Виброзащитные системы с сочленениями. Технология построения математических моделей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.1 Хоменко Андрей Павлович,

д.т.н., профессор, ректор ИрГУПС, тел.: 8 (3952) 63- 83- 11 Елисеев Сергей Викторович,

д.т.н., профессор, директор НИИ Современных технологий, системного анализа и моделирования ИрГУПС,

тел./факс: 8-395-2-59-84-28, e-mail: eliseev_s@inbox.ru

ВИБРОЗАЩИТНЫЕ СИСТЕМЫ С СОЧЛЕНЕНИЯМИ. ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

A.P. Khomenko, S.V. Eliseev

VIBROPROTECTION SYSTEMS WITH COUPLINGS. TECHNOLOGY OF BUILDING OF MATHEMATICAL MODELS

Аннотация. Рассматривается технология построения математических моделей механических колебательных систем с сочленениями. Предлагается методика выбора систем обобщенных координат, устремление которых к нулю обеспечивает формирование сочленения. Приводятся примеры расчетов.

Ключевые слова: сочленения твердых тел, математические модели виброзащитных систем, динамика колебательных систем.

Abstract. Technology of creature of mathematical models of mechanical oscillation systems with coupling rigid bodies are considered. Methodology of selection of system of coordinates for elimination of relative movement for zero are suggested. Several examples are explained.

Keywords: coupling of rigid bodies, mathematical models of vibroprotection systems, dynamics of oscillation systems.

Сочленения играют большую роль в динамике механических систем. Разные виды сочленений определяют появление особенностей в формах введения сочленений с учетом сложности их конструктивного исполнения [1, 2]. Чаще всего движение всех элементов системы происходит в одной плоскости или параллельных плоскостях [3]. Отметим, что в механической колебательной системе выделяют два класса звеньев: неподвижные и подвижные. Одним из наиболее распространенных сочленений являются шарнирные соединения в виде кинематических вращательных пар. В простейших вариантах звенья, соединяемые шарниром, допускают вращательно-качательные движение звеньев относительно друг друга. При этом каждое сочленение из общего числа степеней свободы производит «изъятие» одной степени

свободы в движениях. Большое количество сочленений, соответствующих числу шарниров, обеспечивает уменьшение общего числа степеней свободы (или числа независимых переменных). В практике виброзащиты могут встречаться звенья, замыкающие на себе через сочленения несколько звеньев, однако такая постановка задачи исследования в данной работе не рассматривается.

Кроме соединения подвижных звеньев между собой часто встречаются соединения твердых тел (или материальных точек как абстракций по отношению к твердым телам) с неподвижными звеньями или с основанием (или условно-неподвижной системой). Такое сочленение на рис. 1 показано подштриховкой.

Механические колебательные системы могут иметь сочленения различных типов, что обеспечивает особенности структуры системы и так называемой «метрики». Вращательные сочленения

Рис. 1. Расчетная схема ВЗС, имеющей сочленения: между подвижными звеньями, а также между подвижными и неподвижными звеньями (в точках А и В - сочленения в виде вращательных кинематических пар)

привносят в системы рычажные связи. Поскольку сочленения уменьшают число степеней свободы системы в целом, то достаточно рациональным подходом представляется первоначальное составление общей модели без ограничений движения, за исключением естественных связей с основанием. В этом случае математическая модель системы может быть представлена в виде системы обыкновенных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами [4]

Ау = Ь,

где А - матрица коэффициентов; у - вектор-столбец переменных; ь - вектор столбец внешних воздействий. В общем случае матрица А имеет порядок п х п и является симметричной:

а,, ... а„

А =

При построении математических моделей систем с сочленениями могут использоваться различные системы обобщенных координат, главным образом такие, в которых координаты отражают относительное движение. Сочленение может быть реализовано по отношению к элементу, совершающему «абсолютное» движение. Естественно при этом, что системы координат допускают соответствующие взаимные преобразования.

Выбирая системы координат соответствующим для поставленной задачи образом, отметим, что выбираемые пары или блоки сочленения должны находиться на диагонали матрицы. По-существу, каждый блок является парциальной системой. Введение сочленения означает исключение соответствующих столбцов и строк матрицы коэффициентов, включая и «исключения» соответствующей правой части уравнения.

Физический смысл операции заключается в том, что сочленение, представленное разностью соответствующих координат, исключается в физическом смысле, вместе с переменной исключаются одновременно и коэффициенты матрицы, определяющие связи между убираемой парциальной системой и остальными. Правая часть уравнения, определяемого строкой, также исключается, поскольку физически «исчезает» точка приложения сил. Внешнее воздействие в этом случае перераспределяется соответствующим образом при выборе систем обобщенных координат, где необходимо соблюдать условия равенства виртуальных работ обобщенных сил в различных системах совместимых координат [5].

В предлагаемой статье рассматривается ряд сочленений и примеров использования предлагаемых процедур. Набор возможных сочленений может обеспечивать и более сложные формы взаимодействий, в том числе и на основе кинематических пар IV и III, II классов. Важно отметить, что возможности учета особенностей сочленения в плане построения математических моделей могут быть распространены и на системы с неудержи-вающими связями.

Большое влияние на развитие исследований, связанных с поиском и разработкой динамических гасителей колебаний, оказало введение в практику устройств для преобразования движения. В первую очередь, такими устройствами стали шарнир-но-рычажные механизмы, затем несамотормозящиеся винтовые механизмы и зубчатые механизмы [6] и др. Вместе с тем, появление устройств для преобразования движения можно рассматривать и с позиций общей трансформации структур механических колебательных систем на основе использования сочленения как подхода для получения упрощенных структур, так и способа построения нетрадиционных для теории колебаний элементов.

На рис. 2 представлена расчетная схема ВЗС, в которой имеется два блока, наличие которых отражается контурами I и II. В основе блоков - твердое тело, обладающее массой и моментом инерции; в составе ВЗС задействованы упругие элементы, предполагается, что смещение центра тяжести блока I не оказывает существенного влияния на динамику системы в целом, а силы сопротивления достаточно малы.

I. Расчетная схема в виде колебательной сис-

Контур I

Контур II

Рис. 2. Расчетная схема колебательной ВЗС, имеющей два контура взаимодействия

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

^ V /V

Рис. 3. Преобразованная расчетная схема, содержащая сочленения

зано на рис. 3.

Полученная в результате упрощения схемы на рис. 2 расчетная схема на рис. 3 была предметом исследований в работе [7], посвященной исследованию эффективности гашения колебаний и направленного изменения сил демпфирования виброзащитных систем, однако вопрос о сочленениях в [7] не поднимался. Схема на рис. 3 отражает возможность получения системы с сочленениями.

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий в системе координат у, у2 .

Т =1 (т + т )у2 +1 т2 у 2,

(1)

П =1 к(у - ¿)2 +1 кг (у -11)2 +1 кг (у 2 - ¿з)2, (2)

темы с тремя степенями свободы (у ^ у3) может

рассматриваться как фрагмент ВЗС, в которой совместно работает блок I (контур I рис. 2) и блок II (контур II рис. 2), состоящие из твердого тела, опирающегося на упругие опоры. Контуры I и II (рис. 2) находятся во взаимодействии через упругий связывающий элемент £01. В свою очередь, твердое тело опирается не только на упругие опоры к и к2, но имеет и упругую связь £0, линия действия которой проходит через центр тяжести балки в точке О. Примем, что А10 = 1Х, В 20 = 12, а присоединенная масса т не вызывает

значительных изменений массоинерционных параметров системы. Силы сопротивления также полагаются малыми. Развивая высказанные авторами выше положения о сочленениях твердых тел как соединении твердых тел, имеющих форму вращательного шарнира, отметим, что, принимая жесткости £01 и £0 достаточно большими, можно преобразовать расчетную схему к виду, как пока-

где у 2 - скорость элемента массой т2 в абсолютном движении, которая определяется выражением

у 2 =

у ■ 12

I

II

+

(3)

Знак минус в (3) отражает изменения движения, вызванное рычагами второго рода, таким образом найдем, что

Т =1 (т + т1 )у2 +1 т2[-уг + ¿2(1 + г) ]2, (4)

где г =■

2

к I

передаточное отношение рычага.

Потенциальная энергия определяется выра-

жением

П = 1 k(у - 2)2 +1 kl (у1 - ) +1 ^ (У2а6 - 23 )2 = (5)

=1 к (у - г )2 +1 ¿1 (у1 - ^ ) +1 к2 [-уг + г2 (1 + г)-гз ]2 .

Найдем вспомогательные соотношения для вывода уравнения движения

дТ

— = (т + т )у + т2г2у - т2г(1 + г)¿2, (6)

ду

дП = ку - кг + к1 у - к1г1 + ду

+к2г2у - к2г(1+г)г2 + к2гг 3 и получим уравнение движения системы

(7)

+т2 +т2г

■)+у (

к + к1 + к2г ) =

(8)

= т2 (1 + /)г2 + г2к2 (1 + /) + к1г1 +кг — к2гг3. Для упрощения расчетов примем, что г = ¿2 = ¿3, кх = 0 и к2 = 0, тогда передаточная функция примет вид

ш (р) = 1(р)

т2 (1 + г)р 2 + к (9)

г(р) "(т + т + т2г2 )р2 +

ТР7^'

где р = - переменная Лапласа (] = V-1).

Такие формулы были получены в ряде предшествующих работ, например, в [ 8, 9].

II. Проведем ряд выкладок в развитие метода получения математических моделей систем с сочленениями, основанный на упрощениях некоторых более общих систем с использованием особенностей, возникающих при наложении связей, возникающих в сочленениях. Вернемся к полной схеме, приведенной на рис. 2. Тогда выражения (1) и (2) для кинетической и потенциальной энергий можно преобразовать к виду

„ 1 . 2 1 т 1 . 2

Т = ~то^о +-^0<Р + -ту , (10)

П=-2к (у - г)2 +

1 2 1 2

+-к- (У- - г1) + - к0 (Уо - г2 ) + (11)

1 2 1 2

+ -к2 (У2 - г3 ) +~ к о- (У - У- ) •

На схеме (рис. 2) приняты следующие обозначения: т0 - масса промежуточного тела (может превращаться в тх и т2, соединенных рычагом); т - масса объекта; к, кх, к0, к2 - упругие элементы, промежуточного тела, опирающегося на основание; г ^ г3 - кинематические возмущения.

Координаты точек Ах и А2 (рис. 2), определяются следующим образом: уА1 = у и уЛ2 = у .

Для получения сочленений необходимо вы-полненить условия

У1 - у = 0, (12)

У10 = 0, (13)

где У10 = Уо - г2.

дТ

ду 1 дТ

ду 2 дТ ду

Выражение для потенциальной энергии в данном случае принимает вид

= т0 а2 у! + т0 аЪу 2 + 3 0 с2 у х -3 0 с2 у 2,

= т0 Ъ 2 2 + т0 аЪу 1 + 3 0 с 2 .У 2 0 с 2 .У ^ = ту .

2 1

П =1 к (у - г) +1 к1 (у - г!) +1 ко (аУ1 + ЬУ2 - г2) +

2

2

(15)

+1 к2 (У2 - г3 )2 +1 к 01 (У - г1 )2

и вспомогательные соотношения соответственно: дП = ку - кхгх + к^аух + к^аЪууг-к0аг2,

ду 1 дП

ду 2

= к0Ъ2у2 - к^аЪух + ^Ъ^ + ^у2-к2г3,

дП

ду

= ку - кг + кг - к^.

Система дифференциальных уравнений Рассмотрим движение системы в координа- движения системы может быть представлена в тах у0, р . Запишем ряд обозначений и соотноше- форме:

ний: у0 = ау1 + Ъу2; р = с^ - ух); 1

и

а =

¡! + /2

Ъ = ■

•; с = ■

¡1 + ¡2 ¡1 + ¡2 Для рассмотрения движения системы в системе координат у0, у2 и у1 выражение для кинетической энергии примет вид

1 2

Т = -т0(ау1+Ьу2) +

2

1Г /. . \2 1

(14)

ту2.

У\ (ща2 + Лс2 ) + У\ [к\ + к0а2 ) +

+у2 (т^аЬ -J^)c2^ + у2к0аЬ = к1г1+ к0аг2,

У\ (т0а Ъ - ./„с2) + ^ (-£0аб) +

+у2(тф2 + ^с2) + у2 (кф2 +к2) = кЬг2 + к2г3, у1(0) + у1(0) + у2(0) + +у2{0) + ут + у{к + кт) = к г + ктгх.

В табл. 1 приведены значения коэффициентов уравнений в координатах у , у2 и у1

(16)

(17)

(18)

2 ^ ' 2 Для дальнейших расчетов получим ряд вспомогательных соотношений

Таблица 1

Значения коэффициентов уравнений (3.16^-3.18) в координатах у0, у2 и у1

а11 а12 а13

(т0 +30с2 )р2 + к + к ¡р.2 (т0аЪ - 30с2 )р2 + к0аЪ 0

а 21 а 22 а 23

(да 0 аЬ - /0с2 ) + к0аЬ (т0Ъ2 + ус2 )р2 + к0Ъ2 + к2 0

а 31 а 32 а 33

0 0 тр2 + к + к01

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Обобщенные силы по координатам у0, у2 и у1 имеют вид

0Ух = k1 Z1 +k0az2 ; 0У2 = k0bz2 +k2Z3 ;

Qy = kz +k 0iZi- (19)

Уравнения (16^18) описывают движение в системе координат, отражающих вертикальные движения массоинерционных элементов ВЗС. Такую математическую модель можно назвать базовой. Особенность матрицы заключается в том, что a13 = a31 =0, a23=a32 =0, что определяется особенностями динамических взаимодействий, зависящих от структуры ВЗС (рис. 2) и выбора системы координат.

III. Перейдем к системе координат x = у — у1, у0 и р ; запишем ряд соотношений у = x + у1 = x + у0 — 1р р и получим выражение для кинетической энергии

Т = )-щ(х + V0)2 +

1 1 (20) +~Лф2 +-™(х + Уо~кФ) •

или

п = п + п + п + п + п,

(21')

где

П = ik (X + у0 — /j^ — z)2 = -i k(X2 + 2xy0 + y0 +

+l2p2 + 2/ 1 pz + z2 — 2zx — 2zy0 — 2xl((—2 у0/();

1 , \ 2 1 2 2 2 П2 =- k1 (У0 — /ф — zi) =- k1( У0 + 2 У0/\Ф + кф —

—2z^.y0— 2 z 111ф+zi2); Пз =1 k0 (У0— z2 )2;

П4 = 1 k2 (У0 + /1ф — z3 )2 = 1 k2 (У0 + 2/1 У0ф +

О О 1 , . 2

+l2 ф — 2z3tf> — 2z3l2ф + z3);П5 = ^k 01 (X) .

Запишем уравнения движения системы в координатах p , у0, x

J0 + ml2) + p(£/2 + ätj/2 + k2l2) + y0 (~mlx) +

+x(-ml1) + ) = —kl]Z — — к 2/2z,,

(22)

Произведем ряд вспомогательных выкладок

дТ , . дТ . . — = /их + ту0 - т1х ф,-= т0у0 + тх + т1лф +

дх ду0

+ту0,-^— = З^ф - 1лтх -ту^1х + т12ф. дф

Запишем уравнения для потенциальной энергии в развернутой форме

П =1 к(х + у,, "КФ-г)2 + +1 к1 (Уо - 11ф - )2 + 1 к0 (Уо - 22 )2 + (21) +1 к2 (Уо + 12ф - 23 )2 + 1 к 01 (*)2

(р{т1г ) + (p{-klx + + k2l2) + У0 + то) + +y0(k + ki+ко+к2) + *(Я7) + (23)

+X (k) = kz k^z^ kz^k 2 z^ '

ф{-т1х) + (р{-кх lx) + y0 (m) + +y0 (-£) + x(m) + x(/r + zr01) = äz.

(24)

Значения коэффициентов уравнений (22^24) в координатах X, у0 и р соответственно представлены в табл. 2.

Таблица 2

Значения коэффициентов уравнений (22+24) в координатах X, у0 и (

a11 a12 a13

(ml12 + J0 ) p2 + kl12 + k1l12 + k2lf (—ml1) p2 — kl1 + k1l1 + k2l2 (—mlj) p2 — klx

a 21 a 22 a 23

—(ml1) p2 — kl1 + k1l1 + k2l2 (m0 + m) p2 + k + k + k0 + ^ (m) p2 + k

a 31 a 32 a 33

(— ml1) p2 — k1l1 (m ) p2 + k (m) p2 + k + k01

Обобщенные силы по координатам х, у0 и ( имеют вид

Ор = -к11г + к 111г1 - к212 гз;

Яу0 = к0г -к 1 г1 - к0г2 + к2г3 ; Ох = кг . (25)

где а0 =т; у 0 = ау1 + ъу 2;

Ь

уп - ау, 1 а

у2 =-7-= - у0 -7 уХ = а10у0 - а0Л.

Ъ 2 Ъ

Запишем выражение для потенциальной

Математическая модель в системе коорди- „ ,

энергии в развернутой форме в координатах у ,

нат х, у0 и р отличается от предыдущей модели (координаты у0, у2 и у1) тем, что нулевые клетки отсутствуют. Что касается координаты х = у - у, то она может быть «обнулена» предположением, что к - стремится к бесконечности. В этих условиях возможно сочленение твердых тел т и т. Физически это означает, что масса Ш присоединяется к элементу ВЗС в т. А с массои-нерционными параметрами щ, У0 и изменяет их (и общую массу и момент инерции). Движение системы будет описываться в этом случае координатами у и р . Необходимые данные для получения передаточных функций можно получить, исключая столбец и строку, содержащие х (фактически переменная устраняется, а порядок матрицы уменьшается на единицу).

IV. Для дальнейших расчетов введем систему координат у0, у1 и х. Тогда выражения для кинетической и потенциальной энергий в координатах у , У1 и х преобразуются к виду:

Т = \т0 (^о) 2+^Л»о2 (.У о-л)2 +^т{у1+х)2. (26)

Произведем ряд вспомогательных выкладок

дТ т 2. т 2. . . дТ

— = -Ч У\ ~ -Ч Уо + тух -тх,— =

дУ1 су 0

Т 2 Т 2 ■ дТ

= ЩУо + Л«оУо " = тх ~ тУ\-

их

Проведем замену системы координат по отношению к выражению для кинетической энергии

Т = (¿0) (Ф? + (у)2

1

]_

2 "V"' 2 2'

где у = у1 + х ; х = у - у, тогда р = с (у2 - У1) ; У0 - аУ1

Ь

У0 = аУ1+ЬУ2; У2 =■

Определим ряд

с • (У0 - ау 1) Р = У - сУ 1=-;--сУ1 =

соотношений:

су0 - сау1 - Ьсу1

У1 и х

П=1 к (у + х - г)2 +

+1 к1 (У1 - )2 +1 к0 (У0 - г2 )2 +

1 2 12

+ -к2 (а10 У0 - а01 У1 - г3 ) +~ к 01 (х)

1 а

где а 10 = Т и а 01 = 7. Ь Ь

Примем, что

п = п + п2 + щ + п4 + п,

где П1 =1 к (у2 + 2у1х + х2 - 2гу1 - 2хг + г2 );

(27)

(27')

П2 =-

1 к1 (у2 - 2 уг+г2);

П3 = 1 к0 (у0 - 2у0 г2 + г2 )2;

2

П4 = 1 к2(а120уо - 2у0у1а01а10 + а01у2 --2а10 У0 г3 + 2а01У1г3 + г32); П5 =

= \к 01 (У1 + х-У1 )2 = \к01х2.

Уравнения движения системы в координатах у , У и х можно записать:

ух (+т) + у1(к + к1+ к2а„) + Я ) + ^8) +у0 {—к2а01а10 ) + х(—да) + х(^) = кг — к2а01г3 +

Л ("-^о2) + Л ("к2«о Ао) + Уо («о + Л«о2) +

+Уо (к + к2°12о ) + х(0) + х(0) = к0г2 + к2атгъ;

у1(-га) + у1(^) + у0(0) +

+Уо (0) + + х(к + кш) = _кг-

В табл. 3 представлены значения коэффициентов уравнений (28-29) в координатах х, у и у0.

(29)

(30)

= с (У0 - У1) и найдем р = а0 (У0 - У1),

Таблица 3

Значения коэффициентов уравнений (28^30) в координатах X, у и у0

«11 «12 «13

( m + Ja^ j p2 + к + k + ^/a^j (-J0a0 ) p - k2a01a10 ( -m) p2 +k

« 21 a 22 a 23

J0a0 ) p ~ k2a01a10 (m + Ja2) p2 + к + k2a20 0

a 3! a 32 a 33

( -m) p2 +k 0 (m) p2 + k + k01

Обобщенные силы по координатам X, у0, у имеют вид

& = ~кг; ву0 = ко г2 + к2атгз; Яу1 = ^ + к2а01^3 + к121 • (31)

В этой системе координат X, у0 у возможно также введение сочленения и по координате X . Для получения передаточной функции системы, которая имеет две степени свободы у0 и у,

необходимо исключить соответствующие столбцы и строку. Отметим, что если х = 0, то у = у и движение системы при одном шарнире в точке А будет описываться координатами у и у1. В данном случае рычаг имеет упругое опирание для своего центра вращения. Наибольший интерес представляет все же случай с двумя сочленениями.

V. Рассмотрим систему координат у10 , у и X . Вводя ряд соотношений (у10 = у — ), запишем выражения для кинетической энергии системы:

T = — m¡ 2

+ (¿10+¿2 " У + xf

где a o =- . b

где

— /

(32)

Запишем это выражение в следующем виде

T = т + T + T , (32')

Т1 = | ■т0 (л О + ¿2 f = | ■«0 (l'ío + 2 j 10 ¿2 + ¿22 ); Т2 = (Л0 + ¿2 " У + ¿)2 =

loo "7 "7 О

= (Ло + + ¿2 + * - 2*У + У + +2iy10 + 2XZ2 - 2у10у - 2¿ 2у;

^ 1 -2

Проведем ряд вспомогательных выкладок

дТ . . т 2 ■ Т 2■ Т 2 ■ Т 2 ■

— = тоУю + + Ую +Л°о 22+'7оаох- У»

Т 2- Т 2- т 2 • т 2 •

— = У0<70 X - У0<70 V + ^о У10 + Л70 Г2 ,

Са

2 2 2 2 —— = ту + Л0х- Зао у - Л о ~ ¿2 • ¿V

Запишем выражение для потенциальной энергии системы в координатах у10 , у и X в виде

П = П + П + П + П + П, (33)

где П = 1 k (у — г)2 = ! k (у2 — 2уг + z2 );

П2 =1 ^ (у — х — г1 )2 =1 К(у 2 — 2УХ + *2 —

2 1 / \2 2г1 у++^1);Пз =-^ (Ую) ;

П4 =1 к2 (а10У10 — °01 У + а01х + г0 )2 =1 (а210У120 -

2 2 2 2 —2а10 а01 у10 у + а01 у + ^о^ + 2а01^0 + 20 +

+2а01а10 то — 2ао21ху + 2а10 у 10 — 2а01г0 у);

" = 1 к01Х '

где г0 — а^г2 г3 •

Уравнения движения системы в координатах у10, у и X примут вид:

у10 (т0 + V2) + у10 (к0 + к2а20) + у (-./а2 ) +

+у(-к2а 10 а01) + х (./0а2 ) + х (к2а10а01) = (34)

= —к2а10г0 — /я0г2 —

Ую Ыоао) + Ую (~к2аюат) + У (т + М ) + У(к +

= + кг + кх2 \ +к2а01г0;

Л о (Л°о2) + Ую (к2аюа01) + У ) + у(~кг --^2а201) + х(-^0а02) + х(^ +к2а201 +^1)= (36)

столбцы, получим уравнение движения для системы с двумя сочленениями

(т0 + 30а02) р2 + к + к2а01 + к =

2

(41)

— 30а0г2 к2а01г0.

Для упрощения принимаем, как и для случая рассмотрения схемы на рис. 3, к2 = 0, кх = 0, = 0, г, = 0: при этом г = г2 тогда уравнение В табл. 4 запишем коэффициенты уравнений (41) преобразуется к виду

(34Ж36).

Обобщенные силы по координатами , у и х имеют вид

0Ую ="(Ш0 + 30а02 ' + к2а10^0 ; 0у = 0а0 ' + к' + к1 '1 + к2а01'0 ;

0% = —(,/0а0 ' —к1 —к2а01'0. (37)

При г0 = а10г2 — г3 получим следующие выражения для обобщенных сил:

у(т0 + 10а2)р2 + к = (10а20р2 + к)г, (42)

откуда передаточная функция системы принимает вид

Ж (р ) =у =

у 3 0 а02 + к

2 т + 3 ^а о + к

(43)

Qym = ~(т0 +'70а02)^2 ~к2аЮ20 =

= —(т0 + 30а0 )р — к2а10г2 — к2а10г3;

Яу = "(Л^О2 ) ¿2 + ^ + кА + к2й01^0 =

= 30а^ р2 + кг + к1г1 + к2а10а0112 — к 2 а01^3; бх = "кЛ "к2а10г0 =

(39)

Сравнение (43) и (9) показывает, что структура передаточных функций является общей и предлагаемый подход позволяет построить необ-(38) ходимые математические модели.

Для получения полного совпадения результатов необходимо сделать расчетную схему более детализированной. Для вывода (9) использовалась схема, показанная на рис. 3. Особенность этой расчетной схемы заключается в учете массоинер-ционных свойств рычажных связей. Рассмотрим в (40) связи с этим расчетную схему системы на рис. 2, которая отражает массоинерционные свойства системы, приведенной на рис. 3. На расчетной В данной системе координат имеется воз- схеме (рис. 4) показаны массы т1 и т2 ; учет осо-можность выхода на два сочленения: по координа- бенностей их движения является существенным те ую и по координате х. Используя матрицу фактором для совпадения выражений (9) и (43). (табл. 4.) и исключая соответствующие строки и

= 30а0 р к 1 г1 к2а10а01г2 + к2а10 г3-

Т аблица 4

Значения коэффициентов уравнений (34^36) в координатах у10 , у и X

г

а11 а12 а13

(т0 + 30а02 )р2 + к0 + к2а120 (— 3 0а0 )р к2а10а01 (30а 2 )р 2 + к2а10а01

а 21 а 22 а 23

(— 30а0 )р — к2 а10а01 (т + 30а0 2 )р2 + к + к2а 201 + + к (— 30а02 )р2 —кх —к2а 201

а 31 а 32 а 33

(з0а0 )р + к2а10а01 (— 30а02 )р2 — к1 — к2а V (/ 0а02 )р2 + кх + к2 а V + к01

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

т2 («оЛо +а022- /у + И)2,

1 7 1 7

П = -к(у-2)2 + -У-Х-21)2 + +1 к2(а0У10 -'У + + г 0)2 +

+1 М х)2 +1 к0 (У10 )2'

(46)

(47)

где 20 = а0 ж2 - .

Рис. 4. Расчетная схема ВЗС на рис. 2, но с разнесенными

массами Ш1 и Ш2

Сделав ряд вспомогательных выкладок, аналогичных выше приведенным при выводе уравне-Выберем для дальнейших расчетов систему ний Лагранжа II рода, получим уравнения движе-координат у, у1 п и х, полагая при этом, что ния

У10 = Уо + 2'х = У-Ух> где Уо = аУ1 +

Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы

т 1 -21 -2 1 -2

Т = - ШУ + - Ш1У1 + - Ш2 У2,

1 7 1 7

П = - к(у - г)2 + -к (у1 - ^ )2 +

+1 к2(У2 -г3)2 +1 к01(У-У1)2 +

1

2

(44)

(45)

1 к0 (У0 г2 ) • Произведем ряд преобразований:

а к

У 2 = Уо -аУ = ао Уо-гУ1> * =-т=т';

Ь I

ао =■

У2 = а0 У 10 + а0 г2 - У + Х У0 = У10 + х

и получим

у(т1 + т212 + т) + у {к + ^ + к212) +

+Х^-Я71 - И7272 | + х{-кх - к2Р) + +у10 (-Я72ш0) + у10 (~к2а01) = — ^2 + кг + к-^г-^ + к2 ; у(-Я71 - Я7272 ) + у(—кх - к2/2) +

+х^я71 +т012^ + х(к1 +к01 +к0/2) + +у10(я72ш0) + у10(к2а0/) =

у(-т21а0) + у(-к212а0) + +х(я72/о0 ) + х(к21а0) +

+у10 (я72О02 ) + у10 (к2О02 + ) = = —Я72о0 г2 — к2а020.

(48)

(49)

(5о)

В табл. 5 приведены коэффициенты уравнений (48) - (50).

Таблица 5

Значения коэффициентов уравнений (48) (50) в координатах У , X и У10

1

Ь

а11 а12 а13

(т + Ш+ш21 2) р2 + ^+ (-Ш! -Ш2? 2)р 2- -ш21а^р2 -к2а91

к^ + к? -кх-к2г2

а 21 а 22 а 23

(-т -т? 2) р2 - к - (т + ш2/2) р2 + ш21а0р2 + к2а0г

- к2? + к у + +

а 31 а 32 а 33

-ш21а^р2 -к2а0/ ш2га0р2 + к2а^ Ша 2 р 2 + ^а 2 + к0

Современные технологии. Механика и машиностроение

Обобщенные силы в данном случае имеют

вид

Qy = т2аоЩ + kz + kxzx + k2z0/,

Qx=~a0im2^2~klzl~k2izi 2-

2 0'

ßÄ0 =~m2aoh-k2%z0.

(51)

Исключая из матрицы столбцы и строки по координатам х и у 0, получим уравнение движения для системы с координатой у

у(т1+т + т/ } + у(к + к1+ к/ ) =

= т2а0гг2 + кг + + к2^0/. Для получения передаточной функции «смещение у по входу г2» примем, что г = г2,

г = о, г = г2, К = о, к2 = о •

В этом случае к01 ^ да, к0 ^ да .

w=y = m ajp + к

z2 \m + m +m2i2 )p2 +

Отметим, что — =

1_= h +h b l

i2 )p2+к . = 1 + i,тогда

(53)

ж=у=■

(54)

т2/(/ +1)р2 + к (т+т +т2/2 )р2 + к

Выражения (9) и (54) полностью совпадают, что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, выбирая систему обобщенных координат соответствующим образом, можно построить математическую модель механической системы с сочленениями. В этом случае система с сочленениями получает меньшее число степеней свободы, чем у исходной системы. Сочленение возможно между двумя телами при соединении

двух тел в кинематическую пару вращательного вида (V класса). Однако, возможны и соединения твердого тела с другим телом с потерей возможности относительного движения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел/ Й. Виттенбург // перевод с англ. В.Н Рубанского, В.С. Сергеева, С.Я. Степанова. Под ред. В.В. Румянцева : М. - Мир, 1980. - 295 с.

2. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин -М.: Наука, 1975. - 640 с.

3. Дружинский И.А. Механические цепи / И.А. Дру-жинский. - Ленинград : Машиностроение, 1977. -238 с.

4. Бабаков И. М. Теория колебаний - М.: Наука, 1968. - 560 с.

5. Елисеев С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хомен-ко, А.А. Засядко. - Иркутск : ИГУ, 2008. - 523 с.

6. Климов А.В. Динамика рычажной релаксационной подвески с прерывистым демпфированием: дис. на соискание уч. ст. канд. техн. наук / А. В. Климов. -Орел: ОрелГТУ, 2001. - 196 с.

7. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е. Рычажные связи в задачах динамики механических колебательных систем. Теоретические аспекты. - ИрГУПС. Иркутск, 2009. Деп. ВИНИТИ. - 159 с. - рус. Деп. ВИНИТИ 27.11.2009. № 737. В 2009.

8. Елисеев С.В., Хоменко А.П., Логунов А.С. Динамический синтез в задачах построения систем защиты человека-оператора транспортных средств от вибраций и ударов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - ИрГУПС. Вып. № 4 (24). - Иркутск, 2009. - С. 64-75.