с; UP - вологовмiст на поверхш; UR - рiвновaжний вологовмют, що е функцiею вiд температури tc та вщносно1* вологостi зовшшнього середовища; U0 - початковий розподш вологостi; а - дробовий порядок похщно1" (що ха-рактеризуе долю кaнaлiв вiдкритих для протiкaння).
Параметр 0 < а < 2. Можна визначити два типи дифузи. Субдифузiя характеризуеться значенням параметра 0 < а < 1, супердифузiя - 1 < а < 2. У субдифузи частинки рухаються повшьшше, у супердифузи - швидше, нiж у звичaйнiй дифузiï (а = 1) [10-12]. Чисельний метод розв'язку диференщаль-них рiвнянь з похщними дробового порядку.
Розглянемо рiвняння масоперенесення у середовищах iз фрактальною структурою, що мае вигляд (1). Приймаеться, що дробова похщна порядку а на вiдрiзку [tn; tn +1] е похiдною Рiмaнa-Лiувiлля:
даи
âtc
1
Г(1 -а)
п+1
u(tn) \ и '(г)
■ +
(tn +i - tn)а п (tn+1 - tn)'
f dT
J i+n+1 +н\а
(4)
де Г(а) - гaммa-функцiя
Г(—) = j 1e xdx,
о
n - iндекс вiдповiдного часового штервалу [tn; tn+1] .
Представимо похщну u '(т) на B^pÍ3Ky [tn; tn+1J у видi скшченно! pÍ3-
ницi:
du un+1 - un .. n+i „.
— «-(At = tn+1 - tn).
dT At
Запишемо рiзницеву апроксимацiю похщно! дробового порядку а на B^pÍ3Ky [tn; tn+1J таким чином:
dau
3tc
un+1 -aun
-. (5)
Г(1 -—)(1 - —)At-
Звiдси, рiзницева схема для рiвняння (1) з дробовою похщною порядку —(0 < — < 1) набуде такого вигляду:
-sU?+{k + (1 + 2Sx + 2syU$ - s&n+lк - sunf-! - sUtf+i = —U»k, (6)
s = Г(1 -—)(1 -—) At- s = Г(1 - —)(1 - —) At-
x~ x Ax2 Ay2
Це абсолютно стiйка схема, яка мае похибку апроксимаци O(At-, Ax2, Ay2).
Програмна реалiзацiя. Для знаходження чисельного розв'язку мате-матично! моделi вологоперенесення у процес сушiння деревини, було вико-ристано середовище MATLAB 6.5. Програма складаеться з основного файл-сценарiю (Main.m) та допомiжних файл-функцiй (poch_znach.m, ko-ef_gran_umov.m, fun_gamma.m, fun_u0.m).
Переважно файл-сценарш задаються всi параметри, що описують ма-тематичну модель вологоперенесення у процес сушiння деревини. Також там знаходиться програмна реалiзацiя неявного методу скшченних рiзниць, для знаходження розв'язку диференщальних рiвнянь з похiдною дробового порядку.
Допомiжна файл-функцiя poch_znach.m слугуе для задавання початко-вих значень основним параметрам модел^ а саме: [ ax; bx]x[ay; by ] - меж змши
просторово! компоненти (просторовi координати меж взiрця); t_end - кшце-вого моменту часу; (k, hx, hy) - кшькосп точок та крокiв розбиття по просто-ровi координатi; (n, tau) - кшькосп точок та кроку розбиття по часовш змш-нш; alfa - порядку дробово! похщноц D_alfa_x, D_alfa_y - коефiцiенти воло-гопровiдностi вздовж осей Ox та Oy вщповщно.
Файл-функцiя koef_gran_umov.m обчислюе коефiцiенти граничних умов, коефiцiент вологопровщносл, коефiцiент вологообмiну, коефiцiент рiв-новажно! вологостi.
Файл-функцiя fun_u0.m задае початковi значення вологовмiсту. А файл-функцiя fun_gamma.m обчислюе значення гамма-функцп Ейлера.
Отримаш результати. Чисельний експеримент визначення розподшу вологост у процесi сушiння деревини на основi наведеного алгоритму реаль заци фiзико-математичноl моделi (1-3) наведемо для сосни з початковим зна-ченням вологовмюту и0 = 0.3 кг/кг i температурою середовища tc = 60 0С та наступними умовами процесу сушшня: ( = 60%, V = 2 м/с ((, V - вiдповiдно вiдносна вологiсть та швидюсть агента сушiння).
На рис. 1, 2 наведено розподш вологи у взiрцi в момент часу Т = 15 год та Т = 30 год вщповщно за порядком дробово! похщно!, рiвному а = 1. Розподш вологи розглянуто за першi 30 год сушшня, за ширини взiрця, рiвному 2 см, довжинi - 5 см. Надалi будемо розглядати розподш вологи на такому ж взiрцi та за таких самих моментах часу сушшня, але за рiзних значень порядку дробово! похщно!.
На рис. 3, 4 наведено розподш вологи за порядком дробово! похщно!, рiвному а = 0.9 .
З графiкiв на рис. 1 та рис. 2 видно, що значення вологовмюту на гра-ницi взiрця е меншим, шж у його центрi, i воно поступово зростае в мiру про-сування вiд границi до центру взiрця. Цi результати також е зрозумшими на шту!тивному рiвнi, адже якщо помiстити взiрець у сушильну камеру, то при-родним е те, що вш зовнi висохне швидше, анiж усерединi.
Як вщомо, деревина е капiлярно-пористим матерiалом iз фрактальною структурою. Зважаючи на це, потрiбно бiльше уваги придiляти аномальност процесу вологоперенесення у таких матерiалах, а саме наявностi процесу субдифузи. Ця аномальнiсть описуеться диференцiальним рiвнянням у час-
тинних похщних з дробовим порядком. Проаналiзувавши отримаш результа-ти чисельного експерименту та порiвнявши графiки на рис. 1-4, доходимо висновку, що внаслiдок зменшення порядку дробово! похiдноï спостерь гаеться явище сповiльнення процесу вологоперенесення, що е характерним для явища субдифузп. Це видно з того, що у вщповщних точках взiрця значення вологовмюту у випадку, коли порядок дробовоï похiдноï а = 0.9 е ви-щим, ашж при а = 1.
Висновок. У дослщженш розглянуто математичну модель розподшу вологи у деревинi шд час сушiння. Для опису ще1* моделi використовувалось диференцiальне рiвняння з частинними похщними дробового порядку з вщ-повiдними початковими умовами та граничними умовами третього роду. Та-кож було наведено вщповщний метод для знаходження чисельного розв'язку ще1* модель Основною задачею було проаналiзувати поведшку розв'язку мо-делi за рiзних порядкiв дробово!" похiдноï. Зважаючи на отриманi чисельнi ре-зультати розв'язку моделi зроблено висновок, що диференщальш рiвняння iз дробовою похщною за часом е ефективнiшими для опису процесу сушшня деревини, шж диференцiальнi рiвняння iз звичайною похщною. Адже, виб-равши вiдповiдне значення порядку дробово1' похiдноï, можна враховувати аномальшсть процесу вологоперенесення у деревиш.
Л1тература
1. Nigmatullin R.R. Phys. stat. Solidi (b). - 1986. - Vol. 133. - P. 425.
2. Nigmatullin R.R. Ibid. - 1986. - Vol. 133. - P. 713.
3. Бабенко Ю.И. Тепломасообмен. Методы расчета тепловых и диффузионых потоков / Ю.И. Бабенко. - Л. : Изд-во "Химия", 1986. - 144 с.
4. Нигматулин P.P. Дробный интеграл и его физическая интерпретация / P.P. Нигмату-лин // ТМФ. - 1992. - Т. 90. - № 3. - 354-368.
5. Суханов А.Д. Журнал физической химии / А.Д. Суханов, С.Ф. Тимашев. - 1998. - Т. 72, № 11. - С. 2073.
6. Шубин Г.С. Сушка и тепловая обработка древесины / Г.С. Шубин. - М. : Изд-во "Лесн. пром-сть", 1990. - 336 с.
7. Соколовський Я.1. Моделювання нелшшних тепломасообмшних процеав у висушу-ванш деревиш методом скшченних елеменпв / Я.1. Соколовський, А. Бакалець // Вюник НУ "ЛП": Комп'ютерш науки та шформацшш технологи. - Льв1в : НУ "Льв1вська полггехшка". -2005. - Вип. 543. - С. 129-134.
8. Дендюк В.М. Застосування методу кшцевих елеменпв для розрахунку нестацюнар-них пол1в вологоперенесення у висушуванш деревиш / В.М. Дендюк, В.П. Поберейко, Я.1. Соколовський // Лкове господарство, люова, паперова i деревообробна промисловють : м1жв1-домч. наук.-техн. зб. - Львiв : Вид-во УкрДЛТУ. - 2003. - Вип. 28. - С. 100-106.
9. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторие их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск : Изд-во "Наука и техника", 1987. - 688 с.
10. Povstenko Y.Z. International Journal of Engineering Science / Y.Z. Povstenko, 43 (2005): 977-991.
11. Povstenko Y.Z. International Journal of Solids and Structures / Y.Z. Povstenko, 44 (2007): 2324-2348.
12. Povstenko Y.Z. Journal of Thermal Stresses / Y.Z. Povstenko, 28: 83-102, 2005.
13. Бейбалаев В.Д. Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой : автореф. дисс. на соискание учен. степени канд. физ.-мат. наук. - Махачкала, 2009. - 18 с.
14. Назаралиев М.А. Численные методы решения краевой задачи для уравнения тепло-переноса с производной дробного порядка / М.А. Назаралиев, В. Д. Бейбалаев // Вестник ДГУ. - 2008. - Вып. 6. - С. 46-54.
Соколовский Я.И. Шиманский В.М. Двумерная математическая модель влагопереноса в капиллярно-пористых материалах с фрактальной структурой
Рассмотрена математическая модель влагопереноса в капиллярно-пористых материалах с фрактальной структурой, которая описывается дифференциальным уравнением в производных частей с дробным порядком. Разностным методом получено численное решение задачи для разных значений дробной производной.
Sokolovsky Ya.I., Shymanskyy V.M. Two dimention mathematical model of a moisture transfer in cappilary-porous materials with fractal structure
There was considered mathematical model of a moisture transfer in capillary-porous materials with fractal structure which is described by the differential equation in derivatives with fractional order. The difference method receives the numerical decision of a problem at various orders of a fractional derivative.
