CC BY
47
УДК 621.01:534
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГАСИТЕЛЯ УГЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ
А
В.Г.Грудинин1
Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Неравномерность вращения привода машинного агрегата приводит к появлению внутренней виброактивности и сопровождается вибрациями. Одним из способов управления колебаниями является введение в систему динамического гасителя колебаний. В статье рассмотрен динамический гаситель планетарного типа с грузами, жёстко закреплёнными на сателлитах. Проведён анализ влияния отдельных параметров на режимы динамического гашения колебаний в рабочей области угловых скоростей привода. Исследованы динамические свойства гасителя угловых колебаний планетарного типа с грузами. Приведены амплитудно -частотные характеристики гасителя по возмущающему и задающему воздействиям, а также зависимости частоты динамического гашения от угловой частоты ведущего звена и конструктивных параметров гасителя. Проведён расчёт динамических реакций в зубчатых зацеплениях методом начальных параметров. Представлены амплитудно -частотные характеристики динамических реакций в зубчатом зацеплении гасителя. Ил. 8. Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: механические колебания; дополнительные связи; динамическое гашение колебаний; звенья с изменяемым моментом инерции.
DYNAMIC ANALYSIS OF ANGULAR VIBRATION ABSORBER V.G. Grudinin
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The uneven rotation of machine drive leads to internal vibration activity and is accompanied by vibrations. One of the methods to control vibrations is to introduce a dynamic vibration absorber in the system. The article considers a dynamics absorber of a planetary-type with loads, rigidly attached to sattellites. It analyzes the influences of specific parameters on the modes of dynamical absorption of vibrations in the working area of drive angular velocities. The dynamic properties of the angular vibration absorber of the planetary-type with loads are examined. Amplitude-frequency characteristics of the absorber both the function of excitation and angular frequency are provided. The dependences of dynamic absorbing frequency on the driving link angular frequency and absorber design parameters are given. The method of initial parameters is used to calculate dynamic responses in gears. The amplitude-frequency characteristics of dynamic responses in the absorber gear are presented. 8 figures. 5 sources.
Key words: mechanical vibrations; additional constraints; dynamic absorbing of vibrations; links with variable moment of inertia.
О причинах возникновения внутренней виброактивности в машинах и способах снижения виброактивности. Повышение производительности машин приводит к росту динамических нагрузок, увеличению динамических ошибок в законах движения рабочих органов и тем самым вызывает необходимость проведения всестороннего динамического анализа на стадии их проектирования [1]. Причинами возникновения динамических нагрузок могут являться неравномерность вращения приводного двигателя, несинхронность и податливость передачи, переменные рабочие нагрузки, динамические воздействия системы управления.
Привод с карданной передачей является несинхронным. Передача вызывает кинематическое возмущение в машинном агрегате [2]. В системе с карданной передачей возникают параметрические и вынужденные колебания [3]. Задачу управления колебаниями в колебательных механических системах вращательного типа можно решить посредством введения в исходную колебательную систему дополнительных связей [4].
Дополнительные связи могут быть реализованы различными методами. Одним из возможных решений является способ динамического гашения крутильных колебаний, основанный на введении дополнительных связей второго порядка, взаимодействующих с полем инерционных сил.
Введение связи с оператором b(p) = ap2 изменяет характеристику исходной системы как качественно, так и количественно. Во-первых, дополнительная связь понижает частоту резонансных колебаний, и, во-вторых, на частоте ю = юд реализуется антирезонансный режим или режим динамического гашения колебаний. Эти полезные локальные свойства систем с дополнительными инерционными звеньями были положены в основу разработки динамических гасителей колебаний.
1Грудинин Владимир Гарриевич, старший преподаватель кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405146.
Grudinin Vladimir, Senior Lecturer of the Department of Designing and Standardization in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405146.
Введение в расчетную модель инерционных звеньев с массой т2 и моментом инерции J2 (рис. 1) позволяет реализовать в колебательной механической системе вращательного типа дополнительную связь с оператором ь(р) = ар2. В расчетной схеме колебательной системы приняты следующие дополнительные обозначения: J1 - момент инерции входного звена; J2 - момент инерции дополнительного звена; J3 - момент инерции выходного звена; т2 - масса дополнительного звена; <р1 - входное воздействие (кинематическое возмущение); <р2 - выходное воздействие (обобщенная координата); с12 - жесткость упругого элемента; а - расстояние от оси вращения основных звеньев до оси относительного вращения дополнительного звена; г - передаточное отношение между входным звеном и дополнительным.
32; т.
3; т2
Рис. 1. Расчетная схема системы с дополнительной связью второго порядка
Передаточная функция системы
Ж (р) = 1
0/21(1 + 1)р2 + С12
J з + пт 2а2 + п12 (г +1)
2
Р + С12
Ампл итуд но-частотн ая характеристика
где
А(Х) =
1 — аХ
2
а = -
1 — (1 + а)Х2 п121(1 +1)
(1)
(2)
J 3 + пт2а2 + п12 (г +1)
Х=-
ш I_С_12_
Р V Jз + пт2а2 + п12 (г +1)
Вместе с тем, этот гаситель имеет лишь одну строго фиксированную частоту динамического гашения. Изменение частоты гашения колебаний за счет изменения параметров гасителя приводит по существу к полному изменению конструкции гасителя. С целью устранения указанных недостатков на основе того же оригинального способа гашения крутильных колебаний предложен гаситель колебаний с грузами массой т , жестко закрепленными на дополнительных звеньях с массой т2. Схема гасителя колебаний приведена на рис. 2.
ь
М,
32; т
М,
3т Л; т,
Рис. 2. Расчетная схема гасителя с дополнительными массами
ш
т
Передаточная функция системы
г (р)=
_ Ф2(р) _ к2Р2 +®212 + к1с0
Ч>1(Р)
2 2 2 р + °п + ко
(3)
где к1, к2 , а>12 - коэффициенты, определяемые массо-инерционными и геометрическими свойствами системы. Амплитудно-частотная характеристика системы
Л(а) =
со'22 + к 1&0 —к2а2
П2
+ кс2 - с
2
(4)
Анализ амплитудно-частотных характеристик динамического гасителя с грузами. В [5] проведена качественная оценка режимов динамического гашения колебаний гасителем с грузами т, жестко закрепленными на дополнительных звеньях с массой т2.
Вместе с тем, при настройке гасителя и выборе его конструктивных элементов необходимо иметь более детальные сведения о влиянии отдельных параметров на режимы динамического гашения колебаний в рабочей области угловых скоростей привода. Для оценки свойств гасителя рассмотрим выражение амплитудно-частотной характеристики не в функции частоты сов возмущающего воздействия, а в функции угловой частоты а0. При этом следует учесть, что между этими частотами существует зависимость
о в = усоо, (5)
где о0 = ж-п/30 - угловая частота колебаний вала; п - частота колебаний вала в минуту; у - порядок гармоники возмущающего воздействия (число периодов гармоники, укладывающееся в одном обороте вала).
С учетом этого соотношения амплитудно-частотная характеристика гасителя (4) будет иметь вид
лО)=-
+ коп - ку2 о
'12
2,2
1о0
2У
70
2 , , 2 2 2 012 + к1С0 — У о>0
(6)
Приравнивая к нулю числитель, а затем знаменатель (6), получим значения угловой частоты привода, соответствующие режиму динамического гашения колебаний о0д и резонансному режиму о0р :
а0д =
2 012
ку — к7
00д =
2 °12
у2 — к1
(7)
(8)
Из выражений (7) и (8) следует, что при к2 < 1 ю00д > а00р, а при к2 > 1 ю00д < а00р.
При угловой частоте а0, стремящейся к бесконечности, амплитудно-частотные характеристики стремятся к асимптотам, уравнение которых имеет вид
к2У — к1 у2 — к1
(9)
Как видно из выражения (9), при к2 < 1 г < 1, а при к2 > 1 г > 1. Амплитудно-частотные характеристики, соответствующие этим случаям, приведены на рис. 3.
Л(а0)
к2 < 1
Z < 1
Л{а0)
к2 > 1
Z > 1
о
0р
о
0д
о
0д
о
0р
а)
б)
Рис. 3. Зависимость амплитудно-частотной характеристики от параметров гасителя
2
2
2
г =
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
Условие к2 > 1 можно рассматривать как формальное, так как из выражения
к, =-
п |(+ тдЬ2)г +1)2 + т0 а2 + Ь2 (г — 1) — 2аЬ(г — 1)соя а0 "1+73. видно, что к2 всегда меньше единицы. Таким образом, эффективно можно использовать лишь те свойства гасителя, которые определяются амплитудно-частотной характеристикой, показанной на рис. 3, а при к2 < 1.
Амплитудно-частотная характеристика самонастраиваемой системы, инвариантной по отношению к возмущению вида = утО , определяется из уравнения
(10)
л* ш I 2 2
где Х =— , тс =^т]2 + к1т0 ,
тс
с учетом (o]2 = 0 , так как с12 = 0 , и имеет вид
А{т) =
кто — к2У2шо
, 2 2 2 кто —уто
(11)
В этом случае порядок гармоники уд возмущающего воздействия, на которой происходит самонастройка, и порядок гармоники ур , на которой возникает резонансный режим, определяются выражениями
уд =4^1
к1/к2
(12) (13)
ур к1 / к2 .
Разнос частот динамического гашения и резонансных частот в самонастраиваемой системе характеризуется коэффициентом к2 , так как
у рю о = у[к17к~2у то. (14)
Для исследования влияния конструктивных параметров гасителя на его динамические свойства запишем выражения (6) и (12) в развернутом виде:
А(Шо ) =
( 2 2 I с 12 + птоаЬг а>0 соя а0 —
(1о + тоЬ2 )г +1) + тоЬ2 (г — 1) — тоаЬ соя а0 У 2т2 '
(15)
22
\с12 + птоаЬг а>0 соя а0 — [— т + тооЬ2 )г +1)2 + тоо
Ь2(г — 1) — 2аЬ(г — 1)сояаоУ2ш2 + Jуу2Ш '
уд =.
т
пт0аЫ соя а0 (/О + тоЬ2+1) + тоЬ2 (г — 1) — тоаЬ соя ао
(16)
/ о + т0Ь 2 ( +1) + т01
Из выражений (15) и (16) следует, что динамические свойства системы с динамическим гасителем зависят от всех параметров (с12 , J3, JО, г, п, а , Ь , аО, тО), но наибольшее влияние на динамику оказывают конструктивные параметры г, а, Ь . На рис. 4 и 5 приведены кривые А(тО), построенные по выражению (15).
Л(т\
Z = 0,1792 Z = 0,1195 Z = 0,0672
,_г = 4,24 = 4 = 0,92 = 8,15
-- = 3
Рис. 4. Зависимость частоты динамического гашения от угловой скорости т и параметра г
— пг
0,5
и
100
200
300
400
500
ш, сек
А(ш)
= 4,2 4
0 100 200 300 400 ш, сек-1 500
Рис. 5. Зависимость частоты динамического гашения от угловой скорости ш и параметра k0 = a/b
На рис. 6 приведены зависимости значений v , построенные по (16) и отражающие влияние параметров i и
к0 = а/Ь на динамические свойства гасителя при следующих его конструктивных параметрах:
J3 = 1,5 кг ■ м2; n = 8 ; а0 = 0; b = 0,8 ■ 10 2м; J0 = 134 ■ 10~6 кг ■ м2; m0 = 429 ■ 10~6 кг; v = 2; i = 4,24.
с12 = 1 104 Н■ м; а = 7,5■Ю
,-2
м;
a = 7,5 0,33Ь„
К = ^ (i) ь=
Ь = 2,4
к 4,24 ьУ
i =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ''
Рис. 6. Зависимость порядка у гармоники самонастройки гасителя от значений I и Ь
Анализ результатов показывает, что наибольшее влияние на динамические свойства гасителя оказывает соотношение конструктивных параметров а и Ь . Изменение их отношения к0 = а/Ь в пределах 3,75>к0 > 0,94
позволяет обеспечить режим динамического гашения в диапазоне изменения а>0 от 80сек-1 до 500сек_1 и режим самонастройки в инвариантных системах на 1, 2, 3 гармониках несущей круговой частоты. При Ь = 0 система с динамическим гасителем, описанная уравнением
Р>2' + 1 + к1ю0) \р2' = к2Ф1' + ^12 + к1®0 Р , (17),
вырождается в систему, описанную уравнением
+ пт2а2 + ^2( + 1) + + 1)]р2 -^2( + 1Рр1 = с12(Р1 -Р2) (18)
Следует заметить, что возможность эффективного воздействия на динамические свойства гасителя изменением к0 имеет важное практическое значение, так как изменение к0 конструктивно реализуется значительно проще, чем изменение других параметров, например, изменение передаточного отношения I.
Очевидно, что наличие сопротивления в данном гасителе приведет к тем же качественным результатам, что и для гасителя без грузов. То есть амплитудно-частотная характеристика не будет иметь разрыва второго рода (максимум ее будет ограничен) и ярко выраженного эффекта динамического гашения.
Определение динамических усилий в зубчатых зацеплениях динамического гасителя колебаний. В режиме динамического гашения крутильных колебаний в системе с рассматриваемым гасителем угловые перемещения валопровода компенсируются с использованием моментов центробежных сил, приложенных к грузам массой т, жестко закрепленным на дополнительных звеньях с массой т2. При этом воздействие компенсирующей реакции на валопровод осуществляется через зубчатое зацепление.
Поскольку работа гасителя колебаний происходит в динамическом режиме, в зубчатом зацеплении возникают знакопеременные нагрузки, амплитуды которых определяются динамическими свойствами колебательной системы. Большие контактные напряжения приводят к интенсивному износу зубчатого зацепления, что в конечном счете может привести к выходу из строя гасителя колебаний. Таким образом, наряду с решением задачи гашения крутильных колебаний в приводе с помощью динамического гасителя возникает задача обеспечения необходимой прочности зубчатого зацепления гасителя в пределах заданного ресурса работы.
v
3
2
1
Для решения поставленной задачи необходимо знать контактные напряжения, возникающие в зубчатом зацеплении от динамических реакций. Расчет указанных реакций может быть произведен методом начальных параметров. Данный метод в матричной форме позволяет весьма эффективно рассчитать динамические напряжения в искомых сечениях при любых сосредоточенных или распределенных гармонических нагрузках. Метод начальных параметров представляет собой алгоритм, позволяющий при данной частоте колебаний определять значения переменных, переходя от участка к участку рассматриваемой системы, где перемещение или силы отдельных участков связаны условиями закрепления.
Метод этот для линейных систем является универсальным и применяется для расчета колебаний систем, состоящих из ряда участков с различной жесткостью, массой, сосредоточенными грузами и т.п. При этом исследование существенно упрощается с применением матричной символики, так называемых, матриц перехода (матрицы жесткости, масс).
Для нахождения динамических реакций в зубчатом зацеплении гасителя с помощью метода начальных параметров необходимо построить эквивалентную расчетную схему.
Дифференциальное уравнение (17) движения системы с гасителем было получено ранее [5] в виде
р2 + {?12 + к1юО р2 = к2р1 + (®12 + к1юО \>1-
(19)
Уравнение (19) может быть записано иначе:
1 2р2 + к21 ((Р2 -Р1) = 121р1,
(20)
где
к21 = {?12 + к1ю0 • 12 = пЦ + тоЬ2+1)2 + то[а2 + Ь2(г -1)-2аЬ х (г - 1)сояао •.
'2 ; 121 = к212 ;
Уравнению (20) соответствует эквивалентная схема, представленная на рис. 7. Здесь р1 (г) является кинематическим возбуждением от карданной передачи.
мд 2 1
р (*)
3 2
^ г,
2 1 Рис. 7. Эквивалентная расчетная схема
Основное матричное уравнение для схемы, изображенной на рис. 7, может быть записано в виде
а2 = И21Б1 - Б2, (21)
где Б1, Б2 - матрицы-столбцы нагрузки соответственно в сечениях 1 - 1 и 2 - 2 схемы; И21 - матрица перехода от сечения 1 - 1 к сечению 2 - 2; 32 - матрица-столбец параметров колебаний в сечении 2 - 2. Раскрывая последнюю матричную запись, будем иметь
1 к21
1
-412 1
к
А м1
о
мд
Отсюда получим два уравнения:
21
А2 = А1 М1 ;
к21
-®Ъ12А1 +
^ аЪ,1'2
\
к
+1
21
М1 - мд = о.
2
(22)
(23)
(24)
где А1, А2 - амплитуды колебаний системы в сечениях 1 - 1 и 2 - 2 соответственно; юе = 2ю0 - частота возмущающего воздействия; М1 - амплитуда реактивного момента в сечении 1 - 1; Мд = -юЪ12А1 - амплитуда динамической реакции, действующей на массу с приведенным моментом инерции 1'2 .
Знак "минус" в правой части равенства (21) говорит о том, что в матрице нагрузки Б2 присутствует динамическая реакция -юЪ12А1.
Решая совместно уравнение (23) и (24), получаем реакцию в сечении 1 - 1:
м,
к21
(25)
+1
Определив реакцию в сечении 1 - 1 по формуле (25), нетрудно определить амплитуду динамической реакции в зубчатом зацеплении:
ы1 = м1 =
-®ъ321 +ЮЬ>^2 1
к21
+1
— А-1, Г1
(26)
где г1 - радиус делительной окружности зубчатого венца.
По формуле (16) можно построить амплитудно-частотные характеристики при различных значениях амплитуды возмущения Л1. В том случае, если учитываются демпфирующие свойства валопровода, жесткость с21 примет вид с'21 = с21 + ]рЬ21, где Ь21 - коэффициент демпфирования. В этом случае коэффициент к21 - также комплексный.
Для расчета амплитудно-частотных характеристик по динамической реакции в зубчатом зацеплении представим (14) в форме
М1 =-
Г2(1 - к2 %0212 + к1®20 )А1/ Ч
2 ,, 2 2 а12 + к1а() -аъ
(27)
Знаменатель в выражении (27) совпадает со знаменателем характеристики (4). Следовательно, динамическая реакция будет неограниченно возрастать при основном резонансе системы. Из (27) также следует, что Ы1 = 0 только при Л1 = 0. То есть на кривой, соответствующей характеристике (27), отсутствует точка, аналогичная той, при которой Л(т0) = 0. Это объясняется тем, что в режиме динамического гашения колебаний, когда Л(т0) = 0, зубья передачи оказываются загруженными.
На рис. 8 представлено семейство амплитудно-частотных характеристик по динамической реакции на основе формулы (24).
N
= 0,1
= 0,075
в
[|\ в = 0,05
1 1 /
1
1
1
100
200
300 т0, сек-1
Рис. 8. Амплитудно-частотные характеристики по динамической реакции в зубчатом зацеплении динамического
гасителя
Из рис. 8 видно, что в зарезонансной области амплитуда динамической реакции практически остается постоянной. Поскольку основной рабочий режим динамического гасителя осуществляется в окрестности точки, где Л(т0) = 0, то расчет передачи на контактные напряжения необходимо вести на величину Ы1, соответствующую угловой скорости а0д.
Библиографический список
1. Коловский М.З. Динамика машин. М.: Машиностроение, Ленингр. отд-ние, 1989. 263 с.
2. Грудинин В.Г. Кинематика привода с карданной передачей // Вестник ИрГТУ. 2011. №11. С. 20-27.
3. Грудинин В.Г. Динамика привода с карданной передачей // Вестник ИрГТУ. 2011. №12.
4. Грудинин В.Г. Исследование влияния дополнительных связей в колебательных механических системах вращательного типа // Вестник ИрГТУ. 2011. №2. С. 34-40.
5. Грудинин В.Г. Способ динамического гашения крутильных колебаний дополнительными связями второго порядка // Вестник ИрГТУ. 2011. №5. С. 6-15.
0
т
