CC BY
26
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. Сообщения
УДК 62-182.74
Т.С. Романович
РОМАНОВИЧ ТАТЬЯНА СЕРГЕЕВНА - инженер по эксплуатации воздушных судов, e-mail: 1292000@mail.ru
Арсеньевская авиационная компания «Прогресс» им. Н.И. Сазыкина Площадь Ленина, 5, г. Арсеньев, Приморский край, 692335
К вопросу построения математических моделей привода вертолета Ми-34
Аннотация: Настоящая работа обозначает начальные ориентиры для последующего решения интересной технической задачи и развития перспективного исследования по стабилизации движения вертолета. Обсуждаются вопросы целесообразности возрождения производства легкого многоцелевого вертолета Ми-34. В новом варианте вертолета предусмотрена замена штатного бензинового двигателя на дизельный. Рассмотрены основные принципы построения математических моделей привода с карданной передачей. Представлены расчетная схема привода, а также дифференциальные уравнения движения. Предложены способ гашения виртуальных колебаний на основе введения дополнительных связей, а также конструктивная реализация гасителя на основе соединительного устройства планетарного типа.
Ключевые слова: математическая модель, привод, механическая система, динамическая система. Введение
В работе приняты следующие обозначения:
Ai - амплитуда колебаний i-го звена механизма;
Bi - карданный шарнир;
B1 - шарнир, соединяющий валы D1 и D2;
ci - коэффициент жесткости i-го участка привода, Н/м;
с - приведенный коэффициент жесткости механизма, Н/м;
Di - карданный вал; D1 и Di+1 - ведущий и ведомый карданные валы;
ei - податливость i-го участка привода, м/Н;
Fi , F- - ведомая и ведущая карданные в^лки на валу Di;
J0 - приведенный момент инерции, кг-м ;
Ji - приведенный момент инерции i-го звена механизма, кг-м ;
i i, i+1 - передаточное отношение между i и i +1 звеньями механизма;
mi - масса i-го звена механизма, кг;
Pi, i+1 - плоскость, проходящая через оси валов Di и Di+1, называемая плоскостью передачи для данных валов;
P(Fi) - плоскость карданной вилки Fi;
ai, i+1 - острый угол между осями валов в плоскости передачи, рад; Pi - угол между соседними плоскостями передач Pi, i+1 и Pi+1, i+2; Yi - угол между плоскостями кардан^к вилок на валу D^ рад; si - угловое ускорение вала Di, рад/с ; ф; - угол поворота вала в выбранной системе отсчета, рад;
^i - фазовый угол карданного шарнира Bi (угол между плоскостью ведущей вилки Р (Fi) и плоскостью Pi, i+1);
roi - угловая скорость вала D;, рад/с.
© Романович Т.С., 2016
Научные руководители: Ю.П. Денисенко, управляющий директор ПАО ААК «Прогресс», О.Ш. Бердиев, заместитель директора филиала ДВФУ в г. Арсеньеве по НИР и развитию.
В настоящее время подготовка отечественных вертолетчиков ведется в основном на летательных аппаратах зарубежного производства. Между тем еще недавно Арсеньевская авиационная компания «Прогресс» им. Н.И. Сазыкина (далее ААК «ПРОГРЕСС») в г. Арсеньеве Приморского края выпускала легкий и маневренный вертолет Ми-34, предназначенный для учебно-тренировочных и спортивных целей. Причина прекращения производства Ми-34: эксплуатация установленного на нем штатного бензинового двигателя М-14 выявила его ма- Рис. 1. Легкий вертолет Ми-34. ломощность, что резко ограничивало диапазон применяемости летательного аппарата и покупательский спрос.
Руководство ААК «ПРОГРЕСС» приступило к разработке проекта по возрождению производства легкого вертолета Ми-34 (рис. 1) на базе дизельного двигателя. К этой работе привлечены молодые специалисты предприятия, в том числе из студенческого конструкторско-технологического бюро.
Обсуждение проблемы
Безусловно, новый порядок расположения двигателя, редуктора, сопряженных систем и магистралей способен повлиять на балансировку летательного аппарата. Следовательно, новый порядок расстановки, монтажа, крепления и эксплуатационного обслуживания агрегатов и приборов повлечет изменение размеров траекторий расположения систем (электрической, топливной, гидравлической), которое «потянет» за собой существенную корректировку конструкции фюзеляжа вертолета, начиная с моторного отсека. В 2016-2017 гг. на предприятии предполагается разработать эскизный проект замены металлического клепаного фюзеляжа Ми-34 на полимерный фюзеляж, а клепаного оперения вертолета - на панелированную конструкцию с разнородными наполнителями и металлическими накладками. Эта замена не только позволит облегчить конструкцию и улучшить массовые и эксплуатационные характеристики летательного аппарата, но и добиться соответствия требованиям современного производства и рынка [2]. Настоящая же работа послужит последующему решению интересной технической задачи и развития перспективного исследования по стабилизации движения вертолета.
Приводы с карданной передачей имеют широкое применение. Кинематическая схема карданной передачи приведена на рис. 2.
В, О, а,3 о,
Ф,
Рис. 2. Схема пространственной поликарданной передачи.
Основное достоинство карданной передачи - возможность передачи вращения между несо-осными валами. Существенным ее недостатком является несинхронность вращения валов. Некоторые соотношения между кинематическими параметрами звеньев карданных передач рассмотрены в работе [1]. При оптимальном выборе фазовых углов можно значительно снизить неравномерность вращения, а при неоптимальном - неравномерность будет возрастать. При определенном соотношении этих параметров можно обеспечить минимальную неравномерность вращения, т.е. осуществить приближенно синхронную передачу. В реально существующих конструкциях не всегда удаётся создать привод с оптимальной кинематикой, в частности реализовать условие, позволяющее привести карданную передачу к передаче равных угловых скоростей. В этих случаях для
уменьшения модуляции круговой частоты вращения рабочего органа машины (например, ротора генератора) вводят в приводы гасители колебаний.
Разработка модели привода
В качестве исходной модели рассмотрим динамическую систему, эквивалентная расчетная схема которой приведена на рис. 3.
Рис. 3. Расчетная схема привода: J1 - момент инерции ДВС; J2 - суммарный момент инерции валов и шарниров карданной передачи; J3 - момент инерции ротора синхронного генератора; c12 - суммарная жесткость карданной передачи; c23 - жесткость упругой муфты; Ф1,Ф2,Ф3.- угловые перемещения соответствующих звеньев привода.
Из кинематического анализа карданной передачи известно, что зависимость между углом поворота ф„+1 выходного вала и углом поворота ф1 входного вала карданной передачи определяется в общем случае соотношением
(pn+i = <Pi + anisin2(pi +bniCos2(pi. (1)
Здесь an1, b„i - постоянные коэффициенты, определяемые геометрией карданной передачи.
При составлении уравнения движения привода приняты следующие допущения: на ведущем и ведомом валах привода сосредоточены массы с постоянными моментами инерции Jj и J3, массы валов и шарниров карданной передачи пренебрежимо малы (J2=0), движущий момент Мдв и момент сил сопротивления Мс приложены к массам с моментами инерции Jj и J3 соответственно, зависимость между углами ф2 и ф1 определяется усеченной формулой
(pn+i = <Pi + % sin 2^i. (2)
Кинетическая энергия Т и потенциальная энергия П рассматриваемой системы определяются выражениями
Т = \]i4>i + \h Ф2, 1 1
П -^i)2 +^23(^3 -^2)2. (3)
Используя эти выражения в уравнениях Лагранжа второго рода, получим уравнения движения системы:
А01 + ^2з(1 + 2% cos =
Мдв + С23(1 + 2a1 cos 2ф1)ф3-с23а1 sin + 2а'2_(с12 + с23) sin • cos ]зФз + С23Ф3 = Мс + С23(1 + аг sin 2^1).
Обозначив — = х, приведем систему уравнений (4) к уравнению
(4)
x + 2c23^+3(1 + a1cos2^1)x = (5)
А7з
ЛМС-/зМдв
Мдв + ai (c23^1+p-2ai£i2+£23cos2^i)sin2^i.
А7з " ДВ ' -1 V23 ]г]з '-1 }1
Переходя в уравнении (5) к независимой переменной ф1, имея в виду, что и вво-
дя дополнительные обозначения
п„ 11+1з „ „ „ Ь+Ь л 2а2(С12+С2з)
а = 2С23Т1-Г>4 = с2за1ТТ~~'А = 2а1'-
Л7з^0 Ilb«0
получим
+ (а + 2q • cos 2^i)x = 7^7 - + (q - A cos 2ф{) sin 2^ . (6)
api j3Ш0 J1^0
Таким образом, система дифференциальных уравнений (4) движения привода приведена к линейному неоднородному дифференциальному уравнению (6) второго порядка с периодическим коэффициентом - к стандартной форме уравнения Матье-Хилла.
Анализ уравнения (6) показывает, что в системе с упругой карданной передачей возникают параметрические и вынужденные колебания.
Решение уравнения (6) в общем виде довольно громоздко. В инженерных расчетах, когда необходимо отыскать решения нерезонансных зон, можно ограничиться приближенными методами решений. Если работа привода происходит в нерезонансных зонах, движение привода можно выразить уравнением с постоянными коэффициентами
d2x Мс Мдв f л . .
—2 + ax = —-^-j- + (q-Acos2(pí)Sin2(pi. (7)
api j3Ш0 Ji^o
Анализ численных решений дифференциальных уравнений для разных вариантов приводов электроустановок свидетельствует, что замена уравнения (6) формулой (7) допустима при выполнении следующих условий:
IP + 2r| > 0,1; IP + 2r + 1| > 0,1; + 2r ± 2| > 0,1;
IP + 2r± Щ > 0,1; IP + 2r + 1 ± kfl > 0,1,
где
1 2(a-l)-g2 ш о
М=1,2,3,...; г=...,-2,-1,0,1,2,3,....
В этом случае погрешность решений составляет не более 2%. Следовательно, динамические нагрузки, возникающие в результате параметрических колебаний в приводе, несущественны, и в практических расчетах ими можно пренебречь.
Вместе с тем методы решения уравнений типа (6) имеют один существенный недостаток -они не позволяют в явном виде получить значение амплитуды колебаний координаты и построить амплитудно-частотную характеристику, следовательно, определить допустимые области значений частот возмущающих воздействий, а также учесть взаимодействие рабочей части колебательной системы (координата ф3) и источника энергии (координата
Этот недостаток можно исключить, записав уравнения (4) в форме, содержащей малый параметр, и привести их к стандартному виду. Для упрощения записей заменим переменные и в уравнениях (4) на ф и х =ф; ф3= х). Поскольку нас интересуют режимы движения, близкие к стационарным, целесообразно представить моменты Мдв и Мс в виде Мдв = МдВ(ф) и МС = МС(ф ), приведя к валу ДВС.
Одновременно, пренебрегая в уравнениях (4) членами, содержащими в качестве сомножителей (моментами упругих сил от неравномерности вращения вала ДВС), запишем их в форме, содержащей малый параметр:
х + w2x = s(gsin ф — fox),
^ = г[М(ф) + g1(1 + 2a1 cos 2 ф) — gsin 2 ф], J (8)
где £ - малый положительный параметр,
= £23 , е • g = £2301 , е • g1 = £23,
/з /з Zl
c23a1 7 Р
г • g = , е • fo = —, 6 Ji ' /з'
е • М(^) = /зМдвОрНлм.ОгО /l/з
здесь кх для рассмотрения в общем случае - дополнительно введенная линейная сила сопротивления (в нашем случае ^=0).
При £=0 уравнения (8) описывают гармонические колебания и вращение с постоянной угловой частотой dty/dt = const. При £ ^ 0 будем иметь процесс, близкий к гармоническому, поэтому запишем искомое решение в виде
£ = АХос( 2<р + 0);
8£/ 5т= -Ac>iv(2^ + в);
25(р / 8т= ж . (9)
Применяя далее известный формализм, приводим уравнения (8) к стандартной форме:
= £ • [М(р) + ^g1(1 + 2a1 cos 2ф) • cos(2ф + 6) — gsin2ф],
= шр • sin(2^ + б) + g sin 2ф] • sin(2^ + 0),
2£ Г 1 ^
^^ = • {а — — • sin(2^ + 0) + gsin 2^]j • cos 2^ + 0. (10)
„ dp йЛ d0
Здесь га = ш — р - разность частот, считающаяся малой, а производные — — — являются медленно изменяющимися функциями. В целом система (10) эквивалентна системам уравнений (8) или (4).
По методу теории возмущений, разработанному для уравнений, приводящихся к стандартной форме, приближенное решение системы (10) отыскиваем в виде р = П + а, £),
Л = а + а, £),
где £ • £'1, £ • £"2, £ • £"3 - малые периодические функции ф.
(11)
Для определения значений П, а в первом приближении усредненные по ф уравнения (4) и (7) запишем в виде
% = ^ • /(Г{М(Л) + + 2% cos 2^) • cos(2^ + О - gsin
da 2е г2^г
•J" sin(2^ + + gsin2^] • sin(2^ + (12)
После выполнения операции усреднения эти уравнения примут вид: ^ = 4¿[M(n) + 2aglal•cosa
л
da 2 £
M=2_sf+JL_ ). dffl Л \ 2ша J
у
J
(13)
Учитывая условия существования стационарных режимов dü _ da _ dd _
dp ' dp ' dp '
получим из уравнений (13)
М(П) + 2ag1a1 • cos \ = 0,
g cos \ + ahw = 0,
a + —sinf = 0.
2 ша '
(14)
Из уравнений (14) находим основные параметры колебаний: коэффициент передачи амплитуды колебаний, фазу колебаний, а также уравнение частот
№ = £ = ^ = arctg
¿i 2V(1-7)2+v2' 2(1-Y)
/змдв (Я>)-ЬМС(Я>)
a-ih
(1-y)2+v2
= 0,
(15)
(16) (17)
о п п и Р
Здесь принято: у = —; ; п = —.
Ш Ш /з
Полученные выражения (15), (16), (17) позволяют провести анализ стационарных режимов работы и улучшить динамические свойства привода путем выбора рациональных параметров карданной передачи.
Выбор оптимальной математической модели привода
Для повышения эффективности аналитического исследования динамики привода с гасителем колебаний и выбора оптимальных параметров гасителя важно иметь простую математическую модель привода. Учитывая, что основным видом возмущения в системе является периодическая сила, формируемая неравномерностью вращения карданной передачи и создающая динамические нагрузки, в десятки раз превышающие нагрузки от других факторов (например, от неравномерности вращения вала ДВС), можно упростить систему уравнений (4), считая угловую скорость вращения двигателя постоянной. При этом переменная составляющая угла j будет равна нулю, угол = M0t, и уравнения (4) примут вид
—с23(1 + 2a1 cos 2 w0t)p3 = МдВ — с23а1 sin 2 w0t
]з<Рз + ^23^3 = Мс + С23(1 + % sin 2^оО,
где ш0 - угловая скорость вала ДВС.
Таким образом, второе уравнение системы становится независимым.
(18)
i
V
V
При аналитических исследованиях оно должно быть дополнено параметрами динамической модели упругого соединительного устройства, выполняющего функцию гасителя колебаний. Для привода неограниченной мощности (Мдв >> Мс) можно исключить из рассмотрения пренебрежимо малый момент сопротивления Мс. С учетом уравнения (2) можно записать зависимость угла поворота ведомого звена соединительной устройства от угла поворота ведущего звена в виде уравнения простейшей колебательной системы вращательного типа с силовым и кинематическим возмущениями:
/з<Рз(0 + С23<Рэ(0 = ^3^(0 + М(0. (19)
Кинематическим возмущением является неравномерность вращения выходного вала карданной передачи.
Выполнив преобразование Лапласа, получим
С23Ф2 + М(р)
Фз
/зР2 + с2з тсу Wi(p) =
При отсутствии силового возмущения М(р) = 0 передаточная функция механической системы:
<Рз(Р) _ С23
<?2(Р) /3Р2+С23
Введение в систему дополнительного инерционного звена приведет к появлению дополни-«-» 2 тельной связи типа Ь (р) = ар .
Введение дополнительной связи изменит динамику системы [1].
Передаточная функция системы с дополнительной связью примет вид
W2(p) =
ар2 + С2з
(/з + а)р2 + ^23
Выводы
Результаты работы нацелены на выявление условий и допущений, при которых можно сформировать оптимальную математическую модель привода для легкого многоцелевого вертолета Ми-34.
Современная техника и предлагаемое решение по достижению цели позволит значительно сократить время на освоение принципов работы и на разработку технической документации, без дорогостоящего натурного экспериментирования.
Заключение
Итак, нами получены следующие результаты: система уравнений приведена к неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с периодическим коэффициентом - уравнению Матье-Хилла; выбрана оптимальная математическая модель привода.
Полученная в ходе преобразований простая математическая модель привода может являться основой для дальнейшей конструктивной разработки вертолета Ми-34. Также предложенный способ гашения виртуальных колебаний несет за собой изменения в конструкции передаточного вала и всего фюзеляжа вертолета из-за введения дополнительных связей.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Романович Т.С. Грудинин В.Г. Динамическая модель привода с карданной передачей // Вестник Иркутского гос. техн. ун-та . 2011. № 11. С. 30-34.
2. Тарасов А.П., Кумченко ИИ, Матвеев В.А., Речицкий В.А., Тарабанова В.В. Замена двигателя М-14 на вертолете Ми-34 в условиях серийного предприятия // Вестник Инженерной школы Дальневост. федерал. ун-та. 2016. № 1(26). С. 33-40. URL: https://www.dvfu.ru/vestnikis/archive-editions/1-26/5/ (дата обращения: 15.07.2016).
Reports
Romanovich T.
TATIANA ROMANOVICH, Aircraft Operation Engineer, e-mail: 1292000@mail.ru PJSC AAC Progress
5 Lenin Square, Arsenyev, Primorsky Krai, Russia, 692335
Scientific heads: Yury Denisenko, Managing Director, PJSC AAC Progress, Oleg Berdyev, Deputy Director in Charge of Research Work and Development, Far Eastern Federal University (Arsenyev).
The creation of mathematical models of the drive for the MI-34 helicopter
Abstract: The article presents the initial guidelines for the subsequent solution of an interesting technical task and the development of long-term studies on the stabilisation of helicopter movement. The subject under discussion is if it is expedient to resume the production of the light multipurpose helicopter Mi-34. The new version of the helicopter provides that the petrol engine be replaced by the diesel one. Considered are the main principles of creating mathematical models of the cardan drive and presented are the calculated drive circuit and the differential equations of motion. The obtained results are: the system of equations has been reduced to the second order inhomogeneous differential equation with the periodic coefficient: the Mathieu-Hill equation; optimal mathematical model of the drive has been selected. Presented is the method of virtual damping vibrations through the introduction of additional bonds as well as the constructive implementation of the absorber on the basis of the connection planetary device. Key words: mathematical model, drive, mechanical system, dynamic system.
REFERENCES
1. Romanovich T.S., Grudinin V.G. A dynamic model of the drive with driveline. Bulletin of Irkutsk State. Tehn. Univ. 2011;11:30-34. (in Russ.). [Romanovich T.S. Grudinin V.G. Dinamicheskaja model' privoda s kardannoj peredachej // Vestnik Irkutskogo gos. tehn. un-ta . 2011. № 11. S. 30-34].
2. Tarasov A.P., Kumchenko I.I, Matveev V.A., Rechitsky V.A., Tarabanova V.V. Replacing the engine M-14 helicopter Mi-34 in a batch enterprise. FEFU: School of Engineering Bulletin. 2016;1(26):33-40. URL: https://www.dvfu.ru/vestnikis/archive-editions/1-26/5/ - 15.07.2016. (in Russ.). [Tarasov A.P., Kumchenko I.I., Matveev V.A., Rechickij V.A., Tarabanova V.V. Zamena dvigatelja M-14 na vertolete Mi-34 v uslovijah serijnogo predprijatija // Vestnik Inzhenernoj shkoly Dal'nevost. federal. un-ta. 2016. N 1(26). S. 33-40. (data obrashhenija: 15.07.2016).].
