Двошарова дискретна модель нестаціонарних хвильових процесів у стержні Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вщзначимо, що застосований cnoci6 розрахунку статичного деформування дослвджуваного об'екта дозволяе досягнути високо! точностi при утриманнi певного числа гармошк у виразах (4), (5). А саме, точшсть виконання умов Нав' е на згаданому вище кон-турi забезпечуеться вибором m, n = 1,3,...31. При цьо-му максимальна вщносна похибка розрахунк1в не пе-ревищуе 0,8 %.

Перелiк посилань

1.

Прочность, устойчивость, колебания. Т. 2 / [под общей редакцией Й. А. Биргера, Я. Г. Пановка]. - М. : Машиностроение, 1968. - 464 с.

2. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В. З. Власов. - М., 1949. - 707 с.

3. Гавеля С. П. Решение некоторых граничных задач теории оболочек / С. П. Гавеля, Ю. А. Мельников, И. А. Давыдов. - Днепропетровск : Изд-во ДГУ, 1971. - 53 с.

4. Гавеля С. П. Метод построения матриц типа Грина для составных оболочек / С. П. Гавеля // Докл. АН УССР. -Сер. А. - 1981. - № 9. - С. 12-17.

5. Гавеля С. П. Некоторые граничные задачи для пологих оболочек с отверстиями / С. П. Гавеля // Динамика и прочность машин. - Харьков, 1966. - Вып. 3. - С. 3337.

6. Гавеля С. П. О вычислении матриц Грина статических задач теории пологих оболочек / С. П. Гавеля // Изв. ВУЗов, Математика. - 1980. - № 12. - С. З-9.

7. Гавеля С. П. Периодические задачи для пологих оболочек произвольной кривизны с отверстиями / С. П. Гаве-ля // Докл. АН УССР. - Сер. А. - 1969. - № 8. - С. 226229.

8. Левчук С. А. Расчет напряженно-деформированного состояния элементов сложных технических конструкций / С. А. Левчук. - Запорожье, 1997. - 24 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 17.06.97, №447 - Ук97.

Одержано 03.02.2009

Задача о статическом деформировании пологих оболочек с отверстиями решается с использованием соответствующих матриц Грина. На примере оболочки с двумя круговыми отверстиями, при специальных краевых условиях, продемонстрирована эффективность метода расчета.

The problem of static deformation of the sloping shells with holes is solved using Green matrix. The efficiency of calculation method is shown on the example of the shell with two round holes in special border conditions.

УДК (531.36+539.3):534.1

Д-р фiз.-мат наук О. Д. Шамровський, А. I. Веселов Державна ¡нженерна академ1я, м. Запор1жжя

ДВОШАРОВА ДИСКРЕТНА МОДЕЛЬ НЕСТАЦ1ОНАРНИХ ХВИЛЬОВИХ ПРОЦЕС1В У СТЕРЖН1

Запропоновано покращену дискретну модель поширення нестацгонарних хвиль у стержнг, у якт дискретизацИ пгддаеться не ттьки маса, але I пружнг характеристики стержня. Принциповою особливгстю модел! е два шари мас, з 'еднат трьома типами зв 'язюв, що дозволяють моделювати подовжнг I поперечнг коливання.

Моделювання нестацюнарних динамiчних про-цеав е важливою задачею теорп пружносп. Широко поширеш чисельш методи розв'язання задач мехаш-ки суцшьного середовища за допомогою дискретизацп диференщальних рiвнянь у частинних похщних [1-3]. У той же час вщомо, що щ диференщальш рiвняння неточш i грунтуються на усередненш реальних дискретных структур. Тому цшком природними е зусилля по створення споконвiчно дискретних моделей [4]. Добре вiдомi модел^ що складаються з наборiв крап-кових мас, з'еднаних пружними зв'язками [5, 6]. Од-нак при використанш таких моделей виникають серй-озш проблеми, що обмежують 1хне застосування. Особливо це вщноситься до моделювання нестацюнарних хвильових процеав. Вщбуваеться це тому, що

оджмрний ланцюжок у вигляд крапкових мас, з' една-них пружинами, не дозволяе описати поширення фронту хвилг Крiм того, подiбна модель не допускае гра-ничний перехщ до класичного хвильового рiвняння.

У данш робот пропонуються удосконалеш диск-ретш моделi, у яких дискретизаци шддаються не тiльки маси, але i жорсткостi пружних зв'язк1в. З щею метою спочатку дискретизуеться прикладене навантаження, а потiм, з тим же кроком, пружш характеристики пружин, що з'еднують крапковi маси.

При використанш щдабно! моделi процес поширення оджтрно! нестацюнарно! хвилi здiйснюеться згiдно «ефектовi домшо», тобто рiзнi маси починають рухатися по черзг У пiдсумку значно полегшуеться знаходження характеристик хвилi. Спостерiгаеться

© О. Д. Шамровський, А. I. Веселов, 2009 106

яскраво виражений фронт, що рухаеться стрибками iз середньою швидк1стю, що збтаеться зi швидк1стю фронту хвилi в континуальному випадку, i природним образом виконуеться граничний перехiд до континуально! модель Модель одномiрноl нестацюнарно! хвилi докладно описана в [7].

За допомогою дано! моделi можна розв'язувати i двовимiрнi задача Наприклад, у випадку поширення хвилi по тонкому шару спостерiгаеться виникнення не тiльки основно! подовжньо! хвил^ але i поперечного квазiфронта. Явище такого квазiфронта добре вiдомо, але в дискретнш моделi воно виявляеться особливо наочно i з чггким пояснениям фiзичного змiсту. Квазь фронт утворюеться через те, що перехресш поперечш пружнi зв'язки починають сприймати навантаження пiзнiше подовжнiх зв'язк1в.

Дослщження поширення нестацiонарних хвиль значно полегшуеться за рахунок того, що рiзнi крап-ковi маси починають рухатися по черз^ що дозволяе вирiшувати вiдповiднi рiвняння роздiльно також по черзь

Опис моделi

Розглянемо тепер двошарову модель, що являе собою два рiвнобiжних ряди мас, з'еднаних мiж собою горизонтальними, вертикальними i дiагональними пружинами. Дана модель дозволяе iмiтувати як по-довжш, так i поперечнi коливання стержня.

Рис. 1. Двохшарова модель

Маса уах часток однакова i дорiвнюе m. Пружнiсть вертикальних i горизонтальних пружин однакова i до-рiвнюе C. Пружнiсть дiагональноl пружини, з огляду на те, що 11 довжина в рази бшьше, покладемо в це ж число раз меншим. Розглянемо роботу тако! модель Рух елементiв моделi описуеться наступними формулами:

X = X о + Vx ^ - +

ax (1 -10 ) 2

Y = Yо + Vy а - +

ay О -10)2 2

(1)

Тому що модель повинна створювати i подовжш, i поперечнi коливання, рух елеменпв розглядаеться як по осi X, так i по осi Y, на вiдмiну вiд одношарово! модел^ де моделюються тiльки подовжнi коливання. Формули обчислення швидкостi i прискорення вигля-дають у такий споаб:

Ух = У0х + ах V - ^Х Уу = У0у + ay V - кХ

a = = р

x Ш У ш

(2)

(3)

У формулi (3) сила задаеться з iндексами х i у, що пов'язано з тим, що сила обчислюеться як сума сил дшчих на частинку у залежностi вiд обраних зазорiв для горизонтальних, вертикальних i дiагональних пружин. Данi зазори i виникаючi при них сили зазначеш в табл. 1. На основi законiв, описуваних формулами (1-3), була створена двошарова дискретна модель, що демонструе поширення хвильових процеав.

Процес руху модельовуваного об'екта

Пружний стержень, до якого з торця прикладена сила, що стискае його в подовжньому напрямку, вик-ликае рiвноприскорений рух часток стержня з приско-ренням, рiвним вiдношенню даючо! сили до маси стержня, при цьому здшснюючи коливання двох видiв у двох напрямках.

Перший вид коливань - це гармоншш коливання в подовжньому напрямку, добре вивченi i устшно моделюються бiльшiстю вiдомих моделей. 1х недолiк полягае в тому, що в юнуючих моделях швидшсть поширення хвилi неск1нченна, тобто з моменту початку прикладення сили у рух приходить уся модель вщ на-вантаженого до закршленого к1нця.

Другий вид коливань - це поперечш коливання або другий фронт. 1снування його вiдоме, але юнукш мо-делi не забезпечували його присутнiсть.

Моделювання коливань подовжнього виду

Розглянемо коливання подовжнього виду. Як i в одношаровш дискретнш моделi [7], лiнiйна функцiя пружносп пружин, що з'еднують елементи, зашняеть-ся ламаною.

Знайдемо крок ламано!, що описуе функцiю пруж-ностi пружини Е', де Е' - сила, прикладена до торця пружини. Крок ¿Х, при якому буде вiдбуватися стри-бок сили пружиостi при зрушеннi з нейтрального по-ложення, буде дорiвнювати

Е'

¿X =-

2* С

(4)

Це значить, що сила пружносп в пружиш буде ви-никати не вiдразу, а через час, коли збурювання поши-риться на вщстань ¿Х, i, отже, швидшсть поширення хвилi в стержш, на вiдмiну вiд iнших моделей, буде шнцевою. Тобто наша модель краще вщповщае кла-сичнiй, шж аналогiчна дискретна модель з лшшною силою пружиостi.

Моделювання коливань поперечного фронту

Тепер розглянемо новi можливосп двохшарово! моделi, що враховуе деяк особливостi модельовува-

1607-6885 Новi матерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2009

107

ного об'екта. Розглянемо розподiл сил у трикутнику, утвореному трьома масами (рис. 2).

Сила F прикладена до частинки A i рухае його рiвноприскорено в напрямку до частинки B доти, поки не буде обраний зазор горизонтально! пружини, i пiсля цього рухаеться з постшною швидк1стю, усе ще на-ближаючись до частинки B, поки не набере визначену фiксовану швидк1сть, однакову для вах часток. Вщпо-вщно одночасно з горизонтальною пружиною a буде скорочуватися i дiагональна пружина d, тому що обидвi вони прив'язаш до частинки A. Порахуемо зазор для пружини d. Сила, що стискае цю пружину, буде дорiв-нюе

Fd = F 008 < (DAB) = Fa / d .

(5)

Рис. 2. Елемент двошарово! модел1

З огляду на, те що пружшсть пружини d дорiвнюе С/^2 , де C - пружнiсть пружин a i Ь, одержимо, що зазор, який потрiбно вибрати для збудження в пружинi d сили пружносп буде дорiвнювати:

dX d =

Ра

Ра

2*(С />/2") Сл/2"

(6)

У цьому випадку сила пружносп буде достатня, щоб компенсувати Ра . Тепер сила пружносп, що ви-никла в пружиш А, починае дiяти на частинку D. З огляду на, те що пружшсть горизонтально! пружини бшьше дiагонально!, а тим бшьше !! горизонтально! складово!, значення яко! з наближенням частинки А до частинки В буде падати як в абсолютнш величинi, так i стосовно вертикально! складово!, то !! буде недостат-ньо для того, щоб значимо дiяти на частинку D у його перемiщеннi по горизонтали i ми !! далi розглядати не будемо.

Розглянемо вертикальну складову сили Рь . Вона буде дорiвнювати:

Ръ = Ра 008 < (BAD) = РаЬ / А.

(7)

Вщповщно зсув з положення рiвноваги в ту або шшу сторону, при якому в пружинi Ъ буде виникати сила пружностi, буде дорiвнювати:

АХъ =

Ръ

2* С

До того як цей зазор буде обраний у напрямку стиску або розтягання пружини Ъ, !! кшець, зв'язаний iз час-

тинкою D, буде рухатися в напрямку дп сили Ръ iз прискоренням Ръ /т, а пiсля того буде рухатися з постшною швидшстю. Це буде продовжуватися доти, поки не буде обраний ще один повний крок, рiвний

Ръ /С i сила пружносп збшьшиться до такого значення, що результуюча сила, рiвна рiзницi сили пружносп i сили, що розтягуе, Ръ , почне дiяти убш скорочення

пружини, додаючи частинцi прискорення рiвне Ръ /т у цьому напрямку. Тепер частинка D буде рухатися з негативним прискоренням, що, зрештою, змусить його рухатися в напрямку скорочення пружини ъ. У цей момент результуюча сила стане рiвною нулевi i ,вщповь дно, прискорення руху частинки D також стане рiвним нулевi, i далi вiн уже буде рухатися з постшною швидшстю, поки не досягне крапки А Хъ, де значення сили пружносп стане рiвним нулевi i резулкгуючш силi знову почне дiяти убш розтягання пружини.

Розглянемо таблицю зазорiв i змiни сил у рiзних дiапазонах:

Таблиця 1 - Таблиця зазорiв i змiни сил

(8)

Використовуючи аналопчний алгоритм та розг-лядаючи сили, що дiють на кожну окрему частинку, можна розрахувати положення кожно! частинки у будь -який час, наприклад, у момент вщбиття хвилi вiд мiсця кршлення стержня, або пiсля нього. Також легко модиф^вати двохшарову модель на будь-яку iншу к1льк1сть шарiв. Були проведеш випробування моделi для максимум десяти шарiв, як1 ще бшьш на-очно демонструють теоретичнi принципи, закладеш у модель.

Приклад роботи моделi показаний на рис. 3. Особ-лившть поширення поперечного фронту полягае в тому, що вш запiзнюеться в порiвняннi з подовжнiм. З погляду побудовано! моделi це можна пояснити тим, що зазор дiагонально! пружини вибираеться пiзнiше, нiж зазор горизонтально!.

За допомогою цього шдходу можна розв'язати iншi задачi, наприклад тривимiрнi. Використання сiток складно! форми дозволяе усшшно застосовувати дис-кретнi моделi для опису тiл довiльно! конфiгурацi!. Також, в рамках дискретних моделей, неважко ввести рiзнi нелiнiйнi ефекти фiзичного i геометричного характеру.

i! конфiгyраш!, тривимiрних або неоднорщних

Перелiк посилань

Аэро Э. Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой / Э. Л. Аэро // Успехи механики. - 2002. - № 3. - С. 130176.

Слепян Л. И. Нестационарные упругие волны / Л. И. Слепян. - Л. : Судостроение, 1972. - 376 с. Filimonov A. M. Continuous approximations of difference operators / Filimonov A. M. // J. Difference Equations and Applications. - 1996. - Vol. 2, N 4. - P. 411-422. Shen W. Traveling waves in time periodic lattice dynamical systems / W. Shen // Nonlinear Analysis. - 2003. - N 54. -P. 319-339.

Адрианов И. В. Об особенностях предельного перехода от дискретной упругой среды к непрерывной / И. В. Адрианов. - ПММ, 2002. - № 2. - С. 271-275. Jensen J. S. Phononic band gaps and vibrations in one- and two-dimensional mass-spring structures / J. S. Jensen // Journal of Sound and Vibration. - 2003. - N 5. - P. 10531078.

Шамровський О. Д. Дискретна модель поширення не-стацюнарно! подовжньо! хвилi в пружному стержш / О. Д. Шамровський, А. I. Веселов, Ю. О. Лимаренко // Новi матерiали i технологи в металурги i машинобуду-ванш. - 2008. - № 1. - С. 98-102.

Одержано 15.09.2008

Предложена улучшенная дискретная модель распространения нестационарных волн в стержне, в которой дискретизации подвергается не только масса, но и упругие характеристики стержня. Принципиальной особенностью модели являются два слоя масс, соединенные тремя типами связей, что позволяет моделировать и продольные, и поперечные колебания.

The improved discrete model of non-stationary wave distribution is offered where not only mass but also elastic bar characteristics are exposed to quantification. The main feature of model is using of two layers of masses joined by three types of connection what allows simulating longitudinal and transverse vibrations.

УДК 657.471:658.589:669.013

Канд. економ. наук О. М. Панченко, канд. економ. наук О. Г. Лищенко

Державна шженерна академiя, м. Запорiжжя

ОПТИМ1ЗАЦ1Я ОБЛ1КОВО1 1НФОРМАЦП В СИСТЕМ1 УПРАВЛ1ННЯ ВИТРАТАМИ ДЛЯ 1ННОВАЦ1ЙНОГО РОЗВИТКУ ПЩПРИеМСТВ МЕТАЛУРПЙНО1 ГАЛУЗ1

Розглянуто практику формування тформаци щодо витрат в cucmeMi управлiння на тдприемствах металургшног галузi, обтрунтовано принципи формування управлтсь^ тформацИ щодо витрат на тдприемствах металургшно'1' галузi з метою ix iнновацiйного розвитку.

Вступ

В глобальнш конкурентоспроможносп кра!н вирь ального технолопчного способу виробництва на чер-

шальним чинником розвитку на сьогодш е rnjroBi знан- говий - постiндустрiальний, особливосп нових базо-

ня та передовi шновацшш технологи. Змша iндустрi- вих науково-технолопчних напрямшв робить особли-

© О. М. Панченко, О. Г. Лищенко, 2009

ISSN 1607-6885 Нов1 матер1али i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2009 1 09

^Ixlxixixlxixix

Рис. 3. Моделювання подовжшх i поперечних коливань

вшь: об'е:

Висновки

1. Запропоновано дискретну модель, у яшй диск-ретизуеться не тшьки маса, але i пружш характеристики стержня. Завдяки цьому розповсюджене збурен-ня мае фронт, який рухаеться iз середньою швидшстю, що збпаеться зi швидшстю фронту хвилi у класичнш модель

2. За допомогою додавання другого шару в модель з'являеться можливють використовувати И для моделювання не тшьки подовжшх, але i поперечних збу-рювань. Хвиля мае як подовжнш фронт, так i попереч-ний квазiфронт.

3. За допомогою розроблено! дискретно! моделi можна дослщжувати бшьш складш випадки тiл до-

4

6