Выбор частотной области эффективной работы динамического гасителя угловых колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.01:534

ВЫБОР ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ ЭФФЕКТИВНОЙ РАБОТЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ГАСИТЕЛЯ УГЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ

А

© В.Г. Грудинин1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83

Использование динамических гасителей колебаний наиболее эффективно при точной настройке, когда частота внешнего воздействия совпадает с частотой антирезонанса. Рассмотрен способ определения граничных частот гашения угловых колебаний. Гаситель колебаний является упругим соединительным устройством планетарного типа с грузами, жестко закрепленными на сателлитах. Полученные зависимости можно использовать для решения обратной задачи - определения по граничным значениям частот настроечных параметров гасителя колебаний. Приведены передаточная функция и амплитудно-частотная характеристика системы с упругим первичным валом и динамическим гасителем колебаний. Эффективность предложенного способа гашения колебаний проиллюстрирована сравнением амплитудно-частотных характеристик системы с гасителем и амплитудно-частотных характеристик системы без гасителя. Ил. 12. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: механические колебания; дополнительные связи; динамическое гашение колебаний; соединительное устройство планетарного типа; амплитудно-частотная характеристика.

SELECTING FREQUENCY DOMAIN FOR EFFICIENT OPERATION OF DYNAMIC ABSORBER OF ANGULAR VIBRATIONS V.G. Grudinin

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The use of dynamic vibration absorbers is the most efficient at sharp tuning when the frequency of external action coincides with the frequency of antiresonance. The article examines a method to determine the boundary frequencies of angular vibration damping. The vibration absorber is an elastic coupling device of a planetary-type with weights, rigidly mounted to satellites. The obtained dependences can be used for solving the inverse problem of determining the tuning parameters of the absorber by boundary frequency values. The article presents a transfer function and amplitude-frequency characteristics of the system with an elastic main drive shaft and a dynamic vibration absorber. The comparison of the amplitude-frequency characteristics of the system with an absorber and the amplitude-frequency characteristics of the system without an absorber demonstrate the efficiency of the proposed method of vibration damping. 12 figures. 3 sources.

Key words: vibrations; additional couplings; dynamic dumping of vibrations; planetary-type absorbing coupler; amplitude-frequency characteristic.

Движение простейшей колебательной системы вращательного типа с силовыми и кинематическими возмущениями (рис. 1) описывается уравнением вида

J2p2 + €12Р2 = (1)

= €¡291 (t) +M(t) = f(t) , ( '

где f(t) - обобщенное возмущение, pi(t) и M(t) -заданные функции времени.

Введение в расчетную модель инерционных звеньев с массой m2 и моментом инерции J2 (рис. 2) позволяет реализовать в колебательной механической системе вращательного типа дополнительную

связь с оператором L(p) = ap2 .

1 Грудинин Владимир Гарриевич, старший преподаватель кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405146, 89041371795.

Grudinin Vladimir, Senior Lecturer of the Department of Designing and Standardization in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405146, 89041371795.

; т

фа* )

Фг ()

1г; тг

Рис. 2. Расчетная схема системы с дополнительной связью второго порядка

Система работает следующим образом: при изменении скорости ф1 ведущего вала входное звено с моментом инерции J1 поворачивается на угол р} , выходное звено с моментом инерции J3 и водило с закрепленными на нем дополнительными звеньями массой М2 поворачиваются на угол р2 , а дополнительные звенья с моментами инерции J2 поворачиваются в это же время относительно своих осей на угол ¡(р1 -р2), обкатываясь без проскальзывания по входному звену. Направление относительного поворота дополнительных звеньев при условии р1 >р2 будет противоположно направлению поворота входного звена с моментом инерции J1.

В расчетной схеме (рис. 2) колебательной системы приняты следующие обозначения:

Jl - момент инерции входного звена;

J2 - момент инерции дополнительного звена;

J3 - момент инерции выходного звена;

т2 - масса дополнительного звена;

Р1 - входное воздействие (кинематическое возмущение);

Р2 - выходное воздействие (обобщенная координата);

С12 - жесткость упругого элемента;

а - расстояние от оси вращения основных звеньев до оси относительного вращения дополнительного звена;

I - передаточное отношение между входным звеном и дополнительным звеном.

Дифференциальное уравнение движения системы в операторной форме:

Р2 =

_ п12^ + 1)р2 + с12

J3 + пт2а + + п12 ( +1)2

Передаточная функция системы:

-Р1 .

(2)

+ с12

w (р )= ^ + 1)р2 + с12

Jз + пт2а + + п12 ( +1)2

(3)

2

Р + с12

Выражению (3) передаточной функции соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема системы с дополнительной связью второго порядка

Введя в выражение (3) р = ]т , получим частотную функцию

W{]т) = '12 - П-72'(' + *У . (4)

О3 + пт2а2 +

+ п12 ( +1)2

Выражение для амплитудно-частотной характеристики определится как модуль частотной функции (4)

с12-

т

где

а = -

Л(Л) = п121(1 +1)

1 -а-

2

1 -(1 + а)Л2

(5)

Jз + пт2а + п12 ( +1)

Х =

т

с12

Р \ Jз + пт2а2 + п12 ( +1)

Таким образом, наличие жесткой кинематической связи между дополнительными звеньями и входным звеном качественно изменяет структуру системы и приводит к появлению дополнительной прямой связи, пропорциональной второй производной угла относительного поворота валов по времени. Следовательно, реализуется дополнительная связь по относительному ускорению. Подробный анализ динамических свойств гасителя угловых колебаний с динамическими связями второго порядка был проведен в работе [1].

К вопросу о выборе частотной области эффективной работы динамического гасителя колебаний. Использование динамических гасителей колебаний, как известно, наиболее эффективно при точной настройке, когда частота внешнего воздействия совпадает с частотой антирезонанса. В ряде практических случаев представляет интерес настройка гасителя с некоторой точностью с определением границ области частот, в которой выполняется условие

Л(т)< Л(т)р, (6)

где Л(т) - текущее значение коэффициента передачи амплитуды колебаний; Л(т)гр - некоторая норма

т

А((о)гр < 1.

Для вывода необходимых соотношений воспользуемся выражением (5), откуда после ряда преобразований получим частотное уравнение

A2 - 2A2 (1 + а)!2 + A2(l + а)2!4 = = 1 - 2а!2 + а2!4

(7)

Уравнение (7) определяет границы области Х1 и X2, внутри которой выполняется условие (6). Из уравнения (7) следует также, что значения Х1 и Х2 могут быть найдены по формулам

2 _ A2(l + а)-а + A

! =

A2 (1 + а)2 -

а

2 _ A2(l + а)-а-A 2 A2 (l + а)2-а2

(8)

(9)

Исследование граничных случаев показывает, что при предельном значении коэффициента передачи амплитуды, когда А(о)гр = 1, X определяется выражением

2

1 + 2а

(10)

а при AZp =

а

1 + а ! =

1 + 2а

I / ч. (11)

2а(1 + а)

Верхняя граница области Х2 = ж. Таким образом, X и Х2 существуют при значениях коэффициента А{(о) < А(о) < 1. На рис. 4 приведены зависимости

х(л ) л2(л )

I \ гр/ и ^ гр/, которые определяют нижнюю и верхнюю границы области эффективной работы в общем случае. Отметим, что нижняя граница существует всегда, а верхняя неограниченно возрастает

1Л1(Агр )^<х> пРи Агр

1 + а

а = 8 а = 5 а = 3 а = 1 а = 0,8 а = 0,5 а = 0,4 а = 0,3 а = 0,2 а = 0,1

Рис. 4. Границы областей эффективной работы гасителей

Необходимые для определения границ частотной области значения X и X могут быть найдены как

точки пересечения кривых !1(лгр) и !2(Лгр) с прямой, параллельной оси ординат и соответствующей некоторому заданному постоянному значению АРП = const < 1 при фиксированном значении а . С ро-

гР

стом агр границы эффективной работы расширяются.

При рассмотрении случая кинематического возмущения, вызванного работой карданной передачи [2], отметим, что частота внешнего воздействия а>е связана с угловой скоростью вала зависимостью

®е = 2а0 . (12)

Последнее уравнение дает возможность найти точки входа и выхода скорости гасителя из области эффективной работы гасителя. Для этого необходимо построить зависимость лх(а>0), где а! = !2 -!1 при

фиксированных Агр и а , а также тв =тв(а>0), представляющую собой прямую с углом наклона а = arctg 2. На рис. 5 приведены соответствующие построения: зоны эффективной работы представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс, заштрихованные области соответствуют областям частот, при которых возможно гашение с точностью до Arp. Зависимость а>д от а>0 является линией, параллельной оси абсцисс, а ее ордината зависит от а (пд =V 1/а) . Точки пересечения границ заштрихованной области и графика юв=юв(ю0) определяют соответствующие скорости вращения вала, на которых работает гаситель.

Учет сил сопротивления несколько усложняет расчеты. Полагая, что силы сопротивления учтены коэффициентом r, найдем формулы для определения границ I1 и Х2:

r2 (1 - A2)- 2а +

'■{1 - A2 )-+ 2 A2 (1 + а) +

I

4A2 + r4 (1 - A2 f +

2(

-а

+ r2 (1 - A К(1 + а)-

A2 (1 + а)2 — 2

a2

(13)

а) -а - 2а +

- A2) + 2 A2 (1 +а)-

I

4 A2 + r4 (1 -

(1 - a2)2

+ r^ 1 - Л2 P (1 + *>-'

A2(1 + а)2 -

(14)

а

Их анализ показывает, что нижней границей для коэффициента передачи амплитуды колебаний является минимум амплитудно-частотной характеристики.

Условие настройки динамического гасителя может быть в этом случае записано в виде

+

0,5

1,0

1,5

2,0

Л(т)т,п < Л(т)гр <1. (15)

На рис. 5 приведено семейство областей при различных сочетаниях параметров.

Отметим, что силы сопротивления могут существенно сузить область частот эффективной настройки. Особенностью областей эффективной работы является то, что при Л(т)гр = Л(т)п1пп границами обла-

являются = 0 и Х2 =<» ,

при

сти

Л(т)гр <Л(т)тп динамический гаситель неэффективен. Определение точек входа и выхода в области при изменении угловой скорости производится таким же образом, как и без учета сил сопротивления.

Полученные формулы можно использовать также для определения по величинам АХ , 11 и Лр

настроечных параметров гасителя колебаний, то есть для решения обратной задачи.

Влияние упругих свойств первичного вала на динамику колебательной системы с динамическим гасителем колебаний. Динамические характеристики жесткой механической системы с гасителем колебаний планетарного типа были подробно рассмотрены в работе [3]. Прежде чем перейти к изучению влияния упругости первичного вала на колебательную систему с гасителем колебаний, рассмотрим менее сложную расчетную схему. На рис. 6 приведена расчетная схема колебательной системы с упругой муфтой и упругим валом, в которой введены следующие дополнительные обозначения:

Ь12 - коэффициент сопротивления упругого элемента;

с01 - жесткость первичного вала.

А(т)

А = 0,1

а = 10 а = 8 / а = 5

!а

17

—/-

.......\ /

т-

а = з ! а = 1/ 1

а х = 1 0,8

0

тХ тХ,

Рис. 5. Зоны скорости вращения вала в области эффективной работы гасителя колебаний

Фг 0 )

Рис. 6. Расчетная схема системы с упругой муфтой и упругим валом

Дифференциальное уравнение движения системы составим в форме уравнения Лагранжа II рода

Л

дТ

дТ

=о(р),

(16)

др2) дР2 где 0рр) - обобщенные силы.

Кинетическая энергия системы определяется выражением

т = ^3р2

(17)

(18)

(19)

а обобщенные силы

0(Р2) = -с12(Р2-р1)-Ь12(р2-р1) ;

0(р1 ) = -с01(Р1 -Р1)+

+ с12 (Р2-р1)-Ь12 (р2-р1) После подстановки выражений (17) и (18) в (16) получим систему уравнений

3р2 = -с 12 (Р2 -р1)-- Ь12 (р2 -р1 )> 0 = -с01 (р1 -Р1) + + с12 (Р2 -р1) - Ь12 (р2 -р1). Таким образом, движение системы (см. рис. 6) описывается одним уравнением второго порядка и одним первого, или одним уравнением третьего порядка. Иногда ее называют системой с полутора степенями свободы. Этот термин появился по аналогии с тем, что системе с одной степенью свободы соответствует дифференциальное уравнение второго порядка, системе с двумя степенями свободы - два уравнения второго порядка или одного - четвертого, а следовательно, уравнение третьего порядка соответствует системе с полутора степенями свободы.

Системе уравнений (19) соответствует структурная схема, показанная на рис. 7.

Рис. 7. Структурная схема системы с упругим валом и упругой муфтой

т

Исходя из структурной схемы, находим передаточную функцию:

W (р) =_^2 + Ь12^>_.

J3P2 (с01 + c12 + Ь12Р) +

+ с01(с12 + ь12р)

После преобразований получим

W (p) =

2kp +1

2кр3 +(1 + г ) p2 + + 2kp +1

(20)

где

Ь,

J7

■ = ю2с = 1, 2к = ь12 , г = с12

Jэ

С01

Взяв модуль частотной функции, полученной из выражения (20), найдем амплитудно-частотную характеристику:

а(ю) =

1+4к2ю2

1 -(1 + г )а2 ^ + + 4к2ю2 (1 + гю2 )2

(21)

Сравнивая выражение (21) с модулем передаточной функции

А И=

1 + 4к 2ю2

Ц1 -ю2 )2 + 4к 2ю2

(22)

обычной колебательной системы без упругого первичного вала, можно найти, что Л(а>)<А^ю) при а>а1, причем

ю =

8к2 - г - 2 +

+ ^к2 - г - 2) + 32к2г

■¡вк2

. (23)

Анализ этого выражения показывает, что при г >(8к2-1)/(8к2 +1) введение дополнительного упругого элемента расширяет область эффективной работы колебательной системы. На рис. 8 представлено семейство амплитудно-частотных характеристик при к = 0,5 и различных значениях г . Характер кривых показывает, что с увеличением г свойства колебательной системы с упругим валом улучшаются, но при этом увеличивается резонансный коэффициент динамичности.

Усложним расчетную схему (см. рис. 6), введя в систему дополнительные звенья с массой т2 и моментом J2, как показано на рис. 9, полагая при этом, что J1 = 0 .

Кинетическая энергия такой системы определяется выражением

т 1 т -2 , 1 2 ,

т =~ J 3Р2 +~ пт2а +

+ 1п12[р2 + '(р2 -р1)}

(24)

2

а обобщенные силы - выражениями (18).

А(ю)

г = 2 кг = 1 к = 0,5

Л г = 0,5 г = 0,1

1

2

3 ю

Рис. 8. Амплитудно-частотные характеристики системы с упругим валом и упругой муфтой

, т

^2» т2

Рис. 9. Расчетная схема системы с упругим первичным валом и динамическим гасителем колебаний

Дифференциальные уравнения системы имеют

вид

Jз + пт2а2 + пЛ2 ( +1)^2 + + ^2 ( + 1\ф2 -Ф1) = = -с12((Р2 -р)-ь12(р2 - р1) Я = С01 (Р1 -Р1)+ \ (25)

+ с12(Р2 -р1)--ь12(р2 -р1)-- ^212 (/ + ^ -р2 )

Уравнениям (25) соответствует система с двумя степенями свободы (два уравнения второго порядка). Если сравнивать системы уравнений (25) и (19), то можно отметить, что учет упругости первичного вала в системе без гасителя приводит к увеличению числа степеней свободы на 1/2, а в системе с дополнительными связями второго порядка - на 1. Уравнениям (25) соответствует структурная схема, показанная на рис. 10.

2

1

и

г

Л ( р)

с12 + ьп р

и1г1(I +1)р2

Ь12 Р

С12

1

' /3 + ПШ2Я 2 2

+ п1г (г +1)2 )

(Р)

с

01

Рис. 10. Структурная схема системы с упругим первичным валом и динамическим гасителем

колебаний

Согласно структурной схеме (см. рис. 10), передаточная функция системы принимает выражение

Для анализа выражения (27) упростим его, положив к = 0 и о0 = 1. Тогда

Ж (р ) =

С01

Ш212 ( + 1)Р2 + С12 + ЬПР

(26)

С01 <

+

33 + пт2а2 + п32( +1) р2 +| + п3212 ( +1)р2 + С12 + ьпр 33 + пт2а2 + п12 ( +1) х р2 п12^2( +1)Р2 + С12 + ьпр

■ +

а амплитудно-частотная характеристика

А(оо) =

02р -ао2)+ 4к2о2

2 22) 2 [ар -а°2

(Ор-ао -о )— о —-—--г

( 2 2)

(Ор -ао )

ог

,(27)

+4к2о2

( г ^2 , г 2 1--(О

V ог J

где г =

С12 С01

(0

С12

\ п32( +1)+ пт2а2 + 3з

2к =

ь

12

п12 (' +1)+ пт 2а2 + 3 з

А(а) =

1 -ао

2

1 + аго - (1 + а + г о

(28)

Из анализа выражения (28) видно, что при од = у/1/а это выражение обращается в нуль (А(о) = 0), а при

01 =

1 + а + г - д/(7 + а + г )2 - 4аг

2аг

(29)

Ю2 =

1

1 + а + г +

+ ^(1 + а + г)2 - 4аг

2аг

(30)

неограниченно возрастает амплитуда (А(ю) = ж).

Таким образом, амплитудно-частотная характеристика системы с гасителем колебаний и упругим первичным валом имеет один минимум и два максимума, причем минимум расположен между максимумами и частота его совпадает с соответствующей частотой для системы с одной степенью свободы. Качественно такая характеристика напоминает характеристику известной системы с двумя степенями свободы с динамическим гасителем колебаний, у которой минимум также располагается между двумя максимумами, только там этот эффект наблюдается на промежуточной массе, здесь - на последней массе.

и

+

А(ю)

7

Г =

6

5

4

3

2

1

О

1 2 3 4 5 6 Ю

Рис. 11. Амплитудно-частотные характеристики системы с упругим первичным валом и динамическим гасителем колебаний (сплошные линии) и без гасителя (пунктирные линии)

На рис. 11 показаны амплитудно-частотные характеристики системы с упругим первичным валом с гасителем (сплошная линия) и без него (пунктирная линия), рассчитанные по формулам (27) и (21) при к = 0,1, а = 0,5 и различных значениях г . Как видно из графиков, при определенных значениях ю = ю2 имеет место минимум коэффициента динамичности. Величина ю2 мало зависит от величины г и уменьшается с ростом а (рис. 12).

По сравнению с системой с одной степенью свободы, в системе (см. рис. 9) не происходит "запирания" на высоких частотах. А если сравнивать системы с гасителем колебаний (см. рис. 9) и без гасителя (см. рис. 6), то первая в некотором диапазоне частот имеет существенное преимущество. Границы этого диапазона могут быть определены приравниванием выраже-

ний (21) и (27). Тогда получим

4а2 (1 + а + г )2 +

+ 8а3 (1 + 2г )

у/2а(1 + 2г )

> ю >

>

(31)

4а2 (1 + а + г )2 +

+ 8 а3 (1 + 2г )

72а(1 + 2г )

Следовательно, в диапазоне частот ю = ю1..ю2 устройство с гасителем эффективнее снижает амплитуду колебаний.

Библиографический список

1. Грудинин В.Г. Исследование влияния дополнительных чей // Вестник ИрГТУ. 2011. № 11. С. 20-27.

связей в колебательных механических системах вращатель- 3. Грудинин В.Г. Способ динамического гашения крутильных ного типа // Вестник ИрГТУ. 2011. № 2. С. 34-40. колебаний дополнительными связями второго порядка //

2. Грудинин В.Г. Кинематика привода с карданной переда- Вестник ИрГТУ. 2011. № 5. С. 6-15.