Динамика привода с карданной передачей Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.01:534

ДИНАМИКА ПРИВОДА С КАРДАННОЙ ПЕРЕДАЧЕЙ

А

В.Г.Грудинин1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Приведена расчетная схема привода с карданной передачей. Составлены дифференциальные уравнения движения. Система уравнений приведена к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с периодическим коэффициентом - уравнению Матье-Хилла. Выбрана оптимальная математическая модель привода. Предложен способ гашения крутильных колебаний на основе введения дополнительных связей. Предложена конструктивная реализация гасителя на основе соединительного устройства планетарного типа. Ил. 3. Библиогр. 8 назв.

Ключевые слова: механическая система; машинный агрегат; механическая передача; карданная передача; неравномерность вращения; гаситель угловых вибраций.

CARDAN DRIVE DYNAMICS V.G. Grudinin

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article presents a design diagram of a cardan drive. Differential equations of motion are composed. The system of equations is reduced to an inhomogeneous 2nd-order differential equation with a periodic coefficient, i.e. a Mathieu-Hill equation. An optimal mathematical model of a drive is chosen. The aythor proposes a method for damping torsional vibrations based on the introduction of additional joints, and a constructive implementation of the absorber on the basis of the connecting device of a planetary type. 3 figures. 8 sources.

Key words: mechanical system; mechanical unit; mechanical transmission; driveline shunt; irregularity of rotation; angular vibration damper.

В работе приняты следующие обозначения: А - амплитуда колебаний i -го звена механизма; B - карданный шарнир; в - шарнир, соединяющий валы Ц и D; c - коэффициент жесткости i -го участка привода, Н/м; с - приведенный коэффициент жесткости механизма, Н/м; Ц - карданный вал; Ц и

Ц+1 - ведущий и ведомый карданные валы; e - по-

i

датливость i -го участка привода, м/Н; F , F - ведомая и ведущая карданные вилки на валу Ц; J -

2

приведенный момент инерции, кг-м ; J. - приведен-

2

ный момент инерции i -го звена механизма, кг-м ; iii+1

- передаточное отношение между i и i + 1 звеньями механизма; m - масса i -го звена механизма, кг;

Р1М - плоскость, проходящая через оси валов Ц и Ц и называемая плоскостью передачи для данных валов; рF) - плоскость карданной вилки F ; -острый угол между осями валов в плоскости передачи, рад; Pt - угол между соседними плоскостями передач Р..+1 и Pt+lt+2; yt - угол между плоскостями карданных вилок на валу Ц , рад; £. - угловое уско-

1-

Грудинин Владимир Гарриевич, старший преподаватель кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405146, 89041371795.

Grudinin Vladimir, Senior Lecturer of the Department of Design and Standardization in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405146, 89041371795.

2

рение вала Д , рад/с ; Щ - угол поворота вала в выбранной системе отсчёта, рад; \ - фазовый угол карданного шарнира в (угол между плоскостью ведущей вилки Р^^ ^ и плоскостью Ри+1); Щ - угловая скорость вала Д , рад/с.

Уравнения динамики привода с упругой карданной передачей. Методы их анализа. Приводы с карданной передачей имеют широкое применение. Кинематическая схема карданной передачи приведена на рис. 1.

Ф Ъ D. щ

а

'я,я+1

Б

Рис.1. Схема пространственной поликарданной передачи

Основное достоинство карданной передачи - возможность передачи вращения между несоосными ва-

В D .,

J.J+1 n n+1

лами. Существенным недостатком передачи является несинхронность вращения валов. Основные соотношения между кинематическими параметрами звеньев карданных передач рассмотрены в [1]. При оптимальном выборе фазовых углов можно значительно снизить неравномерность вращения, а при неоптимальном - неравномерность будет возрастать. При определенном соотношении этих параметров можно обеспечить минимальную неравномерность вращения, то есть осуществить приближенно синхронную передачу. В реально существующих конструкциях не всегда удаётся создать привод с оптимальной кинематикой и, в частности, реализовать условие, позволяющее привести карданную передачу к передаче равных угловых скоростей. В этих случаях для уменьшения модуляции круговой частоты вращения рабочего органа машины (например, ротора генератора) вводят в приводы гасители колебаний. Анализ динамики привода с карданной передачей необходим для получения математической модели привода и последующего выбора типа и параметров гасителя колебаний.

В качестве исходной модели рассмотрим динамическую систему, эквивалентная расчетная схема которой приведена на рис. 2.

M

_М

С23

"Ъф^} ,3 )

J J J2 Я>г Фз I—

p,

Рис. 2. Расчетная схема привода

В схеме приняты следующие обозначения: 3 -момент инерции ДВС; 3 - суммарный момент инерции валов и шарниров карданной передачи; 3 - момент инерции ротора синхронного генератора; с12 -суммарная жесткость карданной передачи; с23 - жесткость упругой муфты; р, р2, р - угловые перемещения соответствующих звеньев привода.

Из кинематического анализа карданной передачи известно, что зависимость между углом поворота рп+1 выходного вала и углом поворота р входного вала карданной передачи определяется в общем случае соотношением

= p + am sin 2p + Ъл eos 2p,

(1)

где ап1, йп1 - постоянные коэффициенты, определяемые геометрией карданной передачи.

При составлении уравнения движения привода приняты следующие допущения: на ведущем и ведомом валах привода сосредоточены массы с постоянными моментами инерции 3 и 3 , массы валов и шарниров карданной передачи пренебрежимо малы

(3 = о), движущий момент Мдв и момент сил сопротивления Мс приложены к массам с моментами инерции 3 и 3, соответственно зависимость между углами р2 и р определяется усеченной формулой

p2 =9 + a sin2^.

(2)

Кинетическая энергия Т и потенциальная энергия П рассматриваемой системы определяются выражениями

Т =1 Jip2 +1J Ж--

П = 1 СЛ<р2-Vi )2 +1 с2з(фз )2-

(3)

Используя эти выражения в уравнениях Лагранжа второго рода, получим уравнения движения системы

Jp р + с23 (i + 2a eos 2р )pj =

= M„в + c23(i + 2aieos2Pi )Рз -

- с23a sin2p + 2a2 x x(c12 + c23)sin2p • eos2p,

J3% + C23P3 =

(4)

3 3 23 3

= M + с23(i + a sin 2 p). Обозначив p3 - p = x , приведем систему уравнений (4) к уравнению

x + 2с23 Jl + J (i + a eos 2 p )x =

Ji •J3

J, М - JM

,_í—с-3—„в м +

J • J „в

Ji • J3

(5)

( J, + J,

+ a,

23 J • J

Ji • J3

- 2a ^^^

iJ

eos 2

sin 2 p.

Переходя в уравнении (5) к независимой переменной р , имея в виду, что р =®0&, и вводя дополнительные обозначения

3 + 3,

а = 2с„,

J\ * JЪ * ®0

J + J3 . „ q = с2 a-; A = 2a1

J, • 3 3

2a2 (ci2 + C23)

получим

d2 x

+ (a + 2q • eos 2 p )x =

d p M M

J3 (O0 J\ ®0

(6)

+ (q - A eos 2 p )sin 2 p.

с

+

Таким образом, система дифференциальных уравнений (4) движения привода приведена к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (6) второго порядка с периодическим коэффициентом - к стандартной форме уравнения Матье-Хилла.

Анализ уравнения (6) показывает, что в системе с упругой карданной передачей возникают параметрические и вынужденные колебания.

Решение уравнения (6) в общем виде довольно громоздко. Подробный анализ этого уравнения с определением условий устойчивости может быть выполнен с помощью стандартных диаграмм по методике, предложенной Кожевниковым С.Н., Перфильевым П.Д. [2] при исследовании крутильных колебаний в приводе с поликарданной передачей.

В [3] было показано, что в инженерных расчетах, когда необходимо отыскать решения нерезонансных зон, можно ограничиться приближенными методами решений. Если работа привода происходит в нерезонансных зонах, то движение привода можно выразить уравнением с постоянными коэффициентами

d2x M

—- + ах =——

dq>2 J3 ю0

M

. Дв J1°0

(q - A cos 2p )sin 2p.

(7)

Анализ численных решений дифференциальных уравнений для разных вариантов приводов электроустановок свидетельствует, что замена уравнения (6) формулой (7) допустима при выполнении следующих условий:

\р + 2г| > 0,1; \р + 2г +1 > 0,1; \р + 2г ± 2| > 0,1;

\Р + 2г + ±к\\> 0,1; \р + 2г +1 ± к\> 0,1,

где р = a -

(a - l)g

2(a -1)-g2 ' m = 0, 1, 2, 3, ...; r =..., - 2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

s=

о

В этом случае погрешность решений составляет не более 2% и показывает, что динамические нагрузки, возникающие в результате параметрических колебаний в приводе, несущественны, и в практических расчетах ими можно пренебречь.

Вместе с тем, методы решения уравнений типа (6) имеют один существенный недостаток - они не позволяют в явном виде получить значение амплитуды колебаний координаты щ и построить амплитудно-частотную характеристику, следовательно, определить допустимые области значений частот возмущающих воздействий, а также учесть взаимодействие рабочей части колебательной системы (координата <р3) и источника энергии (координата р ).

Этот недостаток можно исключить, воспользовавшись для решения уравнений (4) методом, изложенным в [4]. При этом уравнения (4) необходимо записать в форме, содержащей малый параметр, и привести их к стандартному виду. Для упрощения записей заменим переменные р и р в уравнениях (4) на р и х (< = р; р = х). Поскольку нас интересуют режимы

движения, близкие к стационарным, то целесообразно представить моменты Мдв и Мс в виде

Мдв = Мдв(р) и Мс = Мс (р), приведя к валу ДВС.

Одновременно, пренебрегая в уравнениях (4) членами, содержащими в качестве сомножителей (моментами упругих сил от неравномерности вращения вала ДВС), запишем их в форме, содержащей малый параметр:

x + о2x = s(g sin p - hx),

M pp ) + р = s + gj (1 + 2a cos2p)-- g sin 2 р

(8)

где s - малый положительный параметр,

о2 = ; s-g = ^

u23

s-g1 =-2i;

s-g=■

J,

s-h = P;

J

- M pp ) =

J3Mдв {ф) + JMс (р)

JJ

где hx для рассмотрения в общем случае - дополнительно введенная линейная сила сопротивления (в нашем случае р = 0).

При s = 0 уравнения (8) описывают гармонические колебания и вращение с постоянной угловой частотой dp/dt = const. При s ф 0 будем иметь процесс, близкий к гармоническому. Поэтому запишем искомое решение в виде

x = Acos(2p + в); dx / dt =-A sin(2p + 6);

2dp / dt = p.

(9)

Применяя далее известный формализм [4], приводим уравнения(8)к стандартной форме

М (р) +

+ А^ (1 + 2а 008 2р)>

х 008(2 р + в)~

dp s dp 6

- g sin2 p

2s

Ah о sin(2p + 6) + + g sin2 p

d6 dp

2s

dA___

dp op x sin(2 p + 6), 1

a--x

Ao

Ah о sin(2p + 6) + + g sin 2 p

x cos (2 p + 6). (10)

Здесь sa=o-p - разность частот, считающаяся

малой, а производные

dp dA d6

, —, — являются мед-

dp dt dt

s

о

x

ленно изменяющимися функциями. В целом система (10) эквивалентна системам уравнений (8) или (4).

По методу теории возмущений Боголюбова Н.Н. [5], разработанному для уравнений, приводящихся к стандартной форме, приближенное решение системы (10) отыскиваем в виде

p = Q + sE¡ (p, Q, a, g), A = a + sE2 (р, Q, a, g), O=g + sE3 (р, Q, a,g),

(11)

где е-Е , е- Е, £'Е - малые периодические функции р.

Для определения значений О, а, % в первом приближении усредненные по р уравнения (11) запишем в виде

йО 2е йр яО

ш (о)+

+ Аg1 (1 + 2а соб 2р)-■ соб(2р + %)- g Бш2р

XJ<

о

dp,

da 2е

¿n

X J<

0

dp noOQ

Ahosin(2p + g)+

+ g sin2p

x sin(¿p + g)

dg 2s s

— = —а--x

dp Q nooaQ

ahm sin(¿p + g) +

+ g sin2p _

x cos(2p + g)

dp,

2П

x к

о

dp.

(12)

После выполнения операции усреднения эти уравнения примут вид

dQ = 7s M(Q) + 2aga ■ cos g], dp Q

da 2s r i

— = — [g cosg+ aho] dp oQ

dd 2s f g . „ , — = —I а+^— sing I. dp Q ^ 2oa

(13)

Учитывая условия существования стационарных режимов

dQ da dO dp dp dp

получим из уравнений (13)

M (q)+2aga ■ cos g = 0,

g cosg + aho = 0, g

а + sing = 0. 2oa

(14)

Из уравнений (14) находим основные параметры колебаний: коэффициент передачи амплитуды колебаний, фазу колебаний, а также уравнение частот

v{Y)=g =

1

Ai 2y¡ (1 -y) +v

2(1 - y)

g = arctg —-'- ,

jmда(р)-JM c (ф)

aJ3

(1 -y)2

= 0.

(15)

(16) .(17)

О П , р Здесь принято у = —; у = — ; п = —.

со со 33

Полученные выражения (15), (16), (17) позволяют провести анализ стационарных режимов работы и улучшить динамические свойства привода путём выбора рациональных параметров карданной передачи.

В реально существующих конструкциях не всегда удаётся создать привод с оптимальной кинематикой и, в частности, реализовать условие, позволяющее привести карданную передачу к передаче равных угловых скоростей. В этих случаях для уменьшения модуляции круговой частоты вращения рабочего органа машины (например, ротора генератора) вводят в приводы гасители колебаний.

Выбор оптимальной математической модели привода. Для повышения эффективности аналитического исследования динамики привода с гасителем колебаний и выбора оптимальных параметров гасителя важно иметь простую математическую модель привода. Учитывая, что основным видом возмущения в системе является периодическая сила, формируемая неравномерностью вращения карданной передачи и создающая динамические нагрузки, в десятки раз превышающая нагрузки от других факторов (например, от неравномерности вращения вала ДВС), можно упростить систему уравнений (4), считая угловую скорость вращения двигателя постоянной. При этом переменная составляющая угла будет равна нулю, угол р = С и уравнения (4) примут вид

- с23 (1 + 2a cos 2o01 )p3 =

= Mд. - C23a1sin200t

J3 Фъ + C 23pp 3 =

=Мс + с23 (1 + a sin 2o01). где o - угловая скорость вала ДВС.

(18)

V

V

X

X

Таким образом, второе уравнение системы становится независимым. При аналитических исследованиях оно должно быть дополнено параметрами динамической модели упругого соединительного устройства, выполняющего функцию гасителя колебаний. Для привода неограниченной мощности (МДв >>М) можно исключить из рассмотрения пренебрежимо малый момент сопротивления Мс. С учетом уравнения (2) можно записать зависимость угла поворота ведомого звена соединительного устройства от угла поворота ведущего звена в виде уравнения простейшей колебательной системы вращательного типа с силовым и кинематическим возмущениями (1) [6]:

33ф3 (0 + С2зРз () = С2<<2 (0 + М(О ■

(19)

Кинематическим возмущением является неравномерность вращения выходного вала карданной передачи.

Выполнив преобразование Лапласа, получим

р= С2р2 + М(р) . (20)

3 з р 2 + С23

При отсутствии силового возмущения м(р) = 0 передаточная функция механической системы будет

Ъ (р) =

рз(Р) .

р.

(р) 3 р 2 + С2

(21)

Введение в систему дополнительного инерционного звена приведет к появлению дополнительной связи типа ь(р) = ар2 ■

Введение дополнительной связи изменит динамику системы. Передаточная функция системы с дополнительной связью примет вид

2

ъ(р)=(/ ар)+ С2; ■ (22)

(33 + а)р + С2з

Конструктивно введение дополнительной инерционной связи в привод с карданной передачей можно выполнить в виде соединительного устройства плане-

тарного типа с дополнительными массами на сателлитах [7]. Конструктивная схема гасителя колебаний приведена на рис. 3.

. /Г7

на1р / ■ ^

М

Рис.3. Гаситель угловых колебаний

Гаситель угловых колебаний содержит неподвижно закрепляемую на валу полумуфту 2 с зубчатым венцом, свободно устанавливаемый на валу 1 соосно с последним диск 4 со ступицей 5 и отверстиями 6, упругий элемент 7, связывающий диск 4 с полумуфтой 2, шестерни 8 с радиальными пазами 9 для размещения грузов 10, установленные в отверстиях диска 6, установленную на ступице подвижно в осевом направлении шайбу 11, кинематически связанную с грузами 10 и задатчиком 12 положения.

При колебаниях скорости вращения или момента нагрузки на диске 4 деформируется упругий элемент 7, диск 4 поворачивается относительно полумуфты 2, при этом шестерни 8 с грузами 10 смещаются по зубчатому венцу 3 относительно исходного положения и появляется колебательная составляющая момента, направленная на подавление угловых колебаний вала.

Частота настройки гасителя определяется положением грузов 10 относительно осей вращения шестерен 8 и регулируется изменением положения кинематически связанной с грузами 10 шайбы 11 с помощью задатчика положения 12■

Применение такого устройства позволяет осуществлять динамическое гашение крутильных колебаний в широком диапазоне частот [8].

Библиографический список

1. Грудинин В.Г. Кинематика привода с карданной передачей // Вестник ИрГТУ. 2011 ■ № 11(58). С.20-27.

2. Кожевников С.Н., Перфильев П.Д. Исследование крутильных колебаний в приводе с поликарданной передачей // Теория механизмов и машин Харьков, 1974. Вып. 16. С. 32 - 39^

3^ Грудинин Г.В., Перфильев П.Д. Кинематический анализ карданной передачи электроустановки, работающей от двигателя автомобиля // Механика и процессы управления■ Иркутск: ИПИ, 1975. Вып. 2.

4^ Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М.: Наука, 1964. С. 254.

Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963. 410 с.

Грудинин В.Г. Исследование влияния дополнительных связей в колебательных механических системах вращательного типа // Вестник ИрГТУ^ 2011. № 2(49). С. 34-40^ 7^ Авторское свидетельство на изобретение № 1421910 "Гаситель угловых колебаний"/ Авторы: Грудинин В.Г., Грудинин Г.В., Самбарова А.Н.

8^ Грудинин В.Г. Способ динамического гашения крутильных колебаний дополнительными связями второго порядка // Вестник ИрГТУ^ 2011. №5(52). С. 6-15^

п

4

5

С

23