CC BY
42
1. Балла О.М. Обоснование выбора схем расположения пластин в корпусах фрез // Вестник ИрГТУ. Серия «Машиноведение». 2006. № 4. С. 63-68.
2. Балла О.М. О выборе углов подъема винтовой линии зубьев концевых фрез // Авиационная промышленность. 2009. № 1. С. 27-30.
3. Монолитные твердосплавные инструменты. SGS TOOL COMPANY. WORLD HEADQUATERS. Ohio 44262, 2004. 73 c.
4. Solid carbide tooling. Garryson Inc. St. Louis, MO63146, USA. 2004. 94 p.
Библиографический список
5. Кондратов А.С. Вопросы технологических режимов резания // Труды института N 256. М.:НИАТ, 1968. 64с.
6. Жарков И. Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом. Л.: Машиностроение, 1986. 200 с.
7. Балла О.М., Замащиков Ю.И., Лившиц О.П. и др. Фрезы и фрезерование: монография / под общ. ред. А.И.Промптова. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2006. 172 с.
8. Фридляндер И.Н., Кишкина С.И., Кутайцева Е.И. Конструирование и технология изготовления деталей из высокопрочных алюминиевых сплавов В95; В95ПЧ.; В93 и В93ПЧ. Инструкция 1021-73. М.: ВИАМ, 1973. 25 с.
УДК 621.01:534
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ СВЯЗЕЙ В КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ТИПА
В.Г.Грудинин1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Проведен анализ введения дополнительных связей в колебательные механические системы вращательного типа. Рассмотрена возможность введения в колебательную механическую систему инерционных звеньев с целью реализации дополнительных связей. Ил. 13. Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова: механические колебания; дополнительные связи; динамическое гашение колебаний.
STUDY OF THE EFFECT OF ADDITIONAL CONSTRAINTS IN ROTATING TYPE VIBRRATORY SYSTEMS V.G.Grudinin
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The author carries out the analysis of the introduction of additional constraints in rotating type vibratory systems. He examines the possibility to introduce inertial links into the vibratory system in order to implement additional constraints. 13 figures. 2 sources.
Key words: mechanical vibration; additional constraints; dynamic antihunting.
Элементы теории колебательных систем с дополнительными связями. Работа посвящена исследованию механических колебательных систем вращательного типа и базируется на идее введения в исходную колебательную систему дополнительных связей, а также предложены способы технической реализации дополнительных связей в колебательных системах вращательного типа.
Под дополнительной связью понимается составная часть структурной схемы рассматриваемой системы, образующая путь и направление передачи воздействия в дополнение к основной цепи воздействий между звеньями или к какому-либо ее участку. Порядок дополнительных связей определяется порядком производной в их операторе, наиболее полно характеризующем их динамические свойства.
Предлагается устройство, позволяющее осуществить такую реализацию, и рассматриваются некоторые вопросы теории колебательных систем вращательного типа с дополнительными связями.
Рассмотрим кратко основные аспекты теории ко-
1Грудинин Владимир Гарриевич, старший преподаватель кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405146.
Grudinin Vladimir, Senior Lecturer of the Department of Designing and Standartzation in Mechanical Engineering, tel.: (3952) 405146.
лебательных систем с дополнительными связями, причем для наглядности будем наряду с дифференциальными уравнениями движения использовать их графические структурные аналоги.
Для простейшей колебательной системы вращательного типа с силовыми и кинематическими возмущениями (см. рис. 1) движение системы описывается уравнением вида
Зф + сф = с12ф(г)+ М (Г ) = / (Г), (1) где / (() - обобщенное возмущение; фх(г) и М ^) -
заданные функции времени.
Применив к уравнению (1) прямую операцию Лапласа и принимая нулевые начальные условия, получим
3 2^2 Р 2 + С12^2 = С12^1 + М (Р)
или
е,Л + М ( р ) Ф = 3 М. ( 2)
32 Р + С12
ч\
Ф й, щ
J 2
Ф ()
Рис. 1. Расчетная схема
Уравнение (2) можно заменить аналогом - структурной схемой (рис. 2). Эта схема в наглядной форме отражает состав системы и связи, позволяет уточнить внутреннюю структуру системы и найти место введения дополнительных связей, улучшающих качество динамических процессов, происходящих в системе.
Если звенья и связи структурной схемы (см. рис. 2) считать основными или естественными, то введение других звеньев следует рассматривать как процесс наложения дополнительных связей с целью изменения динамических свойств колебательной системы.
Ф (Р) -
I
М (р)
1 Ф (р)
J 2 р 2
Рис. 2. Структурная схема исходной системы
Если в структурную схему исходной колебательной системы (см. рис. 2) включить дополнительное звено с оператором Ь (р) (рис. 3), то это будет соответствовать введению в систему некоторого дополнительного элемента какой-либо физической природы параллельно звену с жесткостью с12. В этом случае
связь с оператором Ь (р) можно рассматривать как
дополнительную. Следует отметить, что дополнительная связь, введенная в колебательную систему, значительно изменяет первоначальные динамические свойства системы. Причем степень влияния дополнительной связи будет определяться сложностью оператора Ь (р). Например, Ь (р) = Ир соответствует введению в систему демпфирующего звена, а Ь (р) = ар2
- введению дополнительного инерционного звена. Операторы более сложного вида могут быть реализованы с помощью элементов, питаемых внешними источниками энергии.
Ф (Р)
—► [_ Ь (р)
-1—► с12
М (р)
1 Ф (Р)
J 2 р 2
Рис. 3. Структурная схема системы с дополнительной связью
В настоящей работе основное внимание уделено вопросам динамики колебательных систем вращательного типа с дополнительными связями типа Ь (р ) = ар2. Это объясняется рядом положительных
эффектов, которые вносит такая связь в исходную колебательную систему.
С помощью структурных методов можно рассматривать и более сложные системы.
Так, например, цепная система с двумя степенями свободы (рис. 4) может быть описана эквивалентной ей в динамическом отношении структурной схемой (рис. 5). В эту структурную схему также могут быть введены дополнительные связи различной физической природы.
Фз ( ' )
Рис. 4. Расчетная схема системы с двумя степенями свободы
Рис. 5. Структурная схема системы с двумя степенями свободы
Динамические свойства колебательной системы удобно оценивать по ее частотным характеристикам. С привлечением хорошо разработанного аппарата частотных методов исследования существующая простая взаимосвязь между структурными и частотными
1
1
с
12
методами позволяет непосредственно из структурной схемы получить передаточную функцию системы, которая вместе с заданными начальными условиями и внешними возмущениями содержит всю необходимую информацию о динамических свойствах системы. Амплитудно-фазовая и фазо-частотная характеристики системы находятся из передаточной функции, записанной в области преобразования, первая - как модуль, а вторая - как аргумент частотной функции. Например, передаточная функция исходной колебательной системы (см. рис. 2) будет равна при М (р) = 0
Wl (р ) =
Ф2 ( Р ) = С12 Ф1 (р ) 32 Р 2 + С12
(3)
а передаточная функция системы с дополнительной связью (см. рис. 3) имеет вид
W2 (р ) = -
+Ь (р)
32 р 2 + С12 + Ь (р ) Полагая в (4) Ь (р) = ар2, получим
(4)
W2 (р ) =
ар + с12
(2 + а )р2 + С12
(5)
Амплитудно-частотные характеристики исходной системы и системы с дополнительной связью определяются как модули частотных функций, полученных из передаточных функций (4) и (5) при замене р = ]а , то есть
А И) =
А2 (И =
с12 — 32а>
с12 — (3 2 + а)
(6)
(7)
Графические зависимости коэффициентов передачи амплитуды колебаний в функции частоты, соответствующие характеристикам (6) и (7), показаны на рис. 6. Кривая 1 соответствует исходной системе, а кривая 2 - системе с дополнительной связью. Характер этих кривых показывает, что введение связи с оператором Ь (р) = ар2 изменяет характеристику исходной системы как качественно, так и количественно. Во-первых, дополнительная связь понижает частоту резонансных колебаний и, во-вторых, на частоте ю = юд реализуется антирезонансный режим или режим динамического гашения колебаний. Эти полезные локальные свойства систем с дополнительными инерционными звеньями были положены в основу разработки динамических гасителей колебаний в приводах генераторов первичных источников энергии (электроустановок).
фр Фр
Фд
Ф
Рис. 6. Амплитудно-частотная характеристика
исходной системы и системы с дополнительной связью
Динамические свойства гасителя крутильных колебаний с дополнительными связями второго порядка. Введение в расчетную модель инерционных звеньев с массой т2 и моментом инерции 32 (рис. 7) позволяет реализовать в колебательной механической системе вращательного типа дополнительную связь с оператором Ь (р) = ар2. Система работает
следующим образом: при изменении скорости ф ведущего вала входное звено с моментом инерции 31 поворачивается на угол ф1, выходное звено с моментом инерции 33 и водило с закрепленными на нем дополнительными звеньями массой т2 поворачиваются на угол ф2, а дополнительные звенья с моментами инерции 32 поворачиваются в это же время относительно своих осей на угол /'(ф1 — ф2), обкатываясь
без проскальзывания по входному звену. Направление относительного поворота дополнительных звеньев при ф1 >ф2 будет противоположно направлению поворота входного звена с моментом инерции 31.
В расчетной схеме (см. рис. 7) колебательной системы приняты следующие дополнительные обозначения:
31 - момент инерции входного звена;
32 - момент инерции дополнительного звена;
33 - момент инерции выходного звена;
т2 - масса дополнительного звена;
ф1 - входное воздействие (кинематическое возмущение);
ф2 - выходное воздействие (обобщенная координата);
с12 - жесткость упругого элемента;
а - расстояние от оси вращения основных звеньев до оси относительного вращения дополнительного звена;
I - передаточное отношение между входным звеном и дополнительным звеном.
с
12
J 2; т 2
J 2; т 2
Рис. 7. Расчетная схема системы с дополнительной связью второго порядка
Таким образом, рассматриваемый динамический гаситель представляет собой колебательную систему с одной степенью свободы и кинематическим возмущением, которое вызывается неравномерностью вращения карданной передачи. Если рассматривать отклонение системы от стационарного положения, а таковым принимается вращение с постоянной угловой скоростью ю0, то входным воздействием является
заданная функция времени ф1 = Азт2®0/.
Для вывода дифференциальных уравнений движения системы с гасителем колебаний воспользуемся уравнением Лагранжа II рода. Кинетическая энергия и потенциальная энергия будут равны:
1
Т = — Зф2 +1 Зфф +1 пт2 а 2ф22 +-
2 1,1 2 <[4 +г(<¡>2-к)] ;
■пЗ2
1
П= 2 С—2 (2 - ф1 )
(8)
(9)
где п = 2, 3, 4, 5, 6... - число дополнительных звеньев с моментом инерции З2 и массой т2. Подставляя (8) и (9) в уравнение Лагранжа
й_
( дТ ^
дТ
дП
(10)
'2 /
(11)
получим
|З3 + пт2а2 + пЗ2 (г +1) + пЗ2г (г +1) ^ х
X '(¡>2 - пЗ2 ( + 1) )>! = С12 ( фх - ф2 ) .
Воспользовавшись преобразованием Лапласа будем иметь
п/2/(г +1) р2
+С
12
(12)
р2 |зз + пт2а2 + п12 (г +1)2 ^ + с12
Графическим аналогом дифференциального уравнения (12) является структурная схема (рис.8).
Если бы дополнительные звенья З2 (см. рис.7) не находились в зацеплении с входным звеном З1, то в структурной схеме (см. рис. 8) отсутствовал бы элемент с оператором иЗ2г (г+ 1)р2, что привело бы к
обычной колебательной системе. Таким образом, наличие жесткой кинематической связи между дополнительными звеньями и входным звеном качественно изменяет структуру системы и приводит к появлению дополнительной прямой связи, пропорциональной второй производной угла относительного поворота валов по времени. Следовательно, реализуется дополнительная связь по относительному ускорению.
Согласно структурной схеме (см. рис. 8) передаточная функция системы будет равна: и/2/ (г +1) р2 + с12
Ж (р ) =
[ З3 + пт2 а2 + иЗ2 (г +1)2 ^ р2 + с12
(1 3)
Рис. 8. Структурная схема системы с дополнительной связью второго порядка
Введя в (13) р = ¡ю , получим частотную функцию
с12 - п321 (г + 1)ю2
Ж (>)=-
З3 + пт2а2 + п12 (г +1)2
(14)
ю
Выражение для амплитудно-частотной характеристики определится как модуль частотной функции (14)
А (Л) =
1 -аЛ2
где
1 -(1 + а)Л2 пЗ 2 г (г+1)
(1 5)
33 + пт2а2 + пЗ2 (г +1) ^ =
юр =
З3 + пт2 а2 + пЗ2 (г +1)
Качественный анализ уравнения (15) позволяет получить представление о виде амплитудно-частотной характеристики гасителя. Так, при
Т
2 =
А (Л) обращается в ноль, а при
2 =
1 + а
(1 6)
(17)
характеристика имеет разрыв второго рода, что соответствует резонансному режиму.
Выражение (16) является условием существования режима динамического гашения колебаний в системе с одной степенью свободы (система на рис. 7 имеет одну степень свободы, так как ее движение определяется только одной обобщенной координатой
ш
С
12
1
ф2), хотя такой режим обычно наблюдается в системах с двумя и более степенями свободы. Отметим также, что в данном случае реализуется режим динамического гашения кинематического возмущения.
При возрастании безразмерной частоты 2 до бесконечности кривая амплитудно-частотной характеристики стремится к асимптоте
,,/ \ 1 -аЛЛ а __ A (») = lim—--— =-. (18)
v > л^» 1 -(1 + а)Л2 1 + а
Анализ условия (16) показывает, что при увеличении коэффициента а точка A(Л) = 0 смещается к
низким частотам, т.е. изменяя инерционность дополнительного звена или (что более эффективно) изменяя величину передаточного отношения i между дополнительными звеньями и входным звеном, можно управлять положением этой точки.
На рис. 9 показана амплитудно-частотная характеристика описываемой системы (кривая 2 на рис. 6). Величина 2 определяет коэффициент динамичности при частоте возмущения, стремящейся к бесконечности. Эта величина может быть определена из уравнения (18) подстановкой
nJ2i (i +1)
2 =
J3 + nm2 а2 + nJ2 (i +1)
nJ2i (i +1) J3 + nm2а1 + nJ2 (i +1)2
V'1 /(1 +а) -JlTä
Л
Рис. 9. Амплитудно-частотная характеристика системы с дополнительной связью второго порядка
Приравняв к нулю числитель, а затем знаменатель (14) получим выражения для частоты динамического гашения колебаний и резонансной частоты
ад =
'12
nJ2 (i + 1)2
J 3 + nm2 а 2 + nJ 2 (i +1)2
Эти выражения показывают, что значения ад и юр можно изменять в широких пределах путем изменения параметров с12, п, , т2, а, /'.
На рис. 10 приведено семейство амплитудно-частотных характеристик для различных значений обобщенного параметра а. Вид этих характеристик показывает, что с увеличением а резонансная частота и частота динамического гашения колебаний уменьшаются, а величина г, определяющая коэффициент динамичности, увеличивается с ростом 2 , приближаясь к единице при Л^ж. Это означает, что на высоких частотах возмущающих воздействий гаситель запирается. Последнее накладывает определенное ограничение на область эффективной работы гасителя.
Работа рассматриваемого гасителя будет эффективна, если частота возмущающих воздействий будет близка к величине а>д.
Приведенная качественная оценка свойств гасителя выполнялась без учета сил сопротивлений. Следует ожидать, что силы сопротивления несколько изменят характер амплитудно-частотных зависимостей. Если ввести в расчетную схему (см. рис. 7) диссипа-тивный элемент с коэффициентом сопротивления И12, то передаточная функция будет иметь вид: п1г1 (I +1) р2 + Н12 р + с12
W (p ) =
АЛ
| J3 + nm2а2 + nJ2 (i +1)2 JJ p2 + h12p + cx
.(22)
2,6 2.4 2,2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0 0,8 0.6 0,4 0,2
а :оо51 1
а а =05J 1
а аНТ4
\rfll4 Г
1
tiv-
а=1
а=05 а= ОД
1 2 3 Л
Рис. 10. Амплитудно-частотные характеристики системы с компенсацией колебаний при различных значениях а
Выполнив указанные выше преобразования и заменив
И,г
J3 + nm2a2 + nJ2 (i +1)
■ = 2k
c
12
Получим
(1 -а!2) -4b2Л2
A = -' . . • (23)
^[1 -(1 + а) Л2 ]2 + 4b2 Л2 Общий характер зависимости (23) показан на рис.
11.
Л ax 1 Лп ]
in 2
Л
Рис. 11. Амплитудно-частотные характеристики системы с компенсацией колебаний с учетом сил сопротивлений
1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0
а=0,5 а=1 а= 2 а= 3
а= 3 а=2 а=1 а=0,5
0,5
0,1 0,2 0,3 0,4 Рис. 12. Зависимость A (Л) и A (Л)
V /max V /min
от значений параметра а
Анализируя (23), можно заметить, что амплитудная характеристика A (Л) не будет обращаться в ноль и иметь разрывов. При определенных значениях
безразмерной частоты Л амплитуда будет иметь некоторые максимальные и минимальные значения. Определение этих значений А (Л)тах и А (Л) сводится к отысканию экстремумов функции (23). Для приближенного определения частот, при которых А (Л)
принимает максимальное значение, можно приравнять к нулю производные от числителя и знаменателя (23)
4а2 Л2 + 8Ь2 - 4а = 0;
4Л2 (1 + а)2 -(1 + а) + 2й2 = 0. Отсюда находим
= /а- 2Ь2.
Лтт \ а2 '
\ (1 + а)
Подставив эти значения в (23), получим
1 + а- 2b:
A(Л) . =
\ / min
4а2Ь2 (1 + а - 2b,)
2bд (1 + а)-а]2 + 4а2Ь2 (а-2bd)
A (Л) =
max
(1 + а + 2abd )2 + 4b2 (1 + а )2 (1 + а - 2bd)
4b2 (1 + а)2 (2 + а - 2bd)
На рис. 12 и 13 представлены зависимости A(Д)шах = f (а) и A(Д)шах = f (Ьд) при различных
min min
значениях параметров Ьд и а . Эти графики отражают тенденции изменения A (Л.) и A (Л.)шга и позволяют для различных реальных условий быстро их найти. 4na
4ni,
/
п—г
Ащях
Anit
'b=0,25 /b=0,5
b=0,25 \=0,5
а
0,5 1,0 0,3 0,4
0,5
Рис. 13. Зависимость A (Л) и A (Л)
max m
от значений параметра b
Библиографический список
1. Елисеев С.В., Грудинин Г.В. Основы теории динамического гасителя крутильных колебаний // Теория активных виброзащитных систем": сборник. Иркутск, 1975. Вып. II, ч. II.
2. Кузнецов Н.К. Управление колебаниями двухмассовой системы как задача введения дополнительных связей // Мехатроника, автоматизация, управление. 2005. № 12. С. 30-35.
