Динамика машин. Математическое обеспечение вычислительного моделирования Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.1 Каргапольцев Сергей Константинович,

д. т. н., профессор, проректор по научной работе ИрГУПС

e-mail: kck@irgups.ru Большаков Роман Сергеевич, аспирант НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС,

e-mail: hunterr1@mail.ru

ДИНАМИКА МАШИН. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

S.K. Kargapolcev, R.S. Bolshakov

DYNAMICS OF MACHINES. MATHEMATICAL SETTLEMENT

OF DIGITAL MODELLING

Аннотация. Рассматривается метод построения математических моделей виброзащитных систем с динамическими гасителями колебаний. Основой подхода является технология преобразований исходной расчетной схемы, которая приводится к математической модели. Предлагается методика выбора обобщенных координат и построения передаточных функций. Приведены примеры.

Ключевые слова: динамическое гашение колебаний, структурные модели, эквивалентные преобразования.

Abstract. The method of creature of mathematical models of vibroprotection systems with dynamical absorbers are considered. The approach is based on transformation of initial mechanical system into mathematical model. The method of search of generalized coordinates and building of transfer functions is offered. Examples are shown.

Keywords: dynamical absorbtion of oscillation, structural models, equivivalent transformations.

Введение

Сочленения в механических колебательных системах чаще всего создаются преднамеренно, путем формирования в системе подвижных соединений, которые называются кинематическим парами, или шарнирами. Каждое такое сочленение, в зависимости от его конструктивных особенностей, уменьшает соответствующим образом общее число степеней свободы, что находит свое отражение в изменениях динамических свойств системы [1]. Математические модели систем с сочленениями могут быть построены с использованием определенных обобщенных координат, отражающих возможности относительных движений. Последующий формализм «обнуления» таких обобщенных координат позволяет получить математическую модель системы с сочленениями. В целом

это представляет собой некоторую технологию построения математических моделей [2]. Вместе с тем, не всегда имеется возможность конструктивного оформления шарниров. В некоторых случаях, например при соединении двух твердых тел упругими или диссипативными элементами, значения жесткости или демпфирования могут достигать больших значений и на порядок (или порядки) отличаться от значений параметров других элементов. В таких ситуациях можно предполагать, что соединяемые точки находятся в состоянии формировании сочленения или условного шарнирного соединения. Поэтому динамические свойства системы с такими сочленениями будут приближаться в своих проявлениях к системам, которые имеют не виртуальные, а реальные сочленения или шарниры. В задачах управления динамическим состоянием колебательных систем, в частности в задачах виброзащиты и виброизоляции, изменение параметров отдельных звеньев, например пружины, соединяющей две точки разных тел, или диссипативного элемента, выполняющего такие же функции, рассматриваются как способы построения активных или полуактивных виброзащитных систем [3, 4].

I. На рис. 1 приводится расчетная схема лабораторной модели подвески, использованной для изучения и оценки влияния сочленений. Особенностью системы на рис. 1 является то, что объект защиты (т) совершает только вертикальное движение (у); в структуре системы имеется рычаг второго рода с центром колебаний в точке О, где расположен центр тяжести; 11, 12 - длины плеч рычага; т1, т2 - приведенные массы рычага; к, к1, к2 - жесткости упругих элементов; точки А и В соответствуют местам присоединения упругих элементов рычажной системы. Учет сил сопротивления производится тем, что демпфирующее звено вводится параллельно упругому элементу в общих

иркутским государственный университет путей сообщения

точках крепления, что упрощает выкладки при построении математической модели. Отметим, что силы сопротивления, вводимые параллельно любому из упругих элементов как дополнительные связи с передаточными функциями дифференцирующего звена (демпферы) могут быть учтены в структуре передаточных функций путем «параллельного» их присоединения к соответствующему упругому элементу [5]. В начале рассматривается модель с упругими элементами. Кинетическая и потенциальная энергия определяются выражениями

гг 1 -2 1 -2 1 -2

Т = ~ту +-ЩУ! +-Щ}'2,

Пусть Т = Т1 + Т2 + Т3, где 7 = _ ту

2 .

2

1

1

(1)

П=1 k ( у - 2 )2 +1К ( у - У )2 +1К ( У - У 2 )2- (2)

В свою очередь, потенциальная энергия может быть записана

п = п + п2 + п ,

где

1 1

П1 = ^ К (У - 2)2; П2 = - К (у + 01- 2)2;

Пз = - К2 (у- 2)2.

Проведем ряд выкладок и получим систему дифференциальных уравнений движения

ут + у(к + к1 + к2) + ср(кх1х —к11^—к1г—к1г—кг = 0, (5)

у (к^ - к^к } + ф + УПг, 1; ) + ср (кх I2 + ) -

—2 (—щ^ + т^и ) - 2{к^ - кк) = 0.

(6)

Рис. 1. Расчетная схема транспортной подвески

Отметим, что у! и у2 являются зависимыми координатами, поскольку между ними имеется рычажная связь. На рис. 1 приняты обозначения Уь у2, у3 - координаты движения в неподвижной системе отсчета. Определим некоторые параметры движения элементов виброзащитной системы (ВЗС): у = + 2, у2 =$2 + 2 • Перепишем (1) и (2) в виде

Т = ^ту2+ {2-ф!л)2+^т2(2 + ф12)2, (3) П =1К (У - 2)2 +1К (у + 0 - 2)2 +1К2 (У - $2 - 2)2 ■ (4)

В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений (5), (6) в координатах у, ф. В рассматриваемой системе на рис. 1 могут быть сформированы сочленения в точках А и В путем введения шарниров или увеличения жесткости соответствующих пружин к1 и к2.

Для реализации представлений о формировании возможных динамических свойств подвески (рис. 1) используем расчетную схему с большим числом степеней свободы, как это показано на рис. 2.

/ т

]_///;-7~~7—7—7—7—7-^7—7—7—7—7—7—7-7

Значения коэффициентов уравнений (5), (6) в координатах у , $

Таблица 1

а11 «12

тр2 + к + К + к2 кх1х к ^2

а 21 «22

к\1\ 2 (т /2 + т212) р2 + к + к212

= 2(к+к + к 2) ^ = 2 (т212 - т1)р2 + кх1х - к2!2

Примечания: Qy, - обобщенные силы.

Рис. 2. Расчетная схема с увеличенным числом степеней свободы

2

II. Увеличение числа степеней свободы связано с введением координаты у0. При этом рычажное устройство превращается в твердое тело на трех упругих опорах и сохраняет возможность поворота вокруг центра тяжести О на угол ф.

В этом случае выражения для кинетической и потенциальной энергии (3) и (4) преобразуются к виду

1

гр 1 -2,1 -2,1 -2

т = -my +-m1y1+-т2У2 ,

П =1k (У - z)2 + 1k2 (y - Ji)2 +

+(У - У2 )2 + 1k0 (Уо - z)2. Введем ряд обозначений:

Уо = аУ1 + v=c(у 2- Ух)2;

l

(7)

(8)

а = •

li + ¡2

b = ■

c = -

¡1 + ¡2 ¡1 + ¡2 динат у, ф и у0; запишем, что у1 = у0 —

У 2 = Уо + ¡2^,

Уравнения движения системы в координатах у, уо! и ф можно представить в виде

у(т)+у(к1+к + к2) + ф(р) + <р(к111-к212) +

+¿01 (°) + У 01 {~К - к 2 ) =г {К +К) + у (0) + у (к^ - к212) + ф(тх1\ + т21\) +

+ср {к^ + к212) + у01 (—т^ + т212) +

+>01 {~Кк +к212+к0) = -т212г +

(9)

(10)

+ kjtz - k2l2z,

(11)

У (0) + -У (~к1 ~ к2 ) + Ф (~т\1\ + т212 ) +

+ф (— кг1г + к212 ) + ут (т 1 +т2 ) + +^01 {к1+к2+к0)='г{-тх -т2)~ —2 ( к + к2).

В табл. 2 приведены значения коэффициентов уравнений в координатах у, ф и у01. Обобщенные силы по координатам у0, у2 и у1 имеют вид

Qy = z(k + k + к 2 );

; рассмотрим систему коор-

Q = z(- m2l2 + m1l1)+ k1l1Z - k2¡2Z ; (12)

Qy01 ='Z'(- m1 - m2 )- z(k1 + k2 ) •

Сравнения коэффициентов в табл. 1 и 2 показывает, что, исключая третий столбец и третью строку в табл. 2 (это соответствует k0 ^ да и появлению сочленения рычага с основанием при соединении точек О и О;), можно получить систему уравнений для расчетной схемы на рис. 1. Система уравнений для расчетной схемы на рис. 2 может быть получена и другими путями, при этом результаты совпадают между собой.

III. Расчетная схема на рис. 2 может быть использована для получения дифференциального уравнения движения при сочленениях, которые условно можно обозначить как процессы k; ^ ж, k2 ^ ж, для чего необходимо ввести систему координат у, у01 и у"1. Будем полагать, что y0i = Уо - z, y"i =У~У1-

Т =-ту2 +-т1(у-у';)2 +

где a = -

+ ^™2[ym(i + l) + z(l + i)--yi{\ + а) + j"/(l + а)]2, П = 1 к (y - z )2 +1 к2 (yl')2

(Уао - Уо1(1 +0 - ^2 "2 2 z(1 + i) - y'i(1 + а)) +

l , а0 = 1 + z'(1 + a),i = — •

(13)

+

1 Уо2,

(14)

¡1 + ¡2 ¡1 Произведем аналогичным образом, как было показано выше, ряд вспомогательных выкладок и получим систему дифференциальных уравнений движения в координатах у, у01 и у"1. Коэффициенты этой системы приводятся в табл. 3. Для получения уравнения движения системы (рис. 2) при двух сочленениях в матрице коэффициентов (табл. 3) надо исключить столбцы и строки свя-

Таблица 2

Значения коэффициентов уравнений (9)-(11) в координатах у,ф и ущ

а11 а12 а1з

(m) p2 + k + к + к2 кх1х - к212 к к

а21 а22 а23

kl - к212 (щ12 + m2l2 ) p2 + кК2 + к212 (-mj/j + m2l2 )p2 - к А + к 4

а31 а32 азз

к к (-^^ + m2i2 )p2 - к^ + к 4 (m + m2) p2 + к + к + к

l

2

иркутский государственный университет путей сообщения

Коэффициенты уравнений движения системы, приведенной на рис. 2, с обобщенными координатам у, у01 и у"

Таблица 3

а11 а12 а1з

[т + т + т212 (1 + а)2 ] р2 + к + к2а2 [-т2г (1 + г)(1 + а)]р2 - к2а0(1 + г) [-т2г2(1 + а)2 + щ ]р2 -- к2а0г'(1 + а)

а21 а22 а2з

[-т2/(1 + г)(1 + а)]р2 - к2ай (1 + г) [-т2г(1 + г)2] р2 + к0 + к (1 +г')2 [т2 (1 + г)(1 + а)г] р2 + +к2 (1 + г)(1 + а)г

а31 а32 азз

[-т -т/(1 + а)2]р2 -к2а^(1 + а) [т2г'(1 + г)(1 + а)] р2 + +к2г (1+г)(1 + а) [т2г'2(1 + а2)] р2 + к +к2г 2(1 + а)2

Ql Q2 Qз

пи'И( \ + /)(1 + а) + кг + км,, (1 + 1)г [~т2Щ 1 + /)2 - к2 (1 + /)2 ]р2 1 + /)(1 + а) --к4(\ + г)(\ + а)г

занные с координатами у01 ^ 0 и у": ^ 0 (одновременно устраняются обобщенные силы Qз и В конечном итоге дифференциальное уравнение движения принимает вид

у[т + т + т2г 2(1 + а)2] р2 + (к + к2ау = = 1 [т2/(1 + /)(1 + а)] р2 +1 (к + ка (1 +ОХ

(15)

откуда может быть найдена передаточная функция системы подвески с двумя сочленениями

Ж (р) =

т2г(1 + 0(1 + а) р2 + к + [т + т + т2г2 (1 + а)2 ] р2 +

+к2а0 (1 + 0 +к + к2а1

(16)

Юсоб =

к + к2а 2

т + т + т212(1 + а)2

а также частоту динамического гашения.

Юдин =

к + к2а0 (1 + г) т2/(1 + г)(1 + а) ' При р ^ 0 найдем, что

_ к2 ао (1 + О

Г (р)|

\Ж (р)|

к + к« , т2/(1 + 7)(а +1) = т + т + щ12(1 + а)2

(17)

(18)

(19)

(20)

модельной задачи выбраны следующие параметры: т = 100 кг, т1 = т2 = 10 кг, Ь2 = Ь3 = 10 см,

к2 = 200 Им. I = 0,5+3(шаг 0,5).

-

Из (16) можно найти частоту собственных колебаний

На рис. 3 представлено в качестве примера семейство амплитудно-частотных характеристик при изменении передаточного отношения 7. Для

Рис. 3. Семейство амплитудно-частотных характеристик системы с передаточной функцией (17)

Таким образом, при двух сочленениях подвеска работает как система с одной степенью свободы: при этом на частоте (17) объект защиты проявляет резонансные свойства, а на частоте (18) - совершает малые движения в режиме динамического гашения. На практике эти движения редко бывают нулевыми, так как в системах практически всегда присутствуют силы сопротивления, в частности эти силы ограничивают амплитуду колебаний объекта при резонансе. При повышении частоты - система «зануляется» - (20).

IV. Используем систему уравнений (5) и (6) и запишем выражения для передаточной функции, характеризующей расчетную схему на рис. 1 :

& (р) =

у (р) (к + к1 + к2)>

2 (шр2 + к + к + к2) х — х[( ш^2 + ш2/22) р2 + к/2 + к2/22 ] — х [(ш/2 + ш211 )р2 + к/2 + к/2 ] —

—(к^ — к2/2) ([[ш/ — ) Р2 + — к 2/2)] — (—кА + к212 )2

Если принять

а = к + к + к2, Ь = тА2 + m2¡ 2,

а2 = к1 ¡1 + к2¡2 , Ь2 = (к1 ¡1 — к2¡2 ),

«3 = (тЛ — т2¡2 X то (21) преобразуется к виду

У (Р)_ Р2 (а1Ъ1 — Ъ2°3 ) +

(21)

(21')

& ( р) = -

рАшЪх + р2 («Ь + «ш) +

+Ъ2

(22)

+«1«2 — Ъ2

2 '

Из (22) следует, что в системе возможен режим динамического гашения на частоте

Ь 2 + «а2

(23)

®дин =

ь2ь3 — аь

значений и соотношений: / = — - передаточное

к

отношение рычага второго рода (знак минус учтен

Ь

при выводе уравнений; £ =

2тк

- безразмерный

коэффициент демпфирования; г = Л1— - частота

т

базовой системы; / = -

- отношение массы

т

рычага к массе объекта; п = — - отношение же-

к

а

сткости пружин (рис. 2); 7] =--отношение час-

г

тоты возмущения к базовой частоте (эти соотношения используются в последующих расчетах).

Тогда исходное выражение (19) можно привести к виду

Щ ( р ) =

У ( р )_ «пр2 + «12 р2 + 2 Ъпр2 + Ъ12 р2 + Ъ1^,р2 +. +а13 р2 + а14

(26)

+Ъ14 р + Ъ15

Решая частотное уравнение знаменателя передаточной функции (23), можно найти частоты собственных колебаний Ю1соб, ю2соб, для которых выполняется условие

2

а1соб < адин <а2соб. (24)

В целом свойства системы по выражению (21) соответствуют представлениям о традиционных системах с двумя степенями свободы: два резонанса, динамическое гашение между резонанса-ми и снижение амплитуды колебаний в зарезо-нансной области.

V. Для оценки возможностей варианта подвески по расчетной схеме на рис. 2 в (20) было принято к1 = 0, а вместо пружины к1 вводился дис-сипативный элемент Ь0р, где Ь0 - коэффициент демпфирования. Замена Ь0р на к1 соответствует представлениям о том, что элементы к1 и Ь0р являются типовыми элементами виброзащитных систем и соединены между собой параллельно [6]. В этом случае

а1 = к + к2 + Ь0 р, Ь1 = т^2 + т^,

2 (25)

а2 = Ь0 р¡1 + к^2, а3 = т^ — т2 ¡2.

После подстановки (25) в (22) можно получить всё необходимое для расчета амплитудно-частотных характеристик при изменении параметров системы. Введем ряд вспомогательных обо-

где

а11 = са0 + СкЬ0 , а12 = (к1 + к2 )а0 — к^2Ь0 , а13 = (к1 + к2 )с/12 + ек2!^, а14 = —kk2¡2 ,

Ь0 = тА — т24, Ь1 = ^т, Ь12 = а0с + с/]2т , Ь13 = а0 (к +к2+тк2!2), Ь14 = с^2 (к +к2 ) + к^^^с,

Ь15 = kk2/2 .

Выражение для передаточной функции (21) использовано для получения выражений амплиту-до-частотных характеристик (АЧХ) виброзащитной системы (подвески). В безразмерной форме с учетом обозначений (21') передаточная функция (26) с учетом представления действительных и мнимых частей частотных уравнений числителя и знаменателя примет вид

га2 — /л]2 (1 + п) +

& (]) =

1 — /Л]2 (1 + п) + т2 (1 — ]2) + +] 2£1] (1 + п (I + / )2 —1) (27)

"'+У2«7(1 + п (/ +1)2 — ] (/ +1))'

При введении сочленения, реализуемого демпфером Ъ0 (параметр £), подвеска работает как система с одной степенью свободы при наличии устройства с преобразованием движения (или дифференцирующего звена второго порядка).

т + т2

2

иркутский государственный университет путей сообщения

VI. Для вычислительного моделирования использовалось выражение (27). Примеры АЧХ, построенные с помощью средств пакета прикладных программ Mathcad 11, приведены на рис. 4-7. Значения параметров и констант показаны непосредственно на рисунках. Из анализа частотных характеристик следует, что в величины безразмерного коэффициента демпфирования е может иметь одну или две существенно различных резонансных частоты (рис. 2) при постоянной массе рычажного механизма. Такие изменения вполне объяснимы способностью механической системы к образованию сочленений при увеличении жесткости упругого элемента или сил сопротивления. В данном случае (рис. 2) это осуществляется демпфером, коэффициент демпфирования которого увеличивается, что приводит к формированию шарнира в точке А, а система в целом приобретает свойства системы с одной степенью свободы (рис. 4). Возможные значения параметров рычажного механизма, как правило, могут изменяться в сравнительно узком диапазоне, что связано с конструктивными соображениями, однако их влияние может быть весьма существенно и проявляться соответствующим образом при определенном выборе параметров. Увеличение массы рычажного механизма влияет на свойства системы, изменяя ее возможности перераспределения энергии между парциальными системами (рис. 5). Уменьшение

жесткости к2 при одновременном увеличении демпфирования с ростом частоты внешнего воздействия по существу определяет превращение АЧХ двухмассовой системы в одномассовую (рис. 6). Таким образом, характер изменения АЧХ системы при выборе пределов изменения параметров сопровождается проявлением некоторых присущих механическим колебательным системам свойств самоорганизации движения. Последнее связано с формированием сочленений, которые по существу меняют структуру системы, а это влечет за собой соответствующие изменения ее динамических свойств.

Рациональное сочетание параметров в вибрационной системе связано, как правило, с оценкой поведения системы в области резонансных частот. Исследования свойств систем за счет изменения того или иного параметра встречаются в многочисленных вариантах конструктивно-технического оформления и изменения жесткости или сил демпфирования.

Алгоритмы, определяющие необходимые изменения свойств, также могут быть различными, в том числе обеспечивать случайный поиск, под-настройку или адаптацию, в том числе и самообучение. Вопрос эффективности таких устройств, часто демонстрирующих положительные результаты, заключается в том, каким образом учитываются такие особенности процесса введения допол-

нительной связи, как место присоединения элемента.

VII. Известно, в частности, что управляемые элементы, генерирующие дополнительную силу через изменение параметра или путем ее прямого формирования, обладают таким свойством, как внутренние конструктивные (или паразитные) связи, физическая суть которых заключается в том, что упругости и демпфирования при введении дополнительной связи присутствуют в системе и при нулевом значении управляющего сигнала. В полуактивных виброзащитных системах используется скачкообразное изменение жесткости или демпфирования. Можно предположить, что в результате «активного» вмешательства в процесс движения создаются предпосылки к формированию различных сочленений. Степень близости сочленения к его «идеальному» образу, например, в виде вращательного шарнира, может быть разной. Однако, в любом случае можно принимать во внимание факты изменения структуры, что предопределяет многие последствия «активного» вмешательства, например проявление особенностей динамических свойств изменения структуры механических систем, в рамках которых рассматриваются процессы. Если введение дополнительной связи в виде демпфера приводит к скачку сопротивления, то начатый процесс в системе с двумя степенями свободы может трансформироваться в процесс движения уже в системе с одной степенью свободы. В этом случае переходные явления, связанные с изменением структуры, оказывают влияние и могут проявляться в локальных деформациях фазовых портретов движения (годографах). Влияние сил сопротивления, зависящих от частоты внешнего воздействия, можно объяснить на примере амортизатора [7] с передаточной функцией

Ж = Ьр + к, (28)

где Ь - коэффициент вязкого демпфирования; k - жесткость пружины.

Приведенная жесткость устройства определяется выражением

кпр = ЖИ = л/Ь2а2 + к2 , (29)

к

откуда следует, что на частоте а = — упругая сила

с

по величине соответствует силе сопротивления; затем с увеличением частоты сила сопротивления будет значительно превосходить упругую силу. Можно предполагать существование трех форм возможных особенностей в действии вязкого сопротивления: до первого резонанса; в резонансе; в зарезонансной области. Можно полагать, что в зарезонансной области, сила воздействия форми-

рует сочленение со скоростью, зависящей от нарастания величины силы сопротивления. Условия закрепления вводимого демпфера имеют существенное значение, поскольку демпфер имеет поршень (шток) и цилиндр и, соответственно, шток прикрепляется к объекту, защиты или к рычагу, что при существенных изменениях в структуре будет формировать соответствующие фазовые взаимодействия. При появлении сочленения, формируемого введением сопротивления, исходная система трансформируется в систему с одной степенью свободы, для которой характерны режимы динамического гашения и «запирания» системы на высоких частотах. Уровень запирания определяет величину коэффициента передачи амплитуды колебаний при увеличении частоты внешнего воздействия и зависит от соотношения массы рычажного механизма к массе объекта. На рис. 7 приведены фазовые портреты движения, полученные при вычислительном моделировании процессов движении, с включением демпфера с при к1 = 0 по алгоритмам

[ Ъл г дё у(у-х)> О, Ъ = \ К ' (30)

[¿0 где у(у-х)< О,

где Ь0 - коэффициент демпфирования включенного демпфера; Ь1 - демпфер выключен; х = у1 - координата относительного положения массы т1. На рис. 7 характерным являются точки локальных изменений фазовых портретов, особенно для заре-зонансной области движения объекта, где в более сильной форме проявляются условия близости к формированию сочленения. Для всех зависимостей характерным является то обстоятельство, что при увеличении частоты внешних воздействий наблюдается установление некоторого предела, что является проявлением запирания рычажной системы.

Таким образом, использование средств направленного изменения свойств отдельных элементов, в частности демпферов, в определенном диапазоне частот хотя и может проявиться как положительный эффект, однако динамика этих процессов в физическом смысле является более сложной. Работа управляемых устройств в прерывистом режиме создает условия перехода системы к формированию сочленения. Последнее связано с переходом исходной системы в одномассовую рычажную систему, которая обладает специфичными свойствами «запирания». Уровень запирания при этом не зависит от величины сил демпфирования и упругих сил, а определяется только отношением масс объекта и рычажной системы.

У ]

о ? у / ' \ !

1.1 "1 2 -< I о .1 0 2 J

>

_ Vs -О-в- ___- ^J Г / !

Рис. 7. Фазовые портреты колебаний объекта защиты для алгоритма(30) на частотах: а) дорезонансной п = 0,7; б) переходный п = 1,5; в) зарезонансный п = 3,5

VIII. В заключение можно отметить, что авторами предлагается научно обоснованная методика построения математических моделей для транспортных средств, расчетные схемы которых содержат рычажные связи, реализуемые через сочленения твердых тел. Математические модели отражают характерные особенности подвесок транспортных средств, для которых особую роль играют также особенности конструктивных решений, таких как расположение мест крепления элементов виброзащитных систем, разница в значениях параметров, влияние структуры соединений элементов. Сочленения в физическом плане обеспечиваются не только конструктивными формами соединения через шарниры или кинематические пары, но и соответствующим выбором параметров элементов, достигающих предельных значений. В частности, такие функции может выполнять упругий элемент или демпфирующие звенья. При этом увеличение сил демпфирования, вводимых в механическую систему, проявляется внешне таким же образом, как и появление сочленений, то есть может проявляться через свойства «запирания» в относительных движениях на высоких частотах, когда силы сопротивления становятся очень значительными.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Сочленения в виброзащитных системах как проыесс уменьшения числа степеней свободы // Современные техно-

логии. Системный анализ. Моделирование. -ИрГУПС. Вып. № 4(28). Иркутск, 2010. - С. 8 -14.

2. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Виброзащитные системы с сочленениями. Технология построения математических моделей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - ИрГУПС. Вып. № 3(27). Иркутск, 2010. -С. 8 - 17.

3. Климов А.В. Динамика рычажной релаксационной подвески с прерывестым демпфированием: дис. ... канд. техн. наук / А.В. Климов; ОрелГТУ. - Орел, 2001. - 186 с.

4. Хоменко А.П., Каргапольцев С.К. Новые формы организации научной деятельности в вузе // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - ИрГУПС. Вып. № 4(8). Иркутск, 2005.- С. 88 - 91.

5. Ивович В.А. Виброизоляция горно-обагатительных машин и оборудования / В.А. Ивович. - М.: Недра, 1978. - 252 с.

6. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., За-сядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. - Иркутск : Изд-во Иркутского государственного университета, 2008.

- 523 с.

7. Елисеев С.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / И.В. Фомина [и др.].

- Иркутск: ИрГУПС, 2009. - 128 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №738-В 2009.