CC BY
48
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ и А Г И Т о м X/ 19 80
№ 5
УДК 629.78.015.7
К ЗАДАЧЕ О МИНИМАЛЬНОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ РАЗВОРОТА ВЕКТОРА СКОРОСТИ МАНЕВРЕННОГО САМОЛЕТА НА ЗАДАННЫЙ УГОЛ КУРСА
Рассматривается задача пространственного разворота самолета на заданный угол курса за минимум времени при фиксированных конечных значениях угла наклона траектории, высоты и скорости полета. Предлагается аппроксимационная формула, позволяющая представить оптимальный закон управления углом крена в виде функции от текущих значений фазовых координат, описывающих движение самолета в плоскости развертки. Реализуемая точность аппроксимации демонстрируется на численных примерах.
Для сравнительной оценки маневренных возможностей самолетов важной является задача об оптимальном управлении движением с целью обеспечения разворота вектора скорости на заданный угол курса за минимальное время. Подобная задача рассматривалась различными авторами с использованием в системе уравнений движения тех или иных упрощающих предположений. Так, в |1—3] изучаются развороты самолета на постоянной высоте, а в [4] оптимизация режимов пространственного движения проводится в рамках достаточно распространенного для таких задач энергетического метода (5].
Точные оптимальные решения в этой задаче численно были получены В. Ф. Илларионовым. Что касается приближенного аналитического представления оптимальных программ управления пространственным разворотом самолета, то этот вопрос до настоящего времени оставался недостаточно изученным. Актуальность указанной проблемы вполне очевидна как с точки зрения снижения трудоемкости получения близких к оптимальным решений, так и с точки зрения простоты реализации оптимальных законов управления в бортовых системах при синтезе автоматических систем либо систем, использующих дирек-торное устройство.
В данной статье приводятся некоторые результаты, связанные с эффективным способом приближенной аппроксимации оптимальных законов управления креном в рассматриваемой задаче для широкого диапазона краевых условий.
Постановка задачи. Уравнения пространственного движения самолета в изотермической атмосфере будем рассматривать в следующем виде:
В. Т. Пашинцев
(П
где ? = 148
* V сое в
Здесь и далее производные по s обозначены штрихом. В качестве независимой переменной в (1) принимается угловая дальность полета в плоскости развертки s, удовлетворяющая уравнению
V
i/s = -jr- cos 6 dt. (2)
Смысл используемых в (1) и (2) обозначений следующий: t — время, р<>— плотность атмосферы на уровне Земли, V, А —скорость и высота полета, в—угол наклона траектории к местному горизонту, Y)—угол курса (между проекцией вектора скорости на плоскость местного горизонта и местной параллелью), ■( — угол крена (положительное значение 7 увеличивает г,), R — средний радиус Земли, £ —гравитационное ускорение (£ = 9,81 м/с2), Р — тяга двигателей, Сх gR Су gR
ах = q-£ 2 • ау — q~s ~2~ ’ 5—площадь крыла, Сх, Су — коэффициенты аэро-
динамических сил, связанные уравнением поляры [Сж= Сг (Су)|.
Полагается, что вектор тяги коллинеарен вектору скорости, пространственный маневр самолета происходит без скольжения, а изменением веса самолета за счет выгорания топлива можно пренебречь (G = const). В общем случае управляющими функциями в (1) являются: тяга Р, коэффициент подъемной силы Су и угол крена 7, которые в свою очередь могут быть ограничены соответствующими неравенствами.
Обратимся к задаче оптимального управления движением самолета, обеспечивающей перевод системы (1) из заданного начального состояния (К0, ви, Лц, tj0) в некоторое конечное состояние (Ик, 6К, Лк, г1К) за минимальное время tK при свободном конечном значении аргумента s.
Известно, что точное решение указанной задачи с использованием, например, принципа максимума Л. С. Понтрягина [6, 7] связано со значительными трудностями вычислительного характера. Кроме того, структура получаемых при этом оптимальных законов управления (P. Су. i), существенно зависящая от задаваемого конечного многообразия для фазовых координат, оказывается достаточно сложной.
Следует отметить, что согласно численным расчетам в случае незафиксированной (свободной) конечной скорости полета V(fK) на оптимальной по быстродействию траектории пространственного разворота реализуется режим максимальной тяги (/’opt = Ртах(^ 101 ПРИ максимально допустимом коэффициенте подъемной силы [Су opt = Су max (M)J. назначаемом либо из условия сваливания самолета, либо из условия ограниченности нормальной перегрузки. Это обстоятельство указывает на то, что достаточно важным является вопрос о построении способа приближенного представления оптимальной программы управления углом крена независимо от Р и Су, поскольку решение указанного вопроса может иметь самостоятельное значение для целого класса задач, связанных с оценкой маневренных возможностей самолета на фиксированном режиме управления тягой и подъемной силой (например, при Р = Ртаж, Су = Cjma,). С учетом сказанного будем впредь предполагать, что режим управления тягой и подъемной силой заведомо известны и функции Р и Су в (1) заданы.
Основной задачей, решаемой ниже, будем считать получение аналитической зависимости, позволяющей приближенно аппроксимировать оптимальную по быстродействию программу управления креном с использованием необходимой информации о текущих значениях фазовых координат.
Формулировка способа аппроксимации оптимальной программы управления креном. Известно, что при использовании принципа максимума Л. С. Понтрягина структура оптимального управления углом крена определяется поведением сопряженных к rt и 6 переменных ру и р,, (3, 6]. Известно также, что с помощью соответствующих первых интегралов функция рг в общем случае может быть выражена через текущие значения фазовых координат и некоторые константы [3] [применительно к системе (1) pr = const <0), в то время как аналитического решения для переменной рц в общем случае не получено.
При анализе оптимальных траекторий гиперзвуковых аппаратов в атмосфере широкое применение получил метод приближенного представления сопряженной переменной />$, опирающийся на допущения о малости угла наклона траектории (sin 6 = 6, cos 6 = 1) и преобладающем влиянии проекции результирующей аэродинамических сил и тяги двигателей на касательную к траектории
по сравнению с проекцией силы тяжести f^tg6 = 0 в первом из уравнений (1)1 .
Указанные выше допущении приводит к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, описывающему изменение переменной р,, [3, 8):
• • S'*2 « &
Р» + >№р<, + ? Рч = ?Р< ~у
(3)
где р. — сопряженная к I переменная [применительно к системе (1) /7,=соп*1>0].
С учетом колебательного характера изменения функции р% асимптотическое решение уравнения (3)(в предположении слабого изменения скорости полета за один период колебаний) может быть получено в следующем виде [3, 8]:
р„ = A- V + A (s)sin g
где
I* <•> (s) ds -г СI о
С -4-1ЗЛМ*
я
, ... (S) = -ГГ V>g
(4)
(5)
есть амплитуда и частота колебаний соответственно; p/ = const>0, С, Сj — константы интегрирования.
Важным обстоятельством использования асимптотического решения вида (4) является то, что с его помощью оптимальная программа управления углом крена может быть приближенно представлена в виде функции от текущих значений фазовых координат и некоторых констант, величина которых зависит от краевых условий задачи. При этом в соответстпии с терминологией метода возмущений с помощью (4) выделяется некоторое .среднее" значение 7ср, относительно которого в реальном возмущенном движении колеблется оптимальный угол крена 7opt-
Следует, однако, сказать, что применительно к траекториям полета гипер-звуковых аппаратов в условии оптимальности крена (соответствующем минимуму функции Гамильтона)
Рт,
‘ё 7ор1 = • Рг, ■= сопм < 0 (6>
обычно использовалось лишь квазистатическое решение уравнения (3) вида
= у V. (7)
соответствующее дополнительному применению в (1) гипотезы квазистационар-ного планирования (Ь' ~ 0) [3). Влияние колебательного члена в (4) не учитыва-
Рп
лось, а уточнение получаемой приближенной программы вида ^ у = ^ про-
водилось итерационным путем с использованием ■( в качестве начального приближения.
вопрос о возможности использования описанного выше подхода к проблеме приближенного синтеза программного управления углом крена в случае, когда использованные в (1) допущения не выполняются всюду на траектории, остается открытым. Можно лишь утверждать, что рамки эффективного использования решения (4) заведомо ограничены и прежде всего в задачах, связанных с анализом оптимальных траекторий маневренных самолетов, в которых реализуемая величина в может достигать нескольких десятков градусов.
Ниже применительно к анализу траекторий маневренного самолета ограничимся тем, что, используя общую колебательную структуру приближенного решения для рь, попытаемся за счет подбора свободных параметров уменьшить погрешность аппроксимации при использовании решения (4) в случаях, когда допущения о малости угла наклона траектории и слабом влиянии в первом
кЯ
уравнении (1) члена оказываются достаточно грубыми.
С учетом (2), а также соотношения Л' = /?0 в (5) можно перейти к следующим зависимостям:
Из (8), (9) видно, что результатом использования допущений, приводящих к уравнению (4), является прежде всего отсутствие возможности регулирования частоты колебаний <»(<) = V$g cos в в соответствии с заданными краевыми условиями задачи [величины A (j>) в (9) и рц в (7) регулируются подбором варьируемых параметров С и р/]. Будем далее предполагать, что в случае значительных возмущений относительно режима квазистационарного планирования, т. е. в условиях достаточной справедливости допущений, приводящих к решению вида (4), погрешность аппроксимации оптимального управления углом крена может быть существенно уменьшена путем специального подбора основных характеристик колебательного процесса функции рц.
С учетом сказанного выше формально введем в правую часть уравнения (8) некоторый постоянный множитель, компенсирующий слабую зависимость колебаний «■(/) от краевых условий задачи и, следовательно, от характера поведения функции 0(f). В дополнение к сказанному следует также учесть, что согласно численным расчетам в задаче разворота вектора скорости до углов курса т,<; 180-' оптимальный по быстродействию маневр самолета является непродолжительным, так что колебание угла крена относительно .среднего* значения происходит на интервале менее одного периода. Последнее, в частности, позволяет частоту колебаний ш (() функции p,t приближенно рассматривать в классе постоянных значений независимо от реализуемой функции 6(f).
Таким образом, с учетом предыдущих рассуждений, используя в (6) решение (4) с учетом (8), (9), приближенную зависимость угла крена от текущих значений фазовых координат будем использовать в следующем виде:
Проведем некоторые преобразования формулы (10). Введем в рассмотрение характерные моменты времени /,, /3, соответствующие реализации .среднего*, а также близкого к минимальному значений ■(:
Рассмотрим вначале случай С0>0 (С<0). При этом из (12) и (13) получаем следующие соотношения:
где С0, С3, <1, /о—варьируемые параметры, подбираемые из условия удовлетворения краевым условиям задачи, а также обеспечения минимума конечного времени полета.
Оказывается, что более удобным является использование в (15) вместо параметра С0 начального значения угла крена у (*0). связанного с С0 соотношением
s
(8)
\ и» (s) *
(9)
ctg Y = С3 V-'у Со У pVsin [С,(f — f„) + С,і.
(10)
где
(И)
* = C,(fs-/,,H
(12)
(ІЗ)
(14)
С учетом (14) зависимость (10) окончательно преобразуется к виду
(15)
ctg 7 (А,) — с3 V
а вместо параметра С3 - некоторого .среднего* значения 7ср, реализуемого в момент I = (,:
с1й 7ср = 7 (<,) •-= С3 V.
Переход к варьируемым параметрам 7 (*0), 7(^1)* *1» имеющим физический смысл, существенно упрощает поиск их в тех случаях, когда необходима аппроксимация известного оптимального решения 7^ с целью приборной реализации программного движения.
Следует заметить, что здесь и в дальнейшем полагается допустимым также выполнение неравенств вида <!<<<•• *5 (к- Исходя из (15), с учетом (11) легко
устанавливается следующая полезная информация, облегчающая поиск неизвестных параметров: в силу Я,<0, С3<0 имеем
я>7сР = 7 (*|) 5» -тр ! при С3<0, С0>0 справедливы неравенства
7(*о)>7(<1> при — <| < О,
7 ('о) < 7 (*1) при /0-<| >0;
независимо от знака разности (0— (, при Со>0 на начальном участке траектории угол крена уменьшается.
В случае Со<0(Со>0) из (10) с учетом (13) следует:
С1§7 = С3и+СоУ"П7$1п (-1- = -^^-) • (16)
При *о — *1 < -5~(<г — <1) формула (16) реализует структуру управле-
ння, характеризующуюся возрастанием угла крена на начальной стадии маневра.
Таким образом, устанавливаем, что использование формул (15) и (16), соответствующих различным знакам параметра С0, связано с необходимостью реализации той или иной структуры управления, характеризующейся поведением угла крена на начальном участке траектории.
Ниже при анализе численных результатов будет показано, что в ряде случаев достаточно хорошее начальное приближение для параметров 7 (/0), <1 и <■>
может быть получено при С3~ 0, т. е. в предположении, что 7ср ~
Анализ численных результатов. В качестве начальных условий для системы уравнений движения (1) примем следующие:
Л0 = 5 км, 0() = 0, ц0 = 0, 1'0 = 270 м/с.
Конечные значения фазовых координат, назначаемые в момент достижения
угла курса, равного т|К = 1г, будем рассматривать применительно к двум случаям:
Ак=й0. 0К = К, V (<к) = Ук, (17)
йк = &о. Л(/К) = ЛК, У((к) — свободно. (18)
Для оценки точности аппроксимации, реализуемой с помощью формул (13), (15), используются точные оптимальные решения, полученные В. Ф. Илларионовым.
Напомним, что используемые ниже режимы управления тягой и подъемной силой строго соответствуют оптимальным функциям />ор1 и Су0рь задаваемым при рассмотрении системы (I) таблично, а поиск неизвестных параметров 7 (*0), 7 (Л)» <!, в случае, когда оптимальная программа неизвестна, производится методом последовательных приближений в процессе численного интегрирования системы уравнений движения (1) совместно либо с формулой (15), либо с формулой (16).
На рис. 1 — 4 представлены результаты использования в (1) формулы (17) применительно к краевым условиям вида (17). Видно, что в достаточно широком диапазоне фиксируемых конечных скоростей полета Кк характер изменения приближенной программы управления креном, а также величина реализуемого при этом функционала tк Гош при оптимальных значениях варьируемых параметров с большой точностью соответствуют оптимальному решению. Характерно, что во всех рассмотренных примерах эффект от оптимизации параметра С3 по сравнению со значением С3=0 оказывается незначительным.
Отметим, что используемое на рис. 3 точное оптимальное решение для Iгк=390 м/с получено при ограничении на величину Су в соответствии с неравенствами
Су ^ Су щах
(М), Лу [Су
шах (М)] < 7,5.
1V=270 м/с; Л0 = Лк = 5км; 0о = вк = О; £у=^уор|! Р—Рор1 = Ртах(^<
Рис. 1
Рис. 2
11— Ученые записки» Л> 5
153
Рис. 3
Применительно к краевым условиям вида (18), для которых неизменно имеем Су о^=Су тах(М). приближенные траектории, получаемые с использованием в (1) формулы (15) при Сз = 0, приведены на рис. 5 и 6. Как и прежде, совпадение с точными оптимальными решениями оказывается достаточно хорошим для различных значений фиксируемой конечной высоты полета Лк.
Из проводимых численных расчетов следует, что высокая точность аппроксимации оптимального угла крена реализуется даже в тех случаях, когда углы наклона траектории достигают величины й а: 60-8-70° (см. рис. 3). Удобство же предлагаемых аппроксимационных формул (15), (16) с точки зрения их приборной реализации заключается в том, что используемая в (15) и (16) информация
ограничена текущими значениями двух фазовых координат V и Л, описывающих движение самолета в плоскости развертки, и текущим временем полета t.
Обратимся, наконец, к анализу возможностей упрощенного представления в (15) амплитуды колебаний с целью сокращения информации, снимаемой с бортовых измерительных устройств. Именно применительно к краевым условиям вида (20), для которых без особых погрешностей можно положить С3 = 0. воспользуемся формулой (15) в следующей модификации:
с(87 =С0Сз1п^^-=^|. (19)
------оптимальное решение
------ фор чула (Г5) при С; - О
Рис. 5
Рис. 6
где вместо ; = У?У будем последовательно использовать
= УЦ-. :3=ь <2о>
Очевидно, что первые два случая в (20) предполагают использование вместо Р и V одной измеряемой величины скоростного напора, в то время как последний случай предполагает возможность подбора амплитуды колебаний в классе постоянных значений без использования в (15) информации о переменных р и Г. Результаты использования в (1) формулы (19) применительно к краевому условию вида (18) для различных представлений функции I из (20) приведены в таблице. Оказывается, что изменение величины функционала /к т!п во всех случаях
• ■1 (to), град 7<<к). град mim С К(М, М/С opt, С ^min> КМ
i 127,7 133 36,7 390 17,54 3.24
yv? 120 129,4 36,6 390 17.7 3,34
V V 116 130 36,7 390,7 17,15 3.4
?У* 2 108 128 36,9 391 17,9 3,5
является незначительным по сравнению со случаем l = V?V, а основное различие сказывается лишь в оптимальном значении параметра у (<0). Отмеченный факт указывает на то, что в ряде случаев можно отказаться от использования информации о текущих значениях фазовых коордииат i и 1;, положив в (19) С=1. По крайней мере использование формулы (19) при С = 1 может оказаться эффективным для определения хорошего начального приближения для варьируемых в (15) параметров и Ы. Аналогичным образом может быть введено в рассмотрение также упрощенное выражение для формулы (16).
Автор благодарит Л. М. Шкадова и В. Ф’ Илларионова за обсуждение постановки и результатов решения задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Connor М. A. Optimization of a lateral turn at constant height. .AIAA", J., vol. 5. N 7, 1967.
2. В г у s о n A. E., H e d r i с k J. K. Minimum time turns for a supersonic aircraft at constant altitude. ,J. of Aircraft', vol. 8. N3,
1961.
3. Ш к а д о в Л. М., Б у х а н о в а Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., .Машиностроение", 1972.
4. И е d г i с k J. К., В г у s о n А. Е. Three-dimensional mini-mum-fuel turns for a supersonic aircraft. AIAA Paper, N 71—913,
1971.
5. О с т о с л а в с к и й И. В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов. М., „Машиностроение", 1969.
6. П о н т р я г и н Л. С., Б о л т я и с к и й В. Г., Г а м к р е-лидзе Р. В., М и щ е н к о Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Физматгиз, 1961.
7. Розоноэр Л. И. Принцип максимума Л. С. Понтря-гина в теории оптимальных систем I-1II. .Автоматика и телемеханика*. т. 20, № 10, 11, 12, 1959.
8. Па шин це в В. Т. Приближенное оптимальное управление углом крена в задаче возвращения гиперзвуковых аппаратов. .Ученые записки ЦАГИ", т. 3, № 4, 1972.
Рукопись поступила ЩУП 1978 г. Переработанный вариант поступил 241111 1980 г.
