Дискретна модель поширення нестаціонарної подовжньої хвилі в пружному стержні Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК (531.36+539.3):534.1

Д-р фiз.-мат наук О. Д. Шамровський, А. I. Веселов, Ю. О. Лимаренко

Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя

ДИСКРЕТНА МОДЕЛЬ ПОШИРЕННЯ НЕСТАЦЮНАРНО1 ПОДОВЖНЬОТ ХВИЛ1 В ПРУЖНОМУ СТЕРЖН1

Запропоновано дискретну модель поширення нестацгонарного хвильового збурювання в пружному стержт. Принциповою особливгстю новог модел1 е схгдчастий вид залежност1 пружних характеристик модел1 (пружин) вгд деформацИ. Результати дослгджень показали, що запропонована модель при ров 'язаннг нестацгонарних задач даерезультати, що кращеузгоджуються з континуальною моделлю, чим в1дом1 дискретш модел1.

У класичнш механщ суцшьного середовища фiзич-но несшнченно малий обсяг розглядаеться як матерь альна точка, що не мае розмiрiв. Вшповшна континуальна модель устшно описуе рух суцшьного середовища, а також розподш напруг i деформацiй у гладких областях при плавних навантаженнях.

У тих же випадках, коли характерний розмiр збурювання мае порядок розмiру мiкроструктури, кла-сичнi континуальнi моделi стають або не зовам адек-ватними, або 1хне використання приводить до значних математичних труднощiв. Так, облiк мшрострукгурних ефектiв важливий при моделюваннi ультрадисперсних i нанокристалiчних матерiалiв [1, 2], при опий висо-кочастотних вiбрацiй у складних кристалiчних гратах оргашчних речовин [3], у вершинах трiщин i на фронтi хвилi руйнування [4, 5], при структурних перетворен-нях i виникненнi дефектiв [5, 6]. У подiбних ситуацiях у тому або шшому ступенi приходиться враховувати дискретний характер структури речовини.

Одним з пiдходiв, спрямованих на ров'язання заз-начено! проблеми, е побудова нових континуальних моделей, здатних вшображати специфiку внутршньо! структури речовини [7]. 1нший - припускае будувати споконвiчно дискретнi моделi замiсть континуальних. При цьому вшпадае необхiднiсть у застосуваннi про-цедури дискретизацп, неминучо! при використаннi стандартних чисельних методiв до ров'язання задач у рамках континуальних моделей. У зазначеному на-прямку отриманi визначенi результати [8, 9], однак, у цшому, розвиток дискретних моделей механiки суцшь-них середовищ iстотно вiдстае ввд розвитку контину-альних моделей.

У данiй робот запропонована дискретна модель, що дозволяе адекватно описувати поширення неста-цiонарного хвильового збурювання уздовж пружного стержня за рахунок наявностi в нiй «дискретних» пружин.

Континуальна i дискретна моделi стержня

Розглянемо спочатку коротко найбшьш вiдомi i широко використовуваш моделi стержня. У якостi те-

стово! приимемо класичну задачу про поширення не-стацюнарно! подовжньо! хвилi в пружному стержнi, що виникае внаслiдок раптово прикладено! до одного з шнщв стержня постшно! сили. Другий к1нець стержня жорстко закршлений.

Вiдповiдно до елементарно! теори Бернуллi по-довжнi коливання такого стержня в рамках континуально! моделi описуються рiвнянням

д2и

я2

__a2 ди=0

дх2 dt2

(1)

при початкових i граничних умовах вiдповiдно

= 0, (2)

it=0

ди ~dt

t=0

ди дх

х=0

= р, —

дх

= 0.

(3)

с=/

У рiвняннi (1) а = ^Е/ р - швндк1сть поширення хвилi, Е - модуль Юнга, с - щшьтсть матерiалу стержня.

Ров'язання [10] даламберовського типу задачi (1)-(3), тобто у формi хвилi, що б1жигь, представлене на рис. 2 пунктирною лжею. Зверху - графж подовжньо-го зусилля, унизу - подовжнього перемiщення.

Розглянемо тепер дискретну модель того ж стержня, представивши Иого у виглядi ланцюжка точкових мас, з'еднаних мiж собою пружними зв'язками (пружинами) (рис. 1). Ланцюжок складаеться з п + 1 част-

Рр1 я

ки масою т =-, де я - площа поперечного пере-

п

рiза стержня, I - Иого довжина. Твердiсть кожно! пру-

пЕЯ

жини дорiвнюе с = —^— .

Позначаючи перемiщення 1-й крапки в напрямку осi х через и. записуемо диференцiальнi рiвняння руху ланцюжка:

© О. Д. Шамровський, А. I. Веселов, Ю. О. Лимаренко, 2008

98

т т т т т т т

01 с Т с с с с с Т с I х

Щ и, иг ил_г и„_1

Рис. 1. Дискретна модель стержня з лшшними пружинами

тио + с(м0 -щ) = -Р

ти} + сЩ - и}_1) + с(щ - и^+1) = 0 (/ = 2,..., п -1)

тйпЛ + с(ип-1 - ип-2) + сип-1 = 0.

(4)

Ров'язання дано! системи, розшукуване у вигляд! суми окремого ршення неоднорщно! системи 1 загаль-ного ров'язання однорщно! системи, тут не приводиться через його гром1здшсть.

Рис. 2. Поширення навантаження вщ лiвого торця в континуальнiй (пунктирна лтя) i дискретно! моделi з лшшними пружинами (безперервна лтя)

На рис. 2 безперервною лшею зображеш граф1ки перемщень 1 зусиль у ланцюжку, отримаш в результат ршення системи (4) при п = 3. При цьому графш перемщень мае вигляд ламано! криво!, а графш зусиль - схвдчастий вигляд. Добре видно, що дискретна модель дае, у даному випадку, досить грубе наближен-ня, причому збурювання, що поширюеться, не мае фронту. 1з самого початку поширення хвил1 починае рухатися весь ланцюжок в1д навантаженого до закрш-леного кшця.

Ситуащя поблизу фронту практично не полшшуеть-ся !з зростанням п (рис. 3). Фактично, тут мае м1сце ефект Пббса, що виявляеться при розкладанш розрив-них функцш у ряд Фур'е.

Г..

б

Рис. 3. Графж подовжнього зусилля в континуальнш i дискретнш моделi при: а - п = 3; б - п = 300

Таким чином, замша континуально! модел! стержня дискретною моделлю не тшьки не спростила задачу про поширення нестацюнарно! пружно! хвил1, але зробила !! ршення бшьш складним, а результати -менш достов1рними.

Останшм часом у литератур! з'явилося досить ба-гато роби; у яких розглядаються нов! тдходи до побу-дови континуальних апроксимацш дискретного сере-довища, здатних враховувати мшроструктурш ефекти [11, 12]. Однак, якщо при ршенш стацюнарних задач пропоноваш модел дозволяють одержувати достов!рш результати, то !хне використання в нестацюнарному випадку е, як правило, не зовам коректним з погляду опису ситуацп поблизу фронту хвилг

Дискретна модель з дискретними пружинами

Детальний анал1з розглянуто! вище дискретно! модел! дозволяе пояснити !! недостатню ефектившсть при опий нестацюнарних збурювань половинчастютю ще! модель У нш процесов! дискретизацп тддаеться тшьки маса стержня, а його пружш властивосп моде-люються пружинами з лшшними, тобто безперервни-ми характеристиками. 1накше кажучи, можна вважа-ти, що пружш характеристики стержня не дискрети-зуються.

Розглянемо новий вар1ант дискретно! модел!, у яко-му усуваеться зазначений недолш. На рис. 4 приведен! граф!ки подовжнього зусилля Т для колишнього варь анта, що вщповщае сп!вв!дношенню

Т = сАи

(5)

(пунктирна лшя) ! пропонованого вар!анта (жирна сх!дчаста лш!я), описуваного сп!вв!дношенням

Т = - Р •

Аи А

(6)

де квадратш дужки позначае округлення аргумента до найближчого ц!лого числа.

Таким чином, зусилля в новш модел! зм!нюеться стрибкопод!бно при зм!н! деформаци на величину А = Р/с. При зростант деформац!!' Аи у д!апазош в!д 0 до А/2 реакщя пружини дор!внюе нулю, а полм стриб-копод!бно зростае до величини Р. Наступний стрибок на ту ж величину вщбуваеться при досягненш дефор-мац!ею значення 3А/2, попм значення 5А/2 ! т.д. Аналогична зм!на реакци ввдбуваеться ! при негативних значениях деформац!!. Таким чином, характерною рисою запропоновано! модел! е те, що параметр дискретизацп А залежить в!д прикладеного навантаження.

а

1607-6885 Новi маmерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2008

99

Рис. 4. Залежнють подовжньо! сили вщ деформацй в моделях з лшшними (пунктирна лтя) 1 дискретними пружинами (жирна лтя)

Рух часток у ланцюжку пiд дiею раптово прикла-дено! сили Р буде описуватися системою рiвнянь

ти'о + Р •

тиг + Р •

ио — и1

А _ и. — и._1

—Р

тип_1 + Р •

+ Р •

А

ип_1 _ ип_2

"г+1

А

+ Р •

п_1

А

0 (г = 1,...,п _ 2)

= 0. (7)

Осшльки зусилля в ланцюжку передаеться з одше! частки на iншу через дискретш промiжки часу, задачу будемо вирiшувати покроково, вивчаючи протягом вщповщних промiжкiв часу змiни руху тшьки одше! частки - пе!, до яко! дiИшло збурювання.

Так, на промiжку 0 < t < I1 пiд впливом прикладе-но! сили Р починае рiвноприскорений рух нульова ча-стка; iншi частки навантаженню не пiддаються i не пе-ремщаються. При цьому система рiвнянь (7) стае екв-iвалентною одному р!внянню

ти0 = _Р ,

з початковими умовами

и0 ||=0 = и0 и=0

= 0.

Ров'язання задачi (8), (9), що мае вигляд

Р

и 0 =--1

т

и 0 =_-

2т

(8)

(9)

(10)

залишаеться справедливим до моменту коли нульова частка тд дiею сили Р не змютиться з початкового положення на вщстань А/2, так що

А

2т

звВДЮля

=

Починаючи з моменту часу t1 на нульову частку дiе урiвноважена система сил у вигляд! навантаження Р (л!воруч) i р!вно1 Р реакцп пружини (праворуч). Таж реакцiя дiе i на першу частку. У тдсумку система р!внянь (7) приймае вигляд:

ти 0 = 0

0 :=:.

Pt12 2т

, и0 lt=tl = _~ :1

Р

—I

т

ти 1 = _Р

'111=tl

lt=tl

= 0.

(11)

Вщповщно до системи (11) нульова частка, починаючи з моменту I , продовжуе рух з постшною швид-шстю, досягнутою в момент часу I:

• _ Р Р I tl

и 0 = tl и 0 = ^ I : -т т ^ 2

(12)

а перша починае рухатися з прискоренням, повторю-ючи рух нульово! частки з затримкою за часом на 11:

и1 =_ Р (: _ :1) «1 =(: _ :1 )2 : > :1. (13)

т 2т

У момент часу 12 = 211 на вiдстань А/2 змщаеться перша частка, п!сля чого стрибком виникае реакцiя право! в!д не! пружини, i перша частка починае рухатися з постшною швидшстю тд дiею урiвноважено! системи сил:

Р

Р Р I 311

и1 =--tl, и1 =--:1\: —-

т т ^ 2

(14)

а друга частка починае рухатися ршноприскорено:

"2 =--(: _12 ) "2 =_ — (( _12 )2 : > 12 . (15)

т 2т

Неважко установити закожтршсть для руху до-вшьно! частки № г:

Р / \

--(: _ :г А :г ^ : ^ I

т Р

--11,

т

г+1

I > I

_ Р ((_^ )2,

2т

г+Ь

:г ^ : ^ :г+1

(16)

Р

--:1

т

I _

(2г +1)11 2

: > :г+1 •

(17)

де = г:1, г > 0.

1

А

и, =

2

Таким чином, рух кожно! частки складаеться з двох еташв. Перший етап - розгiн i3 прискоренням - P/m; другий - рух з постшною швидшстю üi = —Pti / m .

Реакцп всiх пружин, що з'еднують частки, що ру-хаються, pieHi P. Епюра подовжнього зусилля практично збтаеться з епюрою для випадку континуально! модeлi. £дине ютотне розходження полягае в тому, що тепер фронт рухаеться не з постшною швидшстю, а стрибками.

Знайдемо швидшсть поширення фронту. Оск1льки на промiжку 0 < t< t рухаеться тшьки нульова частка, а в момент часу t починае рухатися перша частка, що вiдсто!ть ввд нульово! спочатку на вiдстaнi Д/ = l/n, то можна вважати, що фронт нестацюнарного збурюван-ня пройшов вiдстaнь Д/ за час t зi швидк1стю

a = — = Д L С = Д l EF—1— t1 \m Д/ Д/ р —Д l

fi

(18)

Анaлогiчний результат мае мюце для всiх часток. Знайдена швидшсть збтаеться зi швидк1стю поширення фронту в рамках континуально! модель Рiзниця полягае тiльки в тому, що тут фронт перемщаеться стрибками, переходячи за час tj з одше! частки на iншу.

Ршення (16), (17) описуе тiльки поширення хвилi вiд навантаженого к1нця, що справедливо до моменту падшня фронту на праву опору. Дaлi починаеться вщбиття хвилi вiд опори. Застосовуючи мiркувaння, aнaлогiчнi вищевикладеним, неважко вивести законо-мiрностi, що будуть описувати всi чотири фази поширення збурювання:

0, 0 < t < иъ

P

--(( - it1 it1 < t < (i + 1)ь

2m

P

--11

m

t-li + 2 \t1

(i + 1))1 < t <(2n - i))1,

— [((-(2n +1 -i)))2 -4(n-г)2] (2n-i))1 <t <(2n + 1 -i), 2m

— — 2(n - i(2n +1 - i)t1 < t < (2n +1 + i))1, m

— [(( -(2n +1 + i))1 )2 - 4(n - i))2 ] (2n +1 + i) < t < (2n + 2 + i),

t-| 4n-i + — \t1

(2n + 2 + i)1 < t <(4n +1 - i))1,

--[t-(4n + 2- i2J2, (4n +1- i) < t <(4n + 2 - i))1.

2m

Таким чином, у момент часу t = (4n+2)t1 система повертаеться у вихщний стан. Потiм процес повто-рюеться, отже, перюд коливань дорiвнюе

T =

(4n + 2))1 = ( + 2))m

n EFn

= 14 + Ш р

4l

E a

що узгоджуеться 3i значенням перiоду для континуально! модель

Порiвняння континуально!" i дискретноТ моделей

При зютавленш результатiв, отриманих за допомо-гою дискретних моделей з лшшними i дискретними пружинами, можна бачати принципове полiпшення якостi модель При звичайних лшшних пружинах фронт узагалi вiдсутнiй i не забезпечуеться граничний перехiд вiд дискретно! до континуально! модель Збшьшення числа часток у ланцюжку, що моделюе стержень, не в змозi усунути ефект Гiббса поблизу того мiсця, де повинний бути фронт.

Дискретизация пружин привела до появи фронту, що поширюеться з пею же середньою швидшстю, що i фронт у рамках континуально! модел^ але рухаеться стрибками. Ус! параметри збурювання, що поширюеться, практично зб^аються з вщповщними параметрами для випадку континуально! моделц граничний пе-рехщ також виконуеться природним образом за раху-нок зменшення довжин стрибшв фронту при подiлi стержня на бшьш дрiбнi частини.

Вiдмiнною рисою запропоновано! дискретно! мо-делi е те що завдяки скачкам у характеристиках пру-жини зусилля передаеться з одше!' частки на шшу через дискретш iнтервали часу, що дае можливють про-тягом ввдповвдних промшшв вивчати змiну руху тiльки однiе!' частки. Ця властивють моделi не зм!ниться й у випадку неоднорщного стержня, наприклад, у випад-ках р!зних мас часток або р!зних твердостей пружин.

Висновки

1. Запропоновано дискретну модель пружного стержня з! сх!дчастою залежнiстю подовжнього зусилля вщ деформацп.

2. У складних нестацiонарних випадках нова модель дае результати аналопчш результатам континуально! модель

3. Дискретна модель з пею же ефективтстю може використовуватися й у випадку неоднорщного стержня.

Перелж посилань

1. Лизина С. А., Потапов А. И., Нестеренко В.Ф. Нелинейная гранулированная среда с вращающимися частицами: одномерная модель. - Акустический журнал, 2001. - № 5. - С. 685-793.

2. Косевич А. М. Теория кристаллической решетки -Х.: Вища школа, 1988. - 304 с.

3. Филимонов А. М. Континуальные и дискретные модели ограниченных одномерных сред в теории вязкоуп-ругости - ПММ, 1997. - № 2. - С. 285-296.

4. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб.: Изд-во С.ПбГУ. - 1995. - 160 с.

5. Askes H., Sluys L. J. Explicit and implicit gradient series in damage mechanics Eur. J. Mech. A. Solids, 2002. -№21. - P. 379-390.

u =

t

m

n

ISSN 1607-6885 Hoei матер1али i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2008

101

6. Pagano S., Paroni R. A simple model for phase transition: from the discrete to the continuum problem Quart. Appl. Math, 2003. - №61 - P. 89-109.

7. Аэро Э. Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой Успехи механики, 2002. - №3. - С. 130-176.

8. Shen W. Traveling waves in time periodic lattice dynamical systems Nonlinear Analysis, 2003. № 54. - P. 319-339.

9. Jensen J. S. Phononic band gaps and vibrations in one- and two-dimensional mass-spring structures Journal of Sound and Vibration, 2003. - №5. - P. 1053-1078.

10. Новацкий В. Теория упругости М.: Мир,1975. - 872 с.

11. Адрианов И. В. Об особенностях предельного перехода от дискретной упругой среды к непрерывной - ПММ, 2002. - №2. - С. 271-275.

12. Askes H., Мейкте A.V. One-dimensional dynamically consistent gradient elasticity models derived from a discrete microstructure. Part 1 : Generic formulation. Eur. J. Mech. A. Solids, 2002. - №21. - P. 573-588.

Одержано 24.12.2007

Предложена дискретная модель распространения нестационарного волнового возмущения в упругом стержне. Принципиальной особенностью новой модели является ступенчатый вид зависимости упругих характеристик модели (пружин) от деформации. Результаты исследований показали, что предложенная модель при решении нестационарных задач дает результаты, лучше согласующиеся с континуальной моделью, чем известные дискретные модели.

The discrete model ofpropagation of non-stationary wave indignation in an elastic rod is offered. The distinguishing feature of this model is a stage type of relationship of elastic characteristics of the model (springs) upon the deformation. Research results have proved that proposed model gives better results, when solving non-stationary problems that agree with continual model in comparison with known discrete models.

УДК 621.771.23

Е. В. Байков

Государственное высшее учебное заведение «Донецкий национальный технический университет»,

г. Донецк

ИССЛЕДОВАНИЕ НА НЕПРЕРЫВНОМ СТАНЕ ХОЛОДНОЙ ПРОКАТКИ ПРОДОЛЬНОЙ РАЗНОТОЛЩИННОСТИ ПОЛОС

На непрерывном четырехклетевом стане холодной прокатки исследовали продольную разнотолщинность полос при симметричном и асимметричном процессах прокатки. Асимметрию создавали только в четвертой клети разницей скоростей вращения рабочих валков. Применение рассогласования скоростей валков позволило уменьшить среднее значение толщины полос на 1,9 %, а долю полос, прокатанных в отрицательном поле допусков по толщине увеличить с 69 % до 85 %.

Металлургические предприятия Украины большую часть своей продукции поставляют на мировой рынок. Это характерно и для металлургических предприятий Донецкой области. В таблице 1 приведена структура готового проката, произведенного и экспортированного металлургическими предприятиями Донецкой области в 2005 году [1].

Как видно из таблицы, в 2005 г. предприятия Донецкой области экспортировали 82,55 % готового проката. Экспорт холоднокатаного листа был еще больше и составил 95,78 %.

Между тем, конкуренция на рынке металлопродукции непрерывно ужесточается, что является следствием наращивания производственных мощностей в ряде развивающихся стран, а также в Китае [2]. В свою очередь, ужесточение конкуренции на мировом рынке металлопродукции стимулирует повышение ее каче-

© Е. В. Байков, 2008

ства (подтвержденного сертификатом) и снижение себестоимости. В большинстве случаев производители и покупатели металлопродукции предпочитают сертифицировать ее в системе международных стандартов ИСО 9001 или ИСО 9002.

Получение продукции, отвечающей требованиям этих стандартов, предусматривает также использование технологии, обеспечивающей необходимое качество продукции.

Целью данной работы1 является повышение точности геометрических размеров холоднокатаных полос за счет совершенствования технологии их прокатки на непрерывном стане.

1 Работа выполнена под руководством д.т.н., проф. В. С. Горелика