CC BY
43
30. Фокин М. В. Об оценках решений некоторых краевых задач для уравнения колебания стрУны//Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1983. С. 151 — 154. ”
31. Кальменов Т. Ш., Садыбеков М. А. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения/ДДифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, №1. С. 60—65.
32. Кальменов Т. Ш. О регулярных краевых задачах и спектре для уравнений гипер-
болического и смешанного типов: АвтореФ. дне. ... д-па физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1982. 27 с. * '
33. Лернер М. Е. Принцип максимума модуля для систем уравнений с производными первого и высоких порядков в многосвязных областях//Уравнения неклассического типа. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. С. 88—92.
34. Сабитов К. Б. О принципе максимума для уравнений смешанного типа//Дифферен-ииальные уравнения. 1988. Т. 24, №11. С. 1967—1975.
35. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений
смешанного типа: Автореф. дис. ... д-оа физ.-мат. наук. Киев: Ин-т математики
АН УССР, 1992. 21 с. 1 "
36. Лернер М. Е. О двух новых качественных свойствах функци Римана//Докл.
АН СССР. 1989. Т. 307, №4. С. 807—811.
37. Лернер М. Е. О качественных свойствах функции Римана//ДисЬференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 12. С. 2106—2120. ‘
38. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973. 711 с.
39. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947. 192 с.
40. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Изд-во иностр.
лит-ры, 1957. 442 с.
41. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. 164 с.
42. Бииадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 449 с.
43. Бабич В. М., Капиле вин М. Б. и др. Линейные уравнения математической физики. М.: Наука, 1964. 368 с.
44. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука, 1970. 295 с.
45. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа. М.: Высш. школа, 1985. 304 с.
46. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1974. 156 с.
47. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типа. Ташкент: ФАН, 1979. 180 с.
48. Моисеев Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: МГУ,
1988. 150 с. ‘
49. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газовой динамике. Л.: ЛГУ, 1990. 204 с.
50. Репин О. А. Краевые задачи со смешением для уравнений гиперболического и смешанного типа. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1992. 161 с.
УДК 519.31
Э. я. РАПОПОРТ, М. Ю. ЛИВШИЦ, Ю. Э. ПЛЕШИВЦЕВА
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ОДНОМ КЛАССЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Устанавливается сходимость и предлагаются оценки погрешностей конечномерных приближений по методу Галеркина в одном классе задач оптимизации распределенных, систем, описываемых линейными уравнениями в частных производных параболического типа.
Особенностью рассматриваемых задач является формулировка краевых условий на правом конце траектории в соответствующем бесконечномерном фазовом пространстве, предусматривающая выполнение априори фиксируемых требований в равномерной метрике по точности приближения результирующего состояния распределенной системы к заданному при управлении как исходной, так и аппроксимированной моделями объекта с удержанием (в последнем случае) любого конечного числа фазовых координат.
ВВЕДЕНИЕ
Многие известные методы численного решения задач оптимального управления объектами с распределенными параметрами (ОРП), описываемыми уравнениями в частных производных, используют различные способы аппроксимации возникающих здесь краевых задач, включая конечно-разностные и дифференциально-разностные схемы, методы конечных элементов и др. [1].
Наиболее естественный путь перехода к подобной упрощенной модели ОРП при возможности представления функции его состояния в характерной форме разложения в бесконечный сходящийся ряд Фурье по полной системе соответствующих собственных функций [1—5] состоит согласно общему методу Галеркина [6] в «усечении» этого ряда путем учета лишь конечного числа N первых его членов. Такая операция эквивалентна соответствующей конечномерной аппроксимации точного описания ОРП бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов указанного разложения [1—5].
Подобный подход оказывается тесно связанным с теорией сингулярно-возмущенных бесконечномерных систем, если в роли малого
параметра рассматривать величину —~— , обратную числу удерживаемых гармоник [4]. На этом пути удается, в частности, использовать известные идеи приближенного агрегирования динамических моделей объектов для аналитического конструирования конечномерных оптимальных регуляторов [5], что позволяет распространить метод «усечения» на актуальные задачи синтеза замкнутых систем управления ОРП. ' '
Традиционной и достаточно сложной проблемой при применении методов конечномерной аппроксимации является исследование сходимости итерационного процесса при N -> оо и оценок погрешности получаемых приближений по оптимизируемым функционалам качества и управляющем воздействиям в зависимости от величины N. Некоторые типичные задачи такого рода при аппроксимации моделей ОРП по методу Галеркина рассматривались, например, в работах [2—5]. Известные результаты получены в этом направлении, как правило, для случая квадратичных интегральных оценок отклонения конечного состояния ОРП от требуемого, вычисляемых для каждого N по соответствующей конечномерной модели ОРП, что приводит при описании в этих терминах краевых условий к возникновению на каждом шаге итерационной процедуры дополнительной зависящей от N погрешности по точности приближения к заданному результирующему распределению [3].
Существенный интерес представляют менее изученные подобные задачи с подвижным правым концам траектории при использовании характерных чебышевских оценок отклонения функции состояния ОРП в конце оптимального процесса от заданной точки в соответствующем функциональном пространстве [7, 8], рассматриваемые в условиях сохранения требований по допустимой величине этого отклонения в равномерной метрике при управлении «усеченной» моделью объекта для всех рассматриваемых значений N [9].
В данной ситуации на любом шаге итерационного процесса без погрешностей удовлетворяются исходные /краевые условия по точности приближения к требуемому конечному состоянию ОРП, оцениваемой в
кормах, наиболее адекватных потребностям достаточно широкого круга прикладных задач [9]. Именно указанное обстоятельство позволяет ограничиться здесь анализом качества конечнохмерных приближений только по соответствующим потерям оптимизируемых функционалов.
В настоящей работе исследуются в указанной постановке вопросы сходимости и предлагаются конструктивные способы вычисления верхних оценок погрешностей конечномерных приближений для ряда модельных процессов оптимального управления распределенными системами, описываемыми уравнениями в частных производных параболического типа.
1. Постановка задачи оптимального быстродействия
Рассмотрим характерную задачу оптимального по быстродействию управления ОРП, функция состояния которого 0(/, /) в зависимости от пространственной координаты /е [0, 1] и времени /<= [0, /о] описывается параболическим уравнением в частных производных с линейным дифференциальным оператором при соответствующих краевых условиях [1—3, 8]. В качестве математической модели такого объекта используем его эквивалентное представление в виде бесконечной системы уравнений первого порядка
~ ~~,Ц "т~т ^т^т £т (0 - ~ 1 (^“ :гЬт, [0, /о] ( 1 )
т = 1,2,...
относительно коэффициентов (временных мод) гт (/) разложения 0(£, /) в сходящийся ряд Фурье по собственным функциям К(\лт1) соответствующей задачи Штурма—Лиувилля [1—4]:
со
0 (/, /) = 2 АтгтУ)К(\1т1), /е=[0, 1]. (2)
!П = 1
Здесь }ят — собственные числа; Ат — нормирующие множители, определяемые краевыми условиями; значения г°т определяются разложением в ряд вида (2) известной функции 0(1, 0) начального состояния ОРП; [1=п(/)(=еЕ1 — кусочно-непрерывное управляющее воздействие, подчиненное ограничению
^ггп'п-^ И (0^ (3)
где ит 1 п и «тах — заданные величины^; ((), {т(и) — известные
кусочно-непрерывные функции своих аргументов, прпчем
\1т(и)\<Ст, т= 1, 2,... (3')
для всех «(/), удовлетворяющих неравенствам (3); Ьпи Ст — заданные константы.
Необходимо найти такое допустимое в условиях (3) управление £/*(/), которое за минимально возможное время to = t*o обеспечивает для объекта (1) требуемую достижимую точность в>0 равномерного приближения конечного состояния 0(/, /о) к заданному 0ь(/):
тах !0(/, /о) — 0.ь(/)| <8. (4)
/<=[ о, 11 '
Используем далее для приближенного описания ОРП «усеченную» модель, ограничиваясь учетом конечного числа Ы<оо гармоник в (1): 26
■ т
II :п Ь т\т ( И ) + §, т ( $ ) , { О ) ~ 2°т, ^€=(0, I о N ) ,
т = 1, Лт.
В качестве приближенного решения сформулированной выше задачи оптимального быстродействия будем искать такое управляющее воздействие и*к((), удовлетворяющее ограничению (3), которое переводит конечномерный объект (5) в некоторую неизвестную априори
точку /ЛГ(/оЛг) = (2т(/ол')), т= 1, Л\ обеспечивающую выполнение требования (4) к конечному состоянию объекта (1) за минимально возможное время /"оа-, причем о по определению /*о. Тем самым
осуществляется переход к поиску приближенных решений на существенно более простом классе управляющих воздействий, реализующих оптимальное по быстродействию управление конечномерной моделью (5) для всевозможных фиксированных конечных состояний 2Ы {(оА,-). Последующий выбор экстремального элемента на этом множестве должен производиться из условия выполнения основного ограничения (4) на допустимую величину чебышевской оценки отклонения результирующего распределения ё (/, /0) от заданного @/г(/), вычисляемой при точном описании ОРП бесконечной системой уравнений (1). Всюду далее предполагается, что искомые управления и* (I) и и*н(1) существуют. Для целого ряда характерных ситуаций описанная задача поиска и*н(/) легко параметризуется е помощью известных условий оптимальности, после чего сводится к специальной негладкой задаче математического программирования с основным ограничением вида (4), которая может быть решена методом, предложенным в [10]. Разработанные конструктивные алгоритмы обеспечивают возможность эффективного вычисления и*и(1) указанным путем для достаточно широкого круга прикладных задач [9, 10].
Для оценки погрешностей получаемых приближений необходимо исследовать ИХ СХОДИМОСТЬ к ТОЧНЫМ -решениям при N->-00 И оценить потери по минимизируемому функционалу в зависимости от величины N. Существенной особенностью предлагаемого подхода к приближенному решению задачи оптимального по быстродействию управления ОРП является отсутствие погрешности в достижении требуемого, согласно (4), конечного состояния системы для всех рассматриваемых значений N в противовес традиционным схемам, согласно которым краевая задача для каждого N формулируется в рамках соответствующей конечномерной «модели [1, 3], что приводит к возникновению дополнительной ошибки по отклонению ©(/, /о) от в/г(/), зависящей от выбора «V. Указанное обстоятельство порождает определенную специфику используемых ниже процедур вывода опенок для погрешностей приближенных решений задач оптимизации р ассм а трив а ем ых систем с распределенными параметрами.
2, ^ 1 р ьзя задача минимаксной оптимизации
Подобно [ хО, 11] нетрудно показать, что для сформулированной выше задачи быстродействия минимальное время процесса при точном и приближенном моделировании ОРП бесконечной и «усеченной» системами (1) и (5) (соответственно /*о и /д>лЛ является непрерывной строго убывающей функцией г (соответственно /*0^) и /*иу(е)) на всем интервале изменения достижимых значений этой нелпчины в (4).
На этом основании можно установить эквивалентность решений задач оптимального управления рассматриваемыми ОРП по критериям быстродействия и минимакса. Точнее, имеет место следующий результат [9, 11].
Пусть для ОРП, описываемого бесконечной системой уравнений (1), требуется найти допустимое в условиях (3) управляющее воздействие и** (/), минимизирующее за фиксированное время /о = ^**0<^*0 (sinf) функционал
/(/""о, и)=тах|0(/, f**o) —0.(0! min, (6)
fejO.'l] и
где 8inf — точная нижняя граница достижимых значений е в (4) [8—10]. Тогда искомое управление а**(£) совпадает с оптимальным по быстродействию и* (t) в задаче (1) — (4) при е = е*, где е* — минимальный корень уравнения /*о(е) = t** о, и, следовательно, /(/**, и**) = е". Пусть далее требуется на множестве управляющих воздействий uN(t) для конечномерной модели (5), реализующих за минимальное время всевозможные заданные конечные состояния объекта в соответствующем xV-мерном фазовом пространстве, найти управление uN**(t), минимизирующее в условиях (3) за фиксированное время *олг-=--^ov<^o,v(ein0 функционал
hj(t**0N, Ww) = max|0(/, — в/г (/) | min. (7)
. /ez[0( 1] UN
Тогда аналогичным образом получаем, что u**N{t) совпадает с оптимальным по быстродействию управлением для такого конечного
состояния объекта (5), при котором выполняется равенство e = e*jv в (4), где е*дг — минимальный корень уравнения /*o,v(e) =toN**, и, следовательно, 1м (t**0Ny U**n) = €%/.
Введем следующие обозначения:
/° = /°(^**0) =и**)= min и),
^шах]
1°м — I°\J ( / * ” о ) = In U**n)= min I n (t" * о 1 Un) .
W!V^[«niin, «max]
Полагая t**0 = t**0Nf,= ta, найдем оценку неотрицательной в этих условиях (по определению 1°) разности I°N—/°>0. Согласно (6), (7) и (2), будем иметь;
/°*= max ! 2 АтК(\хт1) [г"0т—г*т]\, (8)
[0. 1] т = з
/° = max | 2 A,nK{\l:J) [Zom—2*m]i, (9)
/g=[0, 1] tn= 1
где zNот и zom — значения zm(ta) при управлениях u**u(t) и u**(t) соответственно, a z*m — коэффициенты разложения в ряд Фурье по функциям заданной функции 0^ (/) конечного состояния
ОРП в (4),
На классе управляющих воздействий uN(t) выделим управление UN(t), 0<t<ta} при котором достигается конечное состояние zm = zm(ta), 1, 2,.... для ОРП, совпадающее по первым N гармони-
кам для «усеченной» модели (5) с конечным состоянием полной системы (1) при оптимальном управлении u**(t):
zm = z0m; m= 1, /V. (10)
Управляемость объекта (5) в классе воздействий uN(t) по конечной точке (10) гарантируется существованием
Поскольку I°N<hr(ta, uN) по определению /%, то в силу (8) —10) получаем
оо
0</°(V——/° = шах I 2 A,„K(\lml) [Zm —
jr=.\ о, 1] т — \
оо оо
-г*т]\- -max ■ 2 АтК(цт1) [-г0т—■<”%«] | < шах | 2 Л.„Х
ь=[0, 1] т — 1 !<={0, 1] т= 1
°о
Х/С(|Лт^) ['2т ^от] [==тс1Х | 2 (|Лт^) [^т ^0^]|* (^0
[0, 1] .'/г=ЛЧ1
Используя здесь для вычисления zm и ,г0т известные решения системы уравнений (1) при произвольном кусочно-непрерывном управлении u(t)
... п -\btnt . * j-lm2 (t Т) ' —[Xm2(/—Т), f
Zm(t)=Z°rne + f £ gm (т)й(т + | £ Omfm{u)dx, (12)
о 0
m = 1, 2,...,
приведем оценку (11) с учетом ограничения на \fm {и) | по (3) к следующему виду:
оо
0</°д,—/°< шах I 2 AmK{\iml) [zm~z0m] | < fe[0, 1] m = N+\
< шах 2 I AmbmK(\lml) I \ e ^ m^a ^ \fm(u\(x)) — te[0, 1] rn = N+l 0
— fm{u**(x))\dx<. max 2 2| -ЛтЬп'С-'п—К(цт1)|. (13)
/<=[0, I] m = .V + 1 ^ m
Ввиду сходимости *ряда (2) при любом кусочно-непрерывном
управлении, удовлетворяющем ограничению (3), находим, что здесь
lim [max 2 2\К М \ = 0 (14)
.V—*-оо /г-= [0, 1] т = N +1 ‘Ll т
и, следовательно, в силу (13), (14) имеет место сходимость рассматриваемых конечномерных приближений по оптимизируемому функционалу качества
Пт (/%—/°) - 0. (15)
iV-^OO
Теорема 1. Последовательность управляющих воздействий {м**# (0)> Ar= 1, 2,... при t**0N = t**0 является минимизирующей для функционала качества (6). Оценка сверху погрешности приближения к минимальному значению критерия оптимальности для любого конечного значения N определяется неравенством (13):
0</°,v—/°<6а- = та,х 2 2\ К(цт1)\. (16)
/<=[(), 1] m = iV+!
з. Конечномерные приближения в задаче быстродействия
Пусть м*лп(0> ^ * о /V1 и и*м2^), ^ом2 — приближенные решения и соответствующие им длительности процессов управления ОРП в сформулированной выше задаче быстродействия для различных достижимых значений 8 в (4), равных соответственно 81 и 82, где будем далее считать 82>8] и, следовательно, ^*ол'2<^*олп. Тогда согласно сказанному в п. 2, получим для эквивалентных задач на минимум функционала (7) при И I * * ом — / * 0 N 2
1м (^ОЛП, и* М\) — (l"0Nl) — £] г 1м {£' О Л; 2) ^ "/V 2) — ^°АГ (^* ОЛ/2) (10
откуда по теореме I имеют место следующие оценки для точных величин минимакса /°(/*ола) и 1° ((*0/у2) в соответствующих задачах минимизации функционала (6) за время /**о = /*олг1 и £**о = **оу2 при управлении объектом (1):
£} 6а? = /°уУ (^*0Лп) 6.у</° ( ^0 /■/1 ) ^ ’ О А71) =£1, ( 18).
82-8м = 1°М ( ^ " О А/ 2 )-бл7 /° ( £ О Л7 2 ) <;‘°Л7 ( ^ " О ,У 2 ) =82. ( 19)
Из соотношений (18) и (19), в свою очередь, следуют неравенства
8 2—‘£1--б М~ 1°М (I' ’ О -V 2 )-----( t * О Лг 1 )-бд-г-</0 (^О/уз) -
---/° (('Л 0М\}-<1° N ( ^ * О Л7 2 )-/°,У (^*0Лп) + 6 .V == 8о—8] "Г 6лГ, (20)
где всегда можно считать, что 82—8*—6л>0 для всех конечных значений Ы, выбирая надлежащим образом величины 81 и е2.
Так как аналогично (17) /° (£*01) =/°лг(/*олп) =81, где /*01 — точная величина оптимального времени процесса в задаче быстродействия при 8 = 81 в (4), то на основании (18) будем иметь
0</°(^о1)—/°(/*ол'1)<5^. (21)
В свою очередь, полагая
1°м ( ^* 0N2 )------------(^*0.VI) = 82--£1 = 26,V, (22)
где без потери общности дальнейших выводов будем считать, что
тах|0(/, 0)—©/с (/) | >25,у, получим в силу (20)
1. 1 '
бл</°(**о*2)—/°(^олп)<36*. (23)
На основании сказанного в п. 2 можно утверждать, что зависимости /°(/*о) и Г°м(^ом) представляют собой непрерывные строго убывающие
функции своих аргументов на интервале [/*ол72, ^*олп]. Сравнивая
теперь неравенства (21) и (23), найдем, что в таком случае
?"0М2<^*0] .VI, (24)
и, следовательно,
0<Г-'о/у1-------^01 -< 1*0М\-^*0/У2. (25)
Переходя здесь к пределу при N оо, получим, что Нтбл/ = 0
N оо
согласно теореме 1, 82 8} в соответствии с условием (22),
^ом2 /*олч по определению /*одч и из неравенств (25) следует предельное соотношение
1 im (/*o,vi—tho\) = 0,
iV-~>-00
свидетельствующее о сходимости рассматриваемых конечномерных приближений для задачи быстродействия.
Теорема 2. Последовательность управляющих воздействий {и*Л; (0)» N =1, 2,.., является минимизирующей для задачи оптимального управления ОРП (1) по критерию быстродействия. Оценка сверху погрешности приближения к минимальному времени процесса при любом конечном значении N определяется неравенствами (25), где значения / * о л/ { и I * о .V 2 соответствуют для каждого N управлениям ьс (0 и первое из которых находится при заданном г = е-\ в (4), а второе — при 8 = 82 = 61+26.^.
4. Некоторые обобщения •
Рассмотрим для ОРП (1) — (4) задачу на минимум функционала более общего вида
to
I (и) — i F(Z, и) dt min, (27)
' о ' n(t)
где Z=(zm)t т= 1, 2,... и F(Z, и) — заданная непрерывная функция своих аргументов.
Нетрудно видеть, что при соответствующем выборе F функционал
(27) сводится к рассмотренным выше критериям быстродействия и мини макса. -
Требуется определить стесняемое ограничением (3) управляющее воздействие u0?i(t), обеспечивающее перевод объекта (1) из заданного начального состояния Z°=(z°m) в требуемое конечное, согласно (4) за время to = ta при минимальном значении критерия оптимальности (27).
Аналогично предыдущему, в качестве приближенного решения задачи будем рассматривать стесняемое ограничением (3) управляющее воздействие uNopt (t), переводящее объект (5) за время toN = ta из начального состояния Z‘v(0) (z°m), где ш = 1, Л/", в некоторое конечное
ОРП, с минимально возможным значением функционала качества ZN(t0\r), при котором выполняется условие (4) для точной модели
Jn(ii) = г F(ZM, и) dt min, ZN= (zm), m== 1, N. (28)
0 Ч()
Будем всюду считать, что функционалы (27), (28) имеют в точках
■и = иopt и u = uNopt отрицательные производные Гато по некоторым допустимым в условиях (3) направлениям h и hN\
—<0, (29)
dh dhN ' v 7
Предположим далее, что аналогичные неравенства имеют место для производных Гато функционалов (6) и (7) по допустимым направлениям hf и hfN:
dl(ta, ^Q?pt) ^ п. dl\r(ta, ИЛ opt) ^ (\ /ОА\
--------------, о, —7)!?7-.....- <0. (оО)
Тогда, подобно задаче быстродействия, нетрудно убедиться, что
1 {иop^)=J0 и 1м(имор{) =1°м являются непрерывными строго убывающими функциями соответственно /°(е) и 1°м(г) аргумента е на всем интервале изменения достижимых значений е в (4). Отсюда, в свою очередь, следует эквивалентность решений задач оптимизации ОРП как в точной, так и в приближенной постановках по (минимаксным и рассматриваемым интегральным критериям оптимальности.
Действительно, если Ыорг^) — решение задачи (1) — (4), (27) при 8 = 81 В (4), ТО /(/а, и0р{) <8 ДЛЯ ВСеХ 8>81 И, СЛСДОВатеЛЬНО, В СИЛ у непрерывности зависимости 0(/, /0) от управляющего воздействия, для всякого 8 = 82>81 в условиях (29) найдется управление Й(0» ДЛЯ которого 1(й)<](и0р\) при /(/я, й)<82. Отсюда следует, ЧТО /° (82) </° (г\)> причем в условиях (30) подобно [10] устанавливается непрерывность монотонно убывающей функции /°(е).
Теперь очевидно, что /(/а, и0р\) =т\п 1((а, и)=/°(^)=8* в условиях /(й)</*, где / • =/° (е*) , ДЛЯ всех ДОСТИЖИМЫХ значений 8 — 8* в (4) и значит, и0х>{(1) совпадает с управлением и**(/), минимизирующим функционал (6) за время /о** = 4 при дополнительном ограничении
] (и)—/*<0, /* = /°(е*). (31)
Совершенно аналогично показывается, что имор\(() совпадает с управлением м**л/(0» минимизирующим за время /:0.у = I а функционал (7) на множестве управляющих воздействий им У), оптимальных по критерию
(28) для всевозможных конечных состояний объекта (5) при ограничении
1м(и)—1*м<о, I* М — I® М (е*). (32)
При этом зависимости Л(/*), 1°м(1*м) так же, как /°(е) и /%(&), являются непрерывными, строго убывающими функциями своих аргументов.
Ограничимся далее рассмотрением некоторых частных случаев. Пусть в (27) д)=.Р(Р(0(/, /))) есть непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, где Р — некоторый оператор,
заданный на множестве функций состояния ОРП таким образом, что он определяется в силу разложения (2) в виде сходящегося ряда с известными коэффициентами А*т\
Р(0(/, /)) = П*л(/). (33)
т=1
Тогда подынтегральная функция в (27) не зависит явно от управления, а функционалы качества 1 (и) и 1м (и) при фиксированном времени процесса /о = 4 задаются в следующей форме:
1 о ПС А: -У
Ли) = [ /?(2 А*гпгт(1))(К, /*(и) = [ ^(Е^,^))й. (34)
Если, например, Р(0(/, /))=0(/ь 0 для некоторой фиксированной
точки /]^[0, 1], то здесь А*т = АтК([1т1\). В случае, когда Р — оператор усреднения функции состояния на отрезке [0, 1]=7, нетрудно найти А * т = А т К1 ( Ц т )'/ [.1 т, ГДе —К\(у)=К'(у). ПОСКОЛЬКУ Iм [Им оР0 =
= 10Аг<1м(иОр\) и I (и0р{) =/°</(^лгор|) по определению II о р 1 и и мори ТО для разности 1°м—/° получим:
^2
J°N J (Uffovt) <.J°N J° N (Uopt) J°- ( 35)
Подставляя сюда соответствующие выражения для / и Jn согласно (34), приведем неравенства (35) к виду
*а N ОО '
f [f(S A*mzNn^i(t))—F(S A*mzNmopt(t))] dtcJ°N—J°<
6 m = 1 /77--i
ta ;V OO
<: f[F(2 /l*mz,nopt(0)— ^(S i4*mz,nopt(/))]d/, (36)
0 m = 1 /•'/ = 1
где £'v,„0pt (0. m=l, N, и 2'mopt(0, m=l. 2,... — траектории временных
мод zm(t) функции состояния (2) при управлениях соответственно
tiNopi(i) и Uopt(t). Используя здесь для дифференцируемой функции
F(y), z/<= S условие Липшица \F(у2) — F(y\) \ <D\y2—У\\, V tjiy^S с константой
D = max| ~F.(y) -[■ (37)
.^s1 d« ' ’
будем иметь вместо (36)
"а ОО ia 00
— D f I 2 A*mzNmoAt)\ dt<}%—!°<D\ I 2 A*mzmovi(t)\dt, (38)
0 m=N+ 1 0 m~N + 1
откуда, в свою очередь, находим, что
ta ОО
]/%—/°( <Ajv, Адi=D \ 2 \А*т\-rnax|zm(/)\dt. (39)
0 m — N-\-1 и
Здесь НтЛлг = 0 и, следовательно, в силу (39) lim|/%—/° | = 0.
Л/-+СЮ Л7->оо
Теорема 3. Последовательность управляющих воздействий {wwopt(0}r N= 1, 2,... является минимизирующей для функционала качества J (и) в (34) при фиксированно)м времени процесса t0^ta. Оценка погрешности приближения к минимальному значению функционала /° для любого конечного значения N определяется неравенством (39).
Конкретные оценки для Дат легко получить, определяя max\zm{t)\
" * и
согласно (12) по аналогии с (13). В частности, для типичного случая z°m = 0; gm (0=0 m=N+ 1, jV + 2, ... будем иметь после простых вычислений
ОО -j 12/
An = D 2 —z—\A*mbmCm\{ta------------(1—)). (40)
rn = N + 1 ^ m ,l1 m
Рассмотрим далее другой частный случай F(Z, и) = F (и), когда подынтегральная функция в (27) не зависит от Z. Пусть w(1)opt(/) и u{2)opt(t) — точные, a ^(1)A'0pt(/) и u{2)Nopt(t) — приближенные решения рассматриваемой задачи оптимизации для различных достижимых значений е= г' и г — г" в (4), где г">г'. Пусть далее /*{ — /° (е/), /*2 = /0(е") и J*N\ = 10м(е'), J*n2~J0n(£") — соответствующие этим
управлениям минимальные значения J* и функционалов (27) и (28)
в соотношениях (31) и (32), где, следовательно, J*ni>J*n2.
Тогда для эквивалентных минимаксных задач на минимум функционала (7) с ограничениями (32) будем иметь подобно равенствам (17) для задачи быстродействия
Поскольку в рассматриваемом случае J(u)^JN(u)y то, по существу, сохраняются одинаковые ограничения (31), (32) при точном и приближенном моделировании ОРП, что обеспечивает управляемость «усеченной» модели объекта по конечному состоянию (10) при существовании соответствующих ТОЧНЫХ решений ;/(1)opt(0 и U{2)opi(t). Тогда, повторяя выводы п. 2, опять находим для разностей /%(/*лп) — —/°(/*дг!) и I°n(J*n2)—I°{J*n2) те же оценки вида (16), и, учитывая, что I°n(J*n) и /° (/*) — строго убывающие функции своих аргументов, по схеме доказательства теоремы 2 получаем следующее утверждение.
Теорема 4. Последовательность управляющих воздействий {«wopt (О)» N= 1, 2,... является минимизирующей для функционала качества (27) с подынтегральной функцией F{u), не зависящей от вектора фазовыд переменных ОРП (1). Оценка погрешности приближения к минимальному значению /° критерия оптимальности при любом конечном значении N определяется неравенствами
0 <PN (г)-J° (г/) </°,v (s') -/Че"), (42)
где е// = 8/ + 2бл^.
5. Сходимость конечномерных приближений по управляющим воздействиям
Предположим далее, ЧТО точные И приближенные решения и opt ('0 и iiNopi(t), N— 1, 2,... рассмотренной выше задачи оптимизации ОРП (1) по критериям J (и) и Jn(u) достаточно общего вида (27), (28) (в рамках изученных в пп. 2—4 частных случаев) существуют на допустимом множестве U управляющих воздействий в классе функций ограниченной вариации с полными изменениями, не превышающими одного и того же числа М:
if а (а
V (Mopt)cAl, V (^opt)cM = const. (43)
и о
Тогда, согласно теореме Хелли о выборе сходящейся подпоследовательности [12], можно выделить такую подпоследовательность {tttfropt}, которая поточечно сходится к некоторой функции U*(t)^U на всем интервале [0, ta]^t:
ta
lim U;Jropt(t)-=ii*(t)zElK (44)
Г—>-oo 0
Поскольку Jn(u) J (и) при N -> 00 по определению Jn и последовательность {uNopt(t)} — минимизирующая для соответствующего критерия оптимальности в силу теорем 1—4, будем иметь для полунепрерывных снизу функционалов (27) и (28) с учетом (44)
/°</(и*) *-/.у (//*)<Нт / /V {и л' г о р t) = lim/jv(M,v0Pt) =/°. (45)
Г—гОЭ N--*-00
Отсюда следует, что J(u*) —J° и, следовательно,
«*(/)= «о?; (/)=^-!im{«A opt (0) = и°рь V*&[0, /„].
:V--*-oo
Таким образом, в условиях исходных предположений имеет место сильная сходимость последовательности приближенных решений {млгор^)} задачи оптимизации ОРП к оптимальному управлению' для точной модели объекта.
Пример
Рассмотрим в качестве примера задачу оптимального по быстродействию управления температурным полем 0(/, I) неограниченной пластины, описываемым одномерным линейным неоднородным уравнением теплопроводности при краевых условиях второго рода с требованиями (4) к конечному температурному состоянию [13].
В качестве управляющего воздействия выбирается линия переключения 1=и (/) £= [0, 1] на плоскости (/, /) с одного предельно допустимого уровня на другой пространственно-временного распределения
Wopi(l, 0 мощности источников тепловыделения оптимальной кусочнопостоянной формы [13]:
I №тах, ¥0, 0:и(0 </<!.;
^ор*(Л О = | Шт1пш у(/; /):о</<н(/), (46)
где 'Мтгх и № т\п — заданные константы. Объект управления моделируется здесь следующей бесконечной системой уравнений вида (1)
ПрИ \Хт ~ Л ’ Ьщ ~ ------(^) 81П ([.I т И) ^гшп^О [ 13] :
* 1-1,-? 2
-;г~ =1—«(0+5(0; го(0)=0;
* (47)
—([Хт^) С08 ^ (0 » ^т(О)—0,
т = 1, 2, ,
а температурное поле представляется разложением вида (2) в ряд Фурье:
оо
0(/, 0=2о + 2--------Г---£,„(*)СОЭЦАт/ (48)
ш= 1
при Ат= -----=---; К{\ат1) =со&\1т1.
При этом ограничения на управляющее воздействие (3) и (3х) задаются неравенствами
0<м(0<1; |/«(^)|<Ст=1, V т=1, 2,... . (49)
Приближенные решения описанной задачи быстродействия и*м(1) при учете наряду с го лишь N=1 и #=2 гармоник ряда (48) могут быть получены в явной форме [13] с помощью стандартной процедуры принципа максимума Понтрягина [14] и последующего вычисления неизвестных параметров при заданном е в (4) по методу [9, 10]. Показано, в частности, что при этом и*#(/) на некотором промежутке [0, /'], представляет собой обратную тригонометрическую функ-
цию сложного аргумента, в роли которого фигурируют некоторые функции времени экспоненциального типа Г13]. Верхняя оценка 6* погрешности по функционалу (6) для эквивалентной минимаксно^
3* 35-
задачи определяется для любого конечного N согласно (16) с помощью соответствующей дзета-функции Римана %(у) от действительного аргу-
Отсюда, в частности, получаем 61 = 0,026; 62 = 0,01; б3 = 0,005 [15].
Решая сформулированную задачу быстродействия при фиксированном N для заданного значения е = 81 в (4) и для ■е = г2==е\ + 26получим верхнюю оценку погрешности по времени оптимального процесса в виде неравенства (25).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бутковский А. Г. Теория оптимального уравнения системами с распределенными
параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с.
2. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 с.
3. Плотников Б. И. О сходимости конечномерных приближений (в задаче об оптимальном нагреве неоднородного тела произвольной формы)//Журн. вычислит, математ. и мат. физики. 1968. Т 8, № 1. С. 136—157.
4. Первозванский А. А., Гайцгори В. Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука, 1979. 342 с.
5. Первозванский А. А., Солонина И. В. Субоптимальный конечномерный регулятор для объекта с распределенными параметрами. 1. Детерминированная задача аналитического конструирования//Автоматика и телемеханика. 1984. №4. С. 48—59.
6. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.
7. Коллатц Л., Крабе В. Теория приближений. Чебышевские приближения и их приложения. М.: Наука, 1978. 236 с.
8. Рапопорт Э. Я. Задача равномерного приближения при оптимизации распределенной системы, описываемой уравнением параболического типа/'/Сиб. мат. журнал. 1982.
Т. 23, МЬ5. С. 168—191. ' ‘ “
9. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. М.: Металлургия, 1993. 279 с.
10. Рапопорт Э. Я. Чебышевские приближения в задачах параметрической оптимизации управляемых процессов. I—П1/./Автоматика и телемеханика. 1992. №2, с. 60—67; «N9 3, с. 59—64; №4, с. 49—56.
11. Рапопорт Э. Я. Точный метод в задачах оптимизации нестационарных процессов теплопроводности/УИзвестля АН СССР. Энергетика и транспорт. 1978. №4. С. 137—145.
12. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 415с.
13. П лешие цева Ю. Э., Каргов А. П., Гущин Б. Л., Сипу хин Р. И. Пространственновременное управление процессами нестационарной теплопроводности//Вестн. Самар, гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. 1994. Вып. 1. С. 102—112.
14. Понтрягин Л. С., Болтянский В, Г., Гамкрелидзе Р. В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.
15. Янкс Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1964. 344 с.
ОО 1
мента у [15](|(у) = 2 ——- ):
я = 1
П =1
бя = шах
о, 1]
(50)
