CC BY
6УДК: 517.938.5, 523.947 MSC2010:37D15
ДИНАМИКА РЕГУЛЯРНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПОТОКОВ © О. В. Починка, С. Х. Зинина
Национальный исследовательский университет «Высшая школл экономики» Лаборатория динамических систем и приложений НИУ ВШЭ ул. Большая Печерская, 25/12, Нижний Новгород, 603155, Российская Федерация
е-ма1ь: о1да-росЫпка@уапв,ех. ги Национальный исследовательский Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва Факультет математики и информационных технологий ул. Большевистская, д. 68, Саранск, 430005, Российская Федерация е-ма1ы kapkaevasvetlana@yandex.ru
Dynamics of regular topological flows.
Pochinka O. V., Zinina S. Kh.
Abstract. It is well known that for dimensions 4 and greater there are topological manifolds admitting no smooth structure. Therefore, dynamical systems as well as functions on such manifolds may only be considered as topological and continuous, respectively. Nevertheless, these systems and functions have the same properties as the smooth ones and they are closely related to the topology of the ambient manifold.
In this paper, we introduce a class G of continuous flows ft on closed topological n-manifold M that generalize the concept of Morse-Smale flows. Such flows have a hyperbolic (in the topological sense) chain recurrent set Rft consisting of a finite number of orbits (chain components). Each non-wandering orbit is either a fixed point or a periodic orbit O for which the concept of stable WJ. and unstable WU manifolds is correctly defined. It is shown that the chain components of the considered flows do not form cycles and, therefore, can be completely ordered
Oi ■ ••• ■ Ok
with the Smale relation preserved:
ws n WU. = 0^ i< j.
We establish the following main dynamic properties of flows from the class G.
Let f1 e G. Then
1. M = U WU = U WSi;
i=1 i=1
2. for any fixed point Oi there is a number Ai e {0,..., n} (Morse index of the point Oi) such that its unstable manifold W^. is a topological submanifold of M, homeomorphic to
MAi, and the stable manifold W^. is a topological submanifold of M, homeomorphic to
Rn-Xi;
3. for a periodic orbit O there is a number Ai £ {0,..., n — 1} (Morse index of the orbit Oj) and a pair of numbers ^j, v £ { — 1, +1} (orbit type Oj) such that its unstable manifold W' is a topological submanifold of the manifold M, homeomorphic to KAi x S1 for ^ = +1 and MAix S1 for ^i = —1; the stable manifold W^. is a topological submanifold of the manifold M, homeomorphic to Wl-Xi x S1 for vi = +1 and Wl-Xi xS1 for vi = —1;
4. (ci(W'Ui) \ wUi) C iU1 wu. ((ci(wSi) \ WSi) C U Wj).
i 1 j 1 1
j=1 j=i+1 Keywords: manifold, topological flow, regular dynamics, hyperbolic set, chain recurrent set
Введение и формулировка результатов
Хорошо известно, что для размерностей 4 и более существуют топологические многообразия, не допускающие гладкой структуры. Поэтому динамические системы, а также функции на таких многообразиях могут рассматриваться только как топологические и непрерывные соответственно. Тем не менее, эти системы и функции обладают теми же свойствами, что и гладкие, и они тесно связаны с топологией объемлющего многообразия.
В настоящей работе вводится класс С непрерывных потоков / на замкнутом топологическом п-многообразии М, обобщающих понятие потоков Морса-Смейла. Такие потоки имеют гиперболическое (в топологическом смысле) цепно рекуррентное множество Rf±, состоящее из конечного числа орбит (цепных компонент). Каждая неблуждающая орбита является либо неподвижной точкой, либо периодической орбитой О, для которой корректно определено понятие устойчивого WS и неустойчивого ШЦ многообразий. Показывается, что цепные компоненты рассматриваемых потоков не образуют циклов и, следовательно, могут быть полностью упорядочены
Ог ^ ••• ^ О
с сохранением отношения Смейла:
^ п ШЦ = г<з.
Основным результатом работы является следующая теорема, устанавливающая основные динамические свойства потоков из класса С.
Теорема 1. Пусть /1 € С. Тогда
1. M = и WU = и Wi;
ги
' O = и W ¿V i=1 i=1
2. Для любой неподвижной точки существует число Лг € {0,... ,п} (индекс Морса точки Ог) такое, что ее неустойчивое многообразие WUi является топологическим подмногообразием многообразия М, гомеоморфным КА и устойчивое многообразие является топологическим подмногообразием многообразия М, гомеоморфным Кп-А ;
3. Для периодической орбиты существует число Лг € {0,... ,п — 1} (индекс Морса орбиты Ог) и пара чисел V € { — 1, +1} (тип орбиты Ог) такие, что ее неустойчивое многообразие ^^ является топологическим подмногообразием многообразия М, гомеоморфным КА х 81 для ^г = +1 и КАгх 81 для
= —1; устойчивое многообразие WS является топологическим подмногообразием многообразия М, гомеоморфным Кп-А х 81 для V = +1 и Кп-Агх 81 для V = —1;
4. ) \ ^) с и ^ ) \ WS.) С и Wae.).
3=1 з'=г+1
Полученный результат является обобщением классической теоремы С. Смейла [7, Теорема 2.3]. Аналогичный результат для регулярных гомеоморфизмов получен в работе [1] и для топологических потоков без периодических орбит в работах [5], [4].
1. Необходимые понятия и факты
1.1. Топологические потоки. Пусть М — замкнутое п-мерное многообразие с метрикой ¿. Топологическим потоком на М называется непрерывно зависящее от Ь € К семейство гомеоморфизмов / : М ^ М, удовлетворяющее следующим условиям:
1) /0(х) = х для любой точки х € М;
2) /*(/в(х)) = /ь+3(х) для любых в,Ь € К, х € М.
Траекторией или орбитой точки х € М относительно потока /1 называется множество Ох = {/ь(х),Ь € К}. Полагают, что траектории потока ориентированы в соответствии с возрастанием параметра Ь. Любые две траектории динамической системы либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому фазовое пространство представляется в виде объединения попарно не пересекающихся траекторий. Различают три типа траекторий:
1) неподвижная точка Ох = {х};
2) периодическая траектория (орбита) Ох, для которой существует число рег(х) > 0 такое, что /рег(х)(х) = х, но /г(х) = х для всех действительных чисел 0 < Ь < рег(х). Число рег(х) называется периодом периодической орбиты и не зависит от выбора точки на орбите;
3) регулярная траектория Ох — траектория, не являющаяся неподвижной точкой или периодической орбитой.
Для характеристики блуждаемости траекторий динамической системы традиционно используется понятие цепно рекуррентности.
£-цепью длины Т, соединяющей точку ж с точкой у для потока / называется последовательность точек ж = ж0,...,жп = у, для которых существует последовательность времен ¿1,...,£п такая, что ^(/^(ж^х),^) < £, ^ > 1 для 1 < г < п и
¿1 + ■ ■ ■ + гп = т.
Точка ж € М называется цепно рекуррентной для потока /если для любого £ > 0 существует Т, зависящее от £ > 0, и £-цепь длины Т, соединяющая точку ж с ней самой. Множество всех цепно рекуррентных точек / называется цепно рекуррентным множеством /4 и обозначается , а его компоненты связности называются цепными компонентами. Множество является /-инвариантным, то есть состоит из орбит потока /4, которые называются цепно рекуррентными. Очевидно, что неподвижные точки и периодические орбиты являются цепно рекуррентными.
1.2. Топологическая гиперболичность неподвижных точек. Согласно теореме Гробмана-Хартмана (см., например, [6]), в окрестности гиперболической неподвижной точки гладкий поток топологически сопряжен линейному потоку ад : Мп ^ Мп, А € {0,1,..., п} следующего вида:
4(жь ..., жд, жд+1,..., жп) = (2*жь ..., 2*жд, 2-4жд+1,..., 2-4жп).
Положим
ЕД = {(жх, ...,жп) € Мп : жх = ■ ■ ■ = жд = 0}, Еих = {(жь ...,жп) € Мп : жд+1 = ■ ■ ■ = жп = 0}.
Неподвижная точка р потока /4 : М ^ М называется топологически гиперболической, если существует ее окрестность ир С М, число А € {0,1, ...,п} и гомеоморфизм Нр : ир ^ Мп такие, что Нр/ 4\ир = а\ Нр\ир всякий раз, когда левая и правая части определены.
Для топологически гиперболической неподвижной точки р потока /4 множества Н-1(Ед), Н-1(Еир) будем называть её локальными инвариантными многообразиями. Множества
= и /(Н-1(Едр)), WU = у /4(нр-1(Ед;))
¿ем ¿ем
будем называть устойчивым и неустойчивым инвариантными многообразиями точки р.
(а)
(Ь)
(с)
Рис. 1. Динамика в окрестности топологически гиперболической неподвижной точки: а) седло, Ь) источник, с) сток
Число Ар будем называть индексом Морса гиперболической точки р. Точки индексов п и 0 будем называть источниковыми и стоковыми соответственно; любую точку р такую, что Ар € {1, ■ ■ ■ , п — 1} будем называть седловой (см. Рис. 1).
1.3. Топологическая гиперболичность периодических орбит. В работе [3] М. С. Ирвин доказал аналог теоремы Гробмана-Хартмана для периодических орбит, а именно, он показал, что в окрестности гиперболической периодической орбиты поток топологически сопряжен надстройке над линейным диффеоморфизмом : Мп-1 ^ Мп-1, А € {0,1, ...,п — 1},^, V € { — 1, +1} следующего вида:
(х1, ..., жл, хх+1,..., Хп-1) — (^ ■ 2x1,..., 2жл, V ■ жл+1 /2,..., Жп-1/2).
Именно, для Т > 0 введем минимальное отношение эквивалентности ~ на Мп, при котором точки (ж, кТ) и (аЛ,м^(ж), (к — 1)Т) являются эквивалентными для х = (ж1, . . . , жп—1) € Мп 1, к € 2. Положим Пл^^т — И.П/~ и обозначим через 9л,^,т: ^ Пл,^,и,т естественную проекцию. По построению многообразие гомеоморфно Мп-1 х 81, если — 1 и гомеоморфно Мп-1х 81, если ^ — —1. Определим поток Ъ на Мп системой дифференциальных уравнений:
' Ж 1 — 0,
<
Ж п-1 = 0,
Ж П 1.
Положим Е — {(ж1,...,жП) € МП : ж1 Еи — {(Ж1,..., Жп) € МП : Жл+1 — ■ ■ ■ — Жп-1 — 0}.
(1)
— жл — 0},
Рис. 2. Динамика в окрестности топологически гиперболической сед-ловой периодической орбиты I потока на трехменом многообразии: (а) Ае = 1, ^ = VI = +1, (Ь) Аг = 1, ^ = ^ = — 1
Естественная проекция индуцирует поток
ЬА,,,^т = 9А,,, ^т: ПА,,^,т ^ ПА,,^,т. Положим = ?А,,^,т (еА),
= 9а ,р,и,т (Е^).
Периодическая орбита I потока /1 : М ^ М называется топологически гиперболической периодической, если существует ее окрестность Щ С М, числа Аг € {0,1, ...,п — 1},^е, VI € {-1, +1}, Т > 0 и гомеоморфизм Н : Щ ^ Па^,,^,^ такие, что Н/ 1\и1 = &Аг , ^ тНг|и1 всякий раз, когда левая и правая части определены.
Для топологически гиперболической периодической орбиты I потока / множества Н-1(£А£ , щ т),Н-1(Е\е , щ т) будем называть её локальными инвариантными многообразиями.
Множества
и? = и /'(^(Ч ,,VI ,т)), И? = и /'(Н-1^ ,,VI т))
¿ем ¿ем
будем называть устойчивым и неустойчивым инвариантными многообразиями периодической орбиты I.
Число Аг будем называть индексом Морса, пару VI будем называть типом ориентации и число Т будем называть периодом гиперболической периодической орбиты I. Точки индексов п — 1 и 0 будем называть источниковыми и стоковыми соответственно; любую орбиту I такую, что Аг € {1, ■ ■ ■ , п — 2} будем называть седловой (см. Рис. 2).
2. ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ ЦЕПНЫХ КОМПОНЕНТ
Напомним, что через G мы обозначили класс топологических потоков, заданных на замкнутом топологическом n-многообразии M и таких, что цепно рекуррентное множество любого потока f4 6 G состоит из конечного числа гиперболических неподвижных точек и конечного числа гиперболических периодических орбит.
В настоящем разделе мы изучаем динамические свойства таких потоков и доказываем теорему 1.
Поскольку M является топологическим многообразием, то оно метризуемо, то есть топология на нем совпадает с метрической топологией, порожденной некоторой метрикой d. Тогда расстояние от точки x 6 M до подмножества Y С M определяется как
d(x, Y) = inf {d(x, y), y 6 Y}.
Утверждение 1. Пусть f4 6 G и O - цепная компонента потока f4. Тогда WU и WS не зависят от выбора локального гомеоморфизма hO ив топологических терминах определяются следующим образом:
WU = {у 6 M : lim d(f-t(y), O) = 0}, W| = {y 6 M : lim d(f4(y), O) = 0}.
Доказательство. 1 случай. Цепная компонента О является неподвижной точкой. Пусть Н' : и'е ^ Мп гомеоморфизм отличный от Но и такой, что Н'f— алН'\и' всякий раз, когда левая и правая части определены. Тогда в окрестности и о компоненты О в Мп корректно определен гомеоморфизм Н — Н¿Н-1, который сопрягает а л, с а л' . Сопрягающий гомеоморфизм сохраняет инвариантные многообразия, тогда А' — А о и Н(Е^ ,) — Е| ,, Н(ЕЦ ,) — ЕЦ ,. Таким образом, Н'ЛЕо) — Н-1(Н(Е)) — Н-1 (Е|о). Аналогично для Е*,. °
2 случай. Цепная компонента О является периодической орбитой. Пусть Н о : и'в ^ Пл' у у ,Т' гомеоморфизм отличный от Но и такой, что Н'^ \и'е — Ъ л' у у т' Н'о\и'е всякий раз, когда левая и правая части определены. Тогда в окрестности и о орбиты О в Мп хорошо определяется гомеоморфизм Н — Н ¿Н-1, который сопрягает Ъу у,^,Т' с Ъл, у ,т. Сопрягающий гомеоморфизм сохраняет инвариантные многообразия, тогда А' — А, — V1 — V, Т' — Т и Н(Е^ у ^) — Е^ у ^, Н(ЕЦ,у^) — Е^. Таким образом, Н'"1^^,,) — Н-/(Н(Е^,,)) — Н-1^'^). Аналог-гично для ЕЦ у у. □
Динамика систем класса С близка по своим свойствам к динамике потоков Морса-Смейла. Именно, на множестве цепных компонент потока / € С введем отношение С. Смейла условием
О ^ о ^ п и? = 0,
где Ог, О компоненты связности множества Rf ±.
к-циклом (к > 1) называется набор попарно непересекающихся орбит цепно-рекуррентного множества, удовлетворяющих условию О1 -< О2 ^ ■ ■ ■ ^ О -< О1.
Утверждение 2. У динамической системы /1 € С отсутствуют циклы.
Доказательство. Предположим противное: существует последовательность орбит
т
О1 -< ••• -< От -< О1. По построению любая точка множества и (И^. П И? 1),
г=1
где От+1 = О1 является цепно рекуррентной. Это противоречит конечности цепно рекуррентного множества системы /Получили противоречие. □
Таким образом, у потока /1 отсутствуют циклы, значит, введенное отношение является отношением частичного порядка и может быть продолжено (не единственным образом) до отношения полного порядка, т.е. для любых Ог, О, либо -< О, либо О -< Ог на ±. В дальнейшем будем считать орбиты потока /1 пронумерованными согласованно с некоторым фиксированным порядком:
О ^ ■ ■ ■ ^ О.
Кроме того, не уменьшая общности будем полагать, что любая стоковая орбита расположена в этом порядке ниже любой седловой орбиты, а любая источниковая орбита — выше любой седловой.
3. Доказательство теоремы 1
В этом разделе мы доказываем теорему 1 о вложении и асимптотическом поведении инвариантных многообразий цепных компонент. Аналогичное утверждение для диффеоморфизмов Морса-Смейла доказано в книге [2].
Ниже каждый пункт теоремы мы доказываем в отдельном подразделе.
Все утверждения, сформулированные относительно неустойчивых могообразий периодических точек справедливы для устойчивых и формально получаются заменой "u" на "s", поскольку Rft = Rf-t и устойчивые многообразия цепно рекуррентных точек потока f1 являются неустойчивыми многообразиями цепно рекуррентных точек потока f-t.
3.1. Представление объемлющего многообразия объединением инвариантных многообразий периодических точек. Доказательство пункта (1) теоремы 1.
k
Докажем, что M = IJ .
i=1 '
Пусть x G M. Точка y G M называется а-предельной точкой для точки x, если существует последовательность tn ^ —то, tn G R такая, что lim d(ftn(x),y) = 0. Множество a(x) всех а—предельных точек точки x называется а-предельным множеством точки x. В силу компактности многообразия M, предельное множество a(x) не пусто и является подмножеством Rft. Покажем, что a(x) состоит в точности из одной цепной компоненты, зависящей от x.
Предположим противное: существуют различные цепные компоненты Ov, Ow G a(x). Поскольку Rft состоит из конечного числа орбит, то существует р > 0 такое, что d(Oj, Oj) > р для любых i = j. Положим Vj = {y G M : d(y, Oj) < p}. Существует окрестность U такая, что c^Ui) С Vj и f-1 (c^Ui)) П Vj = 0 для любого j = i. По предположению существует возрастающая последовательность времен t^ такая, что f-t2m (x) G Uv, f-t2m+x (x) G Uw и t2m+1 — t2m > 2. Выберем последовательность времен tm так, что tm — наибольшее число из отрезка [q2m,q2m+1]
для которого f-(tm-1)(x) G cl(Uv). Тогда f-tm(x) G cl(Uv). С другой стороны
k
f-tm(x) = f-1(f-(tm-1)(x)) G Vj для j = v и, следовательно, f-tm(x) G (M \ IJ Ui).
i=1
Откуда следует, что a(x) не является подмножеством Rf. Получили противоречие.
Таким образом, для любой точки x G M существует единственная орбита Ov(x) G Rft такая, что a(x) = Ov(x). То есть существует последовательность tn ^ такая, что lim d(f-tn(x), Ov(x)) = 0. Из свойств динамики гиперболической периодической орбиты Ov (x) следует, что f-tn (x) G W^ для всех n больших некоторого n0. В силу инвариантности неустойчивого многообразия, x G W^ (x).
3.2. Вложение инвариантных многообразий периодических точек в объемлющее многообразие. Для доказательства пункта 2 теоремы 1 нам понадобится следующая лемма и следствия из нее.
Лемма 1. Пусть О — седловая точка диффеоморфизма а: Мп ^ Мп, 0 < А < п, То С WS — компактная окрестность О и £ С То \ О. Тогда для любой последовательности точек £т С (Мп \ То), сходящейся к точке £, существует подпоследовательность , последовательность натуральных чисел Kj ^ +то и точка П € (WO \ О) такие, что последовательность точек а ^(£т,.) сходится к точке г/.
Доказательство. Пусть £m = ..., £д,т, • • •, £n,m). Положим
Ku = |(ж1,...,жд, 0..., 0) G Ox1... жд : 4 < ж1 + ••• + жД < 1} является фундаментальной областью ограничения диффеоморфизма на Ож1..., жд \ O.
Тогда для любого m G N существует единственное целое число km такое, что 4 < 4km ((i^1,m)2 + ■ ■ ■ + (€д,го)2) < 1. Положим Пт = аД^(]г„) = (П1,т,..., 7n,m). Поскольку lim £т G (ОжД+1... жп \ O), то lim £j,m = 0 для любого i G {1,..., Л}
m—ro m—ro '
и, следовательно, lim km = +то (см. Рис. 3). Кроме того, последовательность £j,m
m—ro '
ограничена для любого i G {Л + 1,..., n} и, следовательно, 7]j,m ^ 0 при m ^ то для i G {Л + 1,...,n}.
Таким образом, координаты точек fjm = (n1;m,..., 7n,m) удовлетворяют следующим условиям: 1 < (n1;m)2 +-----+ (7q,m)2 < 1 для i G {1,...,q} и f\im ^ 0 при m ^ то
для i G {Л + 1,..., n}, то есть точки 7]m лежат внутри некоторого компактного подмножества Rn. Так как для любой последовательности, заданной на компакте, существует сходящаяся подпоследовательность, то существует подпоследовательность
fcm. = Kj последовательности km и точка 7] G (WO \ O) такие, что lim qm. = 7]. Тогда
3 j—ro 3
= (®л3 (nm3)) — искомая подпоследовательность. □
Следствие 1. Пусть p — гиперболическая неподвижная седловая точка потока f4 : M ^ M, Tp С Wp — компактная окрестность p и £ G (Tp \ p). Тогда для любой последовательности точек £m С (M \ Tp), сходящейся к точке £, существует подпоследовательность £mj, последовательность времен tj ^ +то и точка п G (Wp \p) такие, что последовательность точек ftj(£mj) сходится к точке п.
Рис. 4. Динамика в окрестности гиперболической периодической сед-ловой орбиты потока /4 : М ^ М
Доказательство. Не уменьшая общности можно считать, что точка £ принадлежит окрестности Цр, в которой поток /4 сопряжен линейному потоку а^ посредством гомеоморфизма Нр (в противном случае можно рассмотреть точку /к (£) для которой это верно при подходящей степени к). Тогда последовательность £т = Нр(£т), сходится к точке £ = Нр(£) € (Wо \ О). В силу леммы 1, существует подпоследовательность £т7, последовательность натуральных чмсел к ^ и точка П/ € (WO \ О) такие, что последовательность точек ад7 (£т7.) сходится к точке П/. Положим ^ = к. Тогда последовательность точек /7(£т7) = Н-1(аЛ7 (£т7)) сходится к точке п = Н-1(п). □
Следствие 2. Пусть I — гиперболическая периодическая седловая орбита потока /4 : М ^ М, Те С W/ — компактная окрестность I и £ € Те \ I. Тогда для любой последовательности точек £т С \ ТО, сходящейся к точке £, существует подпоследовательность £т., последовательность времен ^ ^ и точка п € (Wlгl\I) такие, что последовательность точек /7(£т7) сходится к точке п.
Доказательство. Не уменьшая общности можно считать, что точка £ принадлежит окрестности Ц^, в которой поток /4 сопряжен линейному потоку щ Т( посредством гомеоморфизма Не (в противном случае можно рассмотреть точку /к (£) для которой это верно при подходящей степени к).
Рассмотрим последовательность £т С Мп такую, что Н-1(дЛ£м,Т( (£т)) = £т и £т сходится к точке £ = (0,..., 0, £л 1+ь ..., £п).
Положим £т = (£1,т . . . , £п,т) и £т = (£1,т . . . , £п-1,т). В силу леммы 1 существует подпоследовательность кт7 = к последовательности кт и точка П/ € Ох1... хЛг
такие, что lim aj^ н(€т,-) = П- Положим tj = T£Kj, n = (ni..., Па£ , 0,..., 0),
П = (ni,..., f}Xe, 0,..., 0, и n = q\e,^e,vt,T(П) (см. Рис. 4). Тогда последовательность точек ftj (£mj) сходится к точке j. □
Доказательство пункта (2) теоремы 1. Докажем, что для неподвижной точки O = Р ее неустойчивое многообразие W^ является топологическим подмногообразием многообразия M, гомеоморфным RAp.
Пусть Tp = h-1(EUp). Тогда для каждой точки x G W^ существует натуральное число пх такое, что x G f-nx (Tp). Пусть Tp(x) = f-nx (Tp). Тогда существует карта фх : ^ Rn многообразия M такая, что фх (их П T(x)) = RAp. Если Ap = n или Ap = 0, тогда фх(их П Tp(x)) = фх(их П Wp4). Следовательно, неустойчивое многообразие каждой узловой точки является А^-подмногообразием.
Покажем, что W^ является подмногообразием M гомеоморфным RAp для каждой седловой точки. Предположим обратное: W^ не является подмногообразием M. Тогда существует точка x G W^ такая, что (их \ Tp(x)) П W^ = 0 для каждой карты фх : их ^ Rn многообразия M, в которой фх(их П Tp(x)) = RAp. Следовательно, существует последовательность {xm} С (W^ \Tp(x)), сходящаяся к точке x при m ^
Из следствия 1 следует, что существует подпоследовательность {xmj}, последовательность времен tj ^ и точка y G (Wp \Р) такие, что последовательность точек
k
{yj = f-tj (xmj)} сходится к точке y. Так как M = [J W^., то y G W^ для некоторого
О/ G {Oi,..., Ok}. Рассмотрим три возможных случая: [a] О/ - источниковая орбита или точка; [b] О\ - седловая орбита или точка; [с] О\ - стоковая орбита или точка.
В случае [a] dim = n и, следовательно, yj G для всех j, начиная с некоторого. Тогда i = l. Получили противоречие с тем, что dim Wp = n, откуда следует, что случай [а] невозможен.
В случае [с] W^ = О\ и, следовательно, О\ П (Wp \p) = 0. Получили противоречие, откуда следует, что случай [с] невозможен.
В случае [b] l = i, так как ft не имеет циклов. Следовательно, из лемм 1, 2 следует, что существует подпоследовательность {yjr}, последовательность времен тг ^ и точка z G W^ такие, что последовательность точек {fTr (yjr)} сходится к точке z (см. Рис. 5).
k
Так как M = U , то z G WU для некоторого q G {1,..., k}. Рассуждая как i=1
выше, получаем, что Oq - седловая орбита или точка, отличная от Oj и О/. Повторяя вышеприведенные рассуждения и учитывая, что множество Rft конечно получаем, что случай [b] невозможен.
Таким образом, — топологическое подмногообразие многообразия М. Тогда его гомеоморфность многообразию МЛр следует из того, что потоки и
топологически сопряжены.
Доказательство пункта (3) теоремы 1. Докажем, что для периодической орбиты О = I ее неустойчивое многообразие ^^ является топологическим подмногообразием многообразия М, гомеоморфным МЛ£ х 81 для р^ = +1 и МЛ£х 81 для ре = -1.
Пусть Те = Н-1(Е^ ^ ^ Те). Тогда для каждой точки х € ^^ существует натуральное число пх такое, что х € /-Пх (Т). Пусть Т(х) = /-Пх (Т). Тогда существует карта : Ц ^ Кп многообразия М такая, что ^(Ц П Т(х)) гомеоморфно х 81 для ре = +1 и гомеоморфно МЛ£х§1 для ре = -1. Если Хе = п — 1 или Аг = 0, тогда П Т(х)) = ^(Ц П ^Л. Следовательно, неустойчивое многообразие каждой узловой орбиты является (Аг + 1)- подмногообразием.
Покажем, что является подмногообразием М для каждой седловой точки. Предположим обратное: не является подмногообразием М. Тогда существует точка х € ^^ такая, что (Ц \ Т(х)) П = 0 для каждой карты : Ц ^ Мп многообразия М, в которой ^(Ц П Т(х)) гомеоморфно х 81 для ре = +1 и
гомеоморфно МЛ£х§1 для ре = —1. Следовательно, существует последовательность {хт} С \ Те(х)), сходящаяся к точке х при т ^
Из следствия 2 следует, что существует подпоследовательность {хт7}, последовательность времен ^ ^ и точка у € \ I) такие, что последовательность точек
к
{yj = f-tj (xmj)} сходится к точке y. Так как M = IJ , то y G WU для некоторого j i=1 ' 1 О/ G {Oi,..., Ok}. Рассмотрим три возможных случая: [a] O/ - источниковая орбита
или точка; [b] О\ - седловая орбита или точка; [с] О\ - стоковая орбита или точка.
В случае [a] dim WU = n и, следовательно, yj G для всех j, начиная с некоторого. Тогда i = l. Получили противоречие с тем, что dim W" = n, откуда следует, что случай [а] невозможен.
В случае [с] = O/ и, следовательно, О\ П (W/ \I) = 0. Получили противоречие, откуда следует, что случай [с] невозможен.
В случае [b] l = i, так как ft не имеет циклов. Следовательно, из следствий 1, 2 следует, что существует подпоследовательность {yjr}, последовательность времен тг ^ и точка z G W^ такие, что последовательность точек {fTr (yjr)} сходится к точке z.
к
Так как M = U WU, то z G WU для некоторого q G {1,..., k}. Рассуждая как i=1
выше, получаем, что Oq - седловая орбита или точка, отличная от Oj и О/. Повторяя вышеприведенные рассуждения и учитывая, что множество Rft конечно получаем, что случай [b] невозможен.
Таким образом, W" — топологическое подмногообразие многообразия M. Тогда его гомеоморфность многообразию RAi х S1 при р i = +1 и RAi xS1 при р i = — 1 следует из того, что потоки f t|w/ и aA£ w щ т |E" т топологически сопряжены.
3.3. Асимптотическое поведение инвариантных многообразий периодических точек. Доказательство пункта (4) теоремы 1
Докажем, что (cl(WU) \ WU) С \j WU.
Если О стоковая орбита, тогда с^Ж^.) \ пусто и предположение верно. Если непусто, рассмотрим точку х Е (с1(Жи) \ ). Покажем, что х Е для V < г.
На самом деле, поскольку х Е (с/(Ж^) \ (Ж^ и Ог)) существует последовательность {хт} С Жи такая, что ^(хт,х) ^ 0 для т ^ Из пункта (1) теоремы 1 следует, что х Е для V Е {1,..., к}. Возможны 3 случая: (а) О притягивающая
j=1
Т/ () \ W ( h) \ Wu). что x g w 'U) \ (WUi
hi -7 hv
орбита или точка, (b) Ov седловая орбита или точка, (с) Ov отталкивающая орбита или точка.
В случае (с) xm G W^ для всех m, начиная с некоторого. Но тогда Ov = Oj и x G WU , что противоречит предположению.
В случае (a) = Ov, x G Ov и xm G W^ для всех m, начиная с некоторого. Тогда WU П W^ = 0 и v < i, что и требовалось доказать.
В случае (Ь), согласно следствиям 1 и 2, существует подпоследовательность и последовательность времен ^ такие, что последовательность у- = /-(ж^.) сходится к точке у € \ ). Согласно пункту (1) теоремы 1, существует орбита € Мр
такая, что у € ^^ и -< . Если т = г, то утверждение верно. Если нет, то рассуждая, как и раньше, мы получаем, что орбита не может быть источниковой. Орбита явно не стоковая, потому что является седловой. Тогда орбита седловая, отличная от .
Поскольку Мр конечно и не содержит циклов, повторяя процесс, мы докажем утверждение за конечное число шагов.
Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта 20-31-90069.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гринес В. 3. Аналог теоремы Смейла для гомеоморфизмов с регулярной динамикой / Гринес В. 3., Гуревич Е. Я., Медведев В. С., Починка О. В. // Математические заметки. - 2017. - Т. 102. - №4. - C. 613-618.
GRINES V., GUREVICH E., MEDVEDEV T. & POCHINKA O. (2017) An analogue of Smale's theorem for homeomorphisms with regular dynamics. Matematicheskie Zametki. V. 102 (4). p. 613-618.
2. GRINES V., MEDVEDEV T., POCHINKA O. (2016) Dynamical Systems on 2- and 3-Manifolds. Switzerland: Springer.
3. IRWIN M. C. (1970) A classification of elementary cycles. Topology. Vol. 9. p. 35-47.
4. MEDVEDEV T., POCHINKA O., ZININA S. (2021) On existence of Morse energy function for topological flows. Advances in Mathematics. Vol. 378. p. .
5. POCHINKA O., ZININA S. (2019) Dynamics of topological flows and homeomorphisms with a finite hyperbolic chain recurrent set on n-dimensional manifolds. Dynamical systems. Vol. 9(37) (No. 3). p. 289-296.
6. ROBINSON C. (1999) Dynamical systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. Vol. 28. CRC press Boca Raton.
7. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. — 1970. - T.25. - No. 1. - C. 113-185.
SMAIL, S. (1970) Differentiable dynamic systems. Uspehi matematicheskih nauk. V.25 (1). p. 113-185.
