Анализ и приближенное представление оптимального закона управления маневренным самолетом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

т о ом ХХ/

19 90

№1

;УДК 629.735.33.015.017.3

АНАЛИЗ И ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ МАНЕВРЕННЫМ САМОЛЕТОМ

Рассматривается задача оптимального по быстродействию управления подъемной силой, углом крена и тягой двигателя при развороте вектора скорости самолета на заданный угол курса. Анализируется структура оптимального управления. Получены близкие к оптимальным законы управления в функции времени, фазовых координат и ряда констант. Приведены примеры расчета приближенно оптимальных траекторий и дано сравнение их с точными решениями.

В работе [1] сформулирован один из подходов к проблеме аппроксимации законов оптимального управления углом крена маневренного самолета в задаче быстродействия разворота вектора скорости на заданный угол курса. Эффективность такого подхода демонстрируется в [1] на примерах использования фиксированных законов управления тягой двигателя и подъемной силой самолета'. В данной работе проводится качественный анализ, а также классификация возможных структур оптимального управления тягой и коэффициентом подъемной силы в зависимости от назначаемых краевых условий, задачи. На основе результатов [1] предлагается единый способ приближенного представления оптимальных программных законов управления тягой, коэффициентом подъемной силы и углом крена.

1. Постановка задачи. Условия оптимальности. Воспользуемся уравнениями пространственного движения самолета в изотермической атмосфере (в предположении [£ (^ + Л) /V2] 1) :

О. В. Балабанов, В. Т. Пашинцев

■

(1 )

— 5 1

V cos6 ’

где g = const, G = const. Е = h + jg ,

P = Po e_ph, P = const,

Сх (с) — с%о (М) + А (М)с;,

(2)

Е — удельная механическая энергия. Остальные обозначения совпадают с обозначениями, принятыми в [1].

Будем рассматривать задачу оптимального управления углом крена (у), коэффициентом подъемной силы (Су) и тягой двигателя (Р) с точки зрения минимума конечного времени (*к) процесса разворота

вектора скорости V на заданный угол курса 1']к при фиксированных начальных (Уо, во, Ло) и конечных (V,, вк, Лк) значениях фазовых координат.

Будем полагать, что конечное значение аргумента $к в (1) является свободным, а область и допустимых управлений и = (Су, Р, у} ограничена неравенствами вида .

Под величиной Сутах В (3) понимается некоторое предельное для Су значение, назначаемое либо из условия сваливания самолета (Сутах= = Сутах (М»), либо из условия ограниченности нормальной перегрузки

В качестве признака конца фазовой траектории при / = примем выполнение условия 1'] (/к) = 1']к-

Линейно входящее в (1) управление Р представим следующим образом:

где новое управление р ограничено неравенством 0<.р<.1. Введем в рассмотрение функцию Гамильтона

В соответствии с формализмом принципа максимума Понтрягина {2] оптимальное управление «орЬ определяемое из условия абсолютного минимума по и еи функции Н (Л, х, и), удовлетворяет следующим условиям:

'J *** ^ ЩЭХ V'*> * ), |

Pmin(h, V)<P<Pmax(h, V). I

О ^ Су ^ Су max (h, V),

(3)

P — P Рты (h, Ю + (1- P)Pm\n (A. V),

H(X, х,«) = |Хя^[Р-^-2-сЛсу)-5] +

+ [(Л8 COST + X1']|!0si) gcy • о] + [\h кsin 8 -

(4)

— _v =1.8 cos lopt + (V cos 6) Sin lopt < О,

1-1opt

орі

0< lopt < 1'];

(Су* при "е < О, Су* < Су

тах>

'у - I { Ан> О, либо

Cymax (h, V) при О . с .

' I *-Е ^ О, Су * Су шах,

Popt —

1 при ЛЕ < О,

О при "Е> О,

d*.e

(6)

(7)

Рос при Ае — О, ^-O,

где

Н____ 2Gcosfl и

H— gCypSR Н’

Рос — особое управление тягой,

Величина Су*, соответствующая оптимальному управлению cУopt в открытой области допустимых значений, с учетом (2) и (5) определяется формулами:

-у* |ь=х

opt

V(^/cos6)2+ л2 -_ЛЕ 2 А V2Ig

> о, с.

'J'*lr=r,

opt

-д2н

*

Л£ 2 А V

> О.

(8)

Сопряженные переменные Ах, в (4) — (8) удовлетворяют системе уравнений

- ЭХ [Н (Л, х, И) + [*(С - Су max (Л, V))]

ds дх*

при дополнительных условиях вида

Н (Л, Х, и) |t=tK = О, Л, == const> О, ^ = const < О,

_ д

,^(Су Сутах

при Су* > Сутах,

ри Су * < Cymax^

(9)

С учетом первого условия в (9) в силу независимости правых частей уравнений движения (1) и ограничений (3) от аргумента s для экстремалей справедливым является первый интеграл

Н (л, х, «opt) = О.

(10)

Исходя из условий оптимальности (5) — (8), можно сделать следующие выводы:

а) в открытой области допустимых значений у и су оптимальным является режим максимальной тяги (р=1) ;

б) на оптимальных режимах минимальной (р = О) и промежуточной (р = рос) тяги оптимальным значением коэффициента подъемной силы Су является Су opt = Су max (h, V);

в) момент выхода управления Cy opt на ограничение Cy = Cymax(h, V) предшествует оптимальному моменту переключения тяги с режима р=1 на режимы р = О и Р = Рос.

2. Качественный анализ структуры оптимальных управлений Су opt м Popt. Анализ структуры оптимальных управлений cyopt и Popt будем

проводить без использования каких-либо упрощений в системе уравнений движения (1). Согласно (8) и (9) имеем:

V (Ц/cosб)5 + i:;.; =

I л,

cos 6 sin "(0pt I К \g 2

> О,

1

sin 1opt > О, Cy* ІЕ COS 6 Sin "(opt 2 AV2

Введем обозначения:

>0.

-у = (Ац V sin е — Ae i:;.; cos6 + At) cos 6 Sin-V°-S- •

K IMgP-2 S

2 а

д

С„ =

I л, I .g'

(12).

^ p V3 S / 2’

С учетом (4), (11) и (12) первый интеграл (10) преобразуется к следующему виду:

Vc°s6 Н (Л, х, «орй - Cyopt--^

jVS =Ae [Cpopt Сх(СуорО^ —Q -i — °.

R

g IK, I LG

cos 6 si n

"(opt

(13)

1) обратимся вначале к анализу случая, когда оптимальное управление в (13) не является граничным (суорі = су*)- Согласно выводу а) (см. конец п. 1) в этом случае имеем /^=1 (Рад* = Ртах)-

Введем понятие установившегося полета на режиме максимальной тяги, характеризуемом соотношением Сртах = Сх(Суусг), и воспользуемся дополнительным обозначением -

Сууст (Ртах) - Vai \ (Сртах ' С*о)— СуКшах сІГОІ* 1> О

(14)

где сУк = Усхо/А > О. Согласно (2) с учетом (14) будем иметь

СX (су*) [с

У*

(15>

что эквивалентно условию Сртах = Сх0+Ас;усТ (Ртах)"

В результате исключения из (13) величины %Е с помощью второго уравнения в (11) первый интеграл (10) с учетом (15) может быть представлен в следующих эквивалентных формах:

Су [Су* + Су уст (Р тах)]/2 Су*,

‘2 ' "2 уст (Р max) 2 Су*,

Су* Су= [Cy* Сууст(Ртах)]/2Су*, ( )

Су Сууст(Ртах) = [Су* — Сууст(Ртах)]8/4Су*.

С учетом (8) и (14) из (16), в частности, следует:

Су> О, Су СууСт (Ртах) > О, sign (С^,* Су) ^ sign [Су* Су уст (Ртах)]1 (17)"

Условия (16) и (17) позволяют представить решеНие для Су* в следующем, не зависящем явно от величины Ае, виде:

-у* '

I-у уст(Ртах)»

(18>

где x=sign [с_у* — Сууст (Ртах)]. Можно заметить, что частному случаю

Су* = Сууст(Р maJ В (18) соответствует равенство Су* = Сууст(Ртах)"

Дополнительным выводом, вытекающим из (17), является следующий:

г) на режиме р = 1, независимо от реализуемого управления су* , кривые вида cy(Yopt, t) и СууСТ (Ртах, t) не пересекаются, так что ■су (ТорО^Суует(Ршах). При этом возможные точки касания их должны совпадать с точками пересечения (либо касания) кривых Су* (t) и

Су уст(Ртах> 0.

В соответствии с (1), (8) и (15) в (18) имеем

dE I

х = — sign ^ I _ •

а as л=і с =с

У У*

Последнее указывает на то, что параметр х= ±1 фактически опреде-

„ dE І

ляет в каждый момент времени допустимый знак производной -т- _ ,

ds \p=i

соответствующий текущему значению величины Су^рО- Характерно, что при выполнении условия (18) процедура определения Су opt может быть представлена простейшей схемой, не использующей явную зависимость от знака величины А е:

і Су* при Су* < Сутах(Л, V), (19)

Cyopt = ' Сутах при Су* > Су^х (Л, V)• ( )

2) рассмотрим далее случай граничного оптимального управления Cyopt = Cymax (h, V). В соответствии с выводами б),. в) (см. п. 1) в данном случае возможна реализация режима управления тягой, отличного от режима р=1. В связи с этим, учитывая (15), воспользуемся следующим представлением первого интеграла (13) на режиме р=1, Суopt = = Су щах (h, V):

(l/cos е sin Topt) (Cy max Cy)/V2 [Су шах Су уст (Ртах)]. (20)

Поскольку согласно выводу г) при Popt=1 имеем Су>Сууст (Рmах), то условию Суmах>Су должно соответствовать выполнение строгого неравенства вида Суmах>Сууст(Рmах). В соответствии с (20) в этом случае будем иметь Ае<0. Учитывая далее, что при Суmах<Сууст(Рmах) условие Су mах = Су В (20) не может быть выполнено (поскольку Cy>Cyуст(Рmах)), на основании сказанного выше приходим к следующему выводу:

д) на режиме Су opt = Су шах (h, V) моменту смены знака отрицательной функции 1е(0<0 (моменту схода с оптимального режима максимальной тяги) должно соответствовать одновременное выполнение условий

Напомним, что при Су = Сууст (Рmах) имеем р=1, Су = Су* '(^E<O). В дополнение к этому заметим, что моменту реализации на экстремали частного случая Су = Сууст(Рmах)=Суmах соответствует точка касания кривых Су* (t) и ^(t), в которой одновременно выполняются усло-

— dE —

вияСн—Сутах, р—l, ^=0 (Ле<0). Учитывая, что при P<Pmax в соответствии с физическим смыслом имеем Су уст (Р)< Су уст (Ртах), в результате обобщения понятия величины Су уст на случай произвольной ' оптимальной тяги Popt на основании (20) можно убедиться также втом, что в области неотрицательных значений функции Ле (t) на режиме Су opt — Су mах должны выполняться неравенства

XЕ ^-0. £yopt == Су гаах ^ СУ і Сушах ^ ^у уст (Popt)- (22)

На основании (22) справедливым является следующий важный вывод:

е) оптимальному режиму управления тягой, отличному от режима р—1, соответствуют участки экстремали, характеризующиеся уменьшением удельной механической энергии Е при Суор^Су шах (Ле>0:

-г - <о).

ds _ ' ,

Из сказанного выше следует, что при определении Суopt из (18) и (19) контроль за выполнением неравенств (22) на режиме Popt — Pmax, cyopt — cymax практически следует проводить лишь с момента реализа-rfE\ о

ции условия -js -_l =

Таким образом, в результате проведенного качественного анализа устанавливаем, что структура оптимальных управлений popt и Су opt находится в строгом соответствии с взаимным расположением реализуемых кривых с у* U) и Су U) относительно фиксированных на плоскости h, V кривых CуmахU) и Су уст (Pmax, t). При этом, если Popt(O) — 1, то в' качестве условного параметра, разделяющего соответствующее семейство экстремалей на два класса, характеризующихся начальным зна-

„ rfE I -

ком производной js |-_1, удобно принять величину

ХО = slgn [Cyopt (О) Суует (Ртах)].

3) остановимся на анализе влияния фиксируемой конечной скорости полета VK на структуру оптимальных управлений Popt и Суopt• Пусть -V; и Е; —значения конечной скорости V (/к) и конечной удельной энергии Е(^к), реализуемые на режиме Cy — Cymax (h, V), P —Pmax(h, V) в момент выполнения заданных краевых условий h (t^—hK, В ик)—Нн. . Л (tK) — Лк при соответствующем оптимальном законе управления углом, крена yopt (t), минимизирующем конечное время t^ Исходя из физического смысла величины Ле(^), при Vk— V будем иметь

дЕ ЛЕ(1К) ,—_______д у-1/ \ і _г> 3і f /1/ \ і \ л

dV It —' дКк ‘■KmlnV ‘,кЛйк=соп8І ^ у2 кшіпі к/ 1 const

Пусть при прочих равных краевых условиях в (1) задана величина V(tK) — Vk< V^. В таком случае, если на кривой ^тш(^) в окрестности точки Vk—Vk будет tK „,ln(VK) < О, то на соответствую-

О V к

щей экстремали должно выполняться условие Ле ик)>0, что соответствует реализации на конечном участке траектории режима минимальной: тяги.

Учитывая далее, что в соответствии с (1) режим максимальной тяги способствует максимальному разгону (по величине £), а режим Cy = Cymax(h, V) — максимальному торможению самолета, согласно выводу в) (см. конец пункта 1) процесс переключения с режима popt= 1 на режим Popt = O физически можно трактовать как использование дополнительной возможности уменьшения конечной скорости полета V (*к) по сравнению с величиной V. в том случае, когда подобные возможности для управляющей функции cyopt исчерпаны. На основании сказанного выше с учетом вывода е) устанавливаем, что если ho=hK, то возрастания высоты полета на начальном участке траектории при Popt=1 следует ожидать прежде всего в случае задания Vk<Vk при достаточно большой начальной тяговооруженности самолета. Классификация структур оптимальных управлений popt и cyopt при Y = V0pt(t), вытекающая из проведенного качественного' анализа, иллюстрируется на рис. 1.

Заметим, что при численном решении задачи непрямым методом' (с использованием процедуры подбора начальных значений Л*г (О)) условие непересечения кривых Cy(t) и Cy,(t)j может быть использовано в качестве решающего при оценке пробных значений А*. (О) с точки зрения принадлежности их допустимой области.

4) покажем, что на основе предыдущих рассуждений могут быть установлены условия существования в (1) особого режима управления тягой (Popt = Poc) .

Если по аналогии с (14) ввести обозначение

Су уст (Р) ** VА (Ср — Схо) = Сукшах ~\fTXO — 1’

соответствующее произвольному значению Р, то в общем случае условие (20) на режиме Cyopt=Cymax будет иметь следующий вид:

- =-------Д----------2 Суша9х--у---- • (23)

cose sin "'(opt [C2max —ууст (Р)] V2 (

В результате проведения рассуждений, аналогичных использовавшимся выше, из (23) находим, что необходимыми условиями существования на ненулевом интервале времени особого режима управления тягой (Popt(t)=Poc(t) ) по аналогии с (21) являются '

Ае (t) =0. Cy0pt^Cymax(t)^Cy(t), Cymax(t)> Су уСТ (Рос, t). (24)

Поскольку же Су уст (Рос) <Сууст (Ртах), а в соответствии с (21) моменту реализации режима Popt = P0c соответствует также неравенство

Сутах>Сууст (Ртах) , то определяющим необходимым условием существования особого режима управления тягой в (24) является условие касания Кривых Су тах (t) И С (t).

Покажем далее, что при использовании в (1) каких-либо упрощающих предположений (либо дополнительных ограничений), может оказаться, что условие СуШах>Сууст(Рос) в (24) не является необходимым. Обратимся к случаю, когда управление движением самолета рассматривается в рамках «энергетического» метода с использованием

допущений вида tg0~O, ^ --0. В таком случае будем иметь:

dn _ gtgЪ(КЕ) (h Е чА 1 1 G (25)

ds V(h,E) ’ cosb(n> г-> су) CypV*l2 S ' ( )

Но =/

г о

Л\\\\\\ч i At ш

0 0 1

1 О

ш. ^Sx\\N

а /

V*/

/ о

Рис. 1. Структура управления тягой р и коэффициентом подъемной силы С7/ в зависимости от взаимного

расположения кривых:

Х-Сутах' О-Су* — с;, Су ус/Ртах' t,: *у opt =СУ opt^ymax' Е = Е/Е (О) s;,S/SK;

х0 — 1: Сутах (°)<СууСТ (Ртах' О); *“= 1: Сутах (О) > Су уст (Ртах' О)

С учетом (4), (9) и (25) функция Гамильтона (4) в случае Ле(£) =0 принимаетследующий вид:

H(h, Е, Т. ) |Х£=о = [ - I bj I gtSV(h,Vrv) + ]k.

В результате приходим к выводу, что на режиме особого управления тягой должно выполняться условие абсолютного минимума функции Н (h, Е, уз) по независимым переменным h, Е, Су, принимающее с учетом (10) следующий вид (Е = Еос, ft — hoc):

"suep hp[Wl (h)}• (26)

Cy_Cymax(";

Из (26) окончательно следует, что в рамках «энергетического» метода особому управлению тягой должно соответствовать необходимые условия вида: Еос = сопэ^ Су(Рос) =CyycT (Poc) — Cymax (/loc, Бос).

Аналогичным образом можно показать, что при использовании в (1) дополнительного ограничения 0 (s) —О (горизонтальный полет) особому режиму управления тягой соответствует [3]

X£(t) = O: Tt= sup

Г • / pV*S]

где 1'r.„(V} = arCCOS I l jcy max V" а *

L Jh_ const

В таком случае условием, определяющим величину потребной тяги Рос в установившемся горизонтальном полете, является

Срос = [Сх0 + Ac:2y maxJv=voc"

3. Приближенное представление оптимального управления. В соответствии с (18), (19) и (23) основным вопросом рассматриваемой задачи является представление переменной величины Су в виде функций от текущих значений фазовых координат Xi. Очевидно, что с этой целью необходимо прежде всего иметь зависимости вида Ав (Xi, t) и Лн(Xi, t). Воспользуемся предложенными в работе [1] приближенными аппроксимациями этих зависимостей, полученными в предположении малых углов наклона траектории 0:

A=const

h = Ci V+C0VpVsin(j

A - _ -C -v _-2_ cos (1' * - *1 ) ~ Ah_ C°v ta- / COs [ 2 ^

(27)

С учетом (5) и (27) субоптимальная программа управления углом крена r.* может быть использована в следующем виде [1]:

ctg 1'* = Сз V + С2 VpV sin (-2-^|) , (28)

где Сз_-тт;т =-о, С2_-[Со >O, *2>*i, Ci_g >0, Со<О.

В [1] показано, что при фиксированных программах вида Cy — Cymax(h, V), P — Pmax(h, V) оптимизация варьируемых в (28) пара-

57

метров обеспечивает достаточно высокую точность аппроксимации оптимального управления ),0р1; и) даже при сравнительно больших текущих значениях угла наклона траектории..

Заметим также, что при предварительном использовании' в (28) условия Сз=О процедура аппроксимации программы (£) предельно упрощается, поскольку в этом случае параметры С2, £., £2 имеют простой физический смысл: £1 — соответствует первому из моментов р.еа-

7С ,

лизации условия 1* (?) =у, £2 — соответствует моменту реализации

минимального угла крена 1 *ш^, а параметр С2 (при фиксированных /1 и£з) соответствует начальному значению угла крена 1 * (О). Заметим,

что £1<0 при 1*(0)<^ .

Прежде чем перейти к приближенному представлению функции (х, £), обратим внимание на то, что использование в (12) каких-либо приближенных зависимостей для переменных и Л^ в общем случае не гарантирует выполнение в (13) условия трансверсальности

соответствующего условию стационарности функционала tк по конечному значению аргумента 5К. Учитывая сказанное, будем формально полагать, что использование в (12) соотношений (27) и (28) порождает в первом интеграле (13) невязку

зависящую от конкретных краевых условий. В таком случае, поскольку величина 5К является свободной, связь между вариациями 61К и бsк при фиксированных значениях Ук, 0К, Т)к, должна удовлетворять условию [ДЛ(61К — ДН35к]1=^к = О. Последнее указывает на то, что в

качестве дополнительного независимо варьируемого параметра, компенсирующего в (13) невязку ДН, в (12) следует предусмотреть некоторую поправку ДЛ( для величины Лг, имеющую следующий физический смысл:

В результате подстановки (27), (28) в (12), а также замены Л( на Л( + ДЛ( в рамках допущений, при которых были получены соотношения (27), будем иметь

Н(Х, х9 Иор*) 1^ = 0,

дН — Н (I, х, и0р^) |

орі) 1^=ЧК>

8ІП 7орі —

Р V/ 5 ’

где

с учетом (29) из первого условия в (16) следует

1 pV S 1 су уст (^тах) + су *

2 С

Сз 2 G sin "topt .— Г 1 /п t — tA , 1 я/2 п

- Vtvy-v Sln("2 -12-г,)+ g 12-Т, е

у*

COS

2 «, -,,;ч4- — -с*<'). (30)

Если теперь в (1) воспользоваться' таблично заданными функциями (?) и ер (?), соответствующими заранее вычисленному при

тах

Су*

Рис. 2.

держивания первого интеграла (30):

V. = 270 и/с, ЬК = Л0 = 5 км, 6К 6. = О, VK = 390 и/с,

= 180°, р = Ргаах(Л, V), Су = CVOpt,

t = 2,) с, t. = 18 с, С3 = - 0,545-10-2

Рис. 3. Сравнение результатов расчета с использованием приближенного и оптимального законов управления:

V. = 270 и/с, ЬК = Ао =5 км, 8К = во = О, .

VK = 390 и/с, '1к = 180°;

-------оптимальное решение,

формулы (19) и (30), Topt(O) = 128°, < t =

= 2’1 с, '2 opt = 18c, С3opt =-0,545-10-2 С* = О,657.10->;

О — Су уСт (Ртах)

Р = Ртах (h, V) оптимальному решению Су opt, Yojrt, то в результате оптимального подбора в (28) параметров C2opt, Сз opt, tiopt, t2opt можно убедиться в том, что на реализуемой при этом траектории в (30) выполняется условие С* (t) ^const (рис. 2). Следовательно, в рамках приближенных аппроксимаций вида. (27) использование условия (29) при определении Cyopt из (18) и (19) является вполне допустимым. Величину С* при этом следует рассматривать как дополнительный оптимизируемый параметр. Область допустимых значений С* ограничивается неравенством Су>Су уст (Ртах).

Таким образом, в результате использования в (18) и (23) формулы (29) приближенно оптимальное управление коэффициентом подъемной силы самолета и тягой двигателя определяется одновременно с вычислением из (28) приближенно оптимального угла крена.

На рис. 3 приведены результаты использования полученного приближенного управления в случае задания краевых условий вида Vo<VK=390 м/с, ■%= 1800, hK=ho, '0к = 0о- Режимом управления тягой в указанном случае является PoPt = Pmах(h, V). Видно, что эффективность аппроксимации фазовой траектории, соответствующей точному оптимальному решению, является достаточно высокой во всем диапазоне значений текущего времени t е [?о, tK], а параметры tiopt и t2opt являются близкими к моментам реализации величин угла крена

\,(ti) = т и \,(?2) =Ymin(t) соответственно.

На рис. 4 представлены зависимости оптимальных значений варьируемых параметров и соответствующих им начальных значений функ-

Рис. 4. Зависимость оптимальных параметров в приближенном законе управления от конечной скорости Ук V. = 270 м/с, Лк = й„ = 5 км, 8К = 8„ = О,

Чк = 180», Vк = уаг

11 , км

200

УН ) = V: =200 м/с ' Рис. 5. Приближенно оптимальные 1 * Траектории, соответствующие раз-

личным краевым условиям задачи:

/£=896М

.Ш V. П/С

180°, 6к = 60 = 0; • —момент

переключення с р = 1 на р = 0

ций су() и су* (?) в. зависимости от задаваемой конечной скорости полета УК" В рассматриваемом случае при' Ук>-У*: практически имеем г'юр^сопэ^ а зависимость параметров уор^О) , С2opt (О) , ?2ор^0) и С*ор^ от величины Ук является близкой к линейной. Последнее обстоятельство существенно облегчает процедуру аппроксимации соответствующего семейства экстремалей.

На рис. 5 приводятся траектории, соответствующие использованию предлагаемого приближенного представления оптимального управления при различных краевых условиях задачи.

Авторы благодарят В. Ф. Илларионова за обсуждение результатов работы и ценные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. Паш и н ц е в В. Т. К задаче о минимальной продолжительности разворота вектора скорости маневренного самолет

курса. — Ученые записки ЦАГИ,

2. П о н т р я г и н Л. С., Бо л т я н с к и й В. Г., Г ам кр е л и д-з е Р. В., М и щ е н к о Е. Ф. Математическая теория оптимальных прос цессов. — М.: Физматгиз, 1961.

3. Шкадов Л. М., Буханов а Р. С., Илларионов В. Ф.,

П л о х их В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. —М.: Машиностроение, 1972.

Рукопись поступила 2/Х 1987 г_