ДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОЙ ШПАЛЬНОЙ НЕРАВНОУПРУГОСТИ ПУТИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОВОЗОВ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.4.015:625.1.03

В. А. Нехаев

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС), г. Омск, Российская Федерация

ДЕЙСТВИЕ ПРОДОЛЬНОЙ ШПАЛЬНОЙ НЕРАВНОУПРУГОСТИ ПУТИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ЭЛЕКТРОВОЗОВ

Аннотация. Показано, что динамические системы «железнодорожный экипаж - путь» вследствие наличия неравноупругости пути по протяженности должны описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами. При переходе на новую парадигму речь может идти об областях динамической неустойчивости, которые в случае простых параметрическихрезонансовразвиваются около критических частот, но это не одна конкретная точка, а зона, которая расширяется с увеличением коэффициентов параметрического возбуждения. Кроме того, наличие трения в системе не гарантирует ограниченности резонансных амплитуд.

Изложена методика анализа дифференциальных уравнений с постоянными, переменными и случайными коэффициентами, описывающих движение узлов электровозов при их движении по неравноупругому по протяженности пути. Установлено влияние коэффициентов параметрического возбуждения на ширину зоны динамической неустойчивости.

Существует много других особенностей в поведении дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, поэтому заменять действие неравноупругости некоторой эквивалентной геометрической неровностью нельзя, так как в настоящее время не существует точного решения проблемы, с которым можно было бы сравнивать результаты приближенных математических моделей.

Ключевые слова: подвижной состав, неравноупругость пути, мультипликативное и аддитивное возмущение, обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными, переменными и случайными коэффициентами, область неустойчивости или параметрического резонанса, коэффициент параметрического возбуждения и его критическое значение.

Viktor A. Nekhaev

Omsk State Transport University (OSTU), Omsk, the Russian Fédération

THE EFFECT OF LONGITUDINAL SLEEPER UNSTIFFNES OF THE RAILWAY

TO THE STABILITY OF THE MOVEMENT OF ELECTRIC LOCOMOTIVES

Abstract. It is shown that dynamic systems, «rolling stock - way» due to the unevenness of the path on length should be described by ordinary differential equations with variable coefficients, the method of analyzing differential equations with constant, variable and random coefficients describing the movement of electric locomotive nodes when they move along an uneven path.

In the transition to a new paradigm, we can talk about areas of dynamic instability, which in the case of simple parametric resonances develop near critical frequencies, but this is not one specific point, but a zone that expands with increasing coefficients of parametric excitation. In addition, the presence of friction in the system does not guarantee the limitation of resonant amplitudes.

The effect ofparametric arousal factors on the width of the dynamic instability zone has been established. There are many other features in the behavior of differential equations with variable coefficients, so it is impossible to replace the action of unevenness with some equivalent geometric irregularity, since at this moment there is no exact solution to the problem with which to compare the results of approximate mathematical models.

Keywords, rolling stock, unstiffness of railway, multiplier and additive perturbation, ordinary differential equations with constant, variable and random odds, instability or parametric resonance, parametric arousal factor and its critical importance.

Хорошо известно, что железнодорожный путь не является в продольном направлении рав-ноупругим [1 - 4, 10 - 14, 17 - 24]. Следовательно, математические модели колебаний подвижного состава в принципе не могут представляться системами дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами, что в действительности имеет место в настоящее время практически во всех работах ученых-железнодорожников.

Нелинейные дифференциальные уравнения, за редкими исключениями, не обладают точными решениями, более того, нет регулярных методов их решения. Существуют только конкретные приближенные методы их интегрирования.

Следовательно, динамика подвижного состава должна описываться системами дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами [4 - 6, 11 - 14] (параметрические системы) и случайным возмущением, что в настоящее время чрезвычайно сложно и доступно только математикам. В конце прошлого века в транспортной механике появились работы, посвященные неравноупругости железнодорожного пути [10 - 16]. Причем работа [10] моего учителя, доктора технических наук, профессора, заслуженного деятеля науки и техники РФ Михаила Прокопьевича Пахомова была выполнена раньше, чем появилась знаменитая книга [4], написанная известным российским ученым В. В. Болотиным.

Возможные виды спектральной плотности вертикальной жесткости пути показаны на рисунках 1 и 2, на которых отчетливо видны ее периодические составляющие. На рисунке 1 имеет смысл обратить внимание на «пик» в районе частоты 1,83 Гц. Так, если вычислить величину 1/0,54 (0,543 м - междушпальное расстояние при эпюре 1840 шт./км), то получим 1,842.

Я ■ IП5

кг^м'-с 4-101

О № м м 1,4 1.& Гц 2,0

/

Рисунок 1 - Спектральная плотность вертикальной жесткости железнодорожного пути по результатам натурных исследований, выполненных сотрудниками ДИИТа [23, 25] в европейской части СССР

Что же касается Норильской железной дороги (рисунок 2), то она проложена за полярным кругом в зоне вечной мерзлоты, т. е. полученные для нее данные весьма специфические, поэтому мы в дальнейшем будем опираться на спектральную плотность, найденную для магистральных железных дорог.

16-itf

2 j .2 кг /сы

К-1Й1

S 4-Ю"

0 0.15 CG5 0.55 0,75 0,95 1,15 1,35 L.55 Гц L95

/

Рисунок 2 - Спектральная плотность вертикальной жесткости пути по результатам натурных исследований на Норильской железной дороге, полученная сотрудниками ОмИИТа [26]

Следовательно, мы будем в дальнейшем опираться на данные, полученные учеными ДИ-ИТа (теперь ДНУЖТ). В работе [23] приведены, например, такие данные (таблица 1) для вертикальной жесткости железнодорожного пути, полученные на основании представленной выше спектральной плотности жесткости пути.

Таблица 1 - Спектральные составляющие вертикальной жесткости пути

№ п/п Частота k-й гармоники, Гц Длина волны k-й составляющей, м Амплитуда k-й составляющей, тс/мм Коэффициент параметрического возбуждения k-й составляющей, б/р

1 0,064 15,62 0,19 0,038

2 0,280 5,58 0,27 0,054

3 0,375 3,57 0,10 0,020

4 0,700 1,43 0,06 0,012

5 1,840 0,544 0,08 0,016

Физическое объяснение в таблице 1 можно дать лишь пятой составляющей, имеющей длину волны, равную междушпальному расстоянию (~0,543 м). Остальные составляющие не имеют очевидного и строгого обоснования. Составляющая с наибольшим коэффициентом параметрического возбуждения ¡2 = 0,054 имеет длину волны 12 = 5,58 м, и объяснить физически эту гармонику пока невозможно.

Чтобы несколько упростить ситуацию, будем изучать параметрическую систему и из всех факторов, создающих продольную неравноупругость железнодорожного пути, учитываем только наличие шпал. Причем хорошо известно, что технические требования, предъявляемые к эпюре шпал, такие жесткие, что мы вправе считать возмущение, которое они вносят в динамическую систему, узкополосным или, на первых порах, гармоническим и представлять в дальнейшем периодической функцией вида:

/ (V, t) = 2ц^2П t, (1)

п¥

где ¡л - коэффициент параметрического возбуждения, б/р; £2--- частота параметриче-

3,61

' шп

ского возмущения, 1/с; V - скорость движения поезда, которую будем считать постоянной, км/ч; 1шп - расстояние между шпалами, определяемое эпюрой шпал, м, например, для эпюры

3(47)

1840 шт. на 1 км имеем /шп = 0,543; 3,6 - переводной коэффициент из километров в час в метры в секунду.

Таким образом, должны изучаться динамические системы с детерминированным параметрическим возмущением и случайной правой частью. Если ограничиться экипажем с линейными силовыми характеристиками, то поведение таких систем описывается системами дифференциальных уравнений вида

А= + 2уBt + Cz + 2 |uA5 cos 2Q t = l,(t) + l(t), (2)

где z (t) - вектор обобщенных координат, отсчитываемых от положения статического равновесия, имеющий размерность n (число степеней свободы подвижной единицы); A, B, C и А - постоянные nxn-матрицы, причем матрицы масс, диссипации и жесткостей A, B и C - симметричные и положительно-определенные; л - коэффициент мультипликативного (параметрического) возбуждения. Через <^(/)обо-значен вектор случайного внешнего возмущения, представляющего собой стационарный процесс с нулевыми средними значениями и соответствующими спектральными

плотностями. Вектор £,(/) описывает детерминированный возмущающий фактор с частотой Q, связанный с продольной, шпальной неравноупругостью железнодорожного пути.

Рассматривать влияние продольной неравноупругости железнодорожного пути на динамику подвижного состава будем на расчетной схеме эквивалентного одноосного экипажа, обладающего тремя степенями свободы (рисунок 3).

Уравнения движения такой динамической системы легко находятся с помощью энергетического метода - уравнений Лагранжа второго рода. Опуская рутинные действия, связанные с вычислением кинетической и потенциальной энергии, и диссипативной функции, и взятием прямых и частных производных от соответствующих энергетических характеристик, запишем систему дифференциальных уравнений, которые представляют математическую модель экипажа, в виде:

тА+Рц(^ - zx)+Фк — zx)=тк g;

т z —В (z — z ) + B, (z — z )—c (z — z ) + с (z — z ) = m g;

т т т/ ^V т к. п/ ц\-"к т/ ^ т к. п/ тО'

(3)

B6(zx — 4 п) + Рп(4 п —'Л) — C6(zx — z, п) + cп(z, п — Л = тк. п(g + Л>

т z

к. п к. п

Здесь тк, тъ тк.п - соответственно масса кузова, тележки и колесной пары, приходящаяся на одну колесную пару экипажа; Рк, Рт, Рп - коэффициенты вязкого трения в центральном и буксовом подвешивании подвижного состава и пути; Сц, Сб, Сп - жесткости центрального и буксового подвешивания подвижного состава и пути; гк, Хт, Хк.п - подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары экипажа; ц - геометрическая неровность железнодорожного пути, имеющая случайный характер; g - ускорение свободно падающего тела.

Нетрудно видеть, что в правых частях дифференциальных уравнений системы (3) стоят

постоянные величины, от которых необходимо избавиться, что упростит алгоритм поиска решения. Положим, что

zk = /к+q^

zx = fT+q,; (4)

vZk. п fK. п ^ qK. п ,

здесь /к, /т, /К.п - переменные, подлежащие определению из условия, что обнуляют правые части, кроме последнего уравнения системы (3); qK, qт, qK. п - новые обобщенные координаты, отсчитываемые от положений статического равновесия, ибо жесткость железнодорожного пути по протяженности является функцией времени в предположении движения экипажа с постоянной скоростью:

cn = c0 (1 - 2 л cos 2Qt), (5)

1 - c

где л

max min

2 c + c

max min

- коэффициент параметрического возбуждения от шпальной неравно-

упругости; Стах - жесткость железнодорожного пути над серединой шпалы; Стт - жесткость железнодорожного пути в середине междушпального ящика; с0 = 1 (стах + стП) - средняя на

рельсовом звене жесткость пути, которая определяется регионом расположения железной дороги и сезоном года (зима, лето).

Подстановка уравнений (4) в систему (3) и несложные преобразования приводят нас к системе алгебраических уравнений для определения переменных /

С/ = mg.

(6)

r c -c 0 Л

ц ц

здесь С

^ ^ + c6 -c6 V 0 -c6 c6 + c„ J

- матрица жесткостных коэффициентов железнодорожного

экипажа;

/ /Л

/

/ /2

V f J

вектор отыскиваемых переменных; m

f m к ^

m

V mK. п J

вектор масс экипажа.

Решение САУ (6) дается следующими формулами:

(m + m + m ) g

f=A +Аб -т-

J1 ц ст б ст '

cH

f =А .K+^x+^KJil^ •

J 2 Аб ст+ ;

c

п

f = f =(mK+mI+mjLig

J 3 J п ст '

(7)

c

п

где

тк g

Ац ст = = const;

/ ч - статические прогибы центрального и буксового подвешива-

(тк + тт) g

Аб ст = —-— = const

сб

ния железнодорожного подвижного состава. Отдельно рассмотрим последнее выражение в системе (7):

/з=—&— и & (1+2^2«,) , (8)

с0 (1 - 2^сов20?) 1 - 2^сов20?

г тк + тт + ткп

здесь /0 =-— g - средний статический прогиб пути под статической нагрузкой от

С0

экипажа.

Формулы (7) тогда следует записать в виде:

= А ц ст + А б ст + &3;

& = А б ст+&3; (9)

/3 = /0 (1 + ).

Отсюда нетрудно видеть, что переменные /1, /2 и /3 являются функциями времени поэтому возьмем от уравнений (9) первую и вторую прямые производные по времени, в результате имеем:

/1 = /2 = /3 = -4^0/0 sin 2fit;

/1 = /2 = /з 2 /о cos 201. (10)

Подставляя выражения (4) и (10) в систему (3), после несложных преобразований получим математическую модель, описывающую вертикальные колебания подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары экипажа при движении по неравноупругому железнодорожному пути в продольном направлении с постоянной скоростью:

+ РцЙк - Ят) + Сц(Чк - Чт) = -mJ<;

< - Рцйк - + Рб(^7Т - Чк. п) - Сц(Чк - Чт) + Фт - Чк. п) =-mx U (11)

Щ, п4Гк. п - Рб (Чт - 4с. п) + Рп^к. п - сб (Чт - Чк. п) + СЧк. п = -тк. п/3 + тк. пЛ + РпЛ + ОД-

Возмущение от геометрических неровностей железнодорожного пути, действующее лишь на колесную пару, в виде вектора записывается так:

Ы) =

0 0

тк пп+М+^сп)

а вектор воздействия от продольной, шпальнои неравноупругости имеет вид:

Ы) =

г \ тк Л

тт Л

т п %

(13)

у к. п./ 3 )

и физически представляет собой переносные ускорения, действующие на кузов, тележку и колесную пару подвижного состава.

Вводя матрицы масс, диссипации и упругости

А

тк 0

0

0 т

т 0

0 ^ 0

т

^ (тк. п);

к. п )

г р. -вц 0 1

в = -р. вц + в б -вб

V 0 -вб вб + вп )

Г 0 0 0 1

л = 0 0 0 ,

V 0 0 -с0 ,

и вектор обобщенных координат

' 9к Л 9т

V 9к. п )

С

Сц + Сб

сб + С0 )

(14)

(15)

в конечном итоге приходим к форме записи дифференциальных уравнений (2). Проверяем условие малости диссипативных сил в подвижном составе [7]:

(А"'« )2

А~1С\\

0,321«1.

(16)

Здесь символ ||...|| означает евклидову норму матрицы. Действительно, недиагональные элементы матрицы коэффициентов диссипативных сил малы по сравнению с элементами, стоящими на главной диагонали. Это подтверждает вычисление отношения норм матриц (16), которое выполняем с помощью математического пакета Mathcad 13, в результате получаем 0,321<<1. Кроме того, колебания экипажа считаем малыми (это обычное допущение дисциплины «Динамика подвижного состава»), а движение колесной пары по рельсам - безотрывным.

0

с

ц

ц

б

ц

0

б

Для нашего примера воспользуемся значениями инерционных, жесткостных и диссипа-тивных параметров электровоза 2ЭС6 и железнодорожного пути.

Определяем собственные частоты консервативной системы с помощью стандартной функции математического пакета Mathcad 13 ю = eigenvals (А-1С), вычисляющей собственные векторы матрицы, в результате имеем данные, представленные в таблицах 2 и 3.

Таблица 2 - Собственные частоты подпрыгиваний частей экипажа в консервативном случае

Кузов Тележка Колесная пара

7,7970 рад/с (1,2409 Гц) 24,5068 рад/с (3,900378 Гц) 130,5413 рад/с (20,7763 Гц)

Таблица 3 - Парциальные частоты подпрыгивания частей экипажа

Кузов Тележка Колесная пара

10,6381 рад/с (1,6931 Гц) 23,6341 рад/с (3,7614 Гц) 130,5016 рад/с (20,7699 Гц)

Из рассмотрения данных таблиц 2 и 3 следует, что ошибка парциальных частот может быть достаточно большой, так, например, если взять для сравнения данные по кузову экипажа, то различие достигает почти 36,439 %, а для тележки - 3,692 % и колесной пары - 0,03 %. Поэтому парциальные частоты можно, видимо, использовать только в экспертных оценках динамических качеств подвижного состава железных дорог России, но ошибка для кузова электровоза будет достаточно большой. Другой важной характеристикой колебательной механической системы является коэффициент колебаний, представленный в таблице 4.

Таблица 4 - Парциальные коэффициенты колебаний частей экипажа

Кузов Тележка Колесная пара

0,4662 0,4252 0,3488

Из анализа данных таблицы 4 можно сделать вывод о том, что колебания подпрыгивания кузова и тележки электровоза 2ЭС6 несколько передемпфированы, а колебания подпрыгивания колесной пары можно считать нормально демпфированными.

К данным, представленным в таблице 4, нужно подходить с той же меркой, о которой говорилось выше. Однако согласно критерию (16) диссипативные силы, действующие в экипаже, являются малыми. Это утверждение можно усилить рассмотрением матрицы парциальных коэффициентов колебаний, если ввести такое понятие:

А =

Ал Ь,д 0

2ш1ю01 2ш1ю01

Ьц Ь2,2 Ь2,3

2т2®02 2т2®02 2т2®02

0 Ь2,3 2т3®03 Ь3,3 2т3®03

значения этой матрицы таковы:

А =

г 0,438188 -0,438188 0,278057 0,422623 ч 0 -0,04184

0

0,144566 0,276344

Нетрудно видеть, что при сравнении элементов главной диагонали матрицы, показанной выше, и данных таблицы 4 можно утверждать - парциальные коэффициенты колебаний кузова, тележки и колесной пары меняются несущественно.

Нормальная форма Коши в случае равноупругого железнодорожного пути такова:

G =

Г 0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 0 1 0

Г 0 Е 1 0 0 0 0 0 1 ,(17)

=

Ч-А-1С -А-1Ву -113,1703 113,1703 0 -6,8332 6,8332 0

225,7143 -558,5714 332,8571 13,6286 -20,7143 7,0857

V 0 513,1444 -17030,6688 0 10,9236 -72,1485,

для нее с помощью известного численного метода Фаддеева, реализованного в виде программы на языке программирования Mathcad, были найдены коэффициенты характеристического полинома электровоза 2ЭС6 (таблица 5).

Таблица 5 - Коэффициенты характеристического уравнения

Коэффициент ас а1 а2 а3 а4 а5 а6

Значения коэффициента 1 99,696 19660,937 516385,93 12295172,97 53120315,74 622207418,9

С использованием стандартной функции ро1угооге (...) математического пакета Mathcad были определены корни данного характеристического полинома экипажа (таблица 6).

Таблица 6 - Корни характеристического уравнения электровоза 2ЭС6

Элемент экипажа Кузов Тележка Колесная пара

Корень -1,2137 ± 7,8097/ -12,3911 ± 20,8115/ -36,2432 ± 125,1629/'

Следует отметить, что корни характеристического полинома найдены для демпфированной механической системы. Поэтому мы можем оценить влияние вязкого трения электровоза как на коэффициенты колебания, так и на собственные частоты кузова, тележки и колесной пары. Коэффициенты колебания для кузова, тележки и колесной пары равны 0,155; 0,595 и 0,29 (они определяют максимальные, резонансные амплитуды колебаний элементов электровоза 2ЭС6). Если полученные цифры сравнить с данными таблицы 3, то нетрудно прийти к выводу о том, что кузов и колесная пара демпфированы нормально, а тележка экипажа немного передемпфирована. Другими словами, делать какие-либо выводы по парциальным величинам практически нельзя. Что касается собственных частот подпрыгивания кузова, тележки и колесной пары, то имеем такие ошибки: 0,2 %; 17,8 %; 4,3 %. Причем собственная частота кузова несущественно выросла, а частота тележки и колесной пары уменьшилась.

Пользуясь уже указанным математическим пакетом Mathcad 13, перейдем в системе уравнений (11) к нормальным координатам с помощью матрицы нормированных собственных векторов системы V = eigenvecs (А-1- С):

£ = Ух; переход к нормальным координатам;

(18)

с=у А 1су=^Кк,ю0Т,ю0, п); В = У- л~ 1БУ; Л = У- л *ЛУ;

С = Ул_

| = У-1 Л"

Теперь можно написать окончательное выражение для математической модели, в которой действует как мультипликационное, так и аддитивное внешние воздействия:

где Е

Б

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Ех + Бх + Сх + 2ц Лх cos 20 г = £ (г) + £ (t),

ё1а§ (1, 1, 1) - единичная матрица;

(19)

г 6,0757 -7,1928 12,4538 61,771087

-8,8787 -22,8959

-3,1671 Л 14,1409 181,3932

- матрица диссипативных коэффициентов для нор-

мальных координат электровоза 2ЭС6;

(С

^60,7948 0 0 600,5832

V

0

0

0 0

17041,03254

^ (60,7947; 600,5832; 17041,0325)

- мат-

рица жесткостных коэффициентов для нормальных координат электровоза (или квадратов собственных частот консервативной системы, когда Б = 0);

Л =

0,950003 -3,938624 209,671672

2,274797 -9,431101 502,062276

74,792311 -310,082129 16507,143299

- матрица коэффициентов параметри-

ческого возбуждения для нормальных координат электровоза.

Отсюда нетрудно видеть, что нормальные координаты не разделились, а связаны между собой через матрицы диссипативных коэффициентов и коэффициентов мультипликативного возмущения. Этого, разумеется, следовало ожидать: три матрицы практически никогда не приводятся к диагональным видам одновременно (известный математический факт).

Кроме указанной формы записи системы дифференциальных уравнений в виде (19) часто исследователями используется другая форма записи, имеющая вид:

Е$ + Б $ + С (Е + 2ц Р ^2 О г) д = | (г) + £ (г),

где

С"V-1 Л_1Л V = ^

г -0,0156 -0,0374 -1,2302Л 0,00656 -0,0157 -0,5163

ч -0,0123 -0,0295 -0,9687у

- матрица коэффициентов пара-

метрического возмущения; другие матрицы были расшифрованы выше.

Преимущество последней формы записи заключается в том, что для нее уже найдены с помощью метода малого параметра формулы для определения границ простых и комбинационных параметрических резонансов в первом приближении. Так, для главных областей неустойчивости (параметрических резонансов) имеем [5 - 7]: простые параметрические резонансы:

Ц,2 » ю* (1 /2 к - 4у 2) (к = 1, 2, 3);

(21)

комбинационные резонансы суммарного типа:

а

1,2 »-^т*- + ь г^к 4к/к- - 4угТк (,, к = 1, 2, 3); 2

Ук

(22)

комбинационные резонансы разностного типа:

а

ю , - ю к

1,2

+

2

^Юг^ШД1^ (-, к=1, 2, 3)

(23)

Здесь введенный в формулы (21) - (23) коэффициент у является парциальным коэффициентом колебания у,- = (так, например, для одностепенной механической системы это есть 8 = п / Ю0).

Для рассматриваемого подвижного состава вектор у:

У =

А0,311Л 1,187 V0,579у

(24)

Чтобы разобраться с комбинационными параметрическими резонансами суммарного или разностного типа, составим матрицу произведений:

/1,1 /1,2/2,1 /\,3/3,1 /2,1/2,1 ./2,2 /2,3/3,2 //3 /3

2

3,3 у

^0,000244 0,000245 0,015137Л 0,000245 0,000247 0,015211 ч0,015137 0,015211 0,938322у

(25)

Критические коэффициенты параметрического возбуждения определяются из условий равенства нулю подкоренных выражений в формулах (21) - (23), в результате найдем матрицу:

^кр

^1273,762 2475,809

V

28,046

2475,809 4812,223 54,513

28,046Л 54,513 0,618

(26)

По главной диагонали стоят критические коэффициенты параметрического возбуждения для кузова, тележки и колесной пары электровоза 2ЭС6 для простых параметрических резо-нансов соответственно. Матрица (26) симметрична относительно главной диагонали, ибо совершенно не имеет значения, как выразится комбинационный параметрический резонанс суммарного или разностного типа для кузова и тележки (или тележки и кузова), кузова и колесной пары (или колесной пары и кузова), тележки и колесной пары (или колесной пары и тележки). Следовательно, нижнюю часть матрицы (26) можно просто обнулить.

Из рассмотрения матрицы (26) следует такой вывод: простые параметрические резонансы на экипаже не возникают, так как критические коэффициенты параметрического возбуждения чрезвычайно большие - от 0,618 до 1273,762, более того, и комбинационные параметрические резонансы любого типа также не развиваются потому, что для их возбуждения нужны очень большие коэффициенты параметрического воздействия - от 28,046 до 2475,809. Отметим, что наименьшие значения коэффициента параметрического воздействия всегда меньше для колесной пары (см. третий столбец матрицы (26)).

Зона динамической неустойчивости для колесной пары экипажа показана на рисунке 4.

1.1----_.------'----

гад 1

0.9----"""■--.----

0.8-------

0.7--------

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

М-

Рисунок 4 - Область простого параметрического резонанса колесной пары электровоза 2ЭС6

в консервативном случае

Следует указать на такой факт: внутри зоны, очерченной пунктирными кривыми, с высокой долей вероятности может развиваться взаимодействие параметрически возбуждаемых и вынужденных колебаний от действия геометрических неровностей на поверхностях катания рельсов. В этой зона вынужденная амплитуда колебаний колесной пары электровоза может увеличиваться или уменьшаться за счет неравноупругости железнодорожного пути, характер воздействия определяется сдвигом фаз между вынужденными и параметрическими колебаниями.

Перейдем в выражениях (21) - (23) к скорости движения экипажа, в результате получим такие формулы:

Г „ 3,6/шп

к1,2

п

щ (1 (к = 1, 2, 3);

V - 3'6/шл

п

M + M + Y/M + YkM /„2 f f _4yy

(/, k = 1, 2, 3); (28)

V ^ 3,6/шл

' vi

/11,2

п

2

M _ Mk , Y/ M _ Yk M / 2

11 V

4^

Yk

jfi,kjfk,/ _ 4Y/ Yk

(Л k =1, 2, 3). (29)

На рисунке 5 представлена зона изменения скорости движения экипажа для простого параметрического резонанса колесной пары электровоза 2ЭС6 в консервативном случае.

100

90

V3(n)

SO

VÖ(M-)

70

60

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Ц.

Рисунок 5 - Область скоростей экипажа, в которой будут взаимодействовать вынужденные и параметрически возбуждаемые колебания в консервативном случае для электровоза 2ЭС6

Расчетом установлено, что критические коэффициенты параметрического возбуждения (в смысле, что подкоренные выражения должны быть положительными или равными нулю) для простых параметрических резонансов кузова, тележки и колесной лары значительно больше единицы. Следовательно, в чистом виде простых параметрических резонансов на железнодорожном подвижном составе не существует, так как коэффициент параметрического возбуждения ц, зарегистрированный на практике, находится в пределах 0,04 - 0,06. Но это не означает, что можно забыть о продольной неравноупругости железнодорожного пути, ибо существует возможность взаимодействия параметрически возбуждаемых и вынужденных колебаний. Причем из рисунка 5 очевидно, что взаимодействие параметрически возбуждаемых и вынужденных колебаний будет происходить в зоне эксплуатационных скоростей движения поездов.

Аналогичные графики изменения границ зон параметрического резонанса в консервативном случае для электровоза ЭП2К показаны на рисунках 6 - 8.

№ 3(47)

322-----^

3.215---..■■■-'"--

У01ЬЩ(Е)

---- 3.21 ——=-=-;-----

У02кш(5)

3.205 ---"""'-■-._--

32\-----

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

8

Рисунок 6 - Главная область неустойчивости кузова ЭП2К для консервативного случая, км/ч П 5|-----

11.45

УОИеКе) У021е1(Е)

11.4

11.35-----

О 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

8

Рисунок 7 - Главная область неустойчивости тележки ЭП2К в консервативном случае, км/ч

Рисунок 8 - Главная область неустойчивости колесной пары ЭП2К: пунктирная кривая для консервативного случая, сплошная кривая для диссипативного случая, км/ч

Из приведенных на рисунках 6 и 7 графиков можно сделать очевидный вывод о том, что резонансные скорости кузова и тележки электровоза ЭП2К находятся значительно ниже зоны эксплуатационных скоростей. Да и диссипативные силы в локомотиве таковы, что критические значения коэффициентов параметрического возмущения чрезвычайно велики (об этом речь пойдет далее).

Из рисунка 8 следует, что колесная пара может находиться в области главного параметрического резонанса, но он в чистом виде невозможен, ибо критическое значение коэффициента мультипликативного возбуждения все же достаточно высоко и равно 0,3844.

Кроме приведенных выше исследований было выполнено численное интегрирование дифференциального уравнения движения колесной пары электровоза по неравноупругому пути в Сибирском регионе. На рисунке 9 показано изменение жесткости пути, полученное экспериментально.

7000 6000 5000

С(х)

4000 3000 2000

О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

X

Рисунок 9 - Изменение жесткости железнодорожного пути в Сибирском регионе, тс/м

Из рисунка 9 видно, что жесткость железнодорожного пути содержит в своем составе не только шпальную неравноупругость, но и другие гармоники. Отметим, что жесткость пути хорошо аппроксимируется рядом Фурье с числом гармоник 128. Средняя жесткость пути составляет 6870 тс. Система дифференциальных уравнений колебания колесной пары в форме Коши имеет вид:

р

- 2п^ - к

т

1 - 2^

V 3,6 JJ

(30)

2

7

2

где Рст = 25 - статическое давление колесной пары на путь, тс; п = 29,653 - коэффициент демпфирования колесной пары; ко = 118,612 - собственная частота подпрыгивания колесной пары, рад/с; V - скорость движения, км/ч; 3,6 - переводной коэффициент из километров в час в метры в секунду. Результаты математического моделирования приведены на рисунках 10 и 11.

1000-а(V) * ф *

4.5

40

50

60

70

90

100

110

120

Рисунок 10 - Максимальные значения амплитуды колебаний подпрыгивания колесной пары

в Сибирском регионе, мм

Значения амплитуды колебаний подпрыгивания находятся в пределах от 5 до 7 мм. Нетрудно обнаружить три пика амплитуды на скоростях 50, 80 и 110 км/ч. Для нахождения непрерывного графика, видимо, необходимо шаг скорости сделать меньше 10 км/ч.

2.5

ар(У)

1.5

> < > > * * > > * > *

< >

< >

40

50

60

70

30 V

90

100

110

120

Рисунок 11 - Абсолютное ускорение колесной пары электровоза в Сибирском регионе в долях g

В известном сборнике научных трудов ЦНИИ МПС [27] отмечено, что колесная пара экипажа совершает ровно столько колебаний подпрыгивания, сколько шпал на рельсовом звене, и что ускорение колесной пары в середине рельсового звена составляет порядка 2 - Таким образом, продольная неравноупругость железнодорожного пути должна регламентироваться, как это было сделано с геометрической неровностью на поверхности катания рельсов (лимитирован градиент неровности).

Относительно комбинационных параметрических резонансов суммарного или разностного типов можно утверждать, что, во-первых, в консервативных системах они в принципе не могут возникнуть и развиваться и, во-вторых, критические коэффициенты параметрического возбуждения комбинационных резонансов чрезвычайно высоки (см. недиагональные элементы матрицы (26)).

У не совсем искушенного исследователя, вероятно, возникнет вопрос - зачем мы переходим в другую парадигму, если ничего в чистом виде нельзя наблюдать. Ответ на этот «немой» вопрос такой.

Во-первых, при исследовании учтена только продольная, шпальная неравноупругость железнодорожного пути. Также хорошо известно из работ ученых ДИИТа (ныне ДНУИЖТа), что имеются и другие длины скрытых периодичностей в спектральной плотности жесткости пути и по величине они гораздо больше междушпального расстояния. Следовательно, на них могут среагировать как кузов, так и тележка экипажа.

Во-вторых, нельзя забывать о том, что продольная, шпальная неравноупругость железнодорожного пути создает кроме мультипликативного еще и аддитивное возмущение в правой части (это переносные ускорения соответствующих частей экипажа).

Кроме того, в зонах простых параметрических колебаний обычно возможно возникновение и развитие явления взаимодействия параметрически возбуждаемых и чисто вынужденных колебаний (в рассматриваемом случае внешнее возмущение должно содержать скрытую периодичность с длиной волны, равной, например, двум междушпальным расстояниям).

Профессорами М. Ф. Вериго и А. Я. Коганом на основании анализа ими осциллограмм записей колебаний необрессоренных масс подвижного состава высказано утверждение [28], что последние совершают около 50 колебаний при движении по рельсам длиной 25 м. Следовательно, наличие шпал - это главный источник вынужденных колебаний неподрессоренных масс подвижного состава железных дорог.

Главный вопрос - как учесть шпальную неравноупругость железнодорожного пути в математических моделях динамики подвижного состава. Математика утверждает, что данное внешнее воздействие должно входить мультипликативным образом в левые части дифференциальных уравнений и аддитивным образом в их правые части [1]. Так как поведение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и с параметрическими коэффициентами принципиально разные, то заменить продольную неравноупругость пути некоторой так называемой эквивалентной геометрической неровностью весьма проблематично. Расшифровать понятие «эквивалентная» не представляется возможным.

Таким образом, остаются пока не разрешенными две проблемы - это влияние продольной неравноупругости железнодорожного пути на случайное возмущение, действующее со стороны пути на колесные пары (прохождение геометрических неровностей). Конечно же, математической моделью такой задачи является система дифференциальных уравнений (18), когда в правой части отсутствует аддитивное возмущение от продольной неравноупругости пути. Это во-первых.

Во-вторых, необходимо, на наш взгляд, нормировать продольную неравноупругость пути, как это уже сделано для геометрической неровности, где нормируется ее градиент. Математическая модель для решения данного вопроса также выводится из системы дифференциальных уравнений (18) с учетом того, что геометрических неровностей на пути нет. Напоминаем, что хотя исходная математическая модель является параметрической, она остается линейной и для нее справедлив принцип суперпозиции.

В-третьих, развитие такой науки, как «Динамика подвижного состава», требует этого, что в конечном счете позволит оценить погрешности ныне используемых математических моделей (теперь уже приближенных).

Список литературы

1. Нехаев, В. А. Неравноупругость железнодорожного пути как возмущающий фактор / В. А. Нехаев, Р. Д. Сабиров. - Текст : непосредственный // Известия Транссиба. - 2013. -№ 3 (15). - С. 42-54.

2. Нехаев, В. А. Особенности составления математической модели условной двухосной тележки, движущейся по неравноупругому железнодорожному пути в продольном направлении / В. А. Нехаев, Р. Д. Сабиров. - Текст : непосредственный // Технологическое обеспечение ремонта и повышение качества подвижного состава : материалы всерос. конф. с междунар. участием. - Омск : Омский гос. ун-т путей сообщения, 2013. - С. 185-191.

3. Нехаев, В. А. Взаимодействие экипажа с квазиинвариантной системой подвешивания и неравноупругого по протяженности пути : специальность 05.22.07 «Подвижной состав железных дорог, тяга поездов и электрификация» : диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Нехаев Виктор Алексеевич ; Омский ин-т инженеров ж.-д. трансп. - Омск, 1983. - 217 с. - Текст : непосредственный.

4. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем / В. В. Болотин. - Москва : ГИТТЛ, 1956. - 600 с. - Текст : непосредственный.

5. Диментберг, М. Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами / М. Ф. Диментберг. - Москва : Наука, 1989. - 176 с. - Текст : непосредственный.

6. Болотин, В. В. Случайные колебания упругих систем / В. В. Болотин. - Москва : Наука, 1979. - 336 с. - Текст : непосредственный.

7. Вибрации в технике : справочник : в 6 т. / пред. ред. совета В. Н. Челомей. - Т.1. Колебания линейных систем / под ред. В. В. Болотина. - Москва : Машиностроение, 1978. - 352 с. -Текст : непосредственный.

8. Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. -Москва : Наука, 1970. - 332 с. - Текст : непосредственный.

9. Смирнов, В. И. Курс высшей математики : в 5 т. - Москва : Наука, 1974. - Т. 2. - 656 с. -Текст : непосредственный.

10. Пахомов, М. П. Воздействие электровоза на путь в зоне стыка / М. П. Пахомов. -Текст : непосредственный // Вестник ВНИИЖТа. - 1957. - № 4. - С. 30-34.

11. Пахомов, М. П. Экспериментальные исследования колебаний электровозов и их воздействия на путь / М. П. Пахомов. - Текст : непосредственный // Науч. тр. МИИТа. - 1958. -Вып. 108. - С. 44-64.

12. Панькин, Н. А. Колебательные движения экипажей при параметрическом возмущении / Н. А. Панькин, И. М. Стесин, В. П. Ценов. - Текст : непосредственный // Вестник ВНИИЖТа. - 1978. - № 1. - С. 27-30.

13. Панькин, Н. А. Вертикальные колебания экипажа, возникающие при движении по неравноупругому пути / Н. А. Панькин, И. М. Стесин, Ю. Г. Беленькая. - Текст : непосредственный // Науч. тр. МИИТа. - 1979. - Вып. 640. - С. 24-32.

14. Бурчак, Г. П. Колебания неподрессоренной массы на неравноупругом пути с неровностями / Г. П. Бурчак. - Текст : непосредственный // Науч. тр. Академии коммун. хоз-ва им. К. Л. Памфилова. - Москва : Транспорт, 1980. - Вып. 175. - С. 84-98.

15. Гавриленко, А. К. Планирование подъемочного ремонта и планово-предупредительной выправки железнодорожного пути с учетом критерия неравноупругости : специальность 05.02.22 «Организация производства (по отраслям)» : диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Гавриленко Александр Константинович ; Уральский гос. ун-т путей сообщения. - Екатеринбург, 2007. - 121 с. - Текст : непосредственный.

16. Привалов, С. В. Влияние жесткости подрельсового основания на взаимодействие экипажа и пути : специальность 05.22.06 «Железнодорожный путь, изыскание и проектирование железных дорог» : диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Привалов Сергей Владимирович ; ВНИИЖТ. - Москва, 2004. - 118 с. - Текст : непосредственный.

17. Фришман, М. А. Влияние эпюры укладки железобетонных шпал на работу элементов пути / М. А. Фришман, И. С. Леванков, В. В. Говоруха. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1965. - Вып. 57. - С. 21-28.

18. Леванков, И. С. Влияние неравножесткости пути на шпалах и междушпальных пролетах на силы взаимодействия пути и подвижного состава / И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1965. - Вып. 57. - С. 63-79.

19. Фришман, М. А. Еще раз к вопросу об определении модуля упругости подрельсового основания / М. А. Фришман, И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1965. - Вып. 57. - С. 4-8.

20. Леванков, И. С. О выборе расчетных значений модуля упругости подрельсового основания / И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1967. -Вып. 78. - С. 83-88.

21. Леванков, И. С. Исследование влияния изменения жесткости вдоль звена пути на характер и силы взаимодействия пути и подвижного состава / И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1969. - Вып. 99. - С. 76-93.

22. Леванков, И. С. Качественный анализ свободных колебаний системы «неподрессорен-ная масса - путь» при периодическом изменении жесткости пути по его длине / И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1972. - Вып. 138. - С. 57-73.

23. Фришман, М. А. Исследование особенностей изменения вертикальной жесткости пути по его длине / М. А. Фришман, И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1972. - Вып. 138. - С. 48-57.

24. Леванков, И. С. К вопросу определения величины вертикальной силы, действующей от колеса на рельс в динамике / И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1973. - Вып. 142. - С. 95-103.

25. Фришман, М. А. Об особенностях изменения вертикальной жесткости вдоль пути с тяжелым типом верхнего строения / М. А. Фришман, И. С. Леванков. - Текст : непосредственный // Науч. тр. ДИИТа. - 1973. - Вып. 142. - С. 3-10.

26. Теоретические и натурно-экспериментальные исследования динамических процессов взаимодействия подвижного состава и пути в вертикальной и горизонтальной плоскостях зимой и летом : отчет о НИР (заключит.) / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп.; Руководитель М. П. Пахомов. № ГР 76005445; Инв. № Б862362. - Омск, 1980. - 198 с. - Текст : непосредственный.

27. Тележечные экипажи локомотивов для повышенных скоростей движения / Науч. тр. ВНИИЖТа / под ред. К.П. Королева. - Москва : Трансжелдориздат, 1962. - 304 с. - Текст : непосредственный.

28. Вериго, М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава / М. Ф. Вериго, А. Я. Коган; под ред. М. Ф. Вериго. - Москва : Транспорт, 1986. - 559 с. - Текст : непосредственный.

References

1. Nekhaev V. A., Sabirov R. D. Irregular resilience railway track as a disturbing factor [Neravnouprugost' zheleznodorozhnogo puti kak vozmushchaiushchii faktor]. Izvestiia Transsiba -The Journal Of Transsib Railway Studies, 2013, no. 3 (15), pp. 42 - 54.

2. Nekhaev V. A., Sabirov R. D. Features of drawing up a mathematical model of a conditional biaxial trolley moving along an unequally elastic railway track in the longitudinal direction [Osoben-nosti sostavleniia matematicheskoi modeli uslovnoi dvukhosnoi telezhki, dvizhushcheisia po neravnouprugomu zheleznodorozhnomu puti v prodol'nom napravlenii]. Tekhnologicheskoe obespechenie remonta i povyshenie kachestvapodvizhnogo sostava : materialy vserossiiskoi konfer-entsii s mezhdunarodnym uchastiem (Technological maintenance of repair and quality improvement of rolling stock : materials of the All-Russian conference with international participation). - Omsk, 2013, pp. 185 - 191.

3. Nekhaev V. A. Vzaimodeistvie ekipazha s kvaziinvariantnoi sistemoi podveshivaniia i neravnouprugogo po protiazhennosti puti (Interaction of the crew with a quasi-invariant suspension system and an unequally elastic path along the length). Doctor's thesis, Omsk, Omsk Institute of Railway Transport Engineers, 1983, 217 p.

4. Bolotin V. V. Dinamicheskaia ustoichivost' uprugikh system (Dynamic stability of elastic systems). Moscow: GITTL Publ., 1956, 600 p.

5. Dimentberg M. F. Sluchainye protsessy v dinamicheskikh sistemakh s peremennymi par-ametrami (Random processes in dynamic systems with variable parameters). Moscow: Nauka Publ., 1989, 176 p.

6. Bolotin V. V. Sluchainye kolebaniia uprugikh system (Random oscillations of elastic systems). Moscow: Nauka Publ., 1979, 336 p.

7. Chelomei V. N. ed. Vibratsii v tekhnike: spravochnik: v 6 tomakh. T. 1. Kolebaniia lineinykh system (Vibrations in engineering: handbook: in 6 volumes. Vol. 1. Vibrations of linear systems). Moscow: Mashinostroenie Publ., 1978, 352 p.

8. Pontriagin L. S. Obyknovennye differentsial'nye uravneniia (Ordinary differential equations). Moscow: Nauka Publ., 1970, 332 p.

9. Smirnov V. I. Kurs vysshei matematiki: v 5 tomakh T. 1. (The course of higher mathematics: in 5 volumes Vol. 1.). Moscow: Nauka Publ., 1974, 656 p.

10. Pakhomov M. P. The impact of an electric locomotive on the track in the junction area [Vozdeistvie elektrovoza na put' v zone styka]. Vestnik VNIIZhTa - Bulletin of VNIIZHT, 1957, no. 4, pp. 30 - 34.

11. Pakhomov M. P. Experimental studies of electric locomotives' vibrations and their impact on the track [Eksperimental'nye issledovaniia kolebanii elektrovozov i ikh vozdeistviia na put']. Nauch-nye trudy MIITa - Scientific works of MIIT, 1958, issue 108, pp. 44 - 64.

12. Pan'kin N. A., Stesin I. M., Tsenov V. P. Oscillatory movements of crews under parametric perturbation [Kolebatel'nye dvizheniia ekipazhei pri parametricheskom vozmushchenii]. Vestnik VNIIZhTa - Bulletin of VNIIZHT, 1978, no. 1, pp. 27 - 30.

13. Pan'kin N. A., Stesin I. M., Belen'kaia Iu. G. Vertical vibrations of the crew that occur when moving along an unevenly elastic path []. Nauchnye trudy MIITa - Scientific works of MIIT, 1979, issue 640, pp. 24 - 32.

14. Burchak G. P. Fluctuations of unsprung mass on an unevenly elastic path with irregularities [Kolebaniia nepodressorennoi massy na neravnouprugom puti s nerovnostiami]. Nauchnye trudy akademii kommunal'nogo khoziaistva im. K. L. Pamfilova - Scientific works of the K. L. Pamfilov Academy of Public Utilities, 1980, issue 175, pp. 84 - 98.

15. Gavrilenko A. K. Planirovanie pod"emochnogo remonta i planovo-predupreditel'noi vypravki zheleznodorozhnogo puti s uchetom kriteriia neravnouprugosti (Planning of lifting repairs and planned preventive alignment of the railway track, taking into account the criterion of non-elasticity). Doctor's thesis, Ekaterinburg, USURT, 2007, 121 p.

16. Privalov S. V. Vliianie zhestkostipodrel'sovogo osnovaniia na vzaimodeistvie ekipazha iputi (The effect of the rigidity of the sub-rail base on the interaction of the crew and the track). Doctor's thesis, Moscow, VNIIZHT, 2004, 118 p.

17. Frishman M. A., Levankov I. S., Govorukha V. V. Influence of the plot of laying reinforced concrete sleepers on the work of the track elements [Vliianie epiury ukladki zhelezobetonnykh shpal na rabotu elementov puti]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1965, issue 57, pp. 21 - 28.

18. Levankov I. S. The influence of the non-rigidity of the track on sleepers and interspan spans on the interaction forces of the track and rolling stock [Vliianie neravnozhestkosti puti na shpalakh i mezhdushpal'nykh proletakh na sily vzaimodeistviia puti i podvizhnogo sostava]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1965, issue 57, pp. 63 - 79.

19. Frishman M. A., Levankov I. S. Once again to the question of determining the modulus of elasticity of the sub-rail base [Eshche raz k voprosu ob opredelenii modulia uprugosti podrel'sovogo osnovaniia]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1965, issue 57, pp. 4 - 8.

20. Levankov I. S. On the choice of calculated values of the elastic modulus of the sub-rail base [O vybore raschetnykh znachenii modulia uprugosti podrel'sovogo osnovaniia]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1967, issue 78, pp. 83 - 88.

21. Levankov I. S. Investigation of the effect of changes in stiffness along the link of the track on the nature and strength of the interaction of the track and rolling stock [Issledovanie vliianiia izmeneniia zhestkosti vdol' zvena puti na kharakter i sily vzaimodeistviia puti i podvizhnogo sostava]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1969, issue 99, pp. 76 - 93.

22. Levankov I. S. Qualitative analysis of free oscillations of the unsprung mass - path system with periodic changes in the stiffness of the path along its length [Kachestvennyi analiz svobodnykh

kolebanii sistemy «nepodressorennaia massa - put'» pri periodicheskom izmenenii zhestkosti puti po ego dline]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1972, issue 138, pp. 57 - 73.

23. Frishman M. A., Levankov I. S. Investigation of the peculiarities of changing the vertical stiffness of the path along its length [Issledovanie osobennostei izmeneniia vertikal'noi zhestkosti puti po ego dline]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1972, issue 138, pp. 48 - 57.

24. Levankov I. S. On the issue of determining the magnitude of the vertical force acting from the wheel to the rail in dynamics [K voprosu opredeleniia velichiny vertikal'noi sily, deistvuiushchei ot kolesa na rel's v dinamike]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1973, issue 142, pp. 95 - 103.

25. Frishman M. A., Levankov I. S. About the peculiarities of the change in vertical stiffness along the path with a heavy type of upper structure [Ob osobennostiakh izmeneniia vertikal'noi zhestkosti vdol' puti s tiazhelym tipom verkhnego stroeniia]. Nauchnye trudy DIITa - Scientific works of DIIT, 1973, issue 142, pp. 3 - 10.

26. Teoreticheskie i naturno-eksperimental'nye issledovaniia dinamicheskikh protsessov vzai-modeistviia podvizhnogo sostava i puti v vertikal'noi i gorizontal'noi ploskostiakh zimoi i letom: otchet o NIR (zakliuchitel'nyi) [Theoretical and field-experimental studies of dynamic processes of interaction of rolling stock and track in vertical and horizontal planes in winter and summer: research report (final)]. Head M. P. Pakhomov. Omsk, Omsk Institute of Railway Transport Engineers, 1980, 198 p.

27. Korolev K. P. ed. Telezhechnye ekipazhi lokomotivov dliapovyshennykh skorostei dvizheniia. Nauchnye trudy VNIIZhTa (Bogie carriages of locomotives for increased speeds. Scientific works of VNIIZhT). Moscow: Transzheldorizdat Publ., 1962, 304 p.

28. Verigo M. F., Kogan A. Ia., Verigo M. F. ed. Vzaimodeistvie puti i podvizhnogo sostava (Interaction of track and rolling stock). Moscow: Transport Publ., 1986, 559 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Нехаев Виктор Алексеевич

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС).

Маркса пр., д. 35, г. Омск, 644046, Российская Федерация.

Доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Теоретическая и прикладная механика», ОмГУПС.

Тел.: +7(3812) 37-60-82, +7(3812) 31-16-88.

E-mail: NehaevVA@rambler.ru

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Нехаев, В. А. Действие продольной шпальной неравноупругости пути на устойчивость движения электровозов / В. А. Нехаев. - Текст : непосредственный // Известия Транссиба. - 2021. - № 3 (47). -С. 2 - 22.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Nekhaev Viktor Alekseevich

Omsk State Transport University (OSTU).

35, Marx st., Omsk, 644046, the Russian Federation.

Doctor of Sciences in Engineering, professor, professor of the department «Theoretical and applied mechanics», OSTU.

Phone: +7(3812) 37-60-82, +7(3812) 31-16-88.

E-mail: NehaevVA@rambler.ru

BIBLIOGRAPHIC DESCRIPTION

Nekhaev V. A. The effect of longitudinal sleeper un-stiffnes of the railway to the stability of the movement of electric locomotives. Journal of Transsib Railway Studies, 2021, no. 3 (47), pp. 2 - 22 (In Russian).