Определение области достижимости летательного аппарата без тяги Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XII 19 8 1

№ 5

УДК 629.735.33.015

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ ДОСТИЖИМОСТИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА БЕЗ ТЯГИ

Г. В. Парышева, С. А. Смирнов, В. А. Ярошевский

На основе гипотезы квазистационарного планирования рассматривается задача о построении области достижимости летательного аппарата без тяги, управляемого путем изменения угла крена. С помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина определена структура управления углом крена на траекториях, соответствующих границе области достижимости, и предложена классификация этих траекторий. Построены области достижимости летательного аппарата в зависимости от его маневренных возможностей: располагаемого пути и располагаемого угла разворота по курсу.

При рассмотрении некоторых проблем управления траекторией летательного аппарата (ЛА) без использования тяги возникает задача о выведении ЛА в заданную точку пространства с заданным вектором скорости. В частности, такая ситуация относится к случаю аварийной посадки самолета при отказе двигателя: необходимо привести самолет к началу посадочной глиссады с заданным вектором скорости, направленным вдоль взлетно-посадочной полосы.

Наиболее простой способ выполнения этой задачи заключается в том, чтобы, оставляя продольный профиль траектории, определяемый зависимостями скорости V и угла наклона траектории б от высоты /г, практически неизменным, изменять лишь горизонтальную развертку траектории — проекцию траектории на горизонтальную плоскость. Применение этого способа возможно, если углы крена ограничены малыми или умеренными значениями, а угол атаки изменяется по заданной программе в зависимости от скорости и, быть может, корректируется в небольших пределах в соответствии с изменением угла крена.

В связи с этим возникает задача об определении области достижимости ЛА, управление которого в основном осуществляется путем изменения угла крена. В отличие от задач, рассмотренных в работе [1], здесь накладываются требования в конечной точке траектории как на координаты, так и на угол курса ЛА.

В простейшем случае, когда максимально допустимый угол крена fmax мал, так что cosfmaxs^l, а угол атаки'а изменяется по заданной программе в зависимости от скорости ан(1/), продольный профиль траектории не зависит от закона изменения угла крена.

Если значение cos 7 может заметно отличаться от единицы, целесообразно рассмотреть такой частный случай, когда зависимость скорости ЛА от высоты V(К) остается одной и той же при различных законах изменения угла крена. Для этого приходится ввести ряд допущений.

Предположим, во-первых, что ЛА совершает пассивный полет в режиме квазистационарного планирования. Тогда, пренебрегая

кривизной Земли и учитывая, что в уравнении V = g(ny cos 7—

1 г d6

— cos 6) член V -dy- мал, получим

пу cos 7 ~ cos 6, (1)

где пу — нормальная перегрузка, действующая на Л A, g— ускорение силы тяжести.

Во-вторых, принимая во внимание, что траектории квазистационарного планирования реализуются в случае достаточно больших значений аэродинамического качества аппарата К, и учитывая,

что на таких траекториях (см., например, [2]), бу-

дем считать, что cos6~l.

В-третьих, предположим, что угол атаки ЛА а корректируется в соответствии с изменением угла крена таким образом, что

Су (ан + Да) cos 7 = Су (ан), (2)

где Су (а) — коэффициент подъемной силы в скоростной системе координат, ан—угол атаки, соответствующий полету с нулевым углом крена, а = ан + Да.

Из (2) с учетом выписанных соотношений следует, что

Су (ан) V2 р (/г) — const, (3)

где р — плотность атмосферы.

Таким образом, при сформулированных выше условиях зависимость V(К) остается одной и той же при различных законах изменения угла крена.

В-четвертых, предположим, что выбор зависимости ан(1/) осуществляется таким образом, чтобы зависимость. \/(h) была монотонно возрастающей. Наконец, будем считать, что ЛА совершает полет при значениях угла атаки, близких к значению а[/Сшах( V/)], соответствующему максимальному аэродинамическому качеству ЛА /Стах- Тогда прй малых вариациях Да значение аэродинамического качества практически не изменяется при изменении угла крена:

K^Km,AV)- (4)

Введем понятие „располагаемого" пути s, подразумевая под этим путь, который может пролететь ЛА с нулевым углом крена до заданной высоты (при отсутствии возмущений). Определим связь между приращением располагаемого пути ds и приращением

истинного пути ds. Для этого используем закон изменения энергии, который в случае квазистационарного планирования с учетом соотношения (1) можно записать в следующей форме:

dE=-------ds «-----------і---ds,

COS 0 ACOS 7

где E = h + V3/2g — удельная энергия ЛА.

Обозначая KdE = ds и учитывая соотношение (4), найдем

ds

—= — COS т. ds '

Из (3) следует, что при указанных выше условиях располагаемый путь s является однозначной функцией скорости или высоты.

Записывая уравнения для проекции траектории на горизонтальную плоскость и принимая в качестве независимой переменной располагаемый путь s, получим

dL

— COS '( • COS Ф,

ds

dl

ds

гіф

ds

= — cos 7-sin <]>,

(5)

R Tmax

здесь L, I - продольная и боковая дальность до конечной точки О соответственно; ф — угол курса (рис. 1);

^ _ VIcos2 9 2д _

griy sin 7max pg tg Tfmax

минимальный радиус кривизны траектории, который является при указанных выше предположениях заданной функцией располагаемого пути s; q — скоростной напор.

Граничные условия для фазовых координат в рассматриваемом случае имеют следующий вид:

s=s0: L = L0\ / = /0; f = %;

s = 0: 1 = 0; 1=0; ф = 0.

(6)

Решим задачу об определении границ области начальных условий L0, 10, Ф0, из которой ЛА может совершить посадку. Эта область является областью достижимости для ЛА, если систему уравнений (5) решать по аргументу s от s = 0 с нулевыми начальными условиями к st='sa, т. е. в направлении, обратном действительному движению ЛА. Для построения этой области рассмотрим следующую вариационную задачу: выбрать такое изменение управления -f(s) с учетом ограничения 1т|<Лтах> чтобы в момент s = s0 обеспечить экстремальное значение 10 при фиксированных значениях /0, Ф0.

Решение этой задачи может быть получено с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина. Функция Гамильтона и сопряженная система уравнений в данном случае имеют вид

Р<ь sin Т

И=—pL COS 7 COS ty—Pi cos 7 sin ty- v - -"■*

dPi

ds

= —S- = 0;

ds

R tg Tmax

dp,b

ds

(7)

— pL cos 7 sin ty -f- Pi COS 7 cos >'j.

Интегрируя уравнения (7) с учетом (5), находим:

Р*=Рь0+ PlI-PiL,

где рф0, Pl, Pi — константы.

В качестве условия нормировки сопряженных переменных примем

У'Ж+Р'\=< 1-

Тогда оптимальное управление 7(s), определенное из условия абсолютного максимума (Минимума) функции Гамильтона И с учетом ограничения | 71 <- 7шах < -2'- > может быть выражено в следующем виде:

tg Т

mm

injl;

tg Tmax \d\

D

1

-\u\ sign d, при cos7j>0; при cos 7) 0,

(8>

где

d = L cos cp + I sin f — k — -f- p.^, cos <p=±pl, sm<e = + pL, k cos 7] = sin (<?— 6),

D — R tg2 Tmax COST].

В приведенных соотношениях верхний знак соответствует минимизации L0, а нижний знак — максимизации L0.

На рис. 1 дана геометрическая интерпретация полученного результата. Условие d = 0 определяет прямую линию в горизонтальной плоскости (назовем ее особой прямой). По одну сторону от этой прямой, значения 7 положительны, по другую сторону — отрицательны; направление вращения ЛА по курсу показано на

рис. 1 стрелками. Абсолютное значение d представляет собой расстояние от точки, соответствующей положению Л А, до особой прямой. Положение особой прямой в рассматриваемой системе координат характеризуется двумя параметрами: расстоянием

к особой прямой от начала координат и углом ср между нормалью к особой прямой, направленной в сторону положительных значений т(м> 0), и осью OL.

Оптимальное управление определяется не только положением ЛА, но и направлением вектора его скорости относительно особой прямой (углом tj). Так, в случае cost)-<0 угол 7 может принимать только граничные значения, а в случае cosir]>0 около особой прямой имеется „пограничный11 слой толщиной 20, в котором угол 7 изменяется в зависимости от d.

Таким образом, численная процедура решения краевой задачи сводится к выбору двух свободных параметров k и ср так, чтобы в результате решения уравнений (5) с нулевыми начальными условиями (6) при законе изменения 7, определяемом соотношением (8), получить при s = s0 выполнение условий / = /0, ф = Л0.

Отметим, что так как для построения искомой области необходимо иметь семейство траекторий с различными значениями 10, то условие 1 — 1й выполнять, вообще говоря, не обязательно. В самом деле, фиксируя различные значения, например, параметра k и находя при каждом значении k величину <р из условия ^(s0) = <{>0, получим семейство траекторий, имеющих разные /0, т. е. по существу задача построения области достижимости сводится к решению серии однопараметрических краевых задач.

Сделаем ряд замечаний. Во-первых, для получения большей общности результатов целесообразно преобразовать уравнения движения ЛА к безразмерному виду. Это можно сделать, приняв за единицу измерения L, I, s минимальный радиус кривизны траектории при 5 = 0. Во-вторых, необходимо задаться зависимостью минимального радиуса кривизны траектории R от располагаемого

пути s. Для примера рассмотрим следующую зависимость: R = eXs, где Л = const. Такая зависимость близка к истинной в том случае, когда угол наклона траектории 6 при 7 = 0 и скоростной напор в процессе спуска ЛА постоянны, а плотность является экспоненциальной функцией высоты. Выбор зависимости R (s) в виде экспоненты не влияет ни на структуру оптимального управления, ни на методику расчета области достижимости. При оценке области достижимости конкретного ЛА эту зависимость необходимо задавать на основании результатов моделирования движения ЛА при Т = Тшах и при т = 0, определяя из этих данных зависимости R(h) и s(fi) соответственно.

Выделим критерии подобия для рассматриваемой задачи; В качестве этих критериев можно предложить следующие три характеристики: начальный располагаемый путь s0, начальный рас-

v Т С COS Утях

полагаемый угол разворота по курсу ф0 = ---% as и косинус

о

максимального угла крена cos 7max, характеризующий степень изменения профиля 9(A) в зависимости от угла крена.

Рассмотрим вначале случай, когда cos ттах^ 1. Тогда из соотношений (8) следует

и ~ т/т шах== sign d. (9)

Кроме того, возможен особый режим управления и = 0, соответствующий движению по особой прямой й? = 0. Следовательно, оптимальные траектории состоят из спиралевидных участков, соответствующих м = +1, и, может быть, участков движения по прямой.

Заметим, что семейство прямых, для которых может быть реализован особый режим управления, является однопараметрическим. Поэтому задача построения области достижимости в данном случае сводится к решению двух серий однопараметрических краевых задач. В одной из них оптимальные траектории не включают движение по прямой, и искомым параметром может служить угол f (см. рис. 1). В другой серии расчетов оптимальные траектории содержат участок движения по прямой, и искомым параметром является продолжительность этого участка.

Поскольку принцип максимума является необходимым условием оптимальности, то в рассматриваемой задаче возможно получение локальных экстремумов функционала. Для сортировки получаемых решений удобно воспользоваться следующим обстоятельством. Если уменьшать начальный располагаемый угол разворота по курсу ф0 при постоянном значении начального располагаемого пути s0, то каждая последующая область достижимости будет полностью содержаться в предыдущей. Выполняя расчет области достияшмости дважды: один раз — для интересующего нас значения а другой раз — для несколько меньшего значения <ь0 (при том же значении s0), можно выявить ложные решения в рассматриваемой задаче.

Применение этого эвристического приема позволило выделить пять типов траекторий, которые могут соответствовать границе области достижимости в рассматриваемом случае (рис. 2). На траекториях I имеются две точки переключения управления и участок особого режима управления (движение по особой прямой). На траектории II имеются также две точки переключения управления, но нет особого режима управления. На траекториях III имеются три точки переключения управления и участок особого режима управления. Буквами А и Б отмечены классы траекторий, различающиеся направлением вращения ЛА по курсу после последней точки переключения управления. Моменты переключения управления помечены на рис. 2 поперечными штрихами.

Результаты расчетов границ областей достижимости для различных значений при s0 = 7и приведены на рис. 3—6. Так как граница области достижимости представляет собой поверхность в трехмерном пространстве начальных условий L0, /0, ф0, то на этих рисунках показаны сечения этой поверхности при = const. На рис. 3—7 участки границы области достижимости, соответствующие различным типам траекторий, изображены различными способами и разграничены (в случае необходимости) поперечными штрихами. Соответствие между типом траектории и видом маркировки указано на рис. 2.

На рис. 3 и 4 представлен ряд вложенных друг в друга областей достижимости при ф0=0- Траектории, соответствующие

Вид MdpmLpotna: --------1А

• • • • • хи

ни^

------ША

------шїї

Щ-7К', %~0; <рв - var

?0 = 77Г; ¥о = 0’ fo~ var

Рис. 5

*0 = 771 Г

ф0=ТГ

<р=1,5ж

%Ч'Ш

<р=2п

$=3тг

$=т'

18В% (f~var

Рис. 4

Рис. 6

дальней границе области достижимости, принадлежат типу /А (например, траектория 1 на рис. 4). Изменения, происходящие с ближней границей области достижимости, значительно интереснее. При небольших маневренных возможностях ЛА (ф0 = тс; 1,5 тс) могут быть выполнены только маневры в виде „змейки11, для которых суммарный угол разворота ЛА по курсу равен нулю, и ближняя граница области состоит из траекторий типа II (например, траектория 2 на рис. 4). При этом изломы границы области достижимости связаны со скачкообразным изменением положения особой прямой. При ф0 = 2тс область достижимости состоит уже из трех частей: области, соответствующей маневрам в. виде

„змейки11, и двух точек, соответствующих „петлеобразному11 маневру (траектория 1 на рис. 3). По мере дальнейшего увеличения эти две точки превращаются в две „каплеобразные" области (ф0 = 2,25тс) и начинают сливаться с основной частью области достижимости, причем в этот момент область достижимости может быть неодносвязанной, иметь „дыру11 в виде криволинейного четырехугольника (ф0 = 2,5 тс). При Ф0 = 3тс можно снова говорить

о ближней границе области достижимости, состоящей в этом случае из траекторий типа 1Б (например, траектория 3 на рис. 4).

Нетрудно проследить за изменениями, происходящими (по мере возрастания Ф0) с областью достижимости при 40=180° (см. рис. 5) и при 40=:90о (см. рис. 6). Следует сказать, что разделение траекторий на траектории типа „змейки" и „петли" достаточно условно. Так, при ф0=180° качественное различие между этими двумя типами траекторий пропадает, поскольку оптимальные траектории трансформируются в „полупетлю", на которой разворот ЛА по курсу происходит только на ± 180°. Именно поэтому область достижимости при Ф0=180° имеет наиболее простую

форму. Кроме того, в диапазоне изменения Ф0 от 1,5 тс до 2,25 « площадь области достижимости при <]»0— 180° превосходит на 15—30% площадь соответствующей области при = Эти обстоятельства необходимо учитывать при выборе номинальной траектории.

При ф0 = 90° граница области достижимости состоит из траекторий, на которых происходит разворот ЛА по курсу на 90° или на 270°, а сама область достижимости может состоять не более чем из двух частей. Отметим также, что в этом случае „дыры“ у области достижимости отсутствуют, но возможны глубокие „щели“ (ф0 = 2тс).

При построении попадающих в конечную точку траекторий из внутренних точек области достижимости управление углом крена определяется неоднозначно. Один из возможных вариантов получения угла крена для таких траекторий состоит в нахождении границ области достижимости для значений угла,; разворота ЛА, меньших заданного максимального значения Ф0 (при неизменном значении 50). В самом деле, учитывая соотношение (5), можно найти, что эти траектории соответствуют управлению, определяемому формулой (9) при условии, что

,|^Г /? (я)

I 7 I Ттах — Тшах _ >

г (а)

где г (я) — радиус кривизны траектории, соответствующий рассматриваемому углу разворота Л А по курсу [г($)\> /?($)].

Отсюда, в частности, следует, что из любой внутренней точки области достижимости можно построить траекторию такого вида, что ее можно отнести к одному из перечисленных выше пяти типов траекторий (см. рис. 2).

Характерные изменения, происходящие с областью достижимости при вариации другого критерия подобия — начального располагаемого пути % могут быть выяснены из рассмотрения рис. 7, на котором представлены сечения области достижимости при %=0 для различных значений 50 и фиксированного значения -Ь0 — 3^. С ростом в0 размеры области достижимости увеличиваются, а в целом она удаляется от конечной точки. Кроме того, меняется качественный состав траекторий, формирующих ближнюю границу области достижимости: помимо траекторий типа 1Б с ростом % здесь появляются траектории типа 111Б.

Рассмотрим, наконец, случай достаточно больших значений угла крена 7, когда зависимость 0(/г) заметно меняется при изменении 7 от нулевого значения до максимального. Следует обратить внимание на то, что здесь оптимальные траектории уже не будут содержать особых режимов (за исключением одного случая ^о==Фо==0)- С этим обстоятельством связана следующая неприятная особенность численной реализации поиска оптимального управления: высокая чувствительность к положению особой прямой траекторий, содержащих почти прямолинейные участки.

Во избежание этого введем субоптимальное управление иг, которое отличается от оптимального управления и, определяемого

6—.Ученые записки ЦАГИ“ № 5.

81

/

fa > fo=° '> ~

s~ 7%, yg- 0, %-van

Рис. 8

рмулой (8), только абсолютным значением в окрестности осо-й прямой, а именно:

|иЕ| —тах{е; \и\) при йф®, и.г = 0 . при и = 0,

де £ —задаваемый параметр:

Отметим, что и%-=и при 8 = 0, а при в = 1 субоптимальное правление совпадает с управлением, определяемым формулой (9). убоптимальные траектории уже могут включать особые режимы правления, а расчет границ области достижимости можно выпол-ять точно так же, как и в случае созутах^1. Выбор величины араметра е определяется компромиссом между требованиями к точности и времени решения на ЭЦВМ рассматриваемой задачи. ^ одной стороны, при больших значениях этого параметра (е — 1) елики ошибки определения границы области достижимости из-за больших отличий субоптимального управления от оптимального. Эти погрешности могут оказать наиболее сильное влияние на определение дальней границы области достижимости при низких маневренных возможностях ЛА (50>Ф0). С другой стороны, уменьшение значения этого параметра при сохранении заданной точности вычислений приводит к тому, что часть границы области достижимости не определяется. Повышение точности вычислений путем уменьшения шага интегрирования влечет за собой увеличение времени счета на ЭЦВМ.

Для случая, когда Тшах = 45°, на рис. 8 представлены сечения области достижимости при = 0 для различных значений % и фиксированного значения 50 = 7тс. Значение параметра г было выбрано равным 0,5. Для сравнения на этом же рисунке приведены аналогичные /результаты расчетов для предельного случая СОвТшах»!-

Видно, что при низких маневренных возможностях ЛА (ф0=я) значительное увеличение продольного размера области достижимости возможно за счет изменения продольного профиля траектории ЛА. Эти результаты можно использовать при формировании системы управления траекторий спуска ЛА. В процессе спуска ЛА (х -»■ 0) происходит уменьшение располагаемого угла разворота по курсу Ф и вместе с ним очень быстрое убывание продольного размера области достижимости в случае соБ^тах^! (см. рис. 8). Поэтому при наличии возмущений, искажающих траекторию, необходимо предусмотреть возможность управления продольным профилем траектории на конечном этапе спуска (ф^тс).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ш,к а д о в Л. М., Буханова Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере. М., „Машиностроение*, 1972.

2. Парышева Г. В,, Ярошевский В. А. Приближенный расчет траекторий квазистационарного планирования. „Космические исследования", т. XIX, вып. 2, 1981.

Рукопись поступила 7/У 1980 г.