CC BY
20
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эя №<М1 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.ISSN 1994-0408_
Межкоординатные связи в теории виброзащиты # 04, апрель 2011
авторы: Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В., Большаков Р. С.
УДК 62.752
НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования Иркутский государственный университет путей сообщения
eliseev_s@inbox.ru
ВВЕДЕНИЕ
Вопросам динамики виброзащитных систем в их разнообразных формах конструктивно-технического исполнения посвящено достаточно много работ [1-3]. Как правило, в составе механических колебательных систем используются традиционные элементы в виде пружин, демпферов и твердых тел. Вместе с тем, в последние годы активно используются для получения различных динамических свойств и другие элементы, позволяющие ввести в рассмотрение динамические эффекты в преобразованиях относительного движения, а также различные рычажные связи и механизмы [4-6].
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
В статье рассматриваются возможности учета в динамике транспортных подвесок рычажных связей, которые реализуются специально вводимыми механизмами. Предлагаемая подвеска, точнее, ее модель, состоит (рис. 1) из объекта защиты массой M с моментом инерции I. Центр тяжести твердого тела расположен в т. А; в системе подвески задействованы два рычага с массами m1 и m2; их моменты инерции относительно т. А обозначаются соответственно через I1 и I2. К такой схеме приводится, например, тележка локомотива с двумя тяговыми двигателями [5]; центры тяжести рычагов A1, B1 и A2, B2 обозначены соответственно точками O1 и O2.
Рис. 1. Расчетная схема тележки с двигателями с опорно-осевой подвеской
На рис. 1 звено с передаточной функцией представляет собой дополнительную связь. В простейшем виде она может быть реализована упругим элементом с жесткостью к3 или другим звеном [7]. Предполагается, что силы малы и оказывают малое влияние на динамику системы. Положение центров тяжести определяется соответствующими длинами отрезков /1-/6. Между точками В1 и В2 рычагов действует элемент с передаточной функцией Ж. Координаты у 1 и у2 взяты в неподвижной системе координат. Предполагается также, что в точках А1 и А2 допускаются горизонтальные скольжения, что обеспечивает возможность вертикального движения центра тяжести объекта защиты (точка А). Для дальнейших расчетов примем, что
/2 , / 1
, с =-.
(1)
у = ау1 + Ьу2,ф = (У1 - уа
; Ь
11 + 12 11 + 12 11 + 12 В определении кинетической энергии системы на рис. 1 можно использовать теорему Кенига [8]. Учитывая особенности конструктивного построения транспортной подвески, наличие сочленений трех твердых тел, можно предположить достаточным кинетическую энергию системы представить в виде суммы кинетических энергий составных частей в движении относительно неподвижной системы координат, тогда
Т = Т1 + Т2 + Т3.
(2)
ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
В выражении (2) Т1 соответствует кинетической энергии тела массой т1, имеющего относительно центра тяжести (т. А) момент инерции /1, поэтому
1 2 1 -2
Т = 2 м 1 у2 + 2 /ф ,
(3)
где у — координата центра тяжести твердого тела (т. А), р- угол поворота относительно центра тяжести. Кинетическая энергия подвижных блоков т111 и т212 определяется с учетом сложного характера их движения. Найдем скорость точки А1 в неподвижной системе координат, используя схему распределения скоростей, показанную на рис. 2. Отметим, что более точным является представление контакта подвижного блока с вибрирующей поверхностью с учетом возможности горизонтального смещения. Однако, на предварительной стадии рассмотрения, будем полагать этот фактор, также как и демпфирование колебаний, маловлияющим. Введем ряд дополнительных соотношений
У/4 + ¿1^3
У
где а
1з + 14
, Ь
13
1з + 14
14 + 1з
а1 у + Ь ¿1,
(4)
А
А
т .Оу,
/з^Г^
лрр 1
У
Рис. 2. Схема распределения скоростей в подвижном блоке
Соответственно для второго блока получим
У " = а2 У + ¿2 -¿2,
15 А 1б
при этом а2 =-, Ь2 =
(5)
/5 + 1б
15 + 1б
Подвижные рычажные фрагменты участвуют также во вращательном движении относительно точки А. Параметры этого вращения определяются как У1 - ¿1 и У2 - ¿2, что позволяет найти угловые скорости
(0Л
ф =
Ж
Жф2
Ж
1з +14
У 2
15 + 1б
С1( У - ¿1\
С2 (У - ¿2\
(б) (7)
/
4
1
1
2
где с =-, с2 =-; при дальнейших расчетах принято, что /3 + /4 = /5 + /6 = ¿1.
/3 + 1л /5 + /6
1
'3 М +
/1 + /2 = . Более детализированный учет параметров предполагает, что Ф1 = фю +Лф>1, а
й (Лф1) й (Лф2)
=-, соответственно - ¿У 2 =-. При этом Л^ и ЛФ2 рассматриваются как
малые приращения углов поворота. В свою очередь, полагая щ ~Що и <Р2 ~Щ20, можно записать соотношения
у - 2 = (/3 + /4 ) sin Ф1, у 2 - 2 2 = (/5 + /6)sinф2. (8)
Таким образом, кинетическая энергия рассматриваемой системы с учетом (1^8) может быть определена
т=2 му2+/Ф 2+2 м 1( у ')2+2 /$+2 м 2 (у ")2+2 / 2^. (9)
Потенциальная энергия системы с учетом деформации упругих элементов запишется
в виде
П = 1 кДу1 - 21 )2 + 2 к2 (у2 - 22) +1 к3с3 ( ф1 - ф2)2, (а3 < 1) (10)
где С3 = а3/о; а а3 - коэффициент, учитывающий геометрические особенности расположения рычагов: А1В1 и А2В2 принимаются в первом приближении такими, что выполняются следующие соотношения:
ф1 = (у1 - 21)/(/3 + /4); ф2 = (у2 - 22)/(/5 + /6). Воспользуемся для вывода дифференциальных уравнений движения формализмом Лагранжа и запишем ряд необходимых соотношений в системе координат щ, у, полагая, что
Т = 2 му 2 + 2 /ф 2 + 2 м 1(а1 у + Ь ¿1)2 +
222 (11) 1 11
X о А о о X о о
+ 2м2 (а2у + Ь222 )2 + 2/1С12(.у - ^Г + 2/2С22(у - 22 )2 ,
Приведем выражение (10) к виду
П = 2¿1 [(У - /фф) - ¿1 ] + 2к2 [(У + /2Ф) - -2 ]2 + ^к
зсз
сД У - /фф- ¿1) -
- С2( У + 12ф ¿ 2 )
=1 ¿1 [(У - /Ф)2 - 2(У - /1Ф)¿1 + ¿12 ]+1 ¿2 [(У + /2Ф)2 - 2(У + /2Ф)¿2 +
2
+
(12)
+ ^кзС3 [У(С1 - С2) -ф(с1/1 - С2/2 ) + С2¿2 - С1 ¿1 ]2.
Используя (10)^(11), получим систему дифференциальных уравнений движения в системе координат У,( .
У (М + М 1а12 + М 2 а^ + /1С12 +12 с^ ) + У [к1 + к2 + кз2 (с1 - С2)2 +
+ ф[[1/1 - к2/2 - кзСз2(С1 - С2)(С1/1 - С2/2)]= ¿1( 11С12 - М 1а1Ь1) + (1з)
к1 - кзсз (С1 -- С2)С1 ¿1 ++ ¿2
+ ¿'2 (12С2 - М2а2&2) + ¿1
+ к2 + кзСз (с1 С2)С2¿2 ;
ф/ + ф[[^12 + к 2^2 + кзСз2 (С1/1 - С2/2 )2 ]+ У
к1/1 + к 2/2
кзСз (С1 - С2 )(с1/1 - С2/2 )
(14)
= ¿1 [ С1кзСз (с1 С2)(с1/1 С2/2)]+ ¿2 [2 + С2кзСз (с1/1 С2/2)]
Коэффициенты уравнений (1з), (14) приведены в таблице 1. Таблица 1 - Коэффициенты системы дифференциальных уравнений (1з)^(14) в координатах
У, Р
аи а12
(М + М а + М 2 Ь12 + 11с12 +12 с2) р 2 + ^ ¿1 ^ ¿2 ^ ¿зСз (С С2 ) ¿1/1 - ¿2/2 - ¿зсз2(с1 - С2 )(с1/1 - С
а21 а22
¿1/1 - к2/2 - кзСз (с1 - С2 )(с1/1 - С2/2 ) 1р2 + ¿1/12 + к2/2 + 2 2 + кзсз (с1/1 - С2/2 )
Ql Q2
¿^ (11с12 - М1а1 Ь1) + ¿1 ¿1 - к^^ (с1 - с2)]+ + ¿2 I12С2 - М2а2Ь2 ]+ ¿2 [к2 + кзС3 С2 (с1 - С2 )] ¿1 - к1/1 - С1кзСз (с1/1 - С2^2)] + + ¿2 к2/2 + с2кзсз (с1 /1 - с2/2 )]
Примечание: Q1, Q2 - обобщенные силы по координатам у и р .
Структурная схема системы приведена на рис. 3. Её характерной особенностью является то, что связи между парциальными системами носят упругий характер. В отличие от традиционных представлений [8] условия «зануления» перекрестных связей определяются не только рычажными связями, которые формируются разнесением точек крепления пружин к1 и к2, но и параметрами рычажных механизмов с1 и с2.
к2%2 к^! + к3с3 (с1 С2ХС1/1 С2/2)
1 г
он
+к1 + к2 + к3с3 (с - с2)
к2/2 - к1/1 + к3с3 х
Х(С1 - С2)(с1/1 - С2/2)
у
(/1С12 - м^Ь) р2 + +к - к3с^с1( С1 - С2)
(/2С2 -м^а^г)Р + к2 +к3с3с2(с - С2)
/р2 + к/2 + к^/^ + к3с3^(с^ - с22)2
О-►
Р
- к1 - с^С (с/ с2/2)
к2/2 + с2к3с3 (Сц/ц с2/2)
2Л
Рис. 3. Структурная схема системы в координатах у, р
Условия развязки колебаний между парциальными системами могут быть записаны в
виде
к1/1 - к2/2 - к3 (с1 - с2 )(с1/1 - с2/2 )к3с32 = 0 .
По правилам Крамера [9] найдем, что
01а22 - 02 а12
(15)
у
а11а22 а12
ф = 02 а11 - 01а12
(16)
(17)
а11 а22 - а12
Используя таблицу 1 и структурную схему (рис. 3), найдем, что (при 21 = 22 = 2):
1
Р) = ^ 2
р 2(/а 2 + / 2 с 2 -м 1а1Ь1 -м 2 а2Ь2) + к1 +
+ к2 + к3С3 с2(с1 с3) к2С3 с1(с1 С2) ]
Х
Х
2 2 2 /р + к1/1 + к2/2 +
+ к3С3 (с1/1 -С2/2)
а11 а22 а12
к 2/2 к1/1 +
+ к3с32(с1 -С2)(с1/1 -С2/2)
Х
х
кЛ ^2 к3с3 (с1 С2)(с1/1 С2/2)]
ВЫБОР СИСТЕМЫ КООРДИНАТ у1, у2
Аналогично можно получить детализированное выражение (17). Если использовать систему обобщенных координат у1, у2, то выражение для кинетической энергии примет вид:
т = 2м(у 1а + у2Ъ)2 + 2/с2 (у - у2)2 + 2м 1 к (уа + у2Ь) + Ь1 ¿1 )]2 +
+1 м 2 [( у^ + .у 2Ь) + Ь2 ]2 +1 / с2 [([ + у 2Ь - 2^1)]2 +
2 2 1"2и'1"1 2
+ 2 /2 С22(у1а + у 2 Ь 2 2 )2 .
В свою очередь, потенциальная энергия определится:
П = 2 к1( у1 -21) + 1 к 2 (у 2 -2 2 ) +
Найдем вспомогательные соотношения:
^П 2 2 2 2
= к1 у1 -к121 + к3с3 7*1 у1 + к3С3 Г^у2 + к3С3 1 (с222 - С121)
= к2у2 к222 + к3С3 Г2 у2 + к3С3 Г1Г2у1 + к3С3 Г2 (с222 - С121 ).
дП - - 2 , , 2 ,, 2
Зу
(19)
+ 2к3С3 [у(с1 " С2)(у1а + у2Ь) с(у1 - у2 )(с1/1 С2/2 ) + С222 - С121 Г. (20)
2
Используя (19)^(20), запишем дифференциальные уравнения движения в системе координат У1 и У2 :
у1 {ш 2 + 1е 2 + М 1(аа\)2 + М 2(а 2 а)2 + 11с12 а 2 +12 е 2 а 2 }+
-Г -Т±У±1УШ1) -Г ±У±2\^2^) т-121
+ у2(МаЬ - 1е2 + М 1а12аЬ + М2а2аЬ + 11е12аЬ +12е2аЬ) + у(к1 + к3е^г12) + + у2(к3е2 ) = 21(к1 + к3е3 г1е1 + '¿1(-М 1аа1Ь1 + 11е12 а) - к3е2 г2 е2 г2 + + (-2 2 М 2 а 2 аЬ 2 + ¿12 е 2 а).
Здесь г1 = а(е1 - е2) - е(е1/1 - е212), г2 = Ь(е1 - е2) + е(е1/1 - е212).
У 2
+
(21)
МЬ2 + 1е2 + М 1(а1Ь)2 + М2(а2Ь)2 + 11е12Ь2 + 12е|Ь + у1 (МаЬ - 1е2 + М 1а12аЬ + М2а2аЬ + 11е12аЬ + 12е2аЬ) + + У2(к2 + к3е3 г22) + у^е г1г2 у1) = -Ма1Ь1Ь21 + 11е12Ьг1 +
+ кзез2г2е1 ¿1 + ¿2(-М2а2ЬЬ2 +12е2Ь) + 22(к2 - к3е3Г2е2).
Коэффициенты уравнений (21), (22) представлены в таблице 2. Таблица 2 - Коэффициенты системы дифференциальных уравнений в координатах у1, у2
(22)
ап а12
Р 2 + У Ма2 + 1е2 + М 1(аа1)2 + + М 2(аа2) + 11е1 а +12 е 2 а ;1(к1 + к 3 е32 г12) + Р 2 + У 22 МаЬ - 1е2 + М 1а1 аЬ + + М 2 а22 аЬ + 11е12 аЬ +12 е 2 аЬ ;2 (к3е3 Г1Г2) +
а21 а22
Р 2 22 МаЬ - 1е2 + М 1а1 аЬ + 22 + М 2 а2 аЬ + 11е1 аЬ + +12 е 2 аЬ + к3е3, г1г2 Р 2 + к ~МЬ 2 + 1е2 + М 1(а1Ь)2 + " + М 2(а2Ь)2 + 11е12 Ь 2 +12 е22Ь 2 :2 к3е3 Г2 +
01 02
¿1 + 2 (-М 1аа1Ь1 + 11е12 а) р 2 + 2 [(- М 2 а2Ь2 а +12 е2 а) р 2 + - к3е3 Г1е2 . 21 +1 + '2 -М 1а1Ь1Ь + 11е12Ь) р 2 + к3е32 Г2 е1 _ (-М 2 а2^Ь +12 е2Ь) р2 + к2 - к3е3 Г2 е2 + +
Примечание: 01,02 - обобщенные силы по координатам у1 и у2 соответственно.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ И ЕЕ ОСОБЕННОСТИ
Структурная схема системы в координатах у1 и у2 приведена на рис. 3. Анализ показывает, что рычажные связи существенным образом меняют связи между парциальными системами. Кроме того, передача внешних воздействий идет через механические цепи с формированием дополнительных инерционных сил, которые вносят свои коррективы в динамику взаимодействия звеньев.
2 маЬ - /с + м1а1аЬ + 2
-р - к3с3 г1г2
+м2а22аЬ + /1с12аЬ + /2с\аЬ
о> к
р2 [ма2 + /с2 + м1(аа1)2 + м2(аа2)2 +
_1_
+/1с12а2 + /2с22а2 ]+ к + к3с32г12
МаЬ - /с2 + м^аЪ +
+м -2а-?аЬ + ¡^аЬ +^с^аЬ
у1
(-Ы^Ь + /с2 а) р +
+кэС3271С1 + к1
р2 [^2^ - м 2^] +
р2 [мЬ2 + /с2 + мЦЦЬ)2 + 1мг(агЬ
_1_
+/]с] Ь2 + 1 + + къ о}г22
-о-►
у2
-(ма1Ь1Ь + /1с12Ь) р2 + ¿3с32с1г2
21
(-м 2а2Ь2Ь + /2с2Ь) +
Рис. 4. Структурная схема системы в координатах у^, у2
Из анализа структурной схемы системы в координатах у1 и у2 (рис.4) следует, что в системе возможно «зануление» связей между парциальными системами у1 и у2 на частоте
к3С3 ' Г1Г2_ _
Ь + /1с12 аЬ + / 2 с2 аЬ
(24)
_
маЬ - /с2 + м 1а12 аЬ + м 2 а2 аЬ + /1с12 аЬ + / 2 с2 аЬ
к3С3 Г1Г2
аЬ(м + м 1а + м2а2 + /1с12 + /2с2) - /с
Что касается общего вида передаточной функции ( у1 о- 2 ), то при 21 = 22 получим
у1 й1 р4 + й2 р 2 + й3
щ р) _
42 2 П1 р + П2 р + П3
(25)
где коэффициенты й1-й3, и1-и3 определяются параметрами системы и коэффициентами уравнений (22), (23).
Передаточная функция ^2 (р) _ ~ имеет такой же вид, как и (24), однако,
22
коэффициенты числителя будут другими. Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать характеристическое уравнение (знаменатель (25)), например, в соответствии с критериями Рауса-Гурвица [10]. Для получения частот собственных колебаний решается характеристическое уравнение, которое в данном случае сводится к биквадратному частотному уравнению. В общем случае корни биквадратного уравнения будут действительными положительными числами. Отметим, что числитель и знаменатель передаточной функции имеют один порядок; что предполагаются следующие особенности системы:
при р ^ 0
d3 d 3
^(р) _ —; ^(р) _-3, (26)
р^0 п3 р^0 П где d3 и п3 - коэффициенты, определяемые так же как п3 и d3. В свою очередь, при р ^го
Щр) _ ^2(р) _ 4. (27)
р^ГО П1 р^Ю П1
Поскольку частотное уравнение числителя передаточной функции имеет 4-ый порядок, то можно ожидать в системе координат у1 и у2 появления двух динамических режимов по каждой координате. При определенных условиях можно полагать выполнение соотношения (порядки частотных уравнений числителя и знаменателя совпадают): у _ у2, что приводит к специфичному виду движения объекта защиты при отсутствии угловых колебаний (р _ 0).
Рассмотрим особенности динамических свойств подвески (рис. 1): вначале в системе обобщенных координат у,р. Воспользуемся данными из таблицы 1 и введем некоторые
22 обозначения. Пусть а11 _ а1 р + а2; а12 _ а21 _ а3; а22 _ /р + а4;
_ (а5 р2 + а6)2; 02 _а72 (при этом 21= г2 = г). После некоторых преобразований найдем, что
2 2 2 2 2 2 а1 _ м + м 1а12 + м2Ь12 + /1с12 + /2с2; а2 _ к1 + к2 + к3с2 (с1 - с2 )2;
&3 — к\/\ ^ к2/2 ^ к3е3 (е1 е2 )(е1 /1 е2/2); а4 — к\/\ ^ к2/2 ^ ^3е3 (е1 /1 е2/2) ;
0 0 ООО
а5 — 11е1 +12е2 - М 1а1Ь1 - М2а2Ь2; а6 — к1 + к2 + к3е3 (е1 - е2); а7 = -а3. Числитель (25) можно привести к виду
0 0 /10 О
(а5р + а6)( 1р + а4) -а3а7 = р а51 + р (а61 + а4а5) + а4а6 + а3, (28)
откуда d1 = а51, = а61 + а4а5, d3 = а4а6 + а3. В свою очередь, знаменатель (29) принимает форму
(а1 р 2 + а2)(1р 2 + а4) - а^, (29)
тогда п1 = а11, п2 = а21 + а1а2, п3 = а2а4 + а^.
Из характеристического уравнения (29) можно найти граничное условие устойчивости по Раусу-Гурвицу [8]:
а3 = а2а4, (30)
что определяет возможность появления в системе циклической координаты. В общем случае рассматриваемая система может иметь два действительных положительных корня, что соответствует значениям двух частот собственных колебаний. На этих частотах амплитудно-частотная характеристика имеет резонансные пики (рис. 5). Однако система может иметь и комплексно-сопряженные корни, учитывая возможность большой вариативности.
Выбор параметров системы существенно влияет на вид амплитудно-частотной характеристики системы. На рис. 5 приведена АЧХ системы по координате у, график зависимости соответствует типовым проявлениям свойств механических колебательных структур с устройствами преобразования движения в первом каскаде. В качестве настроечного параметра выбрана величина жесткости к3 упругого элемента, соединяющего рычаги ^1^2 и В1В2 (рис. 1). Дальнейшее увеличение жесткости к3 меняет характер расположения частот динамического гашения относительно частот собственных колебаний. На рис. 5 приведена зависимость, отражающая условие нахождения режима динамического гашения при частоте меньшей, чем первая частота собственных колебаний. При больших значениях к3 АЧХ может иметь вид, при котором на высоких частотах система практически не «запирается» и имеет две частоты собственных колебаний (рис. 7). Общим для приведенных АЧХ является наличие двух частот динамического гашения и «запирания» системы на высоких частотах. Однако в частных случаях при определенных условиях система может иметь одну частоту динамического гашения или даже не иметь таковой.
Амплитудно-частотные характеристики системы по координате р отличаются от АЧХ по координате у тем, что режим динамического гашения будет только один.
Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика системы по координате у с двумя режимами динамического гашения
а. В _100, а3 _1
Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика системы по координате у при динамическом гашении до первого резонанса
Для движения по координате р по правилу Крамера [ 7 ] можно записать
ф = 6а" ~ ва'. (31)
аПа22 а12
Найдем частотное уравнение числителя (31):
ООО I
-а3ар + а2)-(а5р + а6)а3 = -а3 \р («' +«') + а3(а2 + а6)] (32)
Поэтому для координаты р в (25)
й2 = - а3 а + а5), й 3 = - а3 (а2 + а6),
что касается коэффициентов характеристического уравнения, то П' = и{, «2 = «2, «з = «3.
Частота динамического гашения по координате р определится значением 2 а2 + а6 к' + к2 + к3с2 (с - с2)2 +
дш ф
а' +а5 М + М а + М2Ь' + /'С'2 +
+ к' + к2 + к3с3 (С'2 - с2)
+ /2С2 + /'С'2 + /2С2 -М'а'Ь' -М2а2Ь2 2(к + к) + кс(2с + 2с - 2сс)
(33)
2(/'С'2 + /2с2) + М + М'(а2 - а'А') + М2(Ь' -а2Ь2)
Различные виды АЧХ системы по р при изменениях к3 приведены на рис. 8 (а, б, в), где
рис. 8а соответствует случаю нахождения режима динамического гашения между двумя резонансными частотами; случай б - соответствует режиму динамического гашения до первого резонанса. На рис. 8в показана в увеличенном масштабе зона динамического гашения.
При рассмотрении системы в координатах У' и У2, используя таблицу 2, запишем:
а" =А р2 + А; а'2 = а2' =А р2 + А;а 22 =А р2 + б! = Рп р2 + А*;
62 =Р9 р2 +Рю, где
Р' = Ма2 + М'(аа' )2 + М2(ЬЬ')2 + /с2а2 + /2с2а2; Р2 = к' + к3с3Г'2;
Р3 = МаЬ - /с2 + аЬ(Ма2 + М2а2 + /С + /2с2); Р4 = к3с2Г'Г2;
Р5 = МЬ2 + /с2 + Ь2(М^2 + М2а2 + /'С'2 + /2с2); Р6 = к2к3с2г22;
Р7 = а(/'С'2 + /2с2 -М'а'Ь' -М2а2Ь2), (34)
Р8 = к' + к3с32Г'(С' -С2); Р9 = Ь(/'С'2 + /2с2 -Маф' -М2а2Ь2);
Р'0 = к2 + к3С3 Г2 (с' - С2 ).
Передаточная функция при входе 2 и выходе у1 имеет вид
р) _ л _ (А р2 + ЛХА р2 + Аз) - (£9 р2 +ЛрХА р2 + £4) 1 2 (Л р 2 +Л2ХЛ5 р2 +Лз) - (Аэ Р 2 +А4)2
Частотное уравнение числителя (36) можно записать
р4 (Л5Л7 + ЛЛ3) + р2(ЛЛ + ЛЛ7 - А3А10 - А4А9) + ЛЛв - А4А10 _ 0, (36)
откуда найдем
dl' _ л Л + ЛЛ; d2' _ Л Л + ЛЛ7 - Л Л10 - А4А9; dзЭ _ ЛЛ - Л А0. (37) Отметим, что характеристическое уравнение в (36) остается таким же, как и в (25). Для координаты у2 частотное уравнение числителя (35) имеет вид
р4(ДЛ -ЛЛ + р2(ЛЛ0 + Л2Л9 -ЛЛ -Р4Р7) + Л2Л0 -АЛв _0, (38)
откуда
d;'_ л Л - ЛЛ7; d2" _ Л£10 + Р2Р9 - ЛЛ - АА; dэЭ' _ А А0 - £4 А. (39)
Исследуя уравнение числителя (36), можно получить самые разнообразные частотные характеристики с возможностями двух, одного или отсутствия режимов динамического гашения; можно получить условия у1 - у2 = 0, то есть режим, при котором угол поворота объекта р _ 0 .
кЗ—1000. «3-1
АМ ¡г;
а)
АМ
б)
ф: кЗ=1000; аЗ=1
1р: кЗ—500. аЗ=1
10
а), рад\сек
5 10
а), рад\сек
Рис. 8 Амплитудно-частотные характеристики системы по ф
ш, рад\сек
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, введение рычажных связей в схему транспортной подвески может существенно расширить спектр динамических свойств подвески и в случае построения системы управления параметрами системы обеспечить режимы частичного или полного гашения на определенных частотах воздействий со стороны основания.
ЛИТЕРАТУРА
1. Хоменко А. П. Динамика и управление в задачах виброзащиты и виброизоляции подвижных объектов. - Иркутск: ИГУ. 2000. - 293 с.
2. Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля . М.: Машиностроение, 1972. - 372 с.
3. Елисеев С.В., Волков Л.Н., Кухаренко В.П. Динамика механических систем с дополнительными связями. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-е, 1990. - 312 с.
4. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты. Иркутский гос. ун-т путей сообщения. - Иркутск, 2009. - 159 с. - Рус. Деп. в ВИНИТИ 27.11.09 №737-В 2009.
5. Ермошенко Ю. В. Управление вибрационным состоянием в задачах виброзащиты и виброизоляции // Дисс. на соиск. уч. ст. к.т.н. - Иркутск: ИрГУПС, 2002. - 185 с.
6. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. Т2. Динамика. - М.: Наука, 1980. - 640с.
7. Дружинский И. А. Механические цепи. М.: Машиностроение. 1977. - 240 с.
8. Ким П. Д. Теория автоматического управления в 2-х томах. Т.1. Линейные системы. М.: Физматгиз, 2003. - 288 с.
