Оптимальный разворот самолета в горизонтальной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 1977

№ /

УДК 629.735.33.015,017.3

ОПТИМАЛЬНЫЙ РАЗВОРОТ САМОЛЕТА В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

В. П. Кузьмин

Рассмотрено численное решение задачи плоского разворота самолета на максимальный угол за заданное время при постоянной высоте полета. Выявлены общие свойства оптимального решения для большого времени разворота. Показано, что для большого времени полета оптимальное значение угла разворота может быть представлено в виде суммы трех слагаемых, два из которых характеризуют неустановившийся разворот и не зависят от времени полета, а третье соответствует развороту на полном времени полета с постоянной угловой скоростью, соответствующей максимальной угловой скорости установившегося виража.

Одной из основных характеристик маневренного самолета является его способность быстро изменять направление вектора скорости в пространстве. Наиболее простым маневром такого типа является разворот в горизонтальной плоскости. В этой связи интерес представляет определение характеристик оптимального разворота, который, например, может -быть определен как разворот на максимальный угол по курсу при заданном времени полета. Необходимые условия оптимальности для аналогичной задачи (при заданном значении скорости полета в конце разворота) получены в [1] из принципа максимума Понтрягина. Там же подробно исследована возможность существования особого режима управления.

В данной работе получено численное решение задачи об оптимальном развороте самолета в горизонтальной плоскости. Рассмотрен в основном случай, когда время разворота и соответственно угол разворота достаточно велики.

Рассматриваемые в ряде работ [1—3] задачи разворота самолета на заданный угол по курсу за минимальное время можно трактовать как части некоторой более общей задачи перелета самолета из одной точки пространства в другую с заданным конечным направлением скорости. Условия, наложенные на величину и направление скорости полета при выходе из выража, обусловлены необходимостью выполнения последующих маневров, например,

прямолинейного полета. Условия оптимальности обычно записываются в общем виде, однако численные результаты, как правило, относятся к случаю разворота на угол, не превышающий 180°. Такой выбор углов разворота является естественным, если задачу разворота рассматривать в связи с общей задачей перелета самолета в пространстве.

Если считать время разворота Т и соответственно угол разворота ф достаточно большими, Ф^>1, то такая задача уже непосредственно не связана с маневром наискорейшего перелета самолета из одной точки пространства в другую. В этом случае решение задачи будет приближенно характеризовать маневренные возможности самолета в таких условиях, когда требуется выполнить последовательно несколько разворотов. Такая характеристика маневренности может приближенно использоваться и в том случае, если маневры разворота разделены небольшими отрезками времени или выполняются в различных направлениях.

Рассмотрим приближенные уравнения плоского движения самолета:

где -и —скорость полета, •}>— угол курса, Р — тяга двигателя, ц — скоростной напор, 5—площадь крыла, т — масса самолета, су и сх—коэффициенты подъемной силы и сопротивления соответственно, ^ — время.

Использование таких уравнений предполагает, что сила тяги направлена по скорости и угол крена равен 90°, т. е. не учитывается составляющая подъемной силы, необходимая для уравновешивания силы веса. Наиболее существенным является второе предположение, которое сказывается в основном на величине угловой скорости АЩйЬ, относительная ошибка в вычислении которой

приближенно = Для больших значений нормальной

2иу

перегрузки (именно такой случай рассмотрен в данной работе) эта ошибка будет невелика.

Все аэродинамические характеристики и характеристики двигателя зависят только от скорости полета, поскольку высота считается постоянной. Тяга двигателя сверху ограничена некоторой величиной РшахС'У), а в качестве нижней границы выбирается некоторая часть от максимальной величины. Таким образом:

где 0 < Кт\п < 1.

Введем безразмерный управляющий параметр Кр такой, что величина тяги будет вычисляться по формуле:

В этом случае ограничение (2)будет эквивалентно постоянным ограничениям на управляющий параметр Кр :

_ судБ

(1)

Л тУ ’

Кт'т Ршах ^ Ршах (V)

(2)

Р — Кр Ртах-

Кт<П -С

(3)

Приведенный способ сведения ограничений на управления,

зависящих от фазовых координат вида (2), к стандартным ограничениям, не зависящим от фазовых координат вида (3), рассмотрен в [6].

Коэффициент сопротивления сх представляется в виде

сх — г'х О (V) + А (V) -Дсу). (4)

На величину коэффициента подъемной силы су и на величину нормальной перегрузки пу наложены обычные ограничения

Су Су тах (5)

И

Лу-^Лутах' (6)

Ограничения (5) и (6) формально могут быть учтены путем введения новой переменной управления и такой, что коэффициент подъемной силы су, входящий в уравнения (1) и соотношение (4), вычисляется по следующей формуле:

и

С'“Т

. пу тах@ __ I п\ шах О \2

тах (.^0 Н ^ тах (V) ^ / Н~

(7)

Данный способ учета ограничений впервые был предложен в работе [4]. ,

Если и = 1, то формула (7) при условии, что арифметическое значение корня взято приближенно, равняется минимальному из

„ / \ «у шах О

двух значении сутах(ю) или —^—. На переменную и наложены теперь уже постоянные, (не зависящие от скорости) ограничения:

0<г/<1. '

Функция Гамильтона и система дифференциальных уравнений для сопряженных переменных имеют вид:

<и

(8)

Граничные условия для систем уравнений (1), (8) соответствуют свободному правому концу траектории:

< = 0, <|» = 0, , ^

*=Т> Рь = °, Яф = — 1 •

Из второго уравнения системы (8) и условий (9) следует

яФ(0=-1.

Для нахождения численного решения используем итерационную процедуру [5], в соответствии с которой по некоторому известному приближению для управляющих переменных Кр1({) и £/г(£) находятся значения фазовых переменных vi(t), путем решения

системы (1) с известными начальными условиями (9). Затем по известным значениям А'р; (^), и,(/) находим значения сопря-

женной переменной Ря1^) при решении системы (8) от правого конца к левому и из условия минимума функции Гамильтона по Кр' и и в каждый момент времени находим соответствующие значения управляющих переменных Крс{Ь), и\ ((). Переменную АТр/(£) вычислим из очевидных соотношений:

Следующее приближение для переменных управления зададим в виде:

Величина коэффициента Л в (11) определяется из условия достижения максимума функционала ф(Г) в процессе одномерного поиска по Л.

Отметим некоторые свойства оптимального решения для двух предельных значений Т.

Для больших значений Т (в пределе Т = оо) значительная часть траектории будет близка к установившейся. Этот факт можно усмотреть из существования устойчивого в отрицательном направлении по времени стационарного решения совместной системы для основных и сопряженных переменных (V и Р„) и из численных расчетов. Оптимальное решение для этого случая приближенно может быть определено из условий

Легко убедиться, что установившимся оптимальным решением является вираж с постоянной скоростью, соответствующей максимальной угловой скорости разворота Ф\1<И. Таким образом, если время Т достаточно велико, то оптимальное решение на большей части траектории будет близким к установившемуся. Учитывая этот факт, параметры оптимального разворота для произвольных значений Т будем относить к аналогичным параметрам установившегося виража, соответствующего максимальной угловой скорости разворота, которые обозначим индексом „*

Таким образом, в качестве характерных примем следующие величины:

Наряду с размерными величинами в дальнейшем используем и безразмерные, которые соответственно обозначим как ®, ® и т. д. Граничные условия (9) определяют значения переменных управления в конечный момент времени. Из вида функции Н(Т) и (д) следует, что

(10)

Кр1+1 (0 = Кр (У) -\-ь (*>,(*) — Кр1 (*)),

и1+1 (<) = и, (/) + к [и\ (*) - и,ф).

(И)

со* = шах

и[Т) = 1.

(12)

Значение КР(Т) определяется по значению производной (Ту и вычисляется из условий

. /Ср(7') = 1, если сушахИ>

Кр(Т) — Кщш) если Су тах (и) ^

(13)

Таким образом, если время Т мало (в пределе Т= 0), то соотношения (12) и (13) приближенно определяют оптимальные значения управляющих параметров. Отметим, что такой вираж, уже для произвольных значений времени, называется форсированным [1].

Для произвольных значений времени Т изменение оптимальных параметров по времени зависит от и Т и имеет вид,аналогичный зависимостям, приведенным на фиг. 1 и 2.

Если время Т достаточно велико (Т^> 3), то средняя часть траекторий практически соответствует установившемуся развороту с максимальной угловой скоростью. Существование такого участка разделяет траекторию на три части, две из которых (начальная и конечная) практически не зависят от величины времени Т. Фазовые траектории в плоскости V, ш также зависят от величины V,), а при одном значении и0 — от величины времени Т, если оно невелико (фиг. 3). Когда время Т> 3, то траектории для одного и того же значения V0 совпадают. Начальный участок траектории соответствует переходу от v0 к установившейся г»* = 1, средний соответствует установившемуся виражу, конечный соответствует нестационарному развороту с торможением от V* = 1 до некоторой скорости ®т1п.

(л)

ко

0,5

0 0,5 иШ7! 1,0 V, ьтах 7,5 г,0 у

Фиг. 3

Покажем, что угловая скорость разворота в конечный момент времени для больших значений времени Т должна удовлетворять условию:

<в(Т) = т*. (14)

Действительно, предположим, что ш(Т);>ю*. функцию ю (£) можно непрерывно продолжать на некоторый отрезок времени [Т, Т + ДГ], например, приняв на этом отрезке значения управлений постоянными и равными значениям управлений в момент времени Т.

В силу непрерывности о> {I) отрезок 1Т, Т + ДТ] можно выбрать таким, чтобы на нем выполнялось условие ш(^)> «>*. В этом случае, сокращая время полета на установившемся режиме, которому соответствует угловая скорость разворота <»*, на величину АТ и не меняя остальной части траектории, можно увеличить значение функционала 'р(Т), поскольку отрезок с угловой скоростью о>* заменяется на продолженный от Г до Г + АТ, где ш(^)>ш*. Аналогично можно получить, что если ш(7)<01*, то увеличением среднего участка можно увеличить значение функционала ^(7').

Условия (12) и (14) позволяют получить соотношение для величины конечной скорости

щах (®ш!п) ®П11П “ • (15)

Соотношения (14) и (15) основаны на предположении о том, что существует участок траектории, параметры которого совпадают с параметрами установившегося виража. Численные результаты указывают на то, что на средней части траектории параметры не отличаются от параметров установившегося виража с точностью до графического изображения на фиг. 1—3.

Уравнение для сопряжений переменной Рг>(8), рассматриваемое в обратном времени, соответствует устойчивому апериодическому звену с переменной постоянной времени, изменяющейся в пределах 0,2—0,6. Таким образом, соответствие оптимального решения установившемуся для больших значений Т, по-видимому, такое же,

как соответствие выхода апериодического звена и его входа через время, намного превышающее постоянную времени.

Полный угол разворота $(Т) может быть условно представлен в виде суммы трех слагаемых в соответствии с разделением траектории на три части:

*1 = 'КГ.), Ф, = Ф(7’2)-Ф(7'1), ф. = ф(Л-'М7,2). 1

Ф (Т) = '^1 + 'Ь2 + Фз- I

Угол ф2» очевидно, равен ф2 = о)* (Г., — Тл), где моменты времени Т1] и Т2 выбираются произвольным образом на установившемся участке.

Сравним углы разворота ф2, ф3 с углами, на которые самолет может развернуться с угловой скоростью ш* на тех же отрезках времени. Введем:

Д<|>, = 4>,- Д7>*, /=1,2,3. (17)

В этом случае равенство (16) может быть переписано следующим образом:

Ф(7’) = Л + “*(72 — Т\) -г Дф3 +

+ 7’2) = Дф1 + Д-|.3 + «*Г. (18)

Учитывая произвол в выборе моментов времени Г, и Тг для ■больших значений времени Т, будем в дальнейшем полагать

Т, = Т2 = Г/2-

Величины углов _Дф! и Дф3 в общем случае зависят от значений начальной^ скорости ъ0 и времени Т (фиг. 4 и 5). При увеличении времени Т величины Дф, и Дф8 стремятся к некоторым предельным

постоянным величинам, причем, если предельные значения Дф) зависят от начальной скорости (см. фиг. 4), то предельное значение Д&з (см. фиг. 5) в данной постановке задачи от скорости ч>0 не зависит. Стремление зависимостей Д^ (Т) и Д<1»3 (Т) к предельным значениям при увеличении времени Т отражает независимость оптимальных значений функционала на начальном и конечном участках разворота от времени полета.

Рассмотрим возможные изменения структуры оптимального решения задачи при изменении постановки задачи или изменении некоторых параметров самолета для случая, когда время Т достаточно велико, т. е. величины Д<р! и Дф3 представляются своими предельными значениями.

Характер оптимальной траектории в фазовой плоскости V, ш (фиг. 3) определяется взаимным_расположением кривых, соответствующих ограничениям су тах и п.утгау и кривой, соответствующей установившемуся виражу (дг = 0), через точку максимума которой, соответствующую установившемуся режиму разворота, проходит, согласно введенным безразмерным переменным, кривая пу шах = 1. Поэтому изменение величины пу тах при сохранении условия лутах > 1 практически приведет к изменению ТОЛЬКО величины Д'^. Причем для каждой ^нормальной скорости существует некоторое предельное значение я-утах) такое, что увеличение лутах свыше него не изменяет величины ДФ,. Так, величина пу шах, которой соответствует ограничение на фиг. 3, является предельной для скорости, обозначенной как <у,.

Величина Д-Ь, при изменении начальной скорости удовлетворяет следующим соотношениям:

Дф1<0, если

если ъ0 = <о*.

При увеличении начальной скорости % свыше V* величина угла Д<1>! возрастает и достигает максимального значения при скорости -отах (фиг. 3), удовлетворяющей соотношению:

Яу шах §

^шах•

Действительно, учитывая, что величина Дфх зависит только от начальной скорости, получим, если начальная скорость г/0 > г/тах:

Д^1 (^о) == С^тах) ^ [^4*1 (®о. ^тах)]>

где 8 [Д^! (“Уо, г/тах)] “ изменение угла Дф[ на участке перехода от скорости ъ0 к г'тах- Поскольку на этом участке то, учи-

тывая (17), получим 8 [Дф, (ъ0, г'тах)] < 0- Аналогично можно получить такое же условие и для случая v0<ivmйx.

Тяга двигателя входит в уравнения движения линейно и, следовательно, оптимальными значениями для коэффициента тяги Кр могут быть только предельные значения [см. (10)] (режимы особого управления здесь не рассматриваются).

В данном случае величина скорости г>гаах практически определяет также момент переключения коэффициента тяги:

' Кр — 1, если V (/)< -Ущах. 1

Кр — Кт\п, если v(^)>vmllx. | ( )

Условия (19) можно получить, проведя рассуждения, аналогичные проведенным при установлении равенства (14), поскольку эти условия соответствуют стремлению сократить отрезок времени, где v^>v* и, соответственно, Ю < со*.

Изменение величины сутЛХ(у) при выполнении условия сутах(и)>1 изменяет только конечный участок траектории и, соответственно, только угол Дф3. Величина конечной скорости ®шт определяется СООТНОШенИвМ (15).

Рассмотрим, как изменяется оптимальное решение, если задано значение конечной скорости юк, которое незначительно отличается от vm■la. В этом случае изменится только конечный участок перехода от установившейся скорости V* к заданной конечной ък. Величина угла Дф3 будет зависеть от величины юк:

Д’^З == Д’Рз

Величина Дф3(г>к) удовлетворяет условиям Дф3(г>*)=0, Дфз^кХО, если vк^>v*. Кроме того, она достигает максимума при значении г'к='£'тт в соответствии СО СМЫСЛОМ УСЛОВИЙ (9).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ш к а д о в Л. М., Буханова Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., .Машиностроение", 1У72.

2. HedrichJ., Bryson A. Minimum — Time turns for supersonic airplane at constant altitude. „Journal of Aircraft". 1971, III, vol. 8, N 3.

3. Roach L. The minimum — Time to turn problem for a high thrust lo weight ratio aircraft. Air Force Institute of Technology Wright — Patterson AFB, Ohio Jur. 1972, AD 7-18354.

4. Исаев В К., Сонин В В. Новый подход к проблеме аппроксимации и его приложения к вариационным и минимальным задачам. В сборнике „Аппроксимация и интерполяция функций". Труды ЦАГИ, вып. 1646, 1975.

5. Крылов И. А., Черноусько Ф. Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления. .Журнал вычисл. физики", т. 2, № 6, 1962.

6. Л е т о в А. М. Динамика полета и управление. М., „Наука",

1969.

Рукопись поступила 291X11 1975 г.