Динамические свойства газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов Текст научной статьи по специальности «Математика»

для данной задачи будет находиться по соотношениям (8), (9). При этом выражения для начальной температуры л-ной заготовки в\п и для заданного темпа выдачи будут иметь следующий вид: -

* Ь2 ■ *мвЧ * Л, если 0 < п < В\

в-]

I м

ф =■

■£?!, если П> В\

[ф|, если п<В\ Ф2, если п> В,

(11)

где щ и <р2 -заданные темпы выдачи соответственно до и после увеличения производительности*

На рис. 4 представлены кривые оптимального управления и(#>) и потери темпа (р^ — для ре-

жима увеличения в 1,5 раза производительности работы ИНУ по критерию минимизации потери темпа.

Р и с, 4. Расчетные характеристики процесса оптимального управления режимом смены производительности ИНУ {Ь1=2Л, Ь2 = 0.784, 0,ой - 0.584, до переходного режима = 0.64, ф* = 0.122,

после - «^„1 =0.891, ф*=0.08!).

Как и в предыдущем случае, оптимальное управление сходится к установившемуся значению, а само увеличение производительности осуществлено без потери темпа работы ИНУ (рис. 4).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. 279 с.

2. Рапопорт Э.Я., Пдешивцева Ю.Э., Осипова Ю.А. Локально-оптимальные алгоритмы управления переходными режимами работы индукционных нагревательных установок непрерывного действия // Мехатроника, автоматизация, управление 2005. Тр. II Всероссийск. науч.-техн. конф. Уфа: УГАТУ, 2005. Т.]. С. 65-70,

Статья поступила в редакцию 7 декабря 2006 г.

УДК 536.24 А.А. Узенгер

ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ГАЗОВОЙ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ ПЕЧИ ДЛЯ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ

В настоящее время актуальна задача изучения динамических свойств технологических объектов управления. В данной рсфоте в известной мере эта задача решается для широко распространенных в промышленности газовых отражательных печей. В статье используются методы теории систем с распределенными параметрами для представления распределенных передаточных функций, связывающих тепловые потоки и соответствующие температурные паяя.

Представляя в первом приближении газовую печь как систему, которая состоит из однородной излучающей среды (газ), окруженной двумя замкнутыми лучевоспринимающими поверхностями (кладка и металл), можно получить уравнения лучистого теплообмена в виде [1]

(2)

где Чк, Чм - соответственно тепловые потоки на кладку и нагреваемое тело;

ТГ,ТК,ТИ - соответственно абсолютные среднеэффективные температуры излучающей среды, внутренней поверхности кладки и нагреваемой металлической поверхности;

£,,£2,£з,£4 - соответственно степени черноты системы «газ - кладка - металл», являющиеся известными функциями ее теплофизических и конструктивных параметров.

В (1) и (2) Тг представляет собой некоторую фиктивную приведенную температуру излучателя, выбираемую из условия обеспечения в любой момент времени действительного температурного напора в в печи. При этом, как показано в [1], Тг в первом приближении может быть найдена из выражения

, еІЇ+оеЛ ]С'

£і + (ОЄу,

(3)

1

где-----------степень развития кладки;

а>

Тт - теоретическая температура сгорания топлива.

В свою очередь, в является достаточно сложной функцией расхода газа Q и температур Тк и Тм [1]. Отсюда следует, что Тг в (1) и (2) нелинейным образом зависит от О, Тк и Тм .

Пользуясь условием малости отклонений параметров от равновесного состояния в нормально функционирующей автоматической системе стабилизации, линеаризуем (1), (2) и (3) по Тейлору. Из полученных выражений вычтем уравнения статики. Далее, применив преобразование Лапласа, получим следующую систему:

г,. (р)=К?к 00+ к2тм {р)+къд(р}, дк{р) = кд.{р)-к&{р)+кл {р\ 00 = ВД. Ср)+ Кьтк {р)-К9Тм {р\

(4)

где р - комплексная переменная Лапласа.

Методика определения параметров статического режима, требуемых для вычисления коэффициентов Кх -ь К9, дана в [1]. Система выражений (4) позволяют представить структурную схему объекта в виде

рис, 1. Здесь коэффициенты Кі -г Кд представлены выражениями (5).

є Г'1

МО

К1 =

егТ,

3

ко

дв

дТ,г

дв дТ;

М

8в_

7/ =

(*■ +охг)Т} -ерЬі -СО£{ГІ

мо

4(^| +ак3)Г/„

(5)

к4 — 4ст0е\Тго, — 4а0(е, +е2)Г№), К6 4<т0е27д^(-;,

К7 = 4ст0е37’го, К% = 4ст0е47’,д,, К9 = 4с,0 (б3 + е4 '}Г^0,

где ТГО,ТКО,ТМО - соответственно абсолютные среднеэффективные температуры исходного статического режима.

Как видно из рисунка, газовая отражательная печь представляет собой сложный объект с распределенными параметрами при сосредоточенном управлении Q(p) и распределенном выходе Т(х,р) [2](, Распределенная передаточная функция объекта определится известными коэффициентами передачи К, + К9, передаточной функцией для внутренней поверхности кладки (р) и температуры поверхности нагреваемого тела 00 ■ Передаточная функция (х, р) характеризует нагрев температуры по всему объему металлической ванны.

Структурная схема объекта

В линейном и одномерном приближении динамика процессов для кладки и металлического изделия будет описываться уравнением теплопроводности

дТ(хуі) _ дгТ{х,{)

ді дх2

при граничных условиях 2-го рода на теплообменивающихся поверхностях. Здесь х - координата тела в направлении передачи тепла, отсчитываемая от поверхности теплообмена, а - температуропроводность, Г - время.

Кладку можно считать полуограниченным телом, и тогда граничные условия примут вид

(6)

(7)

|]т ~0; 0 < X < оо;/ > о,

*=0 *>к

где Як - коэффициент теплопроводности кладки.

Применяя метод операционного исчисления (преобразование Лапласа), с учетом того, что входной сигнал сосредоточен Цк{р), а выходной сигнал распределен Тк{х, р), получим х -блок [2] с передаточной функцией вида

и п) ■ 5г(*,/0 ехр(-Уур)

у?.

(8)

£ *2

где т0 - -^-Лх - — - постоянные времени.

а а

Температура поверхности кладки Тк(р) в (4) является сосредоточенной величиной. Поэтому вид передаточной функции нагрева кладки с учетом сосредоточенности входной и выходной координаты примет вид

1

' (9)

Данный блок, согласно теории систем с распределенными параметрами, называется х<% -блоком. А передаточная функция (9) соответствует полу интегрирующему звену.

В случае металлической ванны необходимо учитывать конечные размеры ванны, тогда граничные условия примут вид

дтм(х’() г, дТАх^) чЛ)

где Л - глубина металлической ванны; Лм - коэффициент теплопроводности металла.

Применяя метод операционного исчисления (преобразование Лапласа), с учетом сосредоточенности входного дм (р) и распределенности выходного сигнала Тм (х, р) в общем случае, получим х-блок [2] с передаточной функцией вида

(П,

Ям\Р)

Ям ^ Л2

где г0 =----,г = —,тя = —- - постоянные времени.

а а а

Температура поверхности металлической ванны Тм {р) й- (4) является сосредоточенной величиной. Поэтому вид передаточной функции нагрева металла с учетом сосредоточенности входной и выходной координаты примет вид

■■ (’2)

Данный блок является - блоком [2].

В случае применения метода конечных интегральных преобразований для краевой задачи (6) с граничными условиями (10) для металлического изделия решение будет иметь вид

, *я(г) = 2(-1)"-4тС08(,и4]» Г«=-4-Т’ 03)

аяГтГ V Я) ап п

КМ*-1-;

СМГиК

^ I V

р £!Т„Р + \

где см, ум - соответственно удельная теплоемкость и удельный вес металла.

Передаточные функции (9), (11) и (12), входящие в структурную схему объекта, не могут быть представлены набором типовых динамических звеньев. Поэтому изучение динамических свойств объекта на основании базовых характеристик стандартных динамических звеньев, является затруднительным. В данном случае требуется самостоятельный анализ, например, путем исследования частотных характеристик, определяемых прямым их вычислением по формулам (9), (11) и (12) как трансцендентных функций мнимого аргумента в области существенных частот, где подобные аналогии с сосредоточенными системами уже оказываются возможными. В случае выбора решения краевой задачи вида (13), мы можем производить определенные аналогии с сосредоточенными системами. Т.к. распределенная передаточная функция допускает структурное представление в виде параллельного соединения одного интегрирующего и бесконечного числа типовых апериодических звеньев первого порядка с постоянными времени Т„ и коэффициентами передачи к„ (л). .

Исходные зависимости (1), (2) и (3) получены для существенной схематизации процессов внешнего теплообмена [1]. Ввиду трудностей принципиального характера принятая схема не учитывает таких существенных особенностей, как пространственная неравномерность температурного поля излучающей среды, наличие поля тепловыделений в зоне теплообмена, светимость факела, температурные зависимости теплофизических постоянных. Однако на основании специальных экспериментов [1] можно утверждать, что проведенная структура объекта учитывает основные качественные особенности рассматриваемых динамических процессов. Влияние неучтенных особенностей сказывается, в основном, на вариациях коэффициентов .К, К9.

Во многих случаях для определения температурного поля нагреваемого тела требуется двух- или трехмерное представление задачи теплопроводности. Двухмерное представление задачи теплопроводности рассмотрено в [3].Соответствующие передаточные функции легко получаются при граничных условиях 2-го рода суммированием передаточных функций соответствующих одномерных задач. ,

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Рапопорт Э.Я. Автоматическое регулирование температуры жидкого металла в газовых отражательных плавильных и раздаточных печах для алюминиевых сплавов. Канд. дне, Куйбышев, 1965.

2. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование о&ьектов и систем управления с распределенными параметрами. Учеб. пособие М.: Высшая школа, 2003.299с.

3. Узенгер А.А. Динамика процессов нагрева жидкой ванны в газовых печах// Вестник СамГТУ №41. Сер, Технические науки, Самара, 2006.

’ Статья поступила в редакцию 22 февраля 2007 г.