CC BY
55
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Немков B.C. Демидович В.Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. Л.: Энергоатомиздат, 1988.
2. Зенкевич ОМорган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.
3. Норри Л., Ж де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.
4. Слухоцкий А Е. Установки индукционного нагрева. Л.: Энергоиздат, 1981.
УДК 62-40
Э.Я. Рапопорт, А.В. Сергеев
ЧЕБЫШЕВСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ЗАДАЧАХ АППРОКСИМАЦИИ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОВ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Проблема параметрического синтеза дробно-рациональной аппроксимации трансцендентных амплитудно-фазовых частотных характеристик объектов с распределенными параметрами сводится к задаче минимизации ошибки равномерного приближения к нулю разности соответствующих характеристик мнимых частот на подходящем действительном отрезке. Предложенный метод синтеза базируется на чебышевских свойствах решения такой задачи и априорной информации в форме соответствующих характеристик. Приводится пример дробно-рациональной аппроксимации амплитуды о-ф азов ой частотной характеристики объекта, описываемого уравнением теплопроводности.
При автоматизации сложных объектов управления часто возникает ситуация, когда адекватное описание динамики объекта можно дать только с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Амплитудно-фазовые частотные характеристики (АФЧХ)[ 1 ] таких объектов, получивших название объектов с распределёнными параметрами (ОРП), имеют сложный вид трансцендентной функции комплексного аргумента [ 2 ]. Анализ частотных характеристик в таком виде затруднён, в отличие от частотных характеристик объектов с сосредоточенными параметрами(ОСП), которые имеют вид дробнорациональной функции комплексного аргумента [ 1 ].
Естественным образом возникает задача о приближённом представлении объекта с распределёнными параметрами в удобном для анализа виде объекта с сосредоточенными параметрами, т. е. возникает задача об аппроксимации АФЧХ ОРП некоторой дробно-рациональной функцией комплексного аргумента.
В роли критерия качества приближения естественно взять максимальное значение ошибки равномерного приближения
7(А) = шах|5'0«,А)-1^0'«)| , (1)
б) ' '
где есть АФЧХ ОРП, а 8(]ш, А)-дробно-рациональная функция, заданная нами с точностью до
размерности вектора неизвестных параметров А=(А0, А1 ... Ап).
Задача наилучшего приближения формулируется как отыскание такого вектора параметров А, который бы минимизировал критерий (1):
J(A) = тах^О’ю, А) - -> тт. (2)
со Д
Решение непосредственно задачи (2) является сложной процедурой и требует большого объёма вычислений. Поэтому, используя аппарат вещественных интегральных 6-преобразований [ 3, 4 ], можно перейти в (2) от частотных характеристик к их аналогам в форме соответствующих вещественных изображений 8(8,А) и \¥(5) , получивших название характеристик мнимых частот (ХМЧ) [ 3 ], путём простой формальной замены комплексного аргумента на действительную переменную 5. Кроме того, будем рассматривать приближение на конечном отрезке [5Н,5В]. Тогда вместо (2) получаем более простую че-бышевскую задачу минимизации ошибки равномерного приближения к нулю [ 5 ] на подходящем действительном отрезке разности соответствующих ХМЧ ОСП и ОРП:
/(А) = ^ шах |$(£, А)(£)| -» пип. (3)
Правомерность подобного перехода обосновывается однозначно устанавливаемой связью между амплитудно-фазовыми частотными характеристиками и ХМЧ системы [ 3 ], обеспечивающей необходимую
близость решений задач (2) и (3) при достаточно малой величине ошибки равномерного приближения в (3). Необходимую малость ошибки приближения мы всегда можем обеспечить за счёт усложнения структуры ОСП или за счёт варьирования величины и положения отрезка приближения.
Из теории приближений [5,6] хорошо известно замечательное свойство решения задачи (3), а именно: если А=А° является решением (3), то разность, стоящая под знаком модуля, на отрезке приближения [5Н,8В] будет максимально уклоняться от нуля с чередующимся знаком ровно п+1 раз, где п- размерность вектора параметров А. Другими словами, на отрезке приближения будет ровно п+1 точек 8Ч, # = 1, п +1 , в которых достигаются знакочередующиеся максимальные по модулю значения разности 8(5,А°)-ЭДХ8), равные ±1(А°).
Таким образом, при достаточно гладкой форме типовых ОРП, исключающих избыточное число точек экстремумов разности 8(8,А°)-\У{8), решение задачи (3) можно свести к решению системы нелинейных уравнений относительно искомых параметров, дополненной уравнениями для определения экстремальных точек 8Ч [ 7 ]:
А°)-Ж(^0) = (-1)>У(А°); Ч = 1,п + 1; И = 1;
А0)-)]= 0; Ч = Ла1 Ле {1,2}; Л, е {и,и +1}, (4)
где Х=1, если 5°1>5Н; Х=2, если 5°1=6Н; А,|=п, если б^н^в иХ^п+1, если 5°п+1<>в-
При наличии дополнительной информации о форме кривой 8(8,А°)^(8) на отрезке [8н,8в]э8, позволяющей однозначным образом определить значения X, Х1 , ц/ и выбрать точки из возможного набора вариантов, система п+Хх - Х+2 уравнений решается относительно искомых параметров А® / = 1 ,п ХМЧ ОСП, наилучшим образом аппроксимирующей ХМЧ ОРП; минимакса ошибки равномерного приближения 1(А°) и координат экстремальных точек 8°ч, ц=Х, Х\_
Для упрощения реализации численной процедуры решения системы (4) предлагается следующий алгоритм.
1. Система (4) разделяется на две подсистемы:
^°,д0)-Ж(^°) = (-1)>ЛА0); я = И = 1; (5)
^(^,Д0)-^(£09)]=0; Ч = их Ле{1,2}, Л1е{п,п + 1}, (6)
2. Решается система (5) относительно параметров А0 и минимакса 1(А°). Точки 8°ч считаются заданными. Решение производится любым стандартным численным методом.
3. Уточняется расположение экстремальных точек 8°ч. Т. е. решается система (6) относительно точек 5°ф причём значения А0- это решение системы (5), полученное на предыдущем шаге.
Здесь необходимо отметить, что в общем случае мы не располагаем достаточной информацией для того, чтобы заранее судить о характере расположения экстремальных точек, т.е. о значениях индексов X, Х\9 а отсюда о количестве уравнений в системе (6). Как показывает практика, в большинстве случаев 5°!= 8Н, Ь°а+1- 6в и Х=2, Х^, но, для большей надёжности, лучше поступить следующим образом: вместо системы (6) взять одно уравнение
^[адА°)-^(<фо (7)
и найти все его корни, принадлежащие отрезку приближения. Очевидно, что они будут являться исчерпывающим решением системы (6).
4. Возвращаемся к п. 2, где теперь экстремальные точки 8°ч - это решение системы (6), полученное на третьем шаге.
Таким образом, строится итеративная процедура, представляющая по существу процесс пошагового уточнения решений подсистем (5) и (6). Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность решения.
Окончательно, путём обратной формальной замены действительной переменной 8 на комплексный аргумент перейдём от характеристик в области мнимых частот к характеристикам в области действительных частот. Далее оценивается степень близости частотных характеристик 8(Зсо,А°) и ^^(Зсо) по модулю и аргументу, и в случае удовлетворительного результата при дальнейшем анализе динамических свойств ОРП используется приближённая замена в виде ОСП.
В качестве примера применения подобного подхода рассмотрим аппроксимацию типового ОРП II порядка, описываемого уравнением теплопроводности
где 0(х,О - температурное поле в процессе распространения тепла, характеризующее состояние объекта; а- коэффициент температуропроводности, зависящий от основных теплофизических параметров нагреваемого тела [ 8 ].
Для получения частотной характеристики объекта преобразуем уравнение (5) по Фурье:
. / . Ч сі 0(д:,у<у)
]а>@{х,;со)=а--------- -■
<1хг
(9)
Выражение (9)- типовое дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, где некоторый постоянный параметр. Его решение при конкретных граничных условиях (в которые, в свою очередь, входит управляющее воздействие) позволяет определить соответствующие им АФЧХ.
Для примера остановимся на граничных условиях 3-го рода [ 8 ]:
(10)
где X- коэффициент теплопроводности; а- коэффициент теплопередачи; ©(Я,!)- температура на поверхности тела; ©(0,0- температура в точке симметрии тела; ©с(0~ температура внешней среды, являющаяся в данном случае управляющим воздействием.
Перейдём в (10) к изображениям по Фурье:
Я--—+а 0(/г,у<у) = ог ©с(уй>);
іІ X СІ X
(11)
При совместном решении (9) и (11) окончательно получим АФЧХ теплового объекта второго порядка, описываемого дифференциальным уравнением (5), при граничных условиях третьего рода (10) [ 2 ]:
х) =
•у<у
V7! - у® • з*ЬІТк -усо + сИ^Тк ■ ]а>
(12)
Здесь Ть Тк, Тх - постоянные времени, определяемые теплофизическими параметрами нагреваемого тела [2].
Перейдём в (9) к ХМЧ:
Кш{8,х) =
^Т\ • ^Тк 8 + -8
(13)
При выборе структуры аппроксимирующих ХМЧ необходимо принять компромиссное решение относительно числа "настраиваемых” параметров А*: очевидно, что с усложнением структуры аппроксимирующей характеристики увеличивается точность приближения, но вместе с тем кривая разности 8(8,А0)-W(8) будет иметь более сложную форму, что в целом усложняет решение задачи аппроксимации (3). Исходя из этих соображений для аппроксимации }¥ш (3, х) рекомендуется принять
ДИ(Д,А)= (14)
1 + Аг5 + А^&
поскольку, как показывает опыт решения подобных задач, при относительной простоте реализации процедуры приближения, при помощи выражения (11) достигается необходимая близость не только ХМЧ 8Ш(5,А0) и \Ущ(8, х), но также и частотных характеристик, что собственно и является основной задачей приближения.
Далее сформулируем задачу чебышевского приближения (3), которая для рассматриваемого здесь примера запишется соответственно как
Л„(д)=даах
А! + А2£
°Ь^ТХ -8
1 + Д3£ + А4£2 ^Тх • 8 ■ $1г^Тк ■ 8 + ск^Тк 8
-> Ш1П.
Л
(15)
Как отмечалось ранее, решение задач, подобных (15), можно свести к решению системы нелинейных уравнений типа (4) с помощью итеративной процедуры, описанной выше. Технически осуществить эту процедуру можно с помощью пакета прикладных программ типа МАТИСАХ), в котором реализованы основные численные алгоритмы, в том числе и алгоритм численного решения систем нелинейных уравнений. Написание текста программ ведётся на языке, максимально приближенном к обычному математическому языку, кроме того, имеется возможность оперативного получения графической информации, что значительно облегчает процесс идентификации формы кривой разности 8(8,А°)-\¥(8).
В результате решения, при заданных параметрах ОРП (Тк=1.5; Тх=1.1, Т 1=1.2), на отрезке приближения 5 е [0, 50], была найдена аппроксимирующая ХМЧ :
0 а0ч 1,00179 + 0,52242*
А )=---------------------------(16)
1 + 2,10338*+ 0,26977*2
Окончательно, путём обратной замены 8-^ со, переходим к характеристикам объектов в частотной области. Ниже на графиках (рис. 1,2) для качественного анализа результатов аппроксимации в частотной области построены модули (амплитудно-частотные характеристики) и аргументы (фазо-частотные характеристики) АФЧХ приближаемого ОРП и найденного для его приближённой замены ОСП. На рис.З построена кривая разности 8ш(8,А0)^ш(8), иллюстрирующая основное свойство решения задачи чебы-шевской аппроксимации (3) [3,4 ].
Рис. 1. Амплитудночастотные характеристики
Рис. 2. Фазочастотные характеристики
Рис. 3. Ошибка приближения
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Математические основы теории автоматического регулирования / Под ред. Б.К. Чемоданова. Т.2. М.: Высш. школа, 1977.
2. Маковсий В. А. Динамика металлургических объектов с распределёнными параметрами. М.: Металлургия, 1971.
3. Орурк КА. Новые методы синтеза некоторых нелинейных динамических систем. М.-Л.: Наука, 1965.
4. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления / Под ред. А.А. Воронова, И.А. Орурка. М.: Наука,
1984.
5. Ахиезер НМ Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.
6. Демьянов Ф.В., Малозёмов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.
1. Рапопорт Э.Я. Параметрическая оптимизация систем автоматического управления по равномерно-частотным критериям. // Вестн. Самар, гос. техн. ун-та. Вып. 5. Сер. "Технические науки". 1998. С.13-28.
8. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высш. школа, 1967.
