CC BY
25
УДК 621:534; 833
С. В. ЕЛИСЕЕВ А. П. ХОМЕНКО Ю. В. ЕРМОШЕНКО
Иркутский государственный университет путей сообщения
ДИНАМИКА МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С МЕЖКООРДИНАТНЫМИ СВЯЗЯМИ
Предлагается методическая основа построения математических моделей для транспортных подвесок. Рассматриваемые системы имеют рычажные механизмы и дополнительные связи, которые могут быть реализованы с помощью элементарных звеньев расширенного набора.
Ключевые слова: виброзащитная система, динамическое гашение колебаний, рычажные механизмы и связи.
Введение
Вопросам динамики виброзащитных систем в их разнообразных формах конструктивно-технического исполнения посвящено достаточно много работ [ 1 — 3]. Как правило, в составе механических колебательных систем используются традиционные элементы в виде пружин, демпферов и твердых тел. Вместе с тем, в последние годы активно используются для получения различных динамических свойств и другие элементы, позволяющие ввести в рассмотрение динамические эффекты в преобразованиях относительного движения, а также различные рычажные связи и механизмы [4 — 6].
Постановка задачи. Общие положения
В статье рассматриваются возможности учета в динамике транспортных подвесок рычажных связей, которые реализуются специально вводимыми механизмами. Предлагаемая подвеска, точнее, ее модель, состоит (рис. 1) из объекта защиты массой М с моментом инерции I. Центр тяжести твердого тела расположен в точке А; в системе подвески задействованы два рычага с массами т1 и т2; их моменты инерции относительно точки А обозначаются соответственно через /, и 1Г К такой схеме приводится, например, тележка локомотива с двумя тяговыми двигателями [5]; центры тяжести рычагов А,, В, и АВ2 обозначены соответственно точками О, и 02.
На рис. 1 звено с передаточной функцией \¥0 представляет собой дополнительную связь. В простейшем виде она может быть реализована упругим элементом с жесткостью к3 или другим звеном [7].
Предполагается, что силы малы и оказывают малое влияние на динамику системы. Положение центров тяжести определяется соответствующими длинами отрезков — 16. Между точками В, и В2 рычагов действует элемент с передаточной функцией Координаты у, и у2 взяты в неподвижной системе координат. Предполагается также, что в точках А, и А^ допускаются горизонтальные скольжения, что обеспечивает возможность вертикального движения центра тяжести объекта защиты (точка А). Для дальнейших расчетов примем, что
у =ау, + Ьу2; ср = с-(у2 - у,); а = У2/(У, + 12);
ъ = ;,/(;, + с= 1 /(1, + 12).
(1)
В определении кинетической энергии системы на рис. 1 можно использовать теорему Кенига [8]. Учитывая особенности конструктивного построения транспортной подвески, наличие сочленений трех твердых тел, можно предположить достаточным кинетическую энергию системы представить в виде суммы кинетических энергий составных частей в движении относительно неподвижной системы координат, тогда
Т = Т, + 7*2 + Тъ.
(2)
Оценка динамических свойств
В выражении (2) Г, соответствует кинетической энергии тела массой лг,, имеющего относительно центра тяжести (точка А) момент инерции /,, поэтому
Рис. 1. Расчетная схема тележки с двигателями с опорно-осевой подвеской
Рис. 2. Схема распределения скоростей в подвижном блоке
к212~к\к +*зсз(с1 -с2)(с,/, -с2/2)
0-
(М +М,а( + МХ + /,с, + 1^1)р2 +
+ к2 + А3с3 (с, - с2 ) 2
(¡¡с2 - М^^р2 + +£,-£;с32с|(с|-с2)
~ + ^зс3 х х(с, -с2 )(<:,/,-с2/2)
.у
(/2с2 - М2а2Ь2)р + к7 +к3с1с2(с,-с2)
1р + V] + ад + (с,/, - с212У
-О-►
<Р
с^сз (с,/. -с212)
к212 + С2^3С3 (с\1\ -с212)
Рис. 3. Структурная схема системы в координатах у, ф
Рис. 4. Структурная схема системы в координатах у,, у2
(3)
где у — координата центра тяжести твердого тела (точка А), ф — угол поворота относительно центра тяжести. Кинетическая энергия подвижных блоков т,/, и тг1г определяется с учетом сложного характера их движения. Найдем скорость точки А, в неподвижной системе координат, используя схему распределения скоростей, показанную на рис. 2. Отметим, что более точным является представление контакта подвижного блока с вибрирующей поверхностью с учетом возможности горизонтального смещения. Однако на предварительной стадии рассмотрения, будем полагать этот фактор, так же как и демпфирование колебаний, мало влияющим. Введем ряд дополнительных соотношений
I,
., у/. + ¿,/,
?= . . :з = а,У+ ы„
(4)
где "•■/+/
3 4 3 4
Соответственно, для второго блока получим
у* = а2у + Ь2гг, (5)
/5 /6 при ЭТОМ аг - Г> - Т~
Подвижные рычажные фрагменты участвуют также во вращательном движении относительно точки А. Параметры этого вращения определяются как у, — г, и у2 — гу что позволяет найти угловые скорости
А (со)
го
со, Усек
Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика системы по координате у с двумя режимами динамического гашения
Л (со)
« 50
СО, 1/сек
Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика системы по координате у при динамическом гашении до первого резонанса
¿Ар, , . . .
л /, + /4
¿Ф2 Уг-2г
Л 15+16
(6) (7)
где
С,
, • при дальнейших расчетах при-
нято, что + 1А = 1Г> + = , 11 + 12 = Ь. Более детализированный учет параметров предполагает, что ф, =
¿(Дф,) ¿(Дф2)
= Ф1() + Дф,, а Ц = ———■ соответственно — ш2 -
Л
а
у, - 2, = (13 + /4)вт ф„у2-г2 = (/5 + /6)вт ф2
пишем ряд необходимых соотношений в системе координат <р, у полагая, что
т = \му2 + Х-1ф2 + 1л/, (а,у + 6,7, )2 +
+ \ М2 (а2у + Ь2г2)2 + ^11с2(у~г])2 + ^12с22(у-г 2)2, (11'
тогда
дТ_ ду ''
Му + М ха2 у + М + М2а1у +
При этом Дф| и Дф2 рассматриваются как малые приращения углов поворота. В свою очередь, полагая ф,«ф10 и ф2» ф20, можно записать соотношения
+ М2а2Ь2г2 + 11с^у-11с^г1 + -12с22у --12ф2. дТ
— = Лр Эф '
(12)
(8)
Приведем выражение (10) к виду
Таким образом, кинетическая энергия рассматриваемой системы с учетом (1—8) может быть определена
Т=1-Му2 + 1(?2 + ^М1 (у')2 + I/ +1М2(у")2 +1/2ф2. (9)
Потенциальная энергия системы с учетом деформации упругих элементов запишется в виде
П =1*,Су,-2,)2 + ]-к2(у2-22) + и,с1(ч>1-ч>2)21 (а,<1) (10)
где с3 = а310\ а а3 — коэффициент, учитывающий геометрические особенности расположения рычагов: А,В, и А2В2принимаются в первом приближении такими, что выполняются следующие соотношения:
ф, = (у, - г,)/[13 + 14); ф2 = {у2 - г2]/{15 +
Воспользуемся для вывода дифференциальных уравнений движения формализмом Лагранжа и за-
-с2(у+120-г2)
=\К\(У-ЬФ? -2(у+12ф)22+4}+
Сделаем ряд промежуточных выкладок:
5ГТ
— = кд>-к,11<р-к1г1 +к2у+к212(р-к2г2+кус^(с1 -с2)гу-к^с^с, -с2)х ду
х(с,/, -с^Хр-^с/с, -с2)(с2г2 -с,г,);
Ш
ар
^ = £/2ф-к^у + + к21г2ф+ к212<[>-к212г2 + фЦс^Сс,/, -с2/2)2 -
~^зсз(с1 -с2)(с,/, -с212)у-к,с2,(с,/,-с212){с2г2-од).
(14)
Математическая модель системы
Используя (10) — (14), получим систему дифференциальных уравнений движения в системе координат у, ф:
Таблица 1
Коэффициенты системы дифференциальных уравнений (15)—(16) в координатах у, ф
an «12
(M + Mxa2 + M2b2 + l,c2 + + l2c\)p2 + jfc, +k2 + А3с3(б'| -c2)2 kjt ~k2/2- к^с2 (c, - c2 Xc,/, - c2/2 )
аг i an
*,/, - k2l2 - к3с\(c, - c2 )(c,/, - c2/2 ) Ip2 +*,/,2 +к211+кгс](с^ -c2l2)2
e. Q2
z'.f/.c,2-M^b^ + z^ — AjC2с,(c, -c2)]+ + z2 [/2c2 - M2a2b2 ]+ z2 [k2 + k3c2c2 (c, - c2 )] z,[-V, -c^3c32(c,/, -c2/2)]+ + г2[л2/2+с2Л3Сз2(с1/1-с2/2)]
Примечание: О,, 02 — обобщенные силы по координатам у и ф
у(М + Mta2 + Мга\ + /,с2 + I2c\) + y\ki +к2 + к] (с, -с2)2]+ + ф[*,/,-*2/2 -*3с2(с, -с2)(с,/,-c2l2)]= zi(I,c2-M,a]bl) + ï2(l2c\ - M2a2b2) + z\k, - к,с2(с, -c2)c,z, + z2]+ (15)
+ k2 + ¿je, (c, - c2 )c2z2 ;
ф/ + <ф,/,2 + + V? (с,/, - c2/2 )2 ]+ + Я" Vi + ~ ^c2(c, - с2)(с,/, -c2/2)]= = Vl -сЛ,с32(с, -c2Xc,/, -C2/2)]+ + z2[*2/2 + c2*3c2(c,/,-c2/2)]
(16)
Выбор системы координат у,, у2
Аналогично можно получить детализированное выражение (16"). Если использовать систему обобщенных координат у,, у2, то выражение для кинетической энергии примет вид:
Т=±М(у,а+у2Ь)2 -у2)2 +
+^М2[о2(>']а] +y2b)+b2zf2 +^/,с?1(у1а+j>2è-z,)]2 +h2c22(yla+y2b-z2)2.
(18)
Коэффициенты уравнений (15), (16) приведены в табл. 1.
Структурная схема системы приведена на рис. 3. Её характерной особенностью является то, что связи между парциальными системами носят упругий характер. В отличие от традиционных представлений [8] условия «зануления» перекрестных связей определяются не только рычажными связями, которые формируются разнесением точек крепления пружин к1 и к2, но и параметрами рычажных механизмов с, и с2.
Условия развязки колебаний между парциальными системами могут быть записаны в виде
Запишем необходимые вспомогательные соотношения:
— = Ma2у, + МаЦ>2 + /с2у, - le1 у2 + M, (аа, )2 у + Mfi\aby2 +
ду,
+ Miaaib^zi+M2(a2afyi + M2a\aby2 + M2a2ab2z2 + Ilc2a2yl + (19) + Itcfaby2 -I^faz, +1гс1а2у, +12c\y2ab-]c\az2.
— = Mb2y2 +Mabyl + Ic2y2 -]c2yl+M.(a.b)2y1+M.a2aby. + Mia.b.bz.+ fyi
+ M2(a2b)2 y2 + M2ajaby, + M2a2b2bz2 + l,cfb2y2 + IiC2abyt-¡¡cfa, + (20) + I2c2b2y2 + l2c\ypb-l2c22bz2.
*,/, - k2l2 - кг (с, - c2 )(cj, - c2l2 )k,c] = 0 . (17)
По правилам Крамера [7] найдем, что
Qi ап ~ Qi аи
Ф = -
11 22 "12
(17')
(17")
•<11"22 "12
Используя табл 1 и структурную схему (рис. 3), найдем, что (при г, = г2 = г):
Щ(Р) = * =
р2 (1а2 + l2c2 -Miaibi -M2a2è2) + £, + + к2 +кгс2с2(с, -c3)-A2c3c,(c, -с2) ]х
а,,а22-а|2 xtV+^+^+^W.-c,/,)2]-
+ *3с2(с, -с2Хс,/, -с2/2)
X[V| ~к212 -С2)(С|А ~С212^[
В свою очередь, потенциальная энергия определится:
+ ^kÀ\Aci ~С2)(У,a + y2b)-с(у, -y2)(cj, -c2/2) + c2z2-c,z,]2.(21) Найдем вспомогательные соотношения:
= M +кгс]г2у, + к,с]г]Г2у2 + k,c2rl(c2z2 (22)
ÔT1
— = k2y2 -k2z2 +k,c,r2y2 + kic2rlr2yl + k,c22r2(c2z2 -c,z,).
Используя (18) — (21), запишем дифференциальные уравнения движения в системе координат у, и у2.
у, {л/а2 + /с2 + М,(аа,)2 + М2(а2а)2 + /,c,V + /2с2а2}+ + y2(Mab- le2 + M^2ab + МгаггаЬ+ I,cfab+ /2с2а6) + у(к, + kyc]r2) + y2(k-ic]rir2) = z](ki + k]c2r1c, + + ¿¡(-Mjaa^ + /,с2а) - k1c2r2c2z2 + (~z2M2a2ab2+zI2cla).
Таблица 2
Коэффициенты системы дифференциальных уравнений в координатах у,, у2
2 Ма2 + /с2 + M,(aa,f +
р
|_+ М2(аа2)г + /,с,2а2 + 12с\а2
_\МаЬ-1с2 + М ¡а* аЬ +
р
+ М2а2 ab + Ixc2ab + !гс2аЬ + У2(к,с1г,г2)
Mab- Ic2 + М,а,ab +
+ k}clrtr2
Mb2 + Ic2+Ml(alb)2 + + M2(a2b)2 +V,262 + I2c2b2
ßi'
Qi
(~Mlaalbl + I,c2a)p2 +
,2
+ z2 \(-M2a2b2a + l2c\a)p2 - къс\гхс2 ]
(-M^b + lrf^p2 +
Z| . 2 _+k3c3r2ci
+ z2]^-M2a2b2b + I2c\b)p2 +k2 -£3c2r2c2]
Примечание: Q,', Q2' — обобщенные силы по координатам у, и у2 соответственно
Здесь г, = а(с, — с2) — c(c,J, — c2i2), r2 = b(cl-c2) + +с(с,/,-с2/2).
уг[мь2 + Ic2 + м,(а,6)2 + M2(ß2b)2 + /,с262 + 1гс\Ь2\+
Уь (Mab -Ic2 + Mxa2ab + +M2a22ab + lf\ab + I2c\ab) +
+ ^2(A2 + k3ctf) + yl(k3c2}rlr2yl) = -Malblbzl +/,c26z1 + (24)
+ k:ic3r2c,z, + z2(-M2a2bb2+I2c22b) + z2(k2 -k3c3r2c2).
Коэффициенты уравнений (22), (23) представлены в табл. 2.
Передаточные функции системы и её особенности
Структурная схема системы в координатах у, и у2 приведена на рис. 3. Анализ показывает, что рычажные связи существенным образом меняют связи между парциальными системами. Кроме того, передача внешних воздействий идет через механические цепи с формированием дополнительных инерционных сил, которые вносят свои коррективы в динамику взаимодействия звеньев.
Из анализа структурной схемы системы в координатах у, и у2 (рис. 4) следует, что в системе возможно «зануление» связей между парциальными системами у, и у2 на частоте
Mab - Ic2 +M,a2ab + M2a\ab + lf ]ab + l2c2ab
V3V2
(25)
ab(M +M,a2 +M2a2 +Itc2 +/2c2)-/c2
n^p +n2p + n3
дут другими. Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать характеристическое уравнение (знаменатель (26)), например, в соответствии с критериями Рауса-Гурвица [8]. Для получения частот собственных колебаний решается характеристическое уравнение, которое в данном случае сводится к биквадратному частотному уравнению. В общем случае корни биквадратного уравнения будут действительными положительными числами. Отметим, что числитель и знаменатель передаточной функции имеют один порядок; что предполагаются следующие особенности системы: при->0
р-> о w3 р-* о П-j
(27)
где i/3 и «з - коэффициенты, определяемые так же
как п3 и d3.
В свою очередь, при р —> ао
(28)
Что касается общего вида передаточной функции (у, <->г), то при г, = г2 получим
где коэффициенты с1, — <1у п, — л3 — определяются параметрами системы и коэффициентами уравнений (23), (24).
Передаточная функция ^¡(р)- имеет такой же
2
вид, как и (25), однако коэффициенты числителя бу-
Поскольку частотное уравнение числителя передаточной функции имеет 4-й порядок, то можно ожидать в системе координат у, и у2 появления двух динамических режимов по каждой координате. При определенных условиях можно полагать выполнение соотношения (порядки частотных уравнений числителя и знаменателя совпадают): у, = уг, что приводит к специфичному виду движения объекта защиты при отсутствии угловых колебаний (<р = 0).
Рассмотрим особенности динамических свойств подвески (рис. 1): вначале в системе обобщенных координату, <р. Воспользуемся данными из табл. 1 ивве-(26) Аем некоторые обозначения. Пусть: ап = а]р2 + а2; а12 = а21 = аз; а22 = 1р2 + аА] д1=(а5р2 + а6)г; й2=а^ (при этом г1=г2 = г). После некоторых преобразований найдем,что
а2 = к, + к2 + к3с2(с, -с2)2; а3 = + к2/2 + к3с2(с, -с2)(с,/, -с2/2);
л (со)
а: к3 = 100, а3 = 1
а)
Ю. 1/сек
А (а)
0.0! Ш ü.Si WS
а: к3 = 100, а3 = 3
б)
СО, 1/сек
• Рис. 7. Амплитудно-частотная характеристика системы по у. а - частоты динамического гашения находятся за пределами резонансных частот; б - увеличенный фрагмент АЧХ
а4 = А,/,2 + к21\ + -с2/2)2;
а5 = /,с,2 + 12с\ - - М2а2Ь2; ай=к,+к2 + к,с2, (с,2 - с\); а, = -а3.
Числитель (26) можно привести к виду (а5р2 +а6)(1р2 +а1)-а,а7 =р4а5/ + р2(а6/+а4а5)+а4а6 +а2,(29)
откуда = а5/, <12 =а6/ + а4а5, а, =а4а6 +а2.
В свою очередь, знаменатель (26) принимает форму
(а,р2 +а2)(/р2 +а4)-а2, (30)
тогда п,=а,/, я2=а2/ + а,а2, л3=а2а4+а3.
Из характеристического уравнения (30) можно найти граничное условие устойчивости по Раусу-Гурвицу [8]:
а2 =а2а4, (31)
что определяет возможность появления в системе циклической координаты. В общем случае рассматриваемая система может иметь два действительных положительных корня, что соответствует значениям двух частот собственных колебаний. На этих частотах амплитудно-частотная характеристика имеет резонансные пики (рис. 5). Однако система может иметь и комплексно-сопряженные корни, учитывая возможность большой вариативности.
Выбор параметров системы существенно влияет на вид амплитудно-частотной характеристики системы. На рис. 5 приведена АЧХ системы по координате у, график зависимости соответствует типовым проявлениям свойств механических колебательных структур с устройствами преобразования движения в первом каскаде. В качестве настроечного параметра выбрана величина жесткости ку упругого элемента, соединяющего рычаги А,А,2 и В,В2 (рис. 1). Дальнейшее увеличение жесткости к3 меняет характер расположения частот динамического гашения относительно частот собственных колебаний. На рис. 6 приведена зависимость, отражающая условие нахождения режима динамического гашения при частоте меньшей, чем первая частота собственных колебаний. При больших значениях к3 АЧХ может иметь вид, при котором на высоких частотах система практически не «запирается» и имеет две частоты собственных колебаний (рис. 7). Общим для приведенных АЧХ является наличие двух частот динамического гашения и «запирания» системы на высоких частотах. Однако в частных случаях при определенных условиях система
может иметь одну частоту динамического гашения или даже не иметь таковой.
Амплитудно-частотные характеристики системы по координате ср отличаются от АЧХ по координате у тем, что режим динамического гашения будет только один.
Для движения по координате ср по правилу Крамера [7] можно записать
ф=б2аЦ-б1а21
аП°22 ~ai2 ' l32)
Найдем частотное уравнение числителя (32): - а3 (а,р2 + а2) ■- (а5р2 + а, )а3 = -а3 \р2 (а, + а,) ■+ а3 (а2 + а6)} (33)
Поэтому для координаты ср в (26)
d'2 = -а3(а, + а5), <1\ = -а3(а2 + а6),
что касается коэффициентов характеристического уравнения, то я, = п\, п2 = п'2, пъ=п\.
Частота динамического гашения по координате ср определится значением
^ _ аг2 + а6 _ *,+*2+*3с2(с,-с2)2 + a,+a5 М + Mia2 + M2b2 + /,с2 + + + к2 + к,с2 (с2 - с\ )
" + /2с2 +/,с2 +l2c22-Mia^-M2a2b2 . .
=_2(к + к) + кс(2с + 2с-2сс)_
2(/,с2 +/2с2) + М + М|(а|2 -ij,A,) + M2(A2-a2b2)'
Различные виды АЧХ системы по ср при изменениях к3 приведены на рис. 8 (а, б, в), где рис. 8а соответствует случаю нахождения режима динамического гашения между двумя резонансными частотами; случай б — соответствует режиму динамического гашения до первого резонанса. На рис. 8в показана в увеличенном масштабе зона динамического гашения.
При рассмотрении системы в координатах у, и у2, используя табл. 2, запишем:
а„ = ßiP2 + ß2; an = a2> = ß3P2 + ; a22 = ß5p2 + ß6; ß;=ß7p2+ß8; e;=ß9p2+ß10,
где
ß, = Ma2 + Mi(aai)2 + M2(bb,)2 + /,c,V + /2c2V; ß2 = +i3c2r,2; ß3 = Mab-Ic2 + ab(M{a2 + M2a\ + /.c2 + l2c\); ß4 = къс\гхг2; ß5 =ЛЛ>2 +Ic2 + b2(Mrf +M2a22 + /,c2 + /2c2);
ф: А3 = 500, а 3 = 1
со, 1/сек
А rem
а)
ф: А, = 1000, а, = 1
J.
А (СО)
б)
ф: к, = 1000, а, =3
(О, 1/сек
в)
Рис. 8. Амплитудно-частотные характеристики системы по ф
Отметим, что характеристическое уравнение в (36) остается таким же, как и в (26). Для координаты у2 частотное уравнение числителя (36) имеет вид
Р' (р,р, - р3р7 )+р1 (р,р,0 + р2р, - р,р8 - р4р7 )+р2р,0 - p4Pg = о, (39)
откуда
¿Г=Р,Р, -Р,Р7; ¿2"=Р,РЮ +ЗД, -3,3, -3437;
<=р2р10-р438. (40)
Исследуя уравнение числителя (36), можно получить самые разнообразные частотные характеристики с возможностями двух, одного или отсутствия режимов динамического гашения; можно получить условия у, — у2 = 0, то есть режим, при котором угол поворота объекта ф = 0.
Заключение
Таким образом, введение рычажных связей в схему транспортной подвески может существенно расширить спектр динамических свойств подвески и в случае построения системы управления параметрами системы обеспечить режимы частичного или полного гашения на определенных частотах воздействий со стороны основания.
Библиографический список
1. Хоменко, А. П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов / А П. Хоменко. — Иркутск : ИГУ, 2000. - 293 с.
2. Ротенберг, Р. В. Подвеска автомобиля / Р. В. Ротенберг. — М. : Машиностроение, 1972. — 372 с.
3. Елисеев, С. В. Динамика механических систем с дополнительными связями / C.B. Елисеев, Л. Н. Волков, В. П. Кухаренко. — Новосибирск : Наука, 1990. — 214 с.
4. Елисеев, С. В. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты / С. В. Елисеев [идр.]. - Иркутск:ИрГУПС,2009. - 159с. - Деп.вВИНИТИ 27.11.09, №737-В 2009.
5. Ермошенко, Ю. В. Управление вибрационным состоянием в задачах виброзащиты и виброизоляции : дис.... канд. техн. наук/ Ю. В. Ермошенко ; ИрГУПС. - Иркутск, 2002. - 185 с.
6. Лойцянский, Л. Г. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. 2. Динамика / Л. Г. Лойцянский, А И. Лурье. — М. : Наука, 1980. — 640 с.
7. Дружинский, И. А Механические цепи / И. А. Дружин-ский. — М. : Машиностроение, 1977. — 224 с.
8. Ким, П. Д. Теория автоматического управления В 2 т. Т. 1. Линейные системы / П. Д. Ким. — М. : Физматгиз, 2003. — 288 с.
Зб = кгкъс\г\; 37 = а(/,с, + !гс\ -М^ЬХ-М2а2Ь2),
(35)
38 = К + Кс\г\ (с. - с2) : 09 = 6(71с12 +12С2 - МаЛ - М2а2Ь2); 3|0 =к2 -с2).
Передаточная функция при входе г и выходе у, имеет вид
,ТГгЛ У\ (ЗУ+ЗДМ+ЗбЫЗУ+МСЗУ+в) |1РЬ I " (3,/>2 +32)(35/>2 +36)-(33/>2 +З4)2 "",36)
Частотное уравнение числителя (36) можно записать
/>4(ЗА +р,Д) + р2(35Рк+ЗА-Р!3,о-РД) + 3„Рк-РДо =0,(37) откуда найдем
</;=353, + З33,; = зд + з63, - 3,3,0 - 343,;
< = 3638 -34Рш 08)
ЕЛИСЕЕВ Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор (Россия), директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования.
ХОМЕНКО Андрей Павлович, доктор технических наук, профессор (Россия), ректор Иркутского государственного университета путей сообщения. ЕРМОШЕНКО Юлия Владимировна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроподвижной состав», докторант НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования. Адрес для переписки: e-mail: eliseev_s@inbox.ru
Статья поступила в редакцию 18.02.2011 г. © С. В. Елисеев, А. П. Хоменко, Ю. В. Ермошенко
