О связи динамики градиентно-подобного 3-диффеоморфизма со структурой характеристического пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938

О связи динамики градиентно-подобного 3-диффеоморфизма со структурой характеристического пространства1

О. В. Починка, А. А. Шутов

Национальный Исследовательский Университет Высшая Школа Экономики, Нижний Новгород. E-mail: [email protected], ashutov@hse

Аннотация. В настоящей работе рассматриваются градиентно-подобные диффеоморфизмы, заданные на замкнутых ориентируемых 3-многообразиях M3. Динамика любого такого диффеоморфизма f может быть представлена как движение от связного аттрактора Af к связному репеллеру Rf. При этом характеристическое пространство Vf = Vf /f, определяемое как пространство орбит ограничения диффеоморфизма f на множество Vf = M3 \ (Af U Rf), является гладким связным 3-многообразием. В простейшем случае (например, когда диффеоморфизм f включается в поток) характеристическое пространство является прямым произведением Sg х S1, где Sg — ориентируемая поверхность рода g > 0. В настоящей работе изучаются классы Gg градиентно-подобных диффеоморфизмов на M3, характеристическое многообразие которых диффеоморфно Sg х S1, g > 0. В работе показывается, что при g > 0 любая седловая точка диффеоморфизма из Gg имеет положительный тип ориентации. Устанавливается, что для произвольного g > 0 многообразие, допускающее диффеоморфизм f € Gg без гетероклинических кривых, является связной суммой g копий S2 х S1; а в случае g = 0 — 3-сферой S3.

Ключевые слова: градиентно-подобный диффеоморфизм, характеристическое пространство, несущее многообразие, топология фазового пространства.

Введение и формулировка результатов

Пусть M3 — замкнутое ориентируемое 3-многообразие и f : M3 ^ M3 — структурно устойчивый диффеоморфизм с конечным неблуждающим множеством — диффеоморфизм Морса-Смейла. Обозначим через MS(M3) множество таких диффеоморфизмов. Динамика любого каскада f £ MS(M3) может быть представлена следующим образом (см., например, [3] и [4]). Обозначим через Qf, q = 0,1, 2, 3 множество периодических точек p таких, что dim WPp = q. Тогда Af = W^ q1 — связный аттрактор и Rf = W^3 q2 —

связный репеллер с топологической размерностью, равной нулю или единице. Множества Af и Rf не пересекаются, а каждая точка из множества Vf = M3 \ (Af U Rf) является блуждающей и движется под действием f от Rf к Af. Пространство орбит Vf = Vf /f является гладким связным 3-многообразием и называется характеристическим пространством. Согласно [3] любое характеристическое пространство является простым многообразием, то есть оно либо неприводимо (любая цилиндрически вложенная в него 2-сфера ограничивает в нём 3-шар), либо диффеоморфно S2 х S1.

Типом ориентации периодической точки p периода per(p) диффеоморфизма f £ MS(M3) является число 1 или —1 в зависимости от того сохраняет отображение fper(pVpu : WPpU ^ WpU ориентацию или нет.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 15-01-01637-а и 15-01-03687-а)

© О. В. ПОЧИНКА, А. А. ШУТОВ

Непустое пересечение Ш' П Ш" где р, ц — различные седловые точки диффеоморфизма / е МБ(М3), называется гетероклиническим, при этом в случае (гш(Ш' П Ш') = 1 компонента связности пересечения Ш' П Ш' называется гетероклинической кривой, а в случае (гш(ШрПШ") = 0 компонента связности пересечения П называется гетероклинической точкой. Диффеоморфизм / е МБ(М3) называется градиентно-подобным, если он не имеет гетероклинических точек.

Обозначим через Сд, д > 0, класс градиентно-подобных диффеоморфизмов таких, что для любого / е Сд многообразие V/ диффеоморфно 8д х 81, где 8д — ориентируемая поверхность рода д. В силу работы [2] классу Сд принадлежат, в частности, все градиентно-подобные каскады, включающиеся в топологический поток. Обозначим через Мд гладкое 3-многообразие, являющееся связной суммой д копий 82 х 81 для д > 0 и являющееся 3-сферой §3 для д = 0.

Основным результатом настоящей работы являются следующие теоремы.

Теорема 1. Любая седловая точка диффеоморфизма / е Од,д > 0, имеет положительный тип ориентации.

Теорема 2. Многообразие, допускающее диффеоморфизм / е Од,д > 0, без гетероклинических кривых, диффеоморфно Мд .

Благодарности. Авторы признательны Е. Я. Гуревич за внимательное прочтение рукописи и полезные замечания.

1. Характеристические пространства

Напомним, что мы обозначили через П/, ц = 0,1,2,3, множество периодических точек р таких, что ё1ш Ш' = ц, положили А/ = иП1, К/ = ип2 и V/ =

М3 \ (А/ и К/). В [4] пространство орбит V/ = V/// названо характеристическим пространством. Обозначим через р/ : V/ ^ V/ естественную проекцию.

Пусть теперь / е Сд. Тогда пространство орбит V/ гомеоморфно 8д х 81. Соответственно, группа п1(У/) изоморфна группе п1(§д) х Z и, следовательно, допускает эпиморфизм пд : п1 (V/) ^ Z. Для седловой точки а диффеоморфизма / обозначим через Ш2 (Ш^) двумерное (одномерное) инвариантное многообразие а. Положим Ш2 = р/ (Ш2). Тогда множество является гладким тором (гладкой бутылкой Клейна) в многообразии V/, если диффеоморфизм /рег(°") сохраняет (меняет) ориентацию Ш2, причем Пд(г(п1(Ш<2))) = 0, где г^2 : Ш2 ^ V/ — отображение включения (см., например,

[4]). Положим Ш2 = и Ш. Выберем семейство (Ж(Ш2), а е (ПЦ и П/)} попарно о-е(п1 ип22)

непересекающихся трубчатых окрестностей3 поверхностей (Ш2, а е (П/ и П2)}. Каждая компонента связности множества N(Ш2) является двумерным тором Т таким, что

2Для д = 0 эта теорема следует из работы [5].

3 Трубчатая окрестность тора — это многообразие, диффеоморфное Т2 х (0,1) и, соответственно, её граница состоит из двух торов. Трубчатая окрестность бутылки Клейна — это неориентируемое локально тривиальное расслоение над бутылкой Клейна со слоем интервал, её граница состоит из одного тора.

Пд(г(п\(Т))) = 0, где г^ : Т ^ V® — отображение включения. Гомотопически нетривиальную замкнутую кривую Ь С Т такую, что пд (И) = 0 будем называть меридианом тора Т .

Рис. 1. f-инвариантная окрестность седловой точки а Для любой точки ш е О® положим Vш = \ш. Положим Vo = У Vш и V) = У Vш

шеп° шеп°

и обозначим через ро : V) ^ V) естественную проекцию. Тогда каждая компонента связности многообразия V) диффеоморфна 82 х 81. Отметим, что V0 \ = V® \ . Для

точки а е ОЦ положим N а = р-1(М(Ш2)) и . По построению N а — /-инвариантная окрестность периодической орбиты Оа, содержащая и (см. рисунок 1). Положим N0 1 = У Ыа. Тогда имеет место равенство V) \ N0 1 = V® \ N0 1. 02 f

Положим = р0(Ш^). Множество является парой узлов (узлом) в многообразии

V0, если диффеоморфизм /рег(а) сохраняет (меняет) ориентацию (см., например, [4]).

Положим N(Ш) = р0(Ма), тогда N(Ш^) — трубчатая окрестность многообразия И^.

Положим N21 = р, (N01) и N11 = р0Шг> 1). Из равенства V) \N01 = V® \N01 следует, что 0 1 f f f ^1 f f f f

многообразие р0^0 \ N01) гомеоморфно многообразию р.(V® \ N01). Откуда получаем,

./ 7 f

что V) \ N11 гомеоморфно V® \ N21.

Переход от многообразия V® к многообразию V) состоит в удалении N21 из V® и приклеивании к каждой границе полученного многообразия заполненного тора в силу диффеоморфизма, переводящего меридиан в меридиан4. Формализуем этот переход, определив операцию перестройки многообразия V = 8д х 81 вдоль пд-существенного тора Т С 8д х 81, то есть такого тора Т, что пд(г^ (п1(Т))) = 0, где г^ : Т ^ §д х 81 — отображение включения.

Пусть N(Т) — трубчатая окрестность Т и V = V \ N(Т). Тогда многообразие состоит из двух компонент связности, каждая из которых является двумерным тором.

4Двумерный диск d в заполненном торе У называется меридианным, если дУ П d = dd и dd не ограничивает диск в ЗУ. Граница меридианного диска называется меридианом.

Положим Y = D2 х S1, где D2 = {(ж, y) G R2 : x2 + у2 < 1} и 7 = ({(0, 0)} х S1) С Y. Пусть ß — меридиан заполненного тора Y и ( : (cl N(T) \ T) ^ (Y \ 7) х S0 — диффеоморфизм, для которого Пд([С-1 (в х {±1})]) = 0.

Определение 1. Будем говорить, что пространство Vf = (V\T) IJ (int Y xS0) получено

С w

перестройкой многообразия V вдоль тора T.

Аналогичным образом вводится перестройка многообразия V вдоль пд -существенной бутылки Клейна K, основанная на том, что трубчатая окрестность N(K) бутылки Клейна K без самой бутылки Клейна является связной и диффеоморфна многообразию

int Y \ 7.

На рисунке 2 a (2 b) схематично изображена перестройка многообразия V = S2 х S1 вдоль тора (бутылки Клейна).

Рис. 2. Перестройка многообразия V = S2 х S1 вдоль тора T и бутылки Клейна K

Для доказательства теорем 1 и 2 нам понадобятся приведённые ниже топологические факты, их следствия и леммы.

1. Факт. Любой гомотопически нетривиальный гладкий тор в многообразии S2 х S1 ограничивает в нём заполненный тор (см., например, [8]).

2. Факт. Пусть Y, Y' — заполненные торы. Гомеоморфизм h : dY ^ dY' тогда и только тогда продолжается до гомеоморфизма H : Y ^ Y', когда он переводит меридиан тора Y в меридиан тора Y' (см., например, [9]).

3. Факт. Собственно вложенная в многообразие X ориентируемая поверхность5 F, не являющаяся 2-сферой, несжимаема6 тогда и только тогда, когда Ker(iF*) = 0,

5Поверхность F называется собственно вложенной в многообразие X, если dX П F = dF.

6 Собственно вложенная в X поверхность F называется сжимаемой в X в одном из следующих двух случаев:

1) существует нестягиваемая простая замкнутая кривая c С int F и гладко вложеннный 2-диск D С intX такой, что D П F = dD = c;

2) существует 3-шар B С intX такой, что F = dB.

Поверхность F называется несжимаемой в X, если она не является сжимаемой в X.

где iF : F ^ X — отображение включения ([8]).

4. Факт. Если 3-многообразие X неприводимо, тогда двумерный тор T С X, не лежащий в 3-шаре, является сжимаемым тогда и только тогда, когда он ограничивает заполненный тор в X ([8], exercise 6).

5. Факт. Любая несжимаемая поверхность в связном компактном неприводимом многообразии либо изотопна поверхности, состоящей из слоёв вида |x}xS1, либо транс-версальна всем таким слоям ([6], proposition 1.11).

6. Факт. Многообразие Sg x S^g > 0 неприводимо ([6], proposition 1.12).

7. Факт. Многообразие диффеоморфно многообразию S2 x S1 тогда и только тогда, когда оно получается из двух гладких заполненных торов склейкой их границ посредством диффеоморфизма, переводящего меридиан в меридиан (см., например, предложение 7.1 книги [1]).

8. Факт. Пусть f е MS(M3) — диффеоморфизм без гетероклинических кривых и

rf -lf +2

такой, что Q/ состоит из rf седловых и lf узловых точек. Тогда gf = f 2— является целым неотрицательным числом и справедливы следующие утверждения:

1) если gf = 0, то M3 — 3-сфера;

2) если gf > 0, то M3 — связная сумма gf копий S2 x S1. ([4])

Следствие 1. Пусть T — Пд-существенный тор на многообразии S2 x S1. В силу факта 1, тор T ограничивает заполненный тор. При этом, если тор T ограничивает два заполненных тора, то, в силу факта 7, мериадиан одного из них является меридианом другого.

Следствие 2. Пусть T — пд-существенный тор на многообразии Sg x S1, g > 0. В силу фактов 3, 4, 5, 6 тор T либо ограничивает заполненный тор в Sg x S1, либо изотопен поверхности, состоящей из слоёв вида {x}xS1, где множество таких точек x образует на Sg не гомотопную нулю кривую а^.

Лемма 1. Пусть C С Sg ,g> 0 — не гомотопная нулю кривая, и поверхность S получена из Sg удалением трубчатой окрестности N кривой C и приклеиванием 2-диска к каждой граничной компоненте поверхности Sg \ N. Тогда S гомеоморфна Sg-1, если множество Sg \ N связно, и гомеоморфна дизъюнктному объединению поверхностей Sg, g > 0 и Sg-g, если множество Sg \ N не связно.

Доказательство. Если N делит Sg на две компоненты, то Sg является связной суммой поверхностей, полученных посредством приклеивания дисков к Sg \ N. Тогда утверждение следует из единственности представления ориентируемой поверхности рода g > 0 в виде связной суммы g торов (см., например, [7]).

Пусть N не делит Sg и S — поверхность, полученная из Sg удалением N и прилеи-ванием дисков D1, D2 к каждой граничной компоненте поверхности Sg \ N. Обозначим через C1, C2 граничные окружности кольца N такие, что dDi = Ci, i = 1, 2. Поскольку N не делит Sg, то существует кольцо H С Sg, пересекающееся с каждой окружностью C1, C2 в точности по одному отрезку (см. рисунок 3). В поверхности S диски D1, D2

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству леммы 1

приклеиваются к кривым С\, С2 и объединение 0\ и Н и О2 является 2-диском. Еще один 2-диск О выделен серым цветом в многообразии Т2. При этом многообразие Т2 \ О гомеоморфно N и Н Тогда связная сумма Б#Т2, получаемая посредством именно этих 2-дисков гомеоморфна поверхности 8д. Откуда следует, что поверхность Б гомеоморф-

на §о_ 1.

□

Лемма 2. В многообразии 8д х > 0 не существует пд-существенной бутылки

Клейна.

Доказательство. Предположим противное: в многообразии §д х й1 ,д> 0 существует Пд-существенная бутылка Клейна К. Тогда граница Т её трубчатой окрестности N (К) является пд-существенным тором таким, что нетривиальный гомоморфизм пдЪ^ не является сюръективным. В силу чего тор Т не может быть изотопен поверхности, состоящей из слоёв вида |ж}х§1, а значит, в силу Следствия 2, тор Т ограничивает заполненный тор У в 8д х 81. Таким образом многообразие 8д х 81 является склейкой заполненного тора У и трубчатой окрестности N (К) бутылки Клейна. Пусть [а] и [Ь] образующие фундаментальной группы тора Т такие, что Ь — меридиан заполненного тора У и [а] — образующая фундаментальной группы заполненного тора У . Тогда образующими трубчатой окрестности N (К) являются элементы [с] и [Ь], где [с]2 = [а]. Отсюда по теореме Зейферта - Ван Кампена (см., например, [7]) следует, что фундаментальная группа многообразия §д х й1 имеет не более двух образующих. Получили противоречие с тем, что число образующих фундаментальной группы многообразия 8д х 81, д > 0 не менее трёх. □

Лемма 3. Пусть V = 8д х 81, д > 0 и Т С 8д х й1 — пд-существенный тор. Тогда многообразие Vf имеет следующий топологический тип:

1) если д > 0 и Т ограничивает заполненный тор, то Vf гомеоморфно дизъюнктному объединению многообразий 8д х й1 и 82 х 81;

2) если д > 0 и Т не ограничивает заполненный тор, то Vf гомеоморфно §д-1 х 81 в случае связности множества V \ Т и гомеоморфно дизъюнктному объединению многообразий 8д х 81, д > 0 и §д-д х 81 в случае несвязности множества V \ Т.

Доказательство. Первое утверждение леммы следует из фактов 2 и 7, второе — из следствия 2 и леммы 1. □

2. Доказательство основных теорем

Теорема 1 Любая седловая точка диффеоморфизма f е Gg ,g> 0 имеет положительный тип ориентации.

Доказательство. Предположим противное: диффеоморфизм f е Gg ,g> 0 имеет сед-ловую точку а с отрицательным типом ориентации. Напомним, что мы обозначили через W2 двумерное инвариантное многообразие а и положили W2 = pf (W2). Поскольку диффеоморфизм fper(°") меняет ориентацию W2, то множество W2 является гладкой ng-существенной бутылкой Клейна в многообразии Vf. Получили противоречие с леммой 2 □

Теорема 2 Многообразие, допускающее диффеоморфизм f е Gg ,g > 0 без гетеро-клинических кривых, диффеоморфно Mg.

Доказательство. Не уменьшая общности можно считать все неблуждающие точки диффеоморфизма f неподвижными и имеющими положительный тип ориентации (в противном случае можно вместо f рассмотреть его подходящую степень). Тогда множество W2 для любого а е ПЦ является ng-существенным тором в многообразии Vf = Sg x S1. Обозначим через f число точек в множестве Qj-. Согласно разделу 1, число компонент связности многообразия Vo совпадает с числом стоков диффеоморфизма f, обозначим через f это число. С другой стороны каждая компонента связности многообразия

Vo гомеоморфна многообразию S2 x S1 и V0 получается из Vf операцией перестройки вдоль торов W2, а е Q]- .В силу следствия 3, числа f и f связаны соотношением f — f + 1 = g. Рассуждая аналогичным образом для множества Q2, мы получим, что число r2 точек в множестве Q2 и число l2 источников диффеоморфизма f связаны соотношением r2 — l2 + 1 = g. Таким образом, Qf состоит из rf = f + r2 седловых и

lf = + l2 узловых точек и g = f 2f + . В силу факта 8, объемлющее многообразие диффеоморфизма f гомеоморфно многообразию Mg. □

Список цитируемых источников

1. Фоменко А. Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. — Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". Ижевский институт компьютерных исследований, 1999. — 252 с.

2. Гринес В.З., Гуревич Е.Я., Медведев В.С., Починка О.В. О включении диффеоморфизмов Морса-Смейла в топологический поток на многообразиях размерности большей двух. — Математические заметки. — 2012. — Т. 91:5. — C. 791-794.

3. В. Гринес, В. Медведев, О. Починка, Е. Жужома. Глобальные аттрактор и репеллер диффеоморфизмов Морса-Смейла. — Труды МИАН им. В.А. Стеклова. — 2010. — T. 271. — C. 111-133.

4. Гринес В.З., Починка О.В. Каскады Морса-Смейла на 3-многообразиях. — Успехи математических наук. — 2013. — T. 68:1(409). — C. 129-188.

5. Гринес В.З., Починка О.В. О простом изотопическом классе диффеоморфизма "источник-сток" на 3-сфере. — Математические заметки. — 2013. — T. 94:6. — C. 825-842.

6. Hatcher A. Notes on Basic 3-Manifold Topology. — Cornell University, 2001.

7. Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. — М.: Мир, 1983. — 304 с.

8. Neumann W. D. Notes on Geometry and 3-Manifolds. — Bolyai Soc. Math. Stud. 8. — 1999. — 191-267.

9. Rolfsen D. Knots and links. — University of British Columbia. Math. Lecture Series, 7, 1990.

Получена 27.10.2014