CC BY
32
Абсолютная скорость V дополнительного звена выражается через относительную скорость Уг и переносную скорость Уе зависимостью
V =Г+Г . (3)
а е г * '
Здесь Уе = ф21, Уг=аЬ.
Из расчетной схемы, приведенной на рис. 2,
а = а0 + i(ф,-ф2) ,
(4)
где а0 - угол установки дополнительных звеньев с массой т0; I{ф1 -ф2) - угол относительного поворота до-
полнительных звеньев с массой т; l = \ a
Дифференцируя (4), получим Из уравнения(3) имеем
; l = *Ja2 + b2 + 2abcos у ; cosy =
а = 1{ф1-ф2).
b2 +12 - a2 2bl
V2 = V + VГ + 2V1Vrcosy или, с учетом ранее полученных выражений для Ve, Vr и cosy,
V2 = (a2 + b2 + 2ab cos a + {2b2 + ab cos а^ф2а + b2 á
2 '2
2-2
(5)
Подставляя (5) в (2), получим
1 1
T = —J1<j>2+— nm0{a2 +b2 + 2abcosa0^J3 <j>2+ — nm0b2i2
1_
2'
+
+ -^0+т0Ь2)[ф2-1(ф1-ф2) Обобщенная сила в рассматриваемой системе
б = -
Потенциальная энергия системы
+ пт0{а2 +b2 + 2abcosa0^i{J>1 -ф2
дП
дф2
(6)
(7)
(8)
П = С12 {ф1 Ф2 ) ■ Перейдем к относительным координатам фг и ф2,, используя соотношения
ф1 =со0+Фг, ф2=б)0+ф2,.
В этом случае в правую часть дифференциального уравнения движения (1) в состав обобщенной силы войдет момент Мц от центробежных сил, возникающих при переносном движении.
Момент Мц центробежных сил ^ (рис. 2) равен
(9)
М = F ,
т—г ,2 . n ab .
где F = т0Ш0, r = a sin 3 = — sina.
С учетом этих выражений и выражения (4) момент сил инерции (9) будет равен
М^ = nm0a2ab sin a = nm0o)20 ab \jsin a0 cos i (фг - ф2,) + cos a0 sin i (фг - ф2,)] . Принимая в этом выражении
cos i (фг -ф2>)~ 1,
sin i
' ф2' )~i (фг ф2' ) ,
получим
Мц = пт0 «о20аЫ ^^^ а0 + пт0 оо20аЫ (фг — ф2,) cos а0
Первое слагаемое в уравнении (10) представляет постоянную составляющую момента сил инерции и, как было отмечено в предыдущем разделе, может быть положительным или отрицательным в зависимости от установки грузов (на рис. 2 слева или справа от линии О — О )■
Из уравнения (10) найдем с - жесткость связи дополнительных звеньев массой т0 с полем центробежных
сил
при относительных перемещениях г (фг — ф2?):
с = пт0 со2 аЬ cos а0 ■
(11)
После подстановки выражений (6) и (7) в уравнение (1), считая при этом, что движущий момент Мд и момент сопротивления Мс - величины постоянные, и полагая, что г (фг—ф2,^)& 0, т.е. сохраняя только первый
член разложения уравнения кинетической энергии в ряд Маклорена, получим уравнение движения системы в окончательном виде
(12)
фу + (ю/, + к¡6)1) фу = к-,фг + (со2п + к¡6)1
К-
В полученном уравнении приняты следующие обозначения:
2
<12 =
"12
п |(+ т0Ъ2 ) (г +1) + т а2 + Ь2 (г — 1) — 2аЬ (г — 1) со8 а0 +
к, =
пт0аЪг со8а0
п {(^о + т0Ъ2 ) (г +1) + т0 ^а2 + Ъ2 (г — — 2аЪ (г — 1)со& а0 + Л пг + т0Ъ2 ) (г +1) + т0Ъ2 (г — 1) — т0аЪ со8 а0
к2 =
п |(+ т0Ъ2 ) (г +1) + т0 ^а2 + Ъ2 (г — 1) — 2аЪ (г — 1) со& а0 + Л,
Структурная схема, соответствующая уравнению (13), приведена на рис. 3.
Из уравнения движения (12) получим частотное уравнение
Р2 + (<12 + к С ) = 0, р = ■ (13)
После простых преобразований найдем частоту собственных колебаний системы
< =С+ккСо ■ (14)
Отметим, что <ас не остается постоянной величиной, а является функцией угловой скорости <а0. С этим обстоятельством связаны некоторые интересные эффекты, которые будут исследованы ниже.
Исследование режимов динамического гашения колебаний. Рассмотрим особенности существования режимов динамического гашения возмущающих воздействий в колебательной системе с динамическим гасителем, взаимодействующим с полем центробежных сил.
Применив к уравнению (12) прямую операцию Лапласа и принимая нулевые начальные условия, получим уравнения движения системы в виде
р2ф2 + (<12 + к< <о1)ф2 = к2р2ф1 + (<12 + к< < ) ф
2рф1 +(<12 + к1<0 )ф1
и из него найдем передаточную функцию системы
ф2 (Р)_ к2р2 +< + к<
Ж ( р ) =
ф1 (р) р2 +<12 + к<<0 Из выражения (15) получим частотное уравнение и найдем значение амплитудно-частотной характеристики
(15)
А (о) =
<12 + к< <а0 — к2 <
I 2 . / 2 21 < + к< со2 — о
(16)
Приравняв к нулю числитель уравнения (16), найдем условие, определяющее частоту динамического гаше-
ния
<2 =у1<2 /к2 +(к1 /к2 )<
(18)
Здесь
о
12 _
-12
пг + т0Ъ2 ) (г +1) + т0Ъ2 (г — 1) — т0аЪ со8 а0
к
пт0аЪг со8а0
к2 пг + т0Ъ2 ) (г +1) + т0Ъ2 (г — 1) — т0аЪ со8
а
Выясним общий характер зависимости < от а0 при изменении а0 от 0 до 2п . Для этого рассмотрим три случая.
1) При а0= 0 имеет место
о
-12
к2 пг + т0Ъ2 ) (г +1) + т0Ъ2 (г — 1)
— 1) — таЪ
>0,
пт0аЪг со8а0
к2 пг + т0Ъ2 ) (г +1) + т0Ъ2 (г — 1) — т0аЪ
>0,
так как |(+ т0Ъ2 )(г +1) + т0Ъ2 (г — 1) > \т0аЪ\ в области практического емлемых решений.
В этом случае зависимость < от <, выраженная в отрезках на осях, имеет вид
<2 / (<2 /к2 )-°2/ (<2 /к1 ) = 1
и показана на рис. 4.
применения и конструктивно при-
(19)
Из графика следует, что частота динамического гашения <од увеличивается с ростом угловой скорости о0 по гиперболическому закону.
2) При а0=ж /2 имеет место
2
2
2
1
®12/к2 =
"12
т + т0Ъ2 ) (/ +1) + т0Ъ2 О' -1)]
> 0, к;/к2 =0 ■
В данном случае щ не зависит от щ и, как показано на рис. 5, изображается прямой, параллельной оси абсцисс.
3) При а0=п имеет место
-12
12 __
к 2 т + т0Ъ2 ) (/ +1) + т0Ъ2 (} -1) + т0аЪ
к
>0,
-ит0аЫ2
к2 т + т0Ъ2 ) (I +1) + т0Ъ (/ -1)
-1) + таЪ
<0 ■
Зависимость щ от щ, выраженная в отрезках на осях, имеет вид
щ
'(Щ12 /к2 ) + Щ0/ (Щ12 /к1 )= 1
(20)
и показана на рис. 6. Из графика следует, что в этом случае частота динамического гашения щ уменьшается с ростом щ, а режимы динамического гашения существуют в диапазоне изменения щ от 0 до щтах
щ
к
2
4 6)^1 к
Рис. б. Зависимость сод от о)0 при СХ0 - я
Для углов а0= 3ж/2 и а0= 2ж имеем результаты, аналогичные рассмотренным случаям 8 и а ■ Из выражения (18), определяющего частоту динамического гашения и записанного в развернутом виде
<2 =
с;2 + пт0аЫ12а2 cos а0
пг (Л + тЪ2 ) (г +1) + т0Ъ2 (г—1) — т0аЪ со$ а0
(21)
следует:
1) при а0= 0 общая жесткость системы принимает максимальное значение, равное с12 + пт0аЫ2о1, и дополнительные звенья с массой т0 занимают устойчивое положение;
2) при а0=ж /2 и а0= 3ж /2 жесткость системы определяется только жесткостью с12;
3) при а0=ж общая жесткость системы имеет минимальное значение, равное с;2 — пт0аЫ^о1, а положение дополнительных звеньев с массой т0 неустойчиво.
Для наглядности анализа зависимости существования режимов динамического гашения от угла а0 все графики (см. рис. 4, 5, 6) представлены на частотной диаграмме (рис. 7).
По оси ординат диаграммы отложена частота динамического гашения ад, по оси абсцисс - круговая частота <о0 вращения входного вала. Из начала координат проведены прямые с угловыми коэффициентами у (у = Щб} , соответствующие возмущающим воздействиям с частотой сов. Частота сов кинематических возмущающих воздействий в рассматриваемой системе связана с круговой частотой < вращения входного вала выражением
< =У<0, (22)
где <о0 = ж-N/30 - круговая частота колебаний вала; N - частота колебаний вала в минуту; у - порядок гармоники возмущающего воздействия (число периодов гармоники, укладывающееся в одном обороте вала). Точки пересечения прямых < = у<0 с кривыми сад =<(<) соответствуют значениям угловой частоты
<о0 , на которых существуют режимы динамического гашения возмущающих воздействий при а0= 0 , а0= ж /2, а0= ж ■
Анализ результатов качественного исследования особенностей существования режимов динамического гашения показывает, что динамический гаситель, взаимодействующий с полем центробежных сил, обеспечивает режимы динамического гашения при различных скоростях вращения системы в зависимости от значений угла
а0. Исследование характера зависимости < от а0 показывает, что наибольшие возможности имеет гаситель, в котором угол а0 близок к нулю. В этом же случае обеспечиваются и минимальные конструктивные размеры
гасителя, поэтому дальнейшие исследования целесообразно проводить для гасителя с углом а0 близким к ну-
лю (а
(а0 ^ 0) ■
Особенности расчета области эффективной работы динамического гасителя. Воспользуемся для расчетов условием
А (щ)< А Ы
' гр
где А(щ) - текущее значение коэффициента передачи амплитуды колебаний, А(щ)гр - некоторая норма А (щ) < 1 ■
V / гр
Особенностью в данном случае является то, что выражение амплитудно-частотной характеристики (16) имеет иной вид, чем выражение (15) [1]. Анализ показывает, что текущее значение амплитудно-частотной характеристики зависит от угловой скорости вращения привода, т.к. жесткость колебательной системы является функцией щ , и, следовательно, частоты резонанса и динамического гашения также изменяются с изменением щ ■
Приведем выражение (16) к виду
А (Г) = ^(1 - к2 Я'2 )2/ (1 -Г2 )2
(23)
л * щ / 2 г 2
где Я = — , щ = Лю12 + кщ0 ■
щ
После ряда преобразований получим уравнение
Я* (А2 - к22 )- 2Я2 (А2 - к/ ) + А2 -1 = 0, (24)
и найдем выражения для расчета нижней и верхней границ частотной области
Я*2 =(1 + А) / (А + к2 ), (25)
я;2 =( А -1) / (А - к2) ■ (26)
Здесь выполняется неравенство А < к2 , так как амплитудно-частотная характеристика асимптотически
стремится к к2 при увеличении частоты.
Если перейти от безразмерных параметров к обычной форме, то получим
щ = щ + кщ щ )[(1 + А) / (А + к2 )], (27)
щ2 = (щ + кщ20 )[(А -1) / (А - к2 )] ■ (28)
Для анализа действия возмущений, не связанных с угловой скоростью вращения привода щ, можно вос-
пользоваться формулами (27), (28), но с учетом масштабного коэффициента, величина которого зависит от щ .
На частотной диаграмме (рис. 8) приведены графики зависимостей щ от щ (14) и щ от щ (18).
При щ = 0 значения щ и щ соответственно равны щщ и о12 / , а при щ ^да значения щ и
щ асимптотически приближаются к наклонным прямым с угловыми коэффициентами tgв = Л|k и
tgв1 = /к2 соответственно.
Введем в рассмотрение ширину частотной области эффективной работы
Лю = щ- щ. (29)
На рис. 9 приведены графики Лео = Ла(щ), полученные при фиксированных А(щ) .
01 / А(ш)= 0 /
/ Л(ш и)=0 1=0,0 /
320 /у /
301) / л( 1/
180
160___
240 V
220
100
180 ог„ = 0 й = В
1« /
140
Рис. 9. Области эффективной работы гасителя в диапазоне изменения угловых скоростей
Отметим, что с ростом щ ширина зоны увеличивается. Защиту системы от возмущающих воздействий, частота щ которых связана с круговой частотой щ приводного вала в общем случае выражением щ =щ0, целесообразно рассмотреть при различной степени эффективности, когда А(щ)гр = 0 и А(щ)гр ф 0.
Если А(щ) = А Ф 0 , то границы входа щ и выхода щ для заданной области эффективной работы
определятся выражениями
щ01 =.
щ02 =
(1 + А)
щ
V
(А+к2)-к, (А +1)
1
(А -1)
щ
(30)
(31)
V2 (А - к2)-к, ( А -1)'
Ширина области эффективной работы не в функции частоты возмущающих воздействий (22), а в функции частоты колебаний приводного вала примет выражение
Лт0 =001 -О02, (32)
а с учетом (30) и (31)
Ла0 = щ2
А -1
А +1
1V
(А-к2)-к1 (А-1) (А + к2)-к1 (А +1)
(33)
Приведенные выкладки справедливы для случая, когда силы сопротивления в системе пренебрежимо малы. При учете влияния сил сопротивления общий подход остается неизменным, однако для построения зон эффективной работы проще воспользоваться результатами прямого расчета по выражениям для амплитудно-частотных характеристик.
Если А (о) = 0 , то ширина области эффективной работы (34) Л<о = 0, а <а1=щ и область вырождается
в зависимость
Сд = Сд (С0 )=^С)П /к2 +( к1 /к2 )С0 ■
Полное гашение возмущений вида < = у<0 произойдет на частоте динамического гашения
Сд = <д (С0 )=К0 ,
то есть при
Сд = < ■ (34)
Из условия (34), воспользовавшись выражением (16), найдем, что возмущение < =ус0 будет полностью погашено при
<о < (у2к2 - ki ) ■ (35)
В нашем случае, когда доминирующим возмущением в системе является кинематическое возмущение от карданной передачи и согласно < = 2с у = 2,
Со < (4к2 - ki ) ■
Из анализа выражения (35) следует, что при у = /к (а согласно выражению (19) именно /к2
является угловым коэффициентом асимптоты сод = <(<) гасителя) условие (34), режим динамического гашения, наиболее полно выполняется в области высоких частот. При этом эффект, близкий к самонастройке по отношению к возмущению вида
С =^(ki /к2) <, (36)
наблюдается только при больших значениях с0 и реализуется с точностью АЕ , величина которой асимптотически уменьшается при < ■
Учитывая, что частота сод динамического гашения и частота сов возмущающих воздействий изменяются с изменением круговой частоты с0 системы, несомненный интерес представляет определение возможности существования эффективной работы гасителя в широком диапазоне изменения со0 ■
Эффект самонастройки на динамическое гашение колебаний во всем рабочем диапазоне изменения круговой частоты привода <а0, т.е. такой режим работы, когда система становится инвариантной по отношению к возмущению вида (36), имеет место, когда частота динамического гашения согласно условию (34) равна
<д =V(к1 /к2 ) <0 ■ (37)
Из условия (18) следует, что соотношение (37) существует при с12 = 0, т.е. когда в гасителе отсутствует упругое звено с12, а жесткость (11) и количество упругих связей определяются только связью дополнительных звеньев массой ш0 с полем центробежных сил. В таком гасителе колебаний обеспечивается полное гашение колебаний (см. рис. 8) возмущающих воздействий вида < = у<0 в широком диапазоне изменения <о0. Вместе с тем, работа гасителя колебаний предусматривает обязательное относительное перемещение i(ф1— ф2) дополнительных звеньев с моментами инерции J (рис. 1).
Гаситель, в котором обеспечивается относительное перемещение i(ф1—ф2) и соблюдается условие с12 = 0 в пределах этого перемещения, технически реализуется при замене в гасителе (см. рис. 1) упругого звена с звеном с зазором и жесткими упорами.
Библиографический список
1 Грудинин В. Г. Исследование влияния дополнительных Елисеев С.В. Грудинин Г.В. Основы теории динамического связей в колебательных механических системах вращатель- гасителя крутильных колебаний // Теория активных вибро-ного типа // Вестник ИрГТУ. 2011. № 2^ С. 34-40^ защитных систем. Ч. 2., вып.2. Иркутск, 1975.
УДК 621.923:621.922
КРУГИ ДЛЯ ФИНИШНОЙ ОБРАБОТКИ ДЕТАЛЕЙ Ю.В. Димов1, Д.Б. Подашев2
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Приведена классификация эластичных кругов для финишной обработки деталей. Отмечено, что эластичные круги можно разделить на три крупные группы: круги с эластичной основой и абразивным покрытием; эластичные абразивосодержащие по всему объему и неабразивные круги. Режущий микрорельеф эластичного абразивного круга представлен в виде случайного стационарного процесса с эргодическим свойством, реализацией которого является профилограмма, по которой определяются среднее квадратичное отклонение профиля £, число нулей n(0) и количество вершин на единице длины, позволяющие рассчитать все параметры взаимодействия круга с обрабатываемой поверхностью в зависимости от их сближения. Дан анализ математических ожиданий глубины внедрения зерен в материал детали и количества внедрившихся зерен. Ил. 4. Табл. 1. Библиогр. 2 назв.
Ключевые слова:эластичный круг; микрорельеф; внедрение зерен; количество внедрившихся зерен.
DISCS FOR PARTS FINISHING Yu.V. Dimov, D.B. Podashev
NationalResearch Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
The classification of elastic discs for parts finishing is carried out. It is marked that elastic discs can be divided into three major groups: discs with a flexible base and an abrasive coating; flexible fully abrasive discs and non-abrasive discs. Cutting microrelief of the flexible abrasive disc is presented in the form of a random stationary process with the ergodic property, whose implementation is a profilogram for determining the root-mean-square deviation of S profile, the number of zeros n (0) and the number of vertices m per the unit of length, allowing to calculate all the parameters of disc interaction with the surface being treated subject to their approach. The analysis of the mathematical expectations of the depth of grain penetration into the part material and the number of penetrated grains is given. 4 figures. 1 table. 2 sources.
Key words: elastic disc; microrelief; grain penetration; number of penetrated grains.
Эластичные круги для финишной обработки деталей применяются с целью придания обрабатываемой поверхности требуемой шероховатости, подготовки ее под лакокрасочные покрытия, удаления заусенцев, скругления острых кромок, предварительной обработки перед полированием и глянцеванием и т. п. При этом обрабатываться могут различные металлы и их сплавы, пластмасса, дерево, стекло, керамика и камни.
На рис. 1 представлена схема классификации эластичных инструментов, применяемых в различных отраслях промышленности.
Шлифование эластичными инструментами, в отличие от обработки «жесткими» кругами, имеет ряд специфических особенностей. Такие инструменты не устанавливаются на определенную глубину резания, а необходимые условия для работы отдельных зерен создаются за счет предварительного нагружения их. При этом деформируется основание инструмента, прижимаемого к обрабатываемой поверхности.
Закрепление абразива в упругой связке коренным образом изменяет характер его взаимодействия с обрабатываемым материалом:
о амортизируется удар зерна о материал, в результате чего повышается его стойкость;
о уменьшается напряженность теплового потока вплоть до полного устранения прижогов;
о исключается микрорастрескивание поверхностного слоя хрупких материалов;
о создаются условия для увеличения количества одновременно работающих зерен;
о уменьшается скорость засаливания рабочей поверхности инструмента;
о улучшается процесс самоочистки инструмента; о увеличивается время взаимодействия абразивного зерна с обрабатываемой поверхностью.
В результате воздействия перечисленных факторов повышается качество обработанной поверхности.
Особенность работы зерна на упругом основании заключается в том, что зерно имеет возможность «отжиматься» во время работы. При жестком же закреплении траектория движения зерна определяется только кинематикой процесса. Каждое абразивное зерно имеет возможность перемещаться как при деформации всей массы связки, так при деформации малых ее объемов, непосредственно примыкающих к зерну.
1Димов Юрий Владимирович, доктор технических наук, профессор кафедры конструирования и стандартизации в машиностроении, тел.: (3952) 405146, (3952) 366270, e-mail: Dimov-Ura@yandex.ru
Dimov Yuri, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Designing and Standardization in Mechanical Engineering,
tel.: (3952) 405146, (3952) 366270, e-mail: Dimov-Ura@yandex.ru
2Подашев Дмитрий Борисович, студент, тел.: (3952) 231530, e-mail: dbp90@mail.ru
Podashev Dmitry, Student, tel.: (3952) 231530, e-mail: dbp90@mail.ru
Эластичные круги
С абразивным покрытием
Лепестковые круги
Из шлифшкурки
Из шлифшкурки с прорезями
Из шлифшкурки V ■ образной формы
Из сизаля со шлифшкуркой
Обтянутые шлифшкур-кой
Войлочные
Резиновые
Паралоновые
Воздушные баллоны
Покрытые слоем абразива
Войлочные
Резиновые
Паралоновые
Полиуритановые
С закрепленной шлифшкуркой
Абразивосодержащие
Лепестковые круги
Из нетканого материала
Из полимерабра-зивных полос
Бакелитовые
Вулканитовые
Глифталевые
На эпоксикаучуковой связке
На основе вспененного полиуритана и др. синтетических материалов
На сложной синтетической связке
На поропластовой связке
Из нетканых материалов
С синтетическими волокнами
С природными волокнами
С антипригарными и антистатическими добавками
На тканевой основе
На фибровой основе
Неабразивные
Лепестковые круги
С синтетическими волокнами
С природными волокнами
Войлочные
Фетровые
Тканевые прошитые
Бумажные
Из гладкой бумаги
Гофрированные
Тканевые из синтетических и природных волокон
Пропитанные
Волнообразные и гофрированные
Из витых жгутов
Сизаль
Сизаль и хлопок
Из эластичных стержней
Из фетра с бронзовыми нитями
В данной работе рассмотрим характеристики микрорельефа эластичного абразивного круга и параметры взаимодействия его с обрабатываемой поверхностью (глубину внедрения и количество внедрившихся зерен).
В качестве метода получения первичной информации о рельефе рабочей поверхности принимаем профилографирование, отличающееся от других методов простотой и большим объёмом получаемой информации. При этом микропрофиль эластичного аб-
