Оптимальное по быстродействию управление самолетом по крену при наличии ограничений на величину угла и скорость отклонения элеронов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2

№ 4

УДК 629.735.33.015.072.47

ОПТИМАЛЬНОЕ ПО БЫСТРОДЕЙСТВИЮ УПРАВЛЕНИЕ САМОЛЕТОМ ПО КРЕНУ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ НА ВЕЛИЧИНУ УГЛА И СКОРОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ

ЭЛЕРОНОВ

В. А. Бобцов, Г. Е. Кузмак

На основе уравнения, описывающего изолированное движение крена, рассматривается задача об оптимальном по быстродействию управлении самолетом по крену с учетом ограничений на величину угла и скорость отклонения элеронов. Показано, что построение управления, оптимального по быстродействию, в данном случае эквивалентно построению управления, обеспечивающего в каждый момент времени максимально возможное значение угловой скорости крена. Это позволяет выявить все возможные режимы оптимального управления и определить области их существования. С помощью безразмерных параметров получено полное решение данной вариационной задачи.

С математической точки зрения оптимизация процесса пилотирования связана с решением двухточечной краевой задачи. Во многих случаях такие задачи решаются летчиком на основании ■опыта и интуиции без помощи специальных автоматических устройств. Важной характеристикой маневра является время его выполнения. Существует целый класс маневров, которые желательно выполнить за минимально возможное время. В то же время выбор управления, оптимального по быстродействию, представляет собой довольно трудную задачу для летчика. В самом деле, в начале маневра летчик выбирает некоторое управление, которое приближенно обеспечивает получение необходимых условий в конце маневра. По мере приближения к концу маневра летчик прогнозирует получающееся конечное состояние и сравнивает его с тем состоянием, которое должно быть. Получающиеся рассогласования летчик использует для внесения коррекций в выбранный закон управления, и таким образом в конце маневра реализует процесс отслеживания заданных граничных условий. Чем квалифицированнее летчик, тем точнее он управляет в начале маневра и тем быстрее происходит процесс отслеживания в конце маневра.

Из этого ясно, что процесс пилотирования может быть существенно упрощен, а качество его существенно улучшено, если для управления типичными маневрами будут использоваться автоматы, реализующие оптимальные законы управления, которые могут быть рассчитаны заранее. Для создания таких автоматов надо иметь решения соответствующих вариационных задач. Здесь можно указать на задачи об оптимальном по быстродействию управлении самолетом по крену, на задачу об оптимальном по быстродействию управлении углом атаки и т. д. Ниже приводится решение простейшей задачи из этого класса, а именно задачи об оптимальном по быстродействию управлении летательным аппаратом по крену при наличии ограничений на величину угла и скорость отклонения элеронов.

1. Постановка задачи. Условие максимума угловой скорости крена. Уравнения, описывающие изолированное движение крена, имеют, как известно [1], вид

Здесь 1Х — момент инерции относительно продольной оси; I—время; 7— угол крена; шх — угловая скорость крена; 8(0— угол отклонения элеронов; и Мьх—производные от размерного момента

относительно продольной оси по шх и 8.

Поставим задачу следующим образом. Будем считать, что маневр начинается при £ = 0, а до этого момента полет происходит с некоторым постоянным углом крена у0. Это значит, что при t >0 полет происходит с ш* = 0 и 8(0 = 0. Таким образом, начальные условия записываются в виде:

Целью маневра является выход на новое установившееся значение угла крена т —Ъ- Будем предполагать, что это происходит при некотором Ь—Т. Таким образом, при ^>Т, так же как и при t <С 0, полет должен происходить с = 0 и 8(^ = 0, а граничные условия в конце маневра имеют вид

На управляющую функцию 8(0 накладываются ограничения

где 8Шах — максимальный угол отклонения элеронов, а ха — время, за которое элероны отклоняются на угол 8шах при максимальной скорости отклонения элеронов.

Из ограничения, налагаемого на скорость отклонения элеронов, следует, что 8(0 является непрерывной функцией времени. Поэтому имеют место равенства

(1-2)

(1.1)

Т |/=о = То'. 1»Л|<-о=0.

(1-3)

Т|г=7-=ТГ> шЛ-|<=г = 0.

(1.4)

'тах

(1.5)

8 |*=о = 0; 8|^7' = 0.

(1.6)

Поставим целью такой выбор закона управления 8(0, при котором переход из начального положения (1.3) в конечное положение (1.4) происходит за минимальное время. Таким образом, рассматриваемая нами задача является задачей выбора управления, оптимального по быстродействию. Особенностью ее является то, что из-за наличия ограничений, налагаемых как на величину 8(0, так и на скорость ее изменения, она оказывается задачей с ограничениями, налагаемыми на управляющую функцию й!8/а!£ и фазовую координату 8, решение которой с помощью стандартных методов [2} вызывает определенные трудности.

Для того чтобы получить решение данной задачи, запишем уравнение (1.2) для момента t= T в виде

г

Дт = К(0 са, (1.7)

о

где Дч = 7 — Чо — заданное приращение угла крена.

Будем вначале, вместо того чтобы искать оптимальное по быстродействию управление, решать другую задачу: искать управление, обеспечивающее максимум Д-( при фиксированном Т и удовлетворяющее всем указанным выше ограничениям. В конце следующего раздела будет показано, что если зафиксировать Д^, то построенное таким образом управление одновременно является управлением, оптимальным по быстродействию.

Из формулы (1.7) видно, что при фиксированном Г величина Д-; будет максимальна, если подынтегральная функция и>хЦ) не изменяет знака и в каждый момент времени |шх(01 принимает максимально возможное значение. Таким образом, решение задачи о максимуме Д? сводится к построению управления, обеспечивающего в каждый момент времени движение с максимально возможной абсолютной величиной угловой скорости крена. Решение этой задачи может быть получено с помощью непосредственного анализа выражения для решения уравнения (1.1).

2. Анализ возможных режимов оптимального управления. Выражение для функции со^ (0, удовлетворяющей уравнению (1.1), может быть записано в виде

__*_ * _±_

= ет*р 5(!)^, (2.1)

* X 0

К

гдетк —------5---постоянная времени крена.

Кх

С помощью (2.1) второе из граничных условий (1.4) записывается в виде равенства

Г _Е_

/еткр8(!0^-О. (2.2)

О

Переходя к выяснению возможных режимов оптимального управления, будем для определенности предполагать, что

ДТ>0; Л£<0, 0. (2.3)

При таких условиях из равенств (1.7) и (2.1) следует, что

<■>,(*)> 0 (0

а функция 8(0 должна принимать отрицательные значения на большем интервале времени, чем положительные. Причем ясно, что значения о)x(t) будут максимальные, если в свою очередь функция 8(0 принимает отрицательные и максимально возможные по абсолютной величине значения. Однако на всем интервале времени функция 8(0 не может иметь отрицательные

значения, так как при этом не будет выполнено условие (2.2). Поэтому при некотором t = tneр должно происходить изменение знака у функции 8(0 с минуса на плюс. Будем пока предполагать, что это происходит только один раз. Из формулы (2.1) видно, что изменение знака у 8(0 должно происходить с максимально возможной скоростью, так как только в этом случае значения ш^(0 при 0 < ^ < <пер будут максимальны. Для того чтобы проанализировать оптимальное поведение функции 8(0 после изменения знака, при tnep^.t-^.T, запишем выражение для <ox(t) в форме, эквивалентной равенству (2.1)

s____t_ г

mx(t)=Y^-e v J е %кр 8 (?) d\.

(2.4)

При такой записи выражения для равенство (2.2) обеспе-

чивает выполнение второго из начальных условий (1.3). Из равенства (2.4) следует, что функция со*(0 будет максимальна при ^пер ? <• Т, если функция 8(0 в этом интервале принимает максимально возможные ПОЛОЖИТЄЛЬ-^/^лг Ные Значения.

Из равенств (2.1) и (2.4) следует, что чем больше отрезки времени [0, £пер] и [4ер. Т], тем большие значения имеет угловая

схр=

скорость крена <»х(£) при 0<^<7Л: момент изменения знака должен располагаться возможно далее от обоих концов рассматриваемого интервала времени. Из этого следует, что число перемен знака у функции 8(0 должно быть минимально, т. е. рассматриваемый режим управления с одной переменой знака является оптимальным. Покажем далее, что отрезок времени [£пер, Т] всегда меньше отрезка времени [0, £пер]. Обратимся для этого к равенству (2.2), которое обеспечивает равенство нулю шг при £ = 0 или при t = T. В этом равенстве в подынтегральном выражении функция 8(1) умножается на монотонно возрастающую функцию е £/Ткр. Так как ограничения (1.5), налагаемые на 8(0 и йЪ/М, являются ограничениями на абсолютные величины этих функций, то

*пеР>772. (2.5)

Проведенный анализ позволяет указать все возможные режимы оптимального управления. Ясно, что таких режимов три (фиг. 1). Режим I — это такой режим, в котором как до изменения знака 8(0, так и после достигается ограничение |8| = 8тах. Режим II — это промежуточный режим, в котором указанное ограничение достигается лишь до изменения знака у 8(0. Существование этого режима является следствием неравенства (2.5) и тем более вероятно, чем меньше постоянная времени крена ткр. При ткр = оо этот режим не существует. Режим III — это такой режим, в котором ограничение |8| = 8шах не достигается и отклонение элеронов определяется СІЬ 8щах _

—гг- ------. Ясно, что этот режим реализуется при малых

(ХТ

значениях Т. Существование режимов II и III связано с ограниче-

Очевидно, что при = 0 эти режимы

условием

нием, налагаемым на

<И

не существуют и единственно возможным режимом оптимального управления является режим I.

Рассмотренные режимы оптимального управления обеспечивают максимум шЛ(0 в каждый момент времени t при ()<;£<; Г и, как было указано выше, дают решение задачи о максимуме Ду при фиксированном Т. Для дальнейшего обозначим этот режим <влгшах(0 Т). Докажем теперь, что если зафиксировать Д-(, то режим, обеспечивающий со^ гаах (0, одновременно обеспечивает минимум времени Т. Имея это в виду, выясним, как изменяется зависимость <°,1 шах (^, Т) при изменении Т. Будем строить эту зависимость с помощью последовательного использования формул (2.1) и (2.4). Формулой (2.1) будем пользоваться при 0 а формулой (2.4)

при /‘пер<^-гС7\ Из формулы (2.1) видно, что с увеличением ^пер значения о)Лшах(0Г) при 0<^<^пер не уменьшаются. Формула (2.4) удобна для построения зависимости о)Лгшах(^, Т) при значениях убывающих от Ь = Т до значения ^ = ^ПеР- Причем ясно, что при увеличении Т зависимость о>хтах(1,Т) на этом интервале просто сдвигается вслед за сдвигом Т, а значения ш«ах^,Т) с ростом длины отрезка времени [£пер, Т] не убывают. Характер изменения зависимости и>хта*{Ь,Т) при изменении £пер изображен на фиг. 2 для ^ — 0 и ткр=оо. Из условия непрерывного сопряжения значений о)д; шах (£Пер> Т), определенных формулами (2.1) и (2.4), следует, что с ростом £пер одновременно возрастает Т. Таким образом,

ясно, что с ростом Т значения u>xmsx(t,T) при Оне могут уменьшаться. Это значит, что

(2.6)

при 0<^<Ги законе управления §(£), обеспечивающем %шц (t, Т).

Обратимся далее к выражению (1.7). Зафиксируем в нем и будем под Т подразумевать время поворота на этот угол с максимальной угловой скоростью ojjcmax(0- Докажем, что любая малая вариация закона управления 8(f), приводящая к уменьшению %ma5, может только увеличить время маневра. Для того чтобы в этом убедиться, положим

(*) = «>, шах (*, Г)+ Д«>,(*); Г = Г + ДГ (2.7)

и проварьируем равенство (1.7) с учетом того, что <о*max (Т) --= 0. Если сохранить при варьировании только главные члены, то получающееся уравнение для Д Т имеет вид

т т

Дсо^(t)dt + АТ |* ■ dw*™ax dt = 0. (2.8)

о

Отсюда следует, что если Дшл(£)<!0, то в силу (2.6) ДТ>-0. Таким образом, доказано, что указанные выше режимы управления, обеспечивающие движение с максимальной угловой скоростью, оптимальны по быстродействию при повороте на заданный угол Д-f.

3. Безразмерные параметры. Расчетные соотношения и анализ результатов расчета. Найдем явные связи между минимальным временем маневра Т, параметрами самолета и углом Д-f. Эти связи получаются из граничного условия шх(Т) = 0 (2.2) и условия, обеспечивающего заданное приращение угла крена Д-f при t=T. Для того чтобы получить такое условие, запишем выражение для Д-f (t). Пользуясь формулой (1.7) и (2.1), получим

Ms т *

(3.1)

х о

где

(t-t)

1 - е~ Ткр

77

кр

Полагая здесь t = T, получим искомое условие

т

AT = _^ZLjft(r>5)8(5)d5. (3.2)

* X

С тем чтобы в дальнейшем представить результаты расчета в наглядной форме, рассмотрим предварительно случай, когда те == 0, ткр=:оо. Это имеет место, когда скорость отклонения элеронов бесконечно велика, а демпфирующий момент пренебрежимо мал по сравнению с управляющим моментом. Минимальное время поворота на угол Д-у, которое получается при таких условиях, обозначим через Т0. В рассматриваемом случае в соответствии

с (2.2) при оптимальном управлении 8 = — 8шах при 0<^<7’0/2 и & = &тах при TJ2^t Т0. При таком управлении формула (3.2) дает следующий результат:

дт=_ _ (33)

* X ^

Время Г0 представляет собой время идеального маневра, так как при этом не учитываются потери на преодоление демпфирования и потери за счет ограниченности скорости отклонения элеро-

нов, и, очевидно, характеризует предельную эффективность органов управления по крену.

Введем далее в уравнения (2.2) и (3.2) безразмерные переменные

1==Т"> = (3-4)

^тах

Тогда эти уравнения с учетом (3.3) можно переписать в виде

1

(V тч>8(Ё)<ге = 0; (3.5)

Л

ткр

- Т

-(1- 5) —

кр

77

кр

8 (?)</? . (3.6)

Из формулы (3.6) видно, что использование параметра Т0 позволило исключить из рассмотрения параметры Мъх, 8тах, 1Х и Д^.

Для каждого из рассмотренных выше режимов оптимального управления 6(2) зависит от двух безразмерных отношений

^пер Та Т5 ткр _

~т^ ’ Т~^рт ■ {6- }

Первое ИЗ ЭТИХ отношений ^пер/7’ может быть определено из уравнения (3.5) и тогда уравнение (3.6) дает искомую связь между интервалами времени Т0, ткр, т5 и Т. Запишем это уравнение в более простой форме, воспользовавшись тем, что интеграл от первого слагаемого в подынтегральном выражении в соответствии с равенством (3.5) равняется нулю

^=21/ (-1)^-| 8 (?)^ . (3.8)

Определим время маневра Т в зависимости от времени идеального маневра Тог постоянной времени крена ткр и времени отклонения элеронов на максимальный угол т8, которые далее будем предполагать заданными. Однако получение такой зависимости Т от Т0! ткр и тг5 требует построения семейства графиков. Поэтому целесообразно из этих четырех размерных параметров составить три безразмерных отношения, связь между которыми может быть представлена с помощью однопараметрической сетки. Эти безразмерные отношения можно составить с помощью одного из следующих двух способов: Т1/ткр определяется в виде функции от т5/тКр и т0/ткр; т5/7’ определяется в виде функции от т8/ткр и т6/Т0.

Первая из этих систем безразмерных отношений более удобна для выяснения влияния хй при фиксированном ткр, а вторая — для выяснения влияния параметра ткр при фиксированном т5, так как в этих случаях соответственно от и ткр зависит только одно отношение 'С5/Ткр-

Найдем сначала зависимость отношения Т/хкр от параметров тй/ткр и Т01гкр для каждого из трех возможных режимов оптимального управления, воспользовавшись для этого соотношениями

(3.5) и (3.8). Уравнение (3.5) позволяет определить зависимость пер/7* от х5/ткр и ТКГ Интеграл в этом уравнении для всех зависимостей 8(1), изображенных на фиг. 1, может быть вычислен в явном виде. Соответственно для режимов I, II и III получаются следующие формулы

т

пер 0 хкр . / Є*КР + 1

^- = 2^1п I-------2—-

Рассчитанная по этим формулам зависимость 7’/7пер от Т/ткр и 'се/хкр изображена на фиг. 3.

Пунктиром на этой фигуре и всех последующих изображены линии, на которых происходит смена режимов оптимального управ-

ления; штрих-пунктирной линией отмечена прямая, на которой ^пер = 'скр- Левее ЭТОЙ ЛИНИИ ^Пер-Окр, а правее ^пер>ткр-

В соответствии со сказанным выше перекладка элеронов всегда происходит по прошествии более чем половины времени маневра, причем момент перекладки располагается тем ближе к концу маневра, чем больше время маневра. Аналогичным образом влияет уменьшение т. — при малых та перекладка элеронов происходит ближе к моменту окончания маневра, чем при больших. Исключение составляет область малых значений Т/хкр и больших т5/ткр, когда реализуется третий режим оптимального управления. В этой области Т и £пер при изменении т6/ткр изменяются пропорционально, так что область, соответствующая режиму III, вырождается в линию.

Величина отклонения кривой, которой соответствует ^Лкр^О, от прямой Т’/^пер = 2,"очевидно, характеризует влияние демпфирующего момента. С уменьшением т5, что соответствует увеличению демпфирующего момента, величина этого отклонения растет, момент перекладки элеронов сдвигается ближе к моменту окончания маневра.

быть вычислен, и это соотношение соответственно для режимов I, II и III имеет вид

Подставляя в эти выражения зависимость/пер/ткр = (^пер/Г) (Т/ткр) °т Г/хкр и х5/хкр (3.9), получим искомую неявную зависимость Т/\р от Т0/ткр и х5/т:кр. Эта зависимость изображена на фиг. 4. Штрих-пунктирной линией отмечена линия, на которой Т = Т0. Величина удаления рассчитанных кривых от этой линии, очевидно, характеризует влияние ткр и т8. Видно, что влияние этих параметров всегда приводит к тому, что Т становится больше, чем Т0, причем это влияние тем больше, чем больше время идеального маневра Т0, т. е. чем меньше эффективность элеронов или больше потребная величина угла поворота по крену. Увеличение всегда приводит к увеличению Т, причем относительное увеличение Т за счет увеличения при малых значениях Т0 много больше, чем при его больших значениях. Это соответствует тому, что влияние т8 существенно лишь тогда, когда его величина соизмерима с полным временем маневра. Отклонение кривой, соответствующей хй/хкр-^0, от штрих-пунктирной прямой, очевидно, целиком определяется влиянием ткр. Этой кривой соответствует режим I оптимального управления. Видно, как по мере увеличения т8 происходит смена этих режимов.

Интеграл

входящий в выражение (3.8), также может

о

2

(3.10)

Повторяя аналогичные вычисления, можно решить задачу отыскания зависимости для второй системы безразмерных параметров. При этом получаются следующие результаты.

Формулы для определения момента переключения соответственно для режимов I, II, и III имеют вид

^пер

Т х5/х,

1п

кр

(.

а _8_________1_

е 1кр1 \е Ткр е%кР^ь1Т

‘'Пер

= 2-

т

е "кр — е кр

X

е*\р Ь1Т + \

(3.11)

Зависимость £пер!Т от хй/Т при различных значениях параметра т8/хкр приведена на фиг. 5. Штрих-пунктирной линией изображена прямая, на которой ^Пер = х8. Заметим, что для режимов оптимального управления I и II всегда £1,ер>'с&, Для режима же III может

Фиг. 4

быть {„ер^^д- Видно, что уменьшение ткр влияет так же, как и уменьшение х8, — приводит к перемещению момента перекладки к концу маневра.

Формулы для определения времени маневра имеют вид:

ха

Т

* Л

. ха

2х,

ха

1

кр

Кр

тп

*кр

У2

''пер

хкр

Хй

‘кр

ха/Г

Хб

“кр

4 х5/1

(*п

Кр

''пер

V ХКр

Х8

’’•кр

ч/Т

/

Т 2

“кр

Х5

хкр Ъ/Т

(3.12)

Результаты расчетов по этим формулам представлены на фиг. 6. Видно, что уменьшение хкр всегда приводит к увеличению Т. Видно также, что относительное влияние этого параметра особенно велико при больших значениях Т0. Эти эффекты, очевидно, являются следствием тормозящего действия демпфирующего момента. Наибольший практический интерес на фиг. 3—6 представляют кривые,

Фиг. 6

соответствующие малым значениям отношения т5/ткр. Из графиков фиг. 6 видно, что при •—<0,1 влияние т4 на Т не превосходит

хкр

10%, если т5<0,17\

На целесообразность рассмотрения данной задачи было указано Г. В. Александровым. Авторы пользуются случаем выразить ему свою признательность.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Динамика пространственного движения самолета. М., „Машиностроение", 1967.

2. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М., „Наука", 1969.

Рукопись поступила 23/ХI 1971 г.