CC BY
7
УДК 629.4.015:625.1.03
В. А. Нехаев, В. А. Николаев
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация
ДИНАМИКА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ЭКИПАЖА ПРИ ДЕЙСТВИИ НА НЕГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ СО СТОРОНЫ ПУТИ
Аннотация. Изложена методика исследования динамических свойств железнодорожного экипажа при действии на него гармонического параметрического возмущения, обусловленного изменяющейся жесткостью подрельсового основания. Для таких дифференциальных уравнений не существует регулярных методов их решения, более того, их точные решения в настоящее время не известны, поэтому используются приближённые методы. Рассматривается двухстепенная механическая система с гармоническим параметрическим возмущением, описываемая системой обыкновенных однородных дифференциальных уравнений. Один из жёсткостных параметров является функцией времени и изменяется в пределах от 2000 до 3000 Н/м. Для вычисления границ динамической неустойчивости (параметрического резонанса) применяется метод обобщённых определителей Хилла, который не требует введения малых параметров. Определена область взаимодействия параметрически возбуждаемых и вынужденных колебаний.
Ключевые слова: механическая система, дифференциальные уравнения, параметрическое возмущение, зоны динамической неустойчивости, нормальная форма Коши, метод обобщённых определителей Хилла, критический коэффициент параметрического возмущения, аддитивное и мультипликативное воздействие.
Viktor A. Nekhaev, Viktor A. Nikolaev
Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Federation
THE DYNAMICS OF THE RAILWAY VEHICLE WHEN IT IS ACTIONED BY PARAMETRIC EXCITEMENT FROM THE SIDE OF THE TRACK
Abstract. The method of researching the dynamic properties of the railway crew in the action on it harmonic parametric perturbation, caused by the changing rigidity of the base of the rail, is set out. For such differential equations there are no regular methods of solving them, moreover, their exact solutions are not known at present, so they are used by approaching methods. A two-degree mechanical system with a harmonic parametric perturbation described by a system of ordinary homogeneous differential equations is considered. One of the hard-bone parameters is a function of time and varies from 2000 to 3000 N/m.
To calculate the boundaries of dynamic instability (parametric resonance) a method of generalized Hill definers is used, which does not require the introduction of small parameters. The area of interaction ofparametrically excited and forced vibrations has been determined.
Keywords: mechanical system, differential equations, parametric perturbation, dynamic instability zones, normal Koshi shape, Hill generalized deterministic method, critical parametric perturbation factor, additive and multiplier impact.
Известно, что железнодорожный путь является неравножёстким по его протяженности, что обусловлено наличием шпал. Следует высказать аналогичную мысль относительно разной эластичности контактной сети, здесь роль, подобную шпалам, играют струны. Параметрическое возбуждение колебаний возможно во многих системах, где движение передаётся через упругодеформируемые звенья, например, через спарник в колесах локомотива.
Следовательно, в этой области знаний нужно менять парадигму обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на парадигму дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами.
Рассмотрим эквивалентную двухстепенную механическую систему - железнодорожный экипаж, движущийся по пути, жесткость которого периодически изменяется с течением времени (рисунок 1).
Динамика такой системы описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений с одним коэффициентом, изменяющимся во времени, например, периодическим образом:
МД + bu (Z - Z2)+cu (Zl - Z2 ) = 0;
M2Z2 - bi,i ( Z - ) + Ь2Л^2 - ^1,1 ( Z - Z2 ) + C2 2 (t)Z2 = 0
или в другом виде: MZ + bi,i (Z, - Z2)+cu (Zl - Z2 ) = 0; M2Z2 -b1,1Z1 +(b1,1 + b2,1)Z2 -c1,1Z1 + [c1,1 + c2,2(t)]Z2 = 0.
(1)
(2)
В векторно-матричной форме система дифференциальных уравнений будет иметь вид:
здесь
г
A =
М1 0 0 М
Aq + Bq + C (t) q = 0,
- матрица инерционных коэффициентов;
(3)
2
B
C (t) =
Z1
b1,1 b1,2 b2,1 b2,2 J С
- матрица диссипативных коэффициентов;
V
f „ -c л
1,1 1,2
V-c21 c2 2 - 2juc0 cos 2Qt
f v л
- матрица жёсткостных коэффициентов; - вектор обобщённых координат. Несколько преобразуем последнее слагаемое в матрице жёсткостных коэффициентов:
q =
Z
V^ 2 J
с (t )q =
(c (0 0 ^
1,1 1,2 - 2^ V 0 c0 у cos 2Qt
V-c2,1 c2,2 у
q.
(4)
Перейдём к нормальной форме, т. е. к форме Коши, когда система разрешается относительно старших производных, следовательно, новый вектор обобщённых координат
( qЛ
q2 q1
V q2.
(5)
Тогда система дифференциальных уравнений примет вид;
— = G0 x - cos 2Qt, dt
|0 2(46) 2021
здесь
Gn
^ =
О
Е
<-1
V Л~С0 -Л Б,
- матрица Коши четвёртого порядка;
О О
Л~1¥ О
- матрица переменной части системы обыкновенных дифференциаль-
V "" " ^J
ных уравнений четвёртого порядка; ОО
¥ =
О
V О с0 У 0Л
V0 0У
- матрица, характеризующая переменную жёсткость системы в уравнении (4);
нулевая матрица.
Определим собственные частоты механической системы в консервативном случае, полагая, что все жёсткости системы постоянны:
л~с -л2 е =
с1,1-л
"2,1
С1,2 С2,2 - Л
= 0,
откуда имеем:
л" - (С1,1 + С2,2 ) Л' + С1,1С2,2 - С1,2С2.1 = 0
И, положив р =Л , получаем квадратное уравнение:
Р2 - (С1,1 + С2,2 ) Р + С1,1С2,2 - С1,2С2.1 = 0 решаемое по известным правилам:
(7)
(8)
(9)
л
,2,3,4
= +Н
С1,1 + С2,2 + у/ (С1,1 - С2,2 ) + 4С1,2С2,1
2
Для исходных данных М1 = 100 кг, М2 = 10 кг, с1,1 = 1000 Н/м, с1,2 = С2,1 = -1000 Н/м, С2,2 = 2500 Н/м, С0 = 500 Н/м, ¿1,1 = 10 Н-с/м, ¿1,2 = -10 Н-с/м, ¿2,1= Ь2,2 = 20 Н-с/м критерий малости сил трения
(10)
-1000Н/м, -10 Н-с/м,
, „ ч, (11)
выполнен.
Выражение (11) для одностепенной механической системы имеет хорошо известный вид: 2п/ю0 = 25. Вычисления по формуле (10) и нахождение собственных чисел с помощью стандартной функции Mathcadeigenvals(A~lC0) дают, естественно, одинаковый результат: £01=2,429663 и ^2=15,940412 рад/с (отрицательные значения корней были, естественно, отброшены; около этих значений будут находиться области параметрического резонанса). Заметим, что вычисления велись для консервативного случая, т. е. трение в системе отсутствовало.
В случае малой диссипации параметрических систем область динамической неустойчивости на плоскости а> имеет ряд клиньев, заостряющихся в сторону малых Клинья примыкают к оси частот вблизи значений ю, находящихся в некоторых соотношениях с собственными частотами соответствующей консервативной системы, т. е. с положительными корнями
ю1, ю2, ..., юп уравнения det(Ao - ю2В0) = 0. Именно эти частотные соотношения соответствуют параметрическим резонансам [4 - 10, 17, 24].
Параметрические резонансы, обычно возникающие вблизи частот,
П = ( Р
k = 1, 2, Р = 1, 2,
(12)
называются простыми. Здесь заметим, в механических системах, для которых уравнение
А(1) ^ + В ^) ^ + С & )д = 0
(13)
распадается на независимые уравнения, описывающие изменение каждой обобщённой координаты в отдельности, возможны только простые резонансы.
Параметрические резонансы, развивающиеся вблизи частот, определяемых соотношениями
а.+а,
] к
Р
'к = 1, 2, ..., п; ] * к^ Р = 1, 2, ...
(14)
называются комбинационными. Эти резонансы, обусловленные попарным взаимодействием форм колебаний, возможны только в системах, совершающих связанные колебания. В зависимости от знака в правой части формулы (14) различают комбинационные резонансы суммарного типа и комбинационные резонансы разностного типа. В зависимости от значения целых чисел р в соотношениях (12) и (14) различают главные (при р = 1) и побочные (при р > 2) резонансы. Число р называют порядком резонанса.
Итак, хорошо известно [1 - 4, 6 - 9, 12 - 14, 17 - 19], что уравнения (3) и (13) обладают экспоненциально возрастающими, периодическими и убывающими решениями, причём периодические решения возникают при условии, что система находится на границе зоны устойчивости.
Известно, что при выполнении условия Дирихле любое периодическое решение может быть разложено в ряды Фурье. Следовательно, один из способов отыскания границы области неустойчивости основывается на рядах Фурье. Второй же способ состоит в применении обобщённых определителей Хилла, в основе которого лежит представление одного из решений общего уравнения (6) в форме [4]:
(0 = е*Хк(0 (к = 1, 2, ..., 2п),
(15)
где х(1) - Г-периодические непрерывные функции; Нк = (\/Т)1пРк - характеристические показатели.
Пусть матрица-функция G(t) разложена в ряд Фурье по времени:
О(I) = О0 + £ (Ок соб кШ + Нк Бт кШ)
к=1
с постоянными коэффициентами - матрицами Ок и Нк.
п
к
В нашем примере все матрицы Hk = 0 (см. формулу (6)). Метод малого параметра, который в данном случае приводит к простым выражениям первого приближения для границ главных областей неустойчивости, практически не позволяет проводить уточнения этих формул, ибо требует построения высших приближений, что весьма непросто. К тому же метод становится ненадёжным, если глубина модуляции параметров и (или) коэффициенты диссипации д не малы. Наконец, применение метода малого параметра встречает затруднения при переходе к существенно неканоническим системам, а формулы высших приближений чрезвычайно громоздки и плохо алгоритмизируются.
Воспользуемся методом обобщённых определителей Хилла, который не требует малости сил трения и малости коэффициентов параметрического возбуждения, а бесконечный определитель оказывается сходящимся при достаточно широких предположениях о свойствах матриц Gk и Hk и, следовательно, допускает редукцию к определителям конечного порядка. Решение уравнения (6) для главных зон динамической неустойчивости будем отыскивать в виде:
x(t) = a cos Qt + b sin Qt. (17)
Подставляя уравнение (17) в (6), после несложных преобразований получаем:
det [ K (ц) -XE ] = 0, (18)
где
K(ц) = [A"1 (С0 + )F)] • [A-1 (C0 - )F)]. (19)
Умножая матрицы слева направо или справа налево, мы получим существенно разный результат, поэтому в формуле (19) стоят квадратные скобки, т. е. сначала выполняем действия внутри квадратных скобок, затем полученные результаты перемножаем слева направо.
Решение уравнения (18) для консервативного и диссипативного случаев осуществлялось поиском собственных чисел с помощью стандартной функции Mathcadeigenvals(K())), результаты представлены на рисунке 2.
20
М^ 13 М|1)4
тР %)4
~~ 14
1:
ю
I
11 (1
а б
Рисунок 2 - Главные области динамической неустойчивости системы: а - для колесной пары (второй массы); б —для кузова (первой массы); сплошная линия -в случае консервативной системы, пунктирная линия - в случае диссипативной системы
Из рисунка 2 следует, что трение создаёт порог для коэффициента параметрического возбуждения. В данном случае он равен 0,135 и 0,664 для первой и второй масс соответственно.
Если вести речь о железнодорожном транспорте (хотя мы рассматриваем методологические аспекты исследования параметрических систем), то максимальный коэффициент параметрического возбуждения находится в пределах 0,04 - 0,06. Следовательно, в чистом виде параметрические колебания возникнуть не могут, в противном случае амплитуда колебаний второй массы экспоненциально возрастала бы. Поэтому опасность параметрического резонанса значительно выше обычного резонанса, при котором амплитуда обязательно ограничена диссипативными силами. Ничего подобного при параметрическом резонансе не наблюдается.
Таким образом, серьёзной опасности для выбранной механической системы параметрическое воздействие может быть и не представляет, но есть одно замечание. Оно касается зоны, расположенной между сплошной и штриховой кривыми, так как В. В. Болотиным установлена возможность взаимодействия параметрически возбуждаемых и вынужденных колебаний [4, 10]. Это возможно тогда, когда длина геометрической неровности железнодорожного пути приблизительно в два раза больше междушпального расстояния, т. е. 1н « 1,08 - 1,1. Параметрическое возбуждение может как увеличивать, так и уменьшать амплитуду вынужденных колебаний, всё зависит от фазового соотношения между ними.
Частота параметрического возбуждения связана со скоростью движения экипажа V и с междушпальным расстоянием 1шп так:
Q =
пУ
3,6/.
(20)
График для скоростей движения экипажа, построенный на основании формулы (20), показан на рисунке 3. Ещё раз подчеркнём, что мы не рассматриваем конкретный железнодорожный экипаж, а используем произвольную механическую систему с двумя степенями свободы и при параметрическом изменении жёсткости крепления системы к основанию. Разговор может идти о железнодорожном транспорте, расчётная схема которого в принципе подобна исследуемой механической системе. Заметим, что рассматриваемая механическая система обладает достаточной диссипацией, поэтому возбудить чистые параметрические колебания в ней практически невозможно, так как критический коэффициент параметрического возбуждения составляет порядка 0,664. С этой точки зрения возбудить простой параметрический резонанс первой массы значительно проще, ибо критический коэффициент параметрического воздействия равен 0,135 (это в пять раз меньше, чем для второй массы).
Железнодорожникам известно, что собственная частота подпрыгивания колёсной пары практически любого подвижного состава лежит в пределах от 15 до 30 Гц (от 94,25 до 188,5 рад/с). Следовательно, чтобы говорить о зоне параметрического резонанса конкретного железнодорожного подвижного состава, нужно ординаты графика, представленного на рисунке 3, а, умножить на 4,7 - 9,1. Тогда эти резонансные скорости, находящиеся в диапазоне от 50 до 100 км/ч, попадают в зону эксплуатационных скоростей. Это означает, что в области, ограниченной сплошной и пунктирной кривыми, мультипликативное возмущение может взаимодействовать с возмущающей силой, действующей на железнодорожный подвижной состав.
Если продолжить говорить о железнодорожном подвижном составе, например, о кузове гружёного вагона, то собственная частота подпрыгивания кузова составляет порядка 2 - 3 Гц, но нам эти величины следует перевести в радианы в секунду, т. е. нужно умножить на 2п. В результате получим 12,56 - 18,85, а расчёты были выполнены для частоты первой массы, равной 2,43. Следовательно, чтобы оценить критические скорости движения системы, нужно ординаты графика на рисунке 3, б умножить на 6,28. Тогда получим, что зона резонансных скоростей располагается в диапазоне 8 - 10 км/ч. Другими словами, опасаться каких-то параметрических колебаний кузова вагона не приходится, ибо найденный диапазон скоростей не попадает в область эксплуатационных скоростей.
<2
0.2
0-
и
0.5
1
|1 (I
а б
Рисунок 3 - Экспертные оценки критической скорости движения условного двухстепенного одноосного железнодорожного экипажа, км/ч: а - для второй массы (например, колёсная пара); б - для первой массы
(например, кузов)
Выше было указано на возможность существования комбинационных резонансов суммарного или разностного типа. Методика отыскания границ указанных резонансов чрезвычайно сложна. В источнике [24] установлено, что в канонических системах, которые удовлетворяют условию
— = JH ^) X, Л
где Н(1) - симметричная матрица-функция; J - матрица вида
J =
0 Еп к~Еп 0
(21)
(22)
(Еп - единичная матрица размерности п), возможны только резонансы суммарного типа. Уравнения (21) в компонентах имеют ту же структуру, что и канонические уравнения Гамильтона в аналитической механике. Системы уравнений, приводимые к виду (21), а также соответствующие механические системы называются каноническими.
Чтобы отыскать условия существования комбинационных резонансов, воспользуемся мультипликаторами, которые находятся с помощью матрицы монодромии. Для этого численно методом Рунге - Кутты необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений:
Л>2 1 "X2 I 2С11Л^! I С1 2*Хз ;
х3 Х4;
х4 = 2п2 1Х2 — 2п2 2Х4 1 С2.1 Л1 '
-(с2 2 - 2^е0 соб2^).
(23)
при следующих начальных условиях:
3
X (0) = Е. (24)
Итак, необходимо решить четыре раза дифференциальные уравнения (23) и по результатам составить матрицу монодромии
R = X (Т) (25)
для случая комбинационного резонанса разностного типа, когда частота параметрического возмущения
|^01 ^021 2
(1 -а) = 5,422079.
(26)
Поведение мультипликаторов в зависимости от коэффициента параметрического возбуждения представлено на рисунке 4.
о 0.5 1,0 1.5 2
И-
Рисунок 4 - Поведение мультипликаторов параметрической системы
Из рисунка 4 очевидно, что только модуль одного из четырёх мультипликаторов превышает единицу, следовательно, в рассматриваемой системе вполне вероятно возникновение и развитие комбинационного резонанса разностного типа, если коэффициент параметрического возбуждения будет больше ¡л> 1,209 (зафиксированная в экспериментах величина коэффициента параметрического возбуждения находится в пределах 0,04 - 0,06). Найти границы этой области неустойчивости с использованием матрицы монодромии чрезвычайно трудоёмко. Нужно искать метод определения границ, который был бы эффективным и достаточно простым.
Обратимся к выводам, которые можно получить в результате проведенного исследования.
1. Главный вывод заключается в том, что в чистом виде параметрические колебания (если считать железнодорожный путь неравноупругим) на подвижном составе возникнуть не могут, так как последний сильно демпфирован.
2. Экспертная оценка критических скоростей движения подвижного состава показывает, что они находятся в пределах 8 - 10 км/ч и 50 - 100 км/ч (попадает в зону эксплуатационных скоростей движения поездов), т. е. наиболее опасным параметрическое воздействие является для колесной пары экипажа.
3. Наиболее широкой зоной является область динамической неустойчивости той массы, на которую непосредственно воздействует неравноупругость (в нашем случае это нижняя
№
масса экипажа, т. е. колесная пара). Следует подчеркнуть, что предыдущая парадигма динамики подвижного состава указывала на два конкретных значения скорости движения экипажа, на которых возможны резонансные явления, и определялись они собственными частотами подпрыгивания, например, кузова и колесной пары.
4. Зона значений коэффициента параметрического возмущения, находящаяся между сплошной и штриховой кривыми (см. рисунок 2), - это область взаимодействия параметрически возбуждаемых и вынужденных колебаний. Она нуждается в подробном аналитическом исследовании согласно работам [10, 24 - 27].
5. Установлено, что в рассматриваемой механической системе, в некотором смысле уподобленной железнодорожному подвижному составу, вероятно возбуждение разностных комбинационных резонансов, если коэффициент параметрического возбуждения превысит его критическое значение, равное 1,209.
6. В статье уделено внимание только мультипликационному аспекту действия параметрического возбуждения, но существует и второй аддитивный аспект, заключающийся в том, что на узлы подвижного состава будут действовать переносные ускорения (а это не такие уж малые величины), являющиеся инерционным внешним воздействием.
7. Переход на парадигму дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами обосновывается тем, что еще отсутствуют корректные оценки используемых ныне дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
8. Уравнения (1) - (3) являются автономными, т. е. внешние возмущения в механической системе отсутствуют, однако в действительности существуют геометрические неровности на поверхности катания рельсов и колесных пар (например, неравномерный прокат колес по кругу катания).
Если учесть это обстоятельство, то при наличии параметрического возмущения в системе решение задачи о вынужденных колебаниях существенным образом усложняется, ибо всё зависит от вида внешнего возмущения - детерминированное оно или случайное. В последнем случае применение метода моментов позволит свести задачу к системе детерминистических дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами относительно первого и второго порядков переменных состояния.
Для детерминистических уравнений, как известно, существуют хорошо апробированные и надежные методы построения аналитических и численных решений [4 - 9, 24 - 27].
Список литературы
1. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. - Москва : Наука, 1974. -Т. II. - 656 с. - Текст : непосредственный.
2. Мак-Лахлан, Н. В. Теория и приложения функций Матье / Н. В. Мак-Лахлан. - Москва : Изд-во иностранной литературы, 1953. - 476 с. - Текст : непосредственный.
3. Бондаренко, Г. В. Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний / Г. В. Бондаренко. - Москва-Ленинград : АН СССР, 1936. - 58 с. - Текст : непосредственный.
4. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. - Москва : Гостехиздат, 1956. - 600 с. - Текст : непосредственный.
5. Болотин, В. В. Случайные колебания упругих систем / В. В. Болотин. - Москва : Наука, 1979. - 417 с. - Текст : непосредственный.
6. Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. - Москва : Наука, 1972. -720 с. - Текст : непосредственный.
7. Якубович, В. А. Параметрический резонанс в линейных системах / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. - Москва : Наука, 1987. - 328 с. - Текст : непосредственный.
8. Хасьминский, Р. З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. - Москва : Наука, 1969. - 367 с. - Текст : непосредственный.
2(46)
9. Шмидт, Г. Параметрические колебания / Г. Шмидт. - Москва : Мир, 1978. - 336 с. -Текст : непосредственный.
10. Болотин, В. В. Об одной механической модели, описывающей взаимодействие параметрических и вынужденных колебаний / В. В. Болотин. - Текст : непосредственный // Труды МЭИ. - 1959. - Вып. 32. - С. 54-66.
11. Витт, А. А. Колебания упругого маятника как пример двух параметрически связанных линейных систем / А. А. Витт, Г. С. Горелик. - Текст : непосредственный // Журнал технической физики. - 1933. - Т. 3. - № 2-3. - С. 294-307.
12. Арнольд, В. И. Устойчивые колебания с гармонической по пространству и периодической по времени потенциальной энергией / В. И. Арнольд. - Текст : непосредственный // Прикладная математика и механика. - 1979. - Т. 43. - № 2. - С. 360-363.
13. Ивович, В. А. Автопараметрические колебания виброизолированной системы с нелинейными характеристиками / В. А. Ивович. - Текст : непосредственный // Прикладная механика. - 1966. - Т. 2. - Вып. 12. - С. 76-81.
14. Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. -Москва : Физматгиз, 1959. - 989 с. - Текст : непосредственный.
15. Квакернаак, Х. Линейные оптимальные системы управления / Х. Квакернаак, Р. Си-ван. - Москва : Мир, 1977. - 650 с. - Текст : непосредственный.
16. Соколов, М. М. Динамическая нагруженность вагона / М. М. Соколов, В. Д. Хусидов, Ю. Г. Минкин. - Москва : Транспорт, 1981. - 207 с. - Текст : непосредственный.
17. Магнус, К. Колебания: введение в исследование колебательных систем / К. Магнус. -Москва : Мир, 1982. - 304 с. - Текст : непосредственный.
18. Каннингхэм, В. Введение в теорию нелинейных систем: пер. с англ. / В. Каннинг-хэм. - Москва-Ленинград : Госэнергоиздат, 1962. - 456 с. - Текст : непосредственный.
19. Булгаков, Б. В. Колебания / Б. В. Булгаков. - Москва : ГИТТЛ, 1954. - 892 с. - Текст : непосредственный.
20. Гребеников, Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е. А. Гребеников. -Москва : Наука, 1986. - 256 с. - Текст : непосредственный.
21. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики / Н. Н. Моисеев. -Москва : Наука, 1969. - 380 с. - Текст : непосредственный.
22. Пахомов, М. П. Воздействие электровоза на путь в зоне стыка / М. П. Пахомов. - Текст : непосредственный // Вестник ВНИИЖТа. - 1957. - № 4. - С. 30-34.
23. Пахомов, М. П. Экспериментальные исследования колебаний электровозов и их воздействия на путь / М. П. Пахомов. - Текст : непосредственный // Науч. тр. МИИТа. - 1958. -Вып. 108. - С. 44-64.
24. Вибрации в технике: справочник. В 6 томах. Т. 1. Колебания линейных систем / пред. ред. сов. В. Н. Челомей. - Москва : Машиностроение, 1978. - 352 с. - Текст : непосредственный.
25. Болотин, В. В. Случайные колебания упругих систем / В. В. Болотин. - Москва : Наука, 1979. - 336 с. - Текст : непосредственный.
26. Диментберг, М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М. Ф. Диментберг. - Москва : Наука, 1980. - 368 с. - Текст : непосредственный.
27. Диментберг, М. Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами / М. Ф. Диментберг. - Москва : Наука, 1989. - 176 с. - Текст : непосредственный.
References
1. Smirnov V. I. Kurs vysshei matematiki (Higher Mathematics course). Moscow: Nauka Publ., 1974, vol. 2, 656 p.
2. Mak-Lakhlan N. V. Teoriia iprilozheniia funktsii Mat'e (Theory and applications of Mathieu functions). Moscow: Foreign literature Publ., 1953, 476 p.
3. Bondarenko G. V. Uravnenie Khilla i ego primenenie v oblasti tekhnicheskikh kolebanii (Hill equation and its application in the field of technical oscillations). Moscow-Leningrad: USSR Academy Of Sciences Publ., 1936, 58 p.
4. Bolotin V. V. Dinamicheskaia ustoichivost' uprugikh sistem (Dynamic stability of elastic systems). Moscow: Gostekhizdat Publ., 1956, 600 p.
Jo 2(46) 2021
5. Bolotin V. V. Sluchainye kolebaniia uprugikh sistem (Random oscillations of elastic systems). Moscow: Nauka Publ., 1979, 417 p.
6. Iakubovich V. A., Starzhinskii V. M. Lineinye differentsial'nye uravneniia speriodicheskimi koeffitsientami i ikh prilozheniia (Linear differential equations with periodic coefficients and their applications). Moscow: Nauka Publ., 1972, 720 p.
7. Iakubovich V. A., Starzhinskii V. M. Parametricheskii rezonans v lineinykh sistemakh (Parametric resonance in linear systems). Moscow: Nauka Publ., 1987, 328 p.
8. Khas'minskii R. Z. Ustoichivost' sistem differentsial'nykh uravneniipri sluchainykh vozmush-cheniiakh ikh parametrov (Stability of systems of differential equations under random perturbations of their parameters). Moscow: Nauka Publ., 1969, 367 p.
9. Shmidt G. Parametricheskie kolebaniia (Parametric oscillations). Moscow: Mir Publ., 1978, 336 p.
10. Bolotin V. V. On a mechanical model describing the interaction of parametric and forced oscillations [Ob odnoi mekhanicheskoi modeli, opisyvaiushchei vzaimodeistvie parametricheskikh i vynuzhdennykh kolebanii]. Trudy MEI - Proceedings of the MEI, 1959, no. 32, pp. 54-66.
11. Vitt A. A., Gorelik G. S. Oscillations of an elastic pendulum as an example of two paramet-rically coupled linear systems [Kolebaniia uprugogo maiatnika kak primer dvukh parametricheski sviazannykh lineinykh sistem]. Zhurnal tekhnicheskoi fiziki - Journal of Technical Physics, 1933, vol. 3, no. 2-3, pp. 294-307.
12. Arnol'd V. I. Stable oscillations with harmonic in space and periodic in time potential energy [Ustoichivye kolebaniia s garmonicheskoi po prostranstvu i periodicheskoi po vremeni potentsial'noi energiei]. Prikladnaia matematika i mekhanika - Applied Mathematics and Mechanics, 1979, vol. 43, no. 2, pp. 360-363.
13. Ivovich V. A. Autoparametric oscillations of a vibration-insulated system with nonlinear characteristics [Avtoparametricheskie kolebaniia vibroizolirovannoi sistemy s nelineinymi kharak-teristikami]. Prikladnaia mekhanika - Applied mechanics, 1966, vol. 2, no. 12, pp. 76-81.
14. Andronov A. A. Teoriia kolebanii (Oscillation theory). Moscow: Fizmatgiz Publ., 1959, 989 p.
15. Kvakernaak Kh., Sivan R. Lineinye optimal'nye sistemy upravleniia (Linear optimal control systems). Moscow: Mir Publ., 1977, 650 p.
16. Sokolov M. M., Khusidov V. D., Minkin Iu. G. Dinamicheskaia nagruzhennost' vagona (Dynamic loading of the car). Moscow: Transport Publ., 1981, 207 p.
17. Magnus K. Kolebaniia: vvedenie v issledovanie kolebatel'nykh sistem (Oscillations: an introduction to the study of oscillatory systems). Moscow: Mir Publ., 1982, 304 p.
18. Kanningkhem V. Vvedenie v teoriiu nelineinykh system: perevods angliiskogo iazyka (Introduction to the theory of nonlinear systems: translated from English). Moscow-Leningrad: Gosenergo-izdat Publ., 1962, 456 p.
19. Bulgakov B. V. Kolebaniia (Oscillations). Moscow: GITTL Publ., 1954, 892 p.
20. Grebenikov E. A. Metod usredneniia vprikladnykh zadachakh (Averaging method in applied problems). Moscow: Nauka Publ., 1986, 256 p.
21. Moiseev N. N. Asimptoticheskie metody nelineinoi mekhaniki (Asymptotic methods of nonlinear mechanics). Moscow: Nauka Publ., 1969, 380 p.
22. Pakhomov M. P. The impact of an electric locomotive on the track in the junction area [Vozde-istvie elektrovoza na put' v zone styka]. Vestnik VNIIZhTa - Bulletin of VNIIZHT, 1957, no. 4, pp. 30-34.
23. Pakhomov M. P. Experimental studies of electric locomotives' vibrations and their impact on the track [Eksperimental'nye issledovaniia kolebanii elektrovozov i ikh vozdeistviia na put']. Nauch-nye trudy MIITa - Scientific works of MIIT, 1958, no. 108, pp. 44-64.
24. Vibratsii v tekhnike: spravochnik. V6 tomakh. T. 1. Kolebaniia lineinykh system, predsedatel' redaktsionnogo soveta V. N. Chelomei (Vibrations in technology: a reference book. In 6 volumes. Vol. 1. Oscillations of linear systems, Chairman of the Editorial Board V. N. Chelomey). Moscow: Mashinostroenie Publ., 1978, 352 p.
25. Bolotin V. V. Sluchainye kolebaniia uprugikh sistem (Random oscillations of elastic systems). Moscow: Nauka Publ., 1979, 336 p.
26. Dimentberg M. F. Nelineinye stokhasticheskie zadachi mekhanicheskikh kolebanii (Nonlinear stochastic problems of mechanical vibrations). Moscow: Nauka Publ., 1980, 368 p.
27. Dimentberg M. F. Sluchainye protsessy v dinamicheskikh sistemakh s peremennymi para-metrami (Random processes in dynamic systems with variable parameters). Moscow: Nauka Publ., 1989, 176 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Нехаев Виктор Алексеевич
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика», ОмГУПС.
Тел.: +7(3812) 37-60-82, +7(3812) 31-16-88.
E-mail: [email protected]
Николаев Виктор Александрович
Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).
Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.
Доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика», ОмГУПС.
Тел.: +7(3812) 37-60-82, +7(3812) 31-16-88.
E-mail: [email protected]
БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Nekhaev Viktor Alekseevich
Omsk State Transport University (OSTU).
35, Marx av., Omsk, 644046, the Russian Federation.
Doctor of Sciences in Engineering, professor, professor of the department «Theoretical and applied mechanics», OSTU.
Phone: +7(3812) 37-60-82, +7(3812) 31-16-88.
E-mail: [email protected]
Nikolaev Viktor Aleksandrovich
Omsk State Transport University (OSTU).
35, Marx av., Omsk, 644046, the Russian Federation.
Doctor of Sciences in Engineering, professor, head of the department «Theoretical and applied mechanics», OSTU.
Phone: +7(3812) 37-60-82, +7(3812) 31-16-88.
E-mail: [email protected]
BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION
Нехаев, В. А. Динамика железнодорожного экипажа при действии на него параметрического возбуждения со стороны пути / В. А. Нехаев, В. А. Николаев. -Текст : непосредственный // Известия Транссиба. -2021. - № 2 (46). - С. 2 - 13.
Nekhaev V. A., Nikolaev V. A. The dynamics of the railway vehicle when it is actioned by parametric excitement from the side of the track. Journal of Transsib Railway Studies, 2021, no. 2 (46), pp. 2 - 13 (In Russian).
УДК 629.423.31
А. Ю. Портной, К. П. Селедцов, О. В. Мельниченко
Иркутский государственный университет путей сообщения (ИрГУПС), г. Иркутск, Российская Федерация
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРЕВЕ ОСТОВА ТЯГОВОГО ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ НБ-514 И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ЕГО КОНСТРУКЦИИ
Аннотация. Целью данной работы является исследование причин возникновения трещин в остовах тяговых двигателей электровозов. Приведен анализ статистики выявления трещин в остовах тяговых электродвигателей НБ-514 на Восточном полигоне, показывающий, что каждый третий остов в эксплуатации имеет трещины. Использован способ математического моделирования на ЭВМ с применением метода конечных элементов. Отмечено, что проведение измерений в зоне возникновения трещин тензометрическим методом практически невозможно из-за геометрии остова. Рассмотрены результаты математического моделирования механических напряжений, возникающих в остове тягового электродвигателя НБ-514 при его неравномерном нагреве до температур, характерных для часового режима работы тягового электродвигателя. Показано, что механические напряжения, возникающие только из-за разности температур окружающего воздуха и обмоток главных и дополнительных полюсов тягового электродвигателя, могут достигать 100МПа. Предложены варианты изменения конструкции вентиляционных окон остова для уменьшения величины температурных напряжений
