Чебышевская аппроксимация частотных характеристик газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Энергетика

УДК 536.24

Э.Я. Рапопорт, А.А. Узепгер

ЧЕБЫШЕВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ГАЗОВОЙ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ ПЕЧИ ДЛЯ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ1

Исследуется задача аппроксимации частотных характеристик гаї око іі отражательной печи, рассматриваемой в качестве объекта с распределенными параметрами, описываемого трансцендентными передаточными функциями.

Рассмотрим структурную схему жидкометаллической ванны газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов [!]. Управляющим воздействием является расход газового топлива

0(р), выходом - температурное поле металла Ти („V, р).

------------------1 А.% —■

к

1Н8>-

*4

1)(р) \

}

•6-

Чк

п г Ар)

А'

Чи (Р)

і и 0’)

(/>)

*-+—............

К,

гч(.\.р)

Г

Р и с. 1. Структурная схема объекта

Газовая отражательная печь представляет собой сложный объект с распределенными параметрами при сосредоточенном управлении 0( р) и распределенном выходе Т{.V. р). Структура объекта определяется известными коэффициентами передачи К, -н А\,. передаточными функциями (/?) и (р)для внутренней поверхности кладки и температуры поверхности нагреваемого тела. Передаточная функция И'_ (х,р) по управляющему воздействию (/?) характеризует температурное поле по всему объему металлической ванны.

1 Работа поддержана грантом РФФИ (проект 06-08-00041 -а),

Передаточная функция Н'м{х,р) для температурного поля жидкометаллической ванны относительно управляющего воздействия по расходу газового топлива имеет следующий вид [11:

IV,

м

/ \ Т (х, р)

М-Шш

к,к7

- §-1.- + - . СЧХхР.......

1 +

V

сИ^хнр

...Р_-і....+ .

(О

( ІГ ^ (

к, + 6

2 К,

К,

р-1 +.....

\

4 4 я2 х-

где тк = — , =----, г/; =—■-, г ^ =—- - постоянные времени;

ак ан ам ам

аК1, а к - температуропроводность металла и кладки;

Хм , Лк - коэффициент теплопроводности металла и кладки;

Л - глубина металлической ванны; х ~ пространственная координата точки контроля температуры по глубине ванны.

Ставится задача приближенного представления объекта с распределенными параметрами (ОРП) в удобной для анализа форме, подобной объекту с сосредоточенными параметрами (ОСП), т.е. возникает задача аппроксимации амплитудно-фазовых характеристик (АФХ) ОРП некоторой дробно-рациональной функцией комплексного аргумента.

В роли критерия качества приближения примем максимальное значение ошибки равномерного приближения

У(д)=шах|5(/й>,д)-Ж(/ш)|. (2)

где - АФХ ОРП, £(/&>, Д) - искомая дробно-рациональная функция, заданная с точ-

ностью до размерности вектора неизвестных параметров Д = (Д(1, А, ...Д;1).

Задача наилучшего приближения формулируется как отыскание такого вектора параметров который бы минимизировал критерий (2):

,/(д)= тах]5(ую,Д)--» тт. (3)

(а Л

Непосредственное решение задачи (3) оказывается сложной проблемой и требует большого объема вычислений. Поэтому, используя аппарат вещественных интегральных 5-п реобразо ван ий [2, 3], можно перейти в (3) от частотных характеристик к их аналогам в форме соответствующих вещественных изображений 1¥{б) и 5(й\д), получивших название характеристик мнимых частот (ХМЧ) [3], путем простой формальной замены комплексного аргумента на действительную переменную 5. Кроме того, будем рассматривать приближение на конечном отрезке \8Н ,8^. Тогда вместо (3) получаем более простую чебышевскую задачу минимизации ошибки равномерного приближения к нулю разности соответствующих ХМЧ ОСП и ОРП на подходящем действительном отрезке

./(А) - , шах —»пгип. (4)

Правомерность подобного перехода обосновывается однозначно устанавливаемой связью между АФХ и ХМЧ системы [3], обеспечивающей необходимую близость решений задач (3) и (4) при достаточно малой величине ошибки равномерного приближения в (4). Необходимую малость ошибки приближения мы всегда можем обеспечить за счег усложнения структуры 5(^,д) или за счет варьирования величины и положения отрезка приближения.

Хорошо известно [4, 5] замечательное свойство решения задачи (4), а именно: если А = Д° является решением (4), то разность, стоящая под знаком модуля, на отрезке приближения будет максимально уклоняться от нуля с чередующимся знаком ровно п+1

раз, где п — размерность вектора параметров Другими словами, на отрезке приближения будет ровно п+1 точек8 . 9 = 1,и + 1, в которых достигаются знакочередующиеся максимальные по модулю значения разности равные + ,/(А1’).

Таким образом, при достаточно гладкой форме ХМЧ типовых ОРП. исключающих избыточное число точек экстремумов разности решение задачи (4) можно свести

к решению системы нелинейных уравнений относительно искомых параметров, дополненной уравнениями для определения координат экстремальных точек 8 [2]:

ф;, д°)-|ф;)=(-04/-4с?\ч - йггьи=и

^:[5(<?;.Д“)-»'(г,;)]=0;, = 11;а€{|,2):Я| «{я.п + 1}. (6)

оо

где Л- 1, если 8® > 8Н , и Я - 2. если 8® - 8И ;

Л1 = п, если (5°+| - 8Н , и Я, = п + 1, если 8/^1 < 8Н ,

При наличии дополнительной информации о форме кривой , А0 )— ^(<5”) на отрезке

8 е позволяющей однозначным образом определить значения Я, Я,, у/ и выбрать

точки из возможного набора вариантов, система п + Л1 - Я + 2 уравнений решается относительно искомых параметров Д”,/ = 1,«, ХМЧ ОСП, наилучшим образом аппроксимирующей ХМЧ ОРП; минимакса ошибки равномерного приближения -/(а11) и координат экстремальных точек (5°,<7 = Я,Я1 .

После нахождения решения (5) и (6) производится обратная замена переменной 8 на комплексный аргумент }(0; при этом от характеристик в области мнимых частот мы переходим к характеристикам в области действительных частот. Далее оценивается степень близости частотных характеристик Ц'{]со) и 5(у<у, А0) по модулю и аргументу, и в случае удовлетворительного результата при дальнейшем анализе динамических свойств ОРП используется приближенная замена в виде, подобном ОСП, для каждого фиксированного значения пространственной координаты.

Перейдем от АФХ (1) к ХМЧ;

^ + с/гд/т , 6 ^ { ^ \ , Л

к,к7

*М*8) = -

1 +

л

к- * к<к‘ 1

А-,

1+(к,-к,к,уг~

А'5

(

к..

р-

сИт! тн6 • л-А^/т^б

//

(7)

( к, ^ (

*7

1 ‘ V

р-1

+

1 +

к,+

к., к,

18

1

При выборе структуры аппроксимирующих ХМЧ необходимо принять компромиссное решение относительно числа «настраиваемых» параметров очевидно, что с усложнением

структуры аппроксимирующей характеристики увеличивается точность приближения, но вместе с тем кривая разности А° будет иметь сложную форму, что в целом ус-

ложняет решение задачи аппроксимации (4).

Исходя из этих предпосылок выберем вид аппроксимирующей ХМЧ:

\ А, + А-,8

+ А,8 + ЛАд')

Для нахождения решения примем параметры ХМЧ ОРП:

К, = 0.628; К-, = 0.074; Кл = 536.53; К, = 73.81; К, = 61.376;К, = 11.587;/Г, = 15.358; К% = 20.428; К9 = 35.251;/? = 1.25 :тк = 3.712-106; г„ = 2.943 • 10я: т№ =8.508-103.

В результате решения систем уравнений (5). (6) для ХМЧ ОРП (7) и аппроксимирующей ХМЧ (8) получим значения Д( для различных значений параметра х. которые представлены в таблице.

Решения системы уравнений (5), (6)

X А, Д2 А, а4

0 0 2.927-10'3 2.418-104 7.546-10' 1.848 -109

0.2Я 340.318 2.918 10 3 2.431-10' 7.604-10' 1.674-109

з0.4Л 1.361-103 2.907-10'3 2.446-104 7.675-10* 1.252-109

0.6* 3.063-10’ 2.908-10'3 2.446-10' 7.667-105 6.970 10*

0.8Я 5.445-101 2.93Ы0"3 2.414-10' 7.510 • 105 1.219 ■ Ю8

К 8.508-103 2,882-10'3 2.435-10' 7.601-105 - 9.296 108

Рассмотрим случай при х = К. Построим графики ЛАЧХ (рис. 2, а), ФЧХ (рис. 2, б). Ошибка аппроксимации ХМЧ ОРП и ОСП иллюстрируется на рис. 2, в, погрешность аппрок-

^ 201оё()^(./ш)|)-201о§(|^(МД)|)

симации логарифмических частотных характеристик-----------------т л-------------- поР н------------------------------------------------------------------------------201оД^(,/ш)|)

казана на рис. 2, г. На отрезке 3 е[Зн ^3„\ аппроксимации при 3„ =9-10"ч:<?;, =Ы0"4 максимальная ошибка аппроксимации ХМЧ немного больше 0.001. погрешность аппроксимации логарифмических частотных характеристик менее 5% (рис. 2, г). По данным результатам можно сделать вывод о корректном выборе аппроксимирующей ХМЧ. Подобные результаты по ошибкам получаются при расчете параметров Д, для остальных значений .г, представленных в таблице.

Зависимости Д, от значений х показаны на рис. 3. Качественный анализ графиков и значений параметров Д( позволяет сделать вывод, что параметры Д,, Д, и Д, незначительно изменяются около некоторых средних величин, в отличие от параметра Д,. который изменяется в существенном диапазоне значений. Найдем методом наименьших квадратов средние значения первых трех параметров и линейную зависимость четвертого параметра от величины х. Коэффициенты Д( и их средние значения, рассчитанные методом наименьших квадратов, представлены на рис. 3.

Таким образом, в конечном виде аппроксимированная передаточная функция для ОРП имеет вид

ч Д“+Д°,/>

Х’р)= /..о 'о/ \ ?У (9>

/>-(1 + Л?/7 + ДДх)/7 )

где Д° = 2.912 .ю_\ Д° = 2.4316-10\ Д° =7.60005-10' и

Д“ = -5,4569 • 10У • х + 2.1415 -101*.

Построим переходные характеристики нагрева газовой отражательной печи для алюминиевых сплавов по аппроксимированной АФХ. На рис, 4 сплошной линией показаны переходные характеристики по рассчитанным параметрам Д, методом чебышевской аппроксимации (из таблицы), пунктирными линиями - переходные характеристики по параметрам Д'|.

линеаризованные методом наименьших квадратов. Качественный анализ графиков позволяет сделать выводы о хорошем приближении переходных характеристик при переходе к унифи-

цированной передаточной функции 5(х,р). Ошибка составляет не более 10° К при безразмерном времени порядка Го = 0.5 .

6

г

в

г

Р и с. 2. Графики ОРП и аппроксимированной ОСП при х-Й: а - ЛАЧХ; б - ФЧХ; в - ошибка приближения J{S) — Д)— погрешность аппроксимации логарифмических частотных характе-

ристик

с.?*; ?.В8

Р и с. 3. Параметры: а ~ Д,,, Д° ; 6 - Д 2,, Д°2; в - Д 3 , Д° ; г-А^, Д°4 = -5.4569 109 • хч-2.1415-109

Р и с. 4. Переходные характеристики аппроксимированной передаточной функции

1. Узенгер А.А. Динамические свойства тоной отражательной ночи л.1м алюминиевых епланок П Вссгинк Сам-П'У. Сер. «Технические науки». 2007. №1(14).

2. Рапопорт Э.Я. Альтернаненый метол в прикладные задачах оптимизации, М.: Наука. 2000.

3. Орурк И. А. Нопые метолы синтеза линейных и некоторых пе.ш11СНШ.1Х динамически:'. систем. М.: Наука. 1965.

4. Ашежр Н.И. Лекции но теории аппроксимации. М.: Нууг;;и 1965.

5. Демьянов Ф В . Маяозёмав ЯН. В веление в минимакс. М.: 11;)ук;1. 1972.

('т/ти,я пгкчпупм.и) и рсдакцит 23 пктяоря 2007 г

УДК 519.816 Р. И, Хафизов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОГО ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ

Построены системы управления централизованного теплоснабжения и транспорта тепчовой энергии. Определены и идентифицированы математические модели построенных систем в форме производственных функций (ПФ), проанализированы полученные аппроксимативные модельные зависимости н определены на их основе частные показатели эффективности функционирования системы централизованного теплоснабжения.

Системы централизованного теплоснабжения являются сложными техническими системами, предназначенными для удовлетворения нужд отопления промышленных производственных объектов и коммунально-бытовых потребителей. В условиях проводимой в настоящее время реструктуризации энергетической отрасли особое внимание следует уделять перспективам развития энергетических компаний и энергетических систем снабжения потребителей, повышению их конкурентоспособности.

Одним из главных путей интенсификации производства и повышения его эффективности, в частности систем централизованного теплоснабжения, является автоматизация на базе современных средств вычислительной техники. Важную роль в решении поставленных задач призваны сыграть автоматизированные системы управления технологическими процессами.

Создание оптимальной системы автоматического управления работой систем централизованного теплоснабжения должно изначально основываться на системном анализе работы существующей системы теплоснабжения для определения характера взаимодействия процессов выработки, транспорта и потребления тепловой энергии, а также наличия резервов экономии теплоты. Реализация систем автоматического управления режимами работы систем централизованного теплоснабжения требует выбора оптимальной схемы управления процессом теплоснабжения. Для решения этой задачи используются математические модели, которые позволяют проигрывать различные варианты управления. Это позволит автоматизировать те функции управления, которые дают наибольший эффект. Имитационное моделирование должно обеспечить выбор оптимального технологического режима функционирования. С созданием математических моделей, имитирующих процессы теплоснабжения, в рамках любой автоматизированной системы управления теплоснабжающего предприятия появляется возможность расширить список решаемых задач и охватить наиболее сложные функции управления. Решение этих задач возможно только с помощью математических моделей.

Система централизованного теплоснабжения с точки зрения теории автоматического управления представляет собой замкнутую систему регулирования, которая предназначена для воспроизведения программы изменения регулируемой величины. Объектом управления выступает агрегированный потребитель тепловой энергии. На вход объекта управления поступает регулирующее воздействие, определённое как теплота, передаваемая по подающему трубопроводу с источника теплоснабжения. Источник теплоснабжения представляет собой регулятор системы. На объект управления постоянно действует возмущающее воздействие, обусловленное климатическими факторами (скорость ветра, влажность воздуха и т.д.), основным из которых является температура наружного воздуха. Контур замыкается подачей в регулятор системы по цепи жесткой положительной обратной связи выходной величины объекта управления - теплоты, передаваемой по обратному трубопроводу. Регулирование управ-174